下载文档原格式
1.1 锐角三角函数 学案〔1〕我预学1．请同学们回忆一下，我们已经学过哪些类型的函数对于函数这种重要的数学模型是如何定义的函数与自变量之间存在着怎样的一种关系1. 阅读教材后答复：（1） 在锐角三角函数中，自变量是什么函数是什么（2） 本节课本中指出锐角三角函数的值都是正实数，且0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，你能说明原因吗那么tan α的取值范围是什么1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c . 那么sin A =cos A =tan A =sin B =cos B =tan B =2. 从上题的六个式子中，请你试着找出同一个角的不同三角函数值之间及互余两角的三角函数值之间具有怎样的数量关系.个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处： 我达标1.tan B = .2. sin A =23，那么cos A = ，tan A =. 3. 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC =6cm ，sin A =35, 那么AC 的长是cm. 4. 如图，小丽沿着倾斜角为β的山坡从A 点前进a 米到达B 点，那么山坡AB 的水平距离AC 等于〔 〕米.A. a sin βB. a cos βC. a tan βD. tan a β 5． 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值〔 〕 A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 不能确定6. 如图，∠α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，•另一边经过点P 〔2，23〕，求角α的三个三角函数值．7. 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c . 且a 、b 、c 满足等式(2b )2=4(c+a )(c-a ), 且有5a -3c =0,求s in B 的值.我挑战8.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．那么sin∠BAC =；sin∠ADC =．A B C a βA D C知识形成： 一个锐角的三角函数值只与这个角的 有关，而与它所在三角形夹边的长短〔它 OA B C ·第8题第9题第10题9. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，cos B =513，BC=26.求：⑴ cos∠DAC的值.⑵ AD的长.我登峰11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，•根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据三角函数的概念有sin A=ac，cos A=bc， •〔1〕求证：sin2A+cos2A=1，sincosAA=tan A〔2〕请利用〔1〕中的结论求解以下题目.①Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=35，求cos A，tan A的值；②Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=12，求sin A，cos A的值；③∠A是锐角，cos A=1517，求sin〔90°－A〕的值．小贴士：当求一个角的三角函数值不明显时，能否可以将其转化成求与之相等角的三D。
锐角三角函数——正弦教学目标知识与技能1、在了解认识正弦的基础上，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算过程与方法经历抽象正弦概念的进程，领会正弦概念的意义，在理解的基础上学会应用。
情感态度与价值观使学生经历锐角正弦的意义探索过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。
教学策略本节课主要采用创设情境导入新课、例题讲解、知识运用、总结巩固等环节，以问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题。
重点理解认识正弦概念，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦值。
难点掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形的其他边长的方法。
学习者特征分析学习者是初三年级的学生，多数学生对数学学习比较有兴趣，其中有个别学生的思维比较活跃，但整体的学习能力和认知水平偏弱，个别学生的自控能力较差，需要老师不断提醒。
教学过程教学设计与师生互动备注一、创设情境、导入新课操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？学了这一章之后你就会求这个旗杆的高度了。
本章的学习也为今后高中的学习打下基础。
任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，若①∠A＝30°②∠A＝45°③∠A＝60°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？这就引发我们产生这样一个疑问：在直角三角形中，当∠A取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？推理与证明：观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？分析：由图可知Rt△AB1C1PPT演示学生活动：思考、口答。
关注学生对含30°角的直角三角形定理的复习与运用。
