构造判断矩阵的讲解

AHP判断矩阵的排序度转换比例构造法张科;王斌会【摘要】AHP的判断矩阵常用1-9标度等方法进行构造,但这些标度构造法中采用的标度是对重要性大概的测度,无法准确地反映各指标的重要性程度,而且这些标度法受其标度的限制,在使用时对指标数也有一定的限制,同时也无法准确体现各指标之间存在的传递关系,所以构造出的判断矩阵会产生偏差,对评判结果产生影响.本文引入排序度的概念,对各指标进行排序度的转换,获取各指标的相对重要性度量,结合比例标度法,构造出完全一致的判断矩阵,该矩阵无需检验其是否具有满意的一致性,通过该矩阵得到的各权重也能很好地反映各指标的重要性程度.【期刊名称】《科技管理研究》【年(卷),期】2010(030)014【总页数】3页(P269-271)【关键词】AHP;判断矩阵;排序度;一致性【作者】张科;王斌会【作者单位】暨南大学经济学院,广东广州,510632;暨南大学经济学院,广东广州,510632【正文语种】中文【中图分类】O223层次分析法(The Analytic Hierarchy Process，简记AHP)是美国著名的运筹学加T.L .Satty等人在20世纪70年代提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。

AHP方法将人的主观判断为主的定性分析进行量化，用数值来表示各个指标或是备选方案的差异，供决策者参考。

AHP方法除了指标体系的设定外，判断矩阵的构造是其至关重要的一步。

在层次分析法中，由专家或是决策者对指标或是方案进行比较构建出的判断矩阵一般不具有完全的一致性。

T.L.Satty提出用随机一致性比率CR=CI/RI<0.1这个标准来判断该矩阵具有满意的一致性。

但是，平均一致性指标RI是使用随机的方法构造出来的，用RI作为标准，进行一致性检验，缺乏足够的依据。

同时，用0.1作为一致性检验的临界值也是粗略的，很难说是什么客观的标准[4]。

近年来，在判断矩阵的构造上，有两方面的研究成果，一方面是对判断矩阵进行修正，这种方法就是对不具备满意一致性的判断矩阵进行矫正，使其具备满意的一致性。

层次分析法确定评价指标权重的Excel实现展开全文层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Satty提出，是一种将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量分析的决策方法。

在医疗质控工作中，常和德尔菲法、百分权重法结合，用于确定评价指标的权重。

本节内容简述应用层次分析法确定评价指标权重的基本原理和Excel实现。

基本原理1.构造判断矩阵由专家对同一层次内n个指标的相对重要性（两两因素之间）进行打分。

相对重要性的比例标度取1-9之间：构建判断矩阵A（正交矩阵），用aij表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果：2. 计算权重将矩阵A的各行向量进行几何平均（方根法），然后进行归一化，即得到各评价指标权重和特征向量W：3.一致性检验计算最大特征根λmax：计算一致性指标CI（Consistency Index）、随机一致性指标RI （Random Index）和一致性比例CR（Consistency Ratio）：一般情况下，当CR＜0.1时，即认为矩阵具有满意的一致性，否则需要对判断矩阵进行调整。

Excel操作步骤现某课题构建患者安全评价指标体系，将一级指标拟定为3项：“结构安全”、“过程安全”、“结果安全”，通过专家咨询得到的判断矩阵如下：设计层次分析法计算过程的Excel表格如下：各列键入公式：按行相乘：F3=PRODUCT(C3:E3)，下拉至F5。

开n次方：G3=POWER(F3,1/3)，下拉至G5；G6=SUM(G3:G5)。

权重wi：H3=G3/G$6，下拉至H5。

AWi：I3=C3*H$3+D3*H$4+E3*H$5，下拉至I5。

AWi/wi：J3=I3/H3，下拉至J5；J6=AVERAGE(J3:J5)。

CI：K3=(J6-3)/2。

CR：L3=K3/0.5149得到结果：可见CR=0.037＜0.01，认为矩阵具有满意的一致性。

2 层次分析法美国著名学者Saaty在上世纪70年代提出一种定量与定性、主观与客观结合的系统层次性的数学分析方法，即层次分析法（AHP）。

算法的核心是权重的计算。

特别适用于多目标问题、复杂系统的决策问题，是将问题转化成定量研究的有力数学方法。

其特点是思路简单、层次分明，使用范围广等，如今层次分析法已经广泛应用与各个领域用于解决实际问题。

层次分析法的过程主要分为三个过程。

即1、建立层次结构，2、构造判断矩阵，3、层次排序与一致性检验。

计算流程图如下图1所示。

Step-1层次结构的建立在层次分析法中一般层次结构有三大层，1、目标层（S），即解决问题的最终目标或者f），即完成问题的要求和准侧，准则层可以是一层也可最终想要的结果。

2、准侧层（mp)，即解决该问题所有的方法。

计算方案层中不同方案权重并且进以是多层。

3、方案层(n行排序，确定最佳的方案.通常实际问题中选取权重最大的方案作为最佳方案。

层次结构的图形如图2.Step-2 构造判断矩阵在层次结构中假设下一层中有n 个因素()n C C C C ,,21=对上一层中的目标或准则造成影响，所有因素进行两两比较，将比较结果一量化值表示，例如去j i C C ,进行重要性比较结构用ij a 表示，那么所有的因素进行比较之后可以得到判断矩阵A 。

其表示如下。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ij i i j j a a a a a a a a a A 212222111211其中，ij a 的值分别有1~9尺度的数字及其倒数表示，Saaty 研究后认为用1~9尺度表示比较的结构，在心理学上符合人们的判断能力。

数字分别表示的含义如下表一。

表 1~9 尺度的意义尺度 表示的意义1 两个因素对于目标同等重要 3 前一个因素比后一个因素稍微重要 5 前一个因素比后一个因素重要 7 前一个因素比后一个因素比较重要 9 前一个因素比后一个因素及其重要 偶数 表示重要性在两个奇数之间 倒数表示因素正反比较的顺序。

构造判断矩阵的讲解层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于处理决策问题的定量方法。

它通过将问题分解为一系列相互关联的准则和备选方案，并使用判断矩阵来定量评估它们之间的相对重要程度，从而帮助决策者进行决策。

一、构造判断矩阵的基本思想判断矩阵是用于量化准则和备选方案之间相对重要程度的工具。

构造判断矩阵的基本思想是通过比较两个元素之间的重要程度，将其转化为一个数值。

这个数值被称为重要性权重。

二、判断矩阵的构建过程1.确定准则和备选方案：首先，需要明确决策问题的准则和备选方案。

准则是衡量备选方案优劣的标准，备选方案是实施决策的可行选择。

2.构建层次结构：将准则和备选方案按照层次结构组织起来。

层次结构由若干层次组成，最顶层是目标层次，下一层是准则层次，最底层是备选方案层次。

3.定义判断矩阵：对于每一对元素，决策者根据其重要程度来填写判断矩阵的元素。

判断矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是准则或备选方案的个数。

4.判断矩阵的填写：对于准则层次的判断矩阵，决策者评价不同准则之间的相对重要程度，从1到9进行评分，其中1表示两个准则同等重要，9表示一个准则远远重要于另一个准则。

对于备选方案层次的判断矩阵，决策者评价不同备选方案之间的相对重要程度。

5.判断矩阵的一致性检验：进行一致性检验是为了保证判断矩阵的可靠性。

通过计算判断矩阵的最大特征值和一致性指标，确定判断矩阵是否通过一致性检验。

三、判断矩阵的数学原理判断矩阵是根据相对重要程度进行填写的。

根据AHP的原理，假设第i个准则对于第j个准则的相对重要程度为A(i,j)，那么相对重要程度满足以下两个条件：1.A(i,j)=1/A(j,i)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则i的重要程度互为倒数。

2.A(i,j)×A(j,k)=A(i,k)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则k的重要程度的乘积等于准则i相对于准则k的重要程度。

供给商的选择一、层次分析法根本原理供给商的选择多采用层次分析法。

层次分析法〔Analytia1 Hierarchy Process，简称AHP〕是美国匹兹堡大学教授A．L．Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。