PPT演示证明过程由学生完成∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3， 所以有：k AB C B AB C B AB C B ===333222111， 结论，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比是一个固定值，也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的. 我们把这个比值叫做锐角A 的正弦，记作sinA 。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章的第一节内容。
本节内容主要介绍锐角三角函数的定义及应用。
通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质，并能运用锐角三角函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数这一部分内容，由于涉及到三角函数的定义和性质，对学生来说可能存在一定的难度。
因此，在教学过程中，需要注重对学生基础知识的学习和巩固，并通过实例让学生感受锐角三角函数在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质；能够运用锐角三角函数解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动参与学习，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及应用。
2.难点：正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生的兴趣，激发学生的学习欲望。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，发现知识，培养学生的创新能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些与锐角三角函数相关的实例，用于讲解和练习。
3.学具：为学生准备一些三角板、直尺等学具，用于实验和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与锐角三角函数相关的实例，如跳伞运动员下降的高度与时间的关系，引导学生思考如何用数学知识来描述这种关系。
2.呈现（10分钟）介绍锐角三角函数的定义及性质，通过课件和实物演示，让学生直观地感受锐角三角函数的概念。
三角函数●教学目标 (一)知识目标1.任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式；2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数；3.三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角. (二)能力目标1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；4.能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明；5.会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义；6.会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x 、arccos x 、arctan x 表示.(三)德育目标1.渗透“化归”思想；2.培养逻辑推理能力；3.提高解题能力. ●教学重点三角函数公式、三角函数(尤其是正弦函数、余弦函数、正切函数)的图象和性质的应用. ●教学难点灵活应用三角公式，正弦、余弦、正切函数的图象和性质解决问题. ●教学方法 讲练结合法通过讲解强化训练题目，加深对三角函数知识的理解，提高对三角函数知识的应用能力. ●教学过程A 组 1.解：(1)∈+==k k S ,24{ππββZ }，49,4,47πππ-(2)∈+-==k k S ,232{ππββZ }，310,34,32πππ-(3)∈+==k k S ,2512{ππββZ }，512,52,58πππ-(4)∈π=ββ=k k S ,2{Z ｝，－2π，0，2π评述：这一题目要求我们首先要准确写出集合S ，并判断k 可取何值时，能使集合S 中角又属于所要求的范围.2.解：由l ＝｜α｜r 得ππ29151031518054=⨯=⨯︒︒=l 4430292≈+π=+=r l C cm 101.14135********⨯≈=⨯⨯==ππlr S cm 2 答：周长约44 cm ，面积约1．1³10 cm 2评述：这一题需先将54°换算为弧度数，然后分别用公式进行计算. 3.(1)sin4＜0；(2)cos5＞0；(3)tan8＜0；(4)tan(－3)＞0． 评述：先判断角所属象限，然后确定其三角函数的符号. .,041cos 415sin 1cos sin 41cos :.422为第一或第四象限角知由得由解ϕϕϕϕϕϕ〉=±=⎪⎩⎪⎨⎧=+=当ϕ为第一象限角时，sin ϕ＝415，tan ϕ＝15； 当ϕ为第四象限角时，sin ϕ＝－415，tan ϕ＝－15. 评述：先由已知条件确定角所属象限，然后结合同角三角函数基本关系式，求出另外的三角函数值.5.解：由sin x ＝2cos x ，得tan x ＝2 ∴x 为第一象限或第三象限角 当x 为第一象限角时tan x ＝2，cot x ＝21，cos x ＝55，sec x ＝5，sin x ＝552，csc x ＝25 当x 为第三象限角时 tan x ＝2，cot x ＝21，cos x ＝－55，sec x ＝－5，sin x ＝－552，csc x ＝－25110sin 10cos 10sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 170sin 10cos )10cos 10(sin 170cos 110cos 10cos 10sin 21:.622=︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒=︒--︒︒︒-解评述：注意灵活使用同角三角函数的基本关系式的变形式，即“1”的妙用，这也是三角函数式化简过程中常用的技巧之一，另外，注意及时使用诱导公式和三角函数图象和性质：当α∈［0,4π)时，sin α＜cos α. 7.解：sin 4α－sin 2α＋cos 2α＝sin 2α(sin 2α－1)＋cos 2α＝(1－cos 2α)(－cos 2α)＋cos 2α＝－cos 2α＋cos 4α＋cos 2α＝cos 4α评述：注意使用sin 2α＋cos 2α＝1及变形式.8.证明：(1)左边＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝2－2sin α＋2cos α－sin2α右边＝(1－sin α＋cos α)2＝［1－(sin α－cos α)］2 ＝1－2(sin α－cos α)＋(sin α－cos α)2＝1－2sin α＋2cos α＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝2－2sin α＋2cos α－sin2α ∴左边＝右边 即原式得证.(2)左边＝sin 2α＋sin 2β－sin 2α²sin 2β＋cos 2α²cos 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)＋cos 2α²cos 2β＋sin 2β ＝sin 2α²cos 2β＋cos 2α²cos 2β＋sin 2β ＝cos 2β(sin 2α＋cos 2α)＋sin 2β＝1＝右边 ∴原式得证评述：三角恒等式的证明一般遵循由繁到简的原则.9.解：(1)α+-α=αα+-αα=α+αα-αtan 352tan 4cos sin 352cos sin 4sin 3cos 5cos 2sin 4将tan α＝3代入得，原式＝.75(2)sin αcos α＝tan α²cos 2α＝tan α²1033113tan 1122=+⨯=+α(3)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2³58103= 评述：注意挖掘已知条件与所求结论中的三角函数的关系. 10.解：(1)sin625π＋cos 325π＋tan(－425π)＝sin 6π＋cos 3π－tan 4π=012121=-+ (2)sin2＋cos3＋tan4≈1．0777评述：注意灵活应用诱导公式化简后再求值. 11.解：(1)∵sin(π＋α)＝－21＝－sin α ∴sin α＝21∴cos(2π－α)＝cos α＝±23sin 12±=α- 当α为第一象限时，cos α＝23 当α为第二象限时，cos α＝－23 (2)tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝tan α当α为第一象限时，tan α＝33 当α为第二象限时，tan α＝－33 评述：要注意讨论角的范围.12.解：(1)sin378°21′＝sin18°21′＝0．3148(2)sin(－879°)＝－sin(159°)＝－sin21°＝－0．3584 (3)sin3＝0．1409评述：要用诱导公式将其转化为锐角三角函数值问题. 13.解：设0＜x ＜14.解：∵cos α＝－419且π＜α＜23π ∴sin α＝－4140，∴tan α＝940∴tan(4π－α)＝493194019401tan 1tan 1-=+-=α+α- 评述：仔细分析题目，要做到有的放矢. 15.解：∵sin α＝55，α为锐角 ∴cos α＝552 又∵sin β＝1010，β为锐角 ∴cos β＝10103∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝4π 说明：若先求出sin(α＋β)＝22，则需否定α＋β＝43π. 评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－2π，2π)上，则一般取此角的正弦较为简便.16.(1)证明：∵4π=+B A∴tan(A ＋B )＝tan4π＝1＝B A B A tan tan 1tan tan -+即：tanA ＋tan B ＝1－tan A tan B ∴tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1∵(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ∴(1＋tan A )(1＋tan B )＝2(2)证明：由(1＋tan A )(1＋tan B )＝2得 tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B又∵0＜A ＜2π，0＜B ＜2π∴tan A ＋tan B ＞01tan tan 1tan tan =-+∴BA BA 即tan(A ＋B )＝1又∵0＜A ＋B ＜π∴A ＋B ＝4π(3)解：由上述解答过程可知：两锐角之和为直角之半的充要条件是(1＋tan A )(1＋tan B )＝2不可以说“两个角A 、B 之和为4π的充要条件是(1＋tan A )(1＋tan B )＝2”因为在(2)小题中要求A 、B 都是锐角. 17.证明：设正方形的边长为1 则tan α＝21，tan β＝31 ∴tan(α＋β)＝1tan tan 1tan tan =-+βαβα又∵0＜α，β＜π，∴α＋β＝4π 评述：要紧扣三角函数定义. 18.证明：∵0＜α，β，γ＜2π 且tan α＝21＜1，tan β＝51＜1，tan γ＝81＜1∴0＜α，β，γ＜4π 又∵tan(α＋β＋γ)＝10＜α＋β＋γ＜43π∴α＋β＋γ＝45° 19.解：(1)由cos2α＝53得532cos )cos )(sin cos (sin cos sin 222244-=-=+-=-ααααααα(2)6255271)247(121tan 121cos 22cos 222=-+=-+=-=xx x (3)由sin θ＋cos θ＝32得(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋sin2θ＝94 ∴sin2θ＝－95(4)∵(sin ϕ＋cos ϕ)2＝1＋2sin ϕ²cos ϕ＝169289(sin ϕ－cos ϕ)2＝1－2sin ϕ²cos ϕ＝16949 又∵4π＜ϕ＜2π ∴sin ϕ＋cos ϕ＝1317sin ϕ－cos ϕ＝137∴sin ϕ＝1312，cos ϕ＝13520.