AHP是一种能将定性分析与定量分析相结合的系统分析方法。

AHP是分析多目标、多准那么的复杂大系统的有力工具。

它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分析的决策问题，便于普及推广，可成为人们工作和生活中思考问题、解决问题的一种方法。

将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。

应用AHP解决问题的思路是：首先, 把要解决的问题分层系列化, 即根据问题的性质和要到达的目标，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。

然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。

最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层〔方案层〕相对于最高层〔总目标〕的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择决策方案的依据。

现举例来说明层次分析法的根本原理。

假定有n个物体, 它们的重量分别为 W1、W2、……，Wn，并且假定它们的重量和为1个单位，即。

两两比拟它们之间的重量很容易得出判断矩阵：显然 aij＝1/ aji , aii＝1aij＝aik/ ajk ; i,j,k=1,2,…,n用重量向量W＝[W1,W2,……，Wn]右乘A矩阵，其结果为从上式不难看出，以ｎ个物体重量为分量的向量Ｗ是判断矩阵的特征向量。

根据矩阵理论，ｎ为上述矩阵A的唯一非零的，同时也是最大的特征值，而W是该特征值所对应的特征向量。

上面的例子显示，如果有一组物体需要估算它们的相对重量，而又没有称重仪器，那么可以通过两两比拟这组物体相对重量的方法，得出每对物体的重量比值，从而形成判断矩阵，通过求解判断矩阵的最大特征值和所对应的特征向量，就可以计算出这组物体的相对重量。

二、AHP 求解层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是一种定量与定性相结合的多目标决策分析法，将决策者的经验给予量化，这在对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据的情况下较为实用。

（一）、建立递阶层次结构目标层：最优生鲜农产品流通模式。

准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。

方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。

。

图3—1 递阶层次结构（二）、构造判断(成对比较)矩阵所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。

为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表3—1.目标层：准则层：方案层：表3—1 标度值为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：（三）、层次单排序及其一致性检验层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。

对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。

W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。

a，则λ比n 大的越多，A 的不一致性越严重。

用最大特征值对由于λ连续的依赖于ij应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。

因而可以用λ―n数值的大小来衡量 A 的不一致程度。

用一致性指标进行检验：max 1nCI n λ-=-。

其中max λ是比较矩阵的最大特征值，n 是比较矩阵的阶数。

层次分析法原理及计算过程详解写在前面：层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。

由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。

网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。

文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。

注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵目录：1.层次分析法概论1.2什么是决策1.3 决策分析法原理2.层次分析法的基本步骤2.1 层次分析法步骤2.2 建立层次结构模型2.3 构造判断矩阵2.4 计算单层权向量并做一致性检验2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验2.6 层次分析法基本步骤归纳3. 层次分析法的优缺点3.1 层次分析法的优点4.注意事项5.可应用的领域6. 完整例子分析6.1 旅游问题6.2 干部选择问题1.层次分析法概论1.1 什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。

它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

是对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。

层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。

是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。

该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

层次分析法实施的步骤概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于解决复杂决策问题的数学模型和方法。

它通过层次化的结构来分析问题，并对各个因素进行权重的判断和排序，最终得出最佳的决策结果。

在实施AHP时，按照以下步骤进行操作。

步骤一：明确问题及目标在实施AHP之前，首先需要明确解决的问题以及所需达到的目标。

这个步骤是决策过程的起点，只有明确了问题和目标，才能有效地进行后续的分析和判断。

步骤二：建立层次结构在明确了问题和目标后，接下来需要建立问题的层次结构。

层次结构是将问题划分为一系列具有层次关系的因素和子因素，形成一个树状结构。

这样做的目的是为了明确问题的结构和因素之间的依赖关系，便于后续的分析和权重判断。

步骤三：构造判断矩阵判断矩阵是AHP的核心工具，用于判断不同因素和子因素之间的相对重要性。

在这一步骤中，需要对每个因素和子因素进行两两比较，根据相对重要性进行评分。

为了进行比较，需要设置一个评分标准，通常使用1到9的数字表示相对重要性，其中1表示相对重要性相等，9表示相对重要性极高。

根据个人对比较的感觉，对每个因素和子因素进行配对比较，填写判断矩阵。

步骤四：计算权重向量在构造判断