解：设△ABC 的底为a ，则腰长为2ａ∴sin 2A ＝4122=a a cos 2A ＝4152215=a a∴sin A ＝2sin2A cos 2A＝815cos A ＝2cos 22A－1＝815－1＝87tan A ＝715． 21.证明：P ＝ｉｖ＝ｉｍsin ωｔ²ｖｍsin(ωｔ＋2π)＝ｉｍｖｍsin ωｔcos ωｔ＝21ｉｍｖｍsin2ωｔ22.证明：由题意可知：sin 2θ＝rR r R +-cos 2θ＝()r R Rrr R r R r R +=+--+2)(22 ∴sin θ＝2sin2θcos 2θ＝2²rR r R +-²r R Rr +2＝2)()(4r R Rr r R +-23.解：由教科书图4—12，可知：当α为某一象限角时，有：｜sin α｜＝｜MP ｜，｜cos α｜＝｜OM ｜ ∵｜MP ｜＋｜OM ｜＞｜OP ｜＝1， ∴｜sin α｜＋｜cos α｜＞1当α的终边落在坐标轴上时，有｜sin α｜＋｜cos α｜＝1． 因此，角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1. 评述：要注意数形结合这种重要的数学思想的利用. 24.解：(1)由1－tan x ≠0，得tan x ≠1∴x ≠k π＋4π且x ≠k π＋2π，k ∈Z∴函数y ＝xtan 11-的定义域为：｛x ｜x ≠k π＋4π且x ≠k π＋2π，k ∈Z ｝ (2)由2x≠k π＋2π得x ≠2k π＋π，k ∈Z∴y ＝tan 2x 的定义域为｛x ｜x ≠2k π＋π，k ∈Z ｝ 25.解：(1)由cos 2x ＝1．5，得cos x ＝±5.1 又∵5.1∉［－1，1］ ∴cos 2x ＝1．5不能成立. (2)由sin x －cos x ＝2sin(x －4π)∈［－2，2］ ∴sin x －cos x ＝2．5不能成立(3)当x ＝4π时，tan x ＝1∴tan x ＋x tan 1＝2有可能成立 (4)由sin 3x ＝－4π得sin x ＝－34π∈［－1，1］ ∴sin 3x ＝－4π成立. 评述：要注意三角函数的有界性. 26.解：(1)当sin x ＝1时，即x ＝2k π＋2π，k ∈Z 时, y ＝2＋πxsin 取得最大值. ∴y ＝2＋πxsin 的最大值为2＋π1.使y 取得最大值的x 的集合为｛x ｜x ＝2π＋2k π，k ∈Z ｝.当sin x ＝－1时，即x ＝－2π＋2k π时. y ＝2＋πxsin 取得最小值. ∴y ＝2＋πxsin 的最小值为2－π1.使y 取得最小值的x 的集合为｛x ｜x ＝－2π＋2k π，k ∈Z ｝. (2)当cos x ＝－1即x ＝(2k ＋1)π时, y ＝3－2cos x 取得最大值, ∴y ＝3－2cos x 的最大值为5.使y 取得最大值的x 的集合为｛x ｜x ＝2k π＋π，k ∈Z ｝. 当cos x ＝1，即x ＝2k π时 y ＝3－2cos x 取得最小值 ∴y ＝3－2cos x 的最小值为1使y 取得最小值的x 的集合为｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝27.解：(1)y ＝sin x －3cos x (x ∈R )＝2sin(x －6π)，∴y max ＝2，y min ＝－2(2)y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋4π)，(x ∈R )∴y max ＝2，y min =－228.解：当0≤x ≤2π时，由图象可知：(1)当x ∈［π23，2π］时，角x 的正弦函数、余弦函数都是增函数.(2)当x ∈［2π，π］时，角x 的正弦函数、余弦函数都是减函数.(3)当x ∈［0，2π］时，角x 的正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数.(4)当x ∈［π，π23］时，角x 的正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数.29.解：(1)由f (－x )＝(－x )2＋cos(－x )＝x 2＋cos x ＝f (x ) 得y ＝x 2＋cos x ，x ∈R 是偶函数(2)由y ＝｜2sin x ｜＝｜2sin(－x )｜ 得y ＝｜2sin x ｜，x ∈R 是偶函数 (3)由y ＝tan x 2＝tan(－x )2 得y ＝tan x 2，x ≠±ππk +2(k ∈Z )是偶函数(4)由y ＝x 2sin x ＝－(－x )2sin(－x ) 得y ＝x 2sin x ，x ∈R 是奇函数30.(1)y ＝21sin(3x －3π)，x ∈R(2)y ＝－2sin(x ＋4π)，x ∈R (3)y ＝1－sin(2x －5π)，x ∈R(4)y ＝3sin(6π－3π)，x ∈R 31.(1)略(2)解：由sin(π－x )＝sin x ，可知函数y ＝sin x ，x ∈［0，π］的图象关于直线x ＝2π对称，据此可得出函数y ＝sin x ，x ∈［2π，π］的图象；又由sin(2π－x )＝－sin x ，可知函数y ＝sin x ，x ∈［0，2π］的图象关于点(π，0)对称，据此可得出函数y ＝sin x ，x ∈［π，2π］的图象.(3)解：把y 轴向右(当ϕ＞0时)或向左(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把x 轴向下(当k ＞0时)或向上(当k ＜0时＝平移｜k ｜个单位长度，就可得出函数y ＝sin(x ＋ϕ)＋k 的图象.32.解：(1)y ＝sin(5x ＋6π)，x ∈R 振幅是1，周期是52π，初相是6π把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得出函数y ＝sin(x ＋6π)，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的51倍(纵坐标不变)，就可得出函数y ＝sin(5x ＋6π)，x ∈R 的图象. (2)y ＝2sin 61x ，x ∈R振幅是2，周期是12π，初相是0把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，可以得出函数y ＝sin 61x ，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就可得出函数y ＝2sin 61x ，x ∈R 的图象.33.解：(1)由ｈ＝2sin(ｔ＋4π)，ｔ∈［0，＋∞） 得ｔ＝0时，ｈ＝2 cm即：小球开始振动时的位置在离平衡位置2 cm 处.(2)当sin(ｔ＋4π)＝1时，ｈmax ＝2sin(ｔ＋4π)＝－1时，ｈmax ＝－2 即：小球最高、最低点与平衡位置的距离都是2 ｃｍ.(3)由T ＝ϖπ2得T ＝2πs即：经过2πs ，小球往复振动一次.(4)f ＝π211=T即：小球每1 s 往复振动π21次.34.解：(1)由sin x ＝0，x ∈［0，2π］ 得x ＝0，π，2π (2)由cos x ＝－0．6124，x ∈［0，2π］得x ＝0．71π，1．29π或arccos(－0．6124)，2π－arccos(－0．6124) (3)由cos x ＝0，x ∈［0，2π］得x ＝2π，23π(4)由sin x ＝0．1011，x ∈［0，2π］得x ＝0．03π，1．97π或arcsin0．1011，π－arcsin0．1011． (5)由tan x ＝－4，x ∈［0，2π］得x ＝0．58π，1．58π或π＋arctan(－4)，2π＋arctan(－4) (6)由cos x ＝1，x ∈［0，2π］ 得x ＝0，2πB 组1.解：由已知α是第四象限角得2k π＋23π＜α＜2k π＋2π，(k ∈Z )(1)∴k π＋43π＜2α＜k π＋π ∴2α的终边在第二或第四象限(2) 32πk ＋2π＜3α＜32πk ＋32π即：90°＋k ²120°＜3α＜30°＋90°＋k ²120°∴3α的终边在第二、第三或第四象限(3)4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π即：2α的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上.2.解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧====5215lr S r l α 解之得｜α｜＝25弧度答：扇形中心角度数约为143° 3.解：cos αααsin 1sin 1+-＋sin αααcos 1cos 1+-＝cos α²ααααα2222sin )cos 1(sin cos )sin 1(-+- ＝cos α²αααααsin cos 1sin cos sin 1-⋅+-＝cos α(－αααααααcos sin sin cos 1sin )cos sin 1-=-⋅+-(α为第二象限角) 4.解：由tan α＝－31(1)165)31(5231tan 52tan sin cos 5cos 2sin =--+-=-+=-+αααααα 3101tan 2tan 1)1tan 2(tan 111)1tan 2(cos 1cos tan cos 21cos cos sin 21)2(222222=++=++=+=+=+αααααααααααα5.证明：左边＝αααααcos sin 1cos sin 2sin 1++++ ＝ααααααααcos sin 1cos sin cos cos sin 2sin 22++++++ ＝ααααααcos sin 1)cos (sin )cos (sin 2+++++ ＝ααααααcos sin 1)cos sin 1()cos (sin ++++++ ＝sin α＋cos α＝右边6.证明：∵x cos θ＝a ，y cot θ＝b ，(a ≠0，ｂ≠0) 1cos sin 1cos sin cos 1cot cos 222222222222222=-=-=-=-∴θθθθθθθy y x x b y a x7.证明：(1)左边＝A A A A AA A A A222222222tan cos sin sin cos 1cos sin 1cot 1tan 1==++=++ 右边＝A A A A A A AA A 2222tan )cos sin ()sin cos 1cos sin 1()cot 1tan 1(==--=-- ∴222)cot 1tan 1(cot 1tan 1AA A A --=++ (2)左边＝右边==⋅==--=--=--AB B A B A B A BA B A B A B A A A B B B B A A A B B A cot tan tan tan cos cos sin sin sin sin )sin(cos cos )sin(sin cos sin cos cos sin cos sin cot cot tan tan 8.证明：由tan θ＋sin θ＝a ，tan θ－sin θ＝ｂ得(ａ2－ｂ2)2＝(ａ－ｂ)2(ａ＋ｂ)2＝(2sin θ)2(2tan θ)2＝16sin 2θ²tan 2θ16ab ＝16(tan θ＋sin θ)(tan θ－sin θ)＝16(tan 2θ－sin 2θ)＝16sin 2θ(θ2cos 1－1)＝16sin 2θθθ22cos cos 1-＝16sin 2θtan 2θ ∴(ａ2－ｂ2)2＝16ａｂ9.证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin ［(α＋β)－α］＝sin ［(α＋β)＋α］＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α∴2sin(α＋β)cos α=4cos(α＋β)sin α∴tan(α＋β)＝2tan α评述：等式两边主要是角的差异，应从变换条件中的角入手.10.解：由已知cos(4π＋x )＝35，1217π＜x ＜47π 得：cos2(4π＋x )＝2cos2(4π＋x )－1＝cos(2π＋2x )＝－sin2x ＝－257 ∴sin2x ＝257，sin(4π＋x )＝－54 75285354257)4tan(2sin tan 1tan 12sin tan 1sin 22sin 2-=-⋅=+⋅=-+⋅=-+∴x x x x x x x x π 11．解：(1)当2k π≤2x －3π≤2k π＋π，(k ∈Z ) 即k π＋6π≤x ≤k π＋32π时y ＝3cos(2x －3π)是减函数 (2)当2k π＋2π≤－3x ＋4π≤2k π＋23π，(k ∈Z ) 即－12π＋32πk ≤x ≤4π＋32πk 时 y ＝sin(－3x ＋4π)是减函数 12.解：由⎪⎩⎪⎨⎧≠-〉-01tan 0)32cos(x x π 得－12π＋k π＜x ＜4π＋k π或4π＋k π＜x ＜125π＋k π(k ∈Z ) ∴函数1tan )32cos(lg --=x x y π的定义域为： (－12π＋k π，4π＋k π)∪(4π＋k π，125π＋k π)，k ∈Z 13.解：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x (x ∈R )＝1＋sin2x ＋2cos 2x ＝2＋sin2x ＋cos2x＝2＋2sin(2x ＋4π) (1)周期T ＝22π＝π (2)当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π，k ∈Z 即－83π＋k π≤x ≤8π＋k π时，原函数为增函数 ∴函数在［－83π＋k π，8π＋k π］上是增函数 (3)图象可以由函数y ＝2sin2x ，x ∈R 的图象向左平行移动8π个单位长度，再向上平行移动2个单位长度而得到14.证明：由sin β＝ｍsin(2α＋β)得sin ［(α＋β)－α］=ｍ²sin ［(α＋β)＋α］即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝ｍ［sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α］＝(1－ｍ)²sin(α＋β)cos α＝(1+ｍ)²cos(α＋β)sin α∵ｍ≠1，α≠2πk ，α＋β≠2π＋k π(k ∈Z ) ∴tan(α＋β)＝mm -+11tan α评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，此证法是观察到结论中的角构造：β＝(α＋β)－α；2α＋β＝(α＋β)＋α，证明时有的放矢，顺利完成证明.。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本册教材的第一课时，主要介绍锐角三角函数的定义及概念。
本节课内容是学生对初中数学中三角函数知识的初步接触，对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义和应用，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过实例讲解，让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和概念；2.能够运用锐角三角函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义和概念；2.教学难点：如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如测量身高、角度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和概念，让学生了解锐角三角函数的基本性质。
通过示例，让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一个生活实例，运用锐角三角函数进行解决。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（5分钟）选取一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了生活中的实例，还有哪些领域会用到锐角三角函数？让学生了解锐角三角函数在实际应用中的广泛性。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确所学知识的重难点。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。
通过本节课的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握各函数的定义及性质，并能运用其解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但锐角三角函数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过实例来理解抽象的锐角三角函数概念，并通过大量的练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
2.过程与方法：通过实例分析，引导学生运用锐角三角函数解决实际问题。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及其性质。
2.难点：正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念，引导学生理解其应用。
2.讲授法：讲解锐角三角函数的定义及性质，引导学生进行思考。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，巩固所学知识。
4.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义及性质。
2.实例材料：准备相关的生活实例，用于引入锐角三角函数的概念。
3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑工人测量高度、航海员测定方向等，引导学生思考如何利用三角函数解决问题。
通过实例引入锐角三角函数的概念。
2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。
利用课件展示各函数的图像，帮助学生理解其性质。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实践操作，运用锐角三角函数解决实际问题。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节内容主要介绍了锐角三角函数的定义及求法，通过对特殊直角三角形的观察，让学生理解正弦、余弦、正切函数的概念，并掌握它们的基本性质。
这部分内容是初中数学的重要知识，对于学生来说，既是基础又是难点，需要教师耐心引导，让学生通过实践操作，逐步理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但锐角三角函数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要教师关注学生的认知水平，通过生动形象的举例和实际操作，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的求法及基本性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的观察能力、动手能力、逻辑思维能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义及求法，正弦、余弦、正切函数的基本性质。
2.难点：对锐角三角函数概念的理解，以及函数性质的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际操作，让学生在情境中感受和理解锐角三角函数。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、讨论，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论和实践操作，培养学生的合作能力和团队精神。
六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、多媒体设备等。
2.教学素材：相关的生活实例、图片、练习题等。
3.课前调查：了解学生对锐角三角函数的预习情况，为课堂教学提供依据。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的直角三角形实例，如建筑工人测高度、运动员投篮等，引导学生思考：如何利用直角三角形来求解未知角度的值？从而引出锐角三角函数的概念。
浙教版数学九年级下册1.2《锐角三角函数的计算》教学设计1一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.2《锐角三角函数的计算》是本节课的主要内容。
本节课主要让学生掌握锐角三角函数的定义和计算方法，以及能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长关系，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过例题和练习题让学生掌握计算方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念，对直角三角形的性质有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义和计算方法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过引导和讲解，让学生理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和计算方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义和计算方法。
2.如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解和引导，让学生理解和掌握锐角三角函数的知识。
2.例题讲解法：通过例题，让学生掌握锐角三角函数的计算方法。
3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
4.问题解决法：通过解决实际问题，让学生运用锐角三角函数的知识。
六. 教学准备1.教材和教辅资料。
2.直尺、三角板等教具。
3.投影仪和幻灯片。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角函数的基本概念，引导学生回顾已学的知识。
然后，提出本节课的主题：“锐角三角函数的计算”，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）利用投影仪展示教材中的定义和例题，讲解锐角三角函数的定义和计算方法。
通过例题，让学生理解并掌握如何计算锐角三角函数的值。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和解答问题。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题，并给予鼓励和表扬。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生运用所学知识解决实际问题，如测量物体的高度等。
●现代课堂教学设计实例课题：1.1锐角三角函数一、教学设计说明本课时为初中数学第六册第一章《解直角三角形》第一课时，在学习了直角三角形的三边关系和两锐角之间的关系之后，学习边角之间的关系，为进一步解决直角三角形的有关问题作好准备.教学设计在以“目标——策略——评价”为主线安排教学进程的同时，也安排了以“活动——体验——表现”这一新进程.具体表现在：设置问题情景、产生认知冲突、探索解决方法、猜测与验证等活动与体验，学生在亲历认知过程中学习知识、提高能力、完善人格.二、教学分析1、教学内容分析学习三角函数的定义，根据三角函数的定义：解决直角三角形边角之间的关系；推导互余两角三角函数间的关系和同角三角函数之间的基本恒等关系；确定锐角三角函数的取值范围.2、学习者分析初始能力：学生已学过直角三角形的性质定理及其逆定理，因此能根据勾股定理解决三边（指边长，下同）之间的关系；根据性质定理“直角三角形300角所对直角边等于斜边的一半”及其逆定理，在含有300角的直角三角形中已知任何一边，能结合方程．．．．．求其它两边，但不能根据三角函数．．．．直接求其它两边，而当角度为任意值时，更无能力求其它边.认知能力：学习者具有函数的概念，接受新函数定义的能力；能根据三角函数的定义，用直角三角形中的已知量（指边和角）表示未知量；在发生认知冲突时，有学习新知识的欲望；在正确的引导下，有观察、分析、猜测的能力和验证的能力.三、确定教学目标1、通过观察直角三角形中边的比与锐角之间的函数关系，定义锐角三角函数.2、会根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中已知两边求某锐角的四个三角函数值.3、通过对实例观察，找出直角三角形中两锐角三角函数之间的关系，并能用定义说明.4、在对练习不同结果的分析中，猜测同角三角函数之间的一些简单的恒等关系，锐角三角函数的取值范围，并能用定义验证.在过程中学习知识，体验探索和成功的快乐.四、教学策略设计1、创设情境策略（1）问题解决中认知冲突导入新课：在直角三角形中，通过对问题的求解，复习直角三角形的性质定理及其逆定理；在提出新问题后，产生认知冲突，明确学习方向和激发学习兴趣.（2）确定探究目标引出新概念：探究影响“锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比等”四个比值的因素，引出三角函数的定义.（3）例题教学巩固知识创设新情境：通过已知两边求二锐角的四个三角函数值巩固所学知识；观察二个锐角四个三角函数值，期望能得到互余两角三角函数之间的关系.（4）练习教学使认知向纵深发展：在直角三角形中，用一直角边及一锐角，表示另一直角边.通过对不同结果的分析，期望能猜测同一三角函数之间的关系，用三角函数的定义证明一些简单的恒等式.2、学习资源设计（1）自主获取学习资源策略：复习探究学习新概念，例题练习巩固新知识.（2）协作获取学习资源策略：解决学习中相互冲突，猜测验证使认识深化.3、练习和形成性评价设计（略）五、教学过程 一、问题情境导入 1、 提出问题，由学生解答：如图，△ABC 中，∠C=900.（1）若∠A=300，AC=32，则AB=__________.（2）若BC=3，AC=3，则∠A=_________. 2、 学生解答后分析： 第（1）题：由已知可知，AB=2BC ，因此可以建立方程解答，求得AB= 4. 第（2）题：由勾股定理AB=32，观察得AB=2BC ，求得∠A=300. 3、 提出新问题：（1）能否根据∠A 、AC 、AB 三者关系直接求AB ？若∠A ≠300，为任意角度时，能否求AB ？（2）能否根据BC 、AC 值直接求∠A ？若AB ≠2BC 时，能否求∠A ？4、 确定探究目标：要解决以上问题，需要探究直角三角形边角之间的关系.二、三角函数定义教学 1、 探究目标1：如图，P 为∠AOB 终边上任意一点,PM ⊥OA 于M. 探究影响比值“op pm 、op om 、om pm 、pm om ”的因素. 2、 结合学生分析：在OB 上再任意取一点P ’，作P ’M ’⊥OA 于M ’. 由于△OMP ∽△OM ’P ’，得：'''''''''''m p om pm om om m p om pm op om op om op m p op pm ====，即以上四个比值大小由α大小唯一确定，当α一定时，四个比值为定值，四个比值与α之间存在某种函数关系. 3、 定义三角函数 op pm 叫做α的正弦，记做sin α=op pm .同样定义α的余弦，记作cos α=op om ，α的正切，记作tan α=om pm ，α的余切，记作cot α=pm om .以及中文表达. 三、例题练习与探究例题1：如图，在△ABC 中，∠C=900，AB=5，AC=3， 求∠A 的四个三角函数值. 师生共同完成后，请一同学说出∠B 的四个三角函数值. 练习1：如上图中，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，AC=2，BC=3， 求：（1）sinB ，sinA ； （2）tanA ，cotB.（巩固定义） ABC O A BP M P ’ M ’ A B C探究目标2：观察例1中，∠A、∠B四个三角函数值之间有什么关系？学生观察后与教师一起小结：当∠A+∠B=900时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotB=tanA.三、例题练习与探究练习2：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，已知BC=a，∠A，求AB、AC.根据学生练习，AC的值可能会出现三个结果：AC=acotA，AC=Aatan，AAaAABAC cossincos==.探究目标3：是有同学做错了，还是AC会有三个答案或者说三个答案事实上是一个答案？如果是一个答案，那么sinA、cosA、tanA和cotA之间又有什么关系？期望同学们通过验证后，得到这是同一个答案，并能找出它们之间的恒等关系：tanA·cotA=1，sin2A+cos2A=1，AAAsincoscot=，AAAcossintan=.（前二个很重要）练习3：已知锐角α，由sinα=31，求cosα、tanα、cotα.期望会出现用三角函数定义和同角三角函数的恒等关系两种方法求解.练习4：已知α为锐角，则=-aa cossin21_____，=+-1sin2sin2aa_____.设计分析：由于=-aa cossin21|sina-cosa|，=+-1sin2sin2aa|sina-1|，在巩固恒等关系同时，为了去掉绝对值，需判断绝对值符号内的正负，在认知上产生冲突，引出探究目标4.探究目标4：当α为锐角时，sina与cosa究竟哪个大？sina比1大还是小？教师引导学生从三角函数定义去判断.易得0<sina<1，0<cosa<1.而sina与cosa 的大小留到课外去探究.四、小结1、运用勾股定理及三角函数定义可解决直角三角形中各元素之间关系；2、三角函数的定义是证明锐角三角函数之间关系的最基本的依据；3、观察分析、猜测验证是学习知识的根本途径.六、教学反思与评价恒等式的应用在简化解题的同时，也淡化了三角函数定义的巩固，开始学习时宜适当控制.教学评价部分略.。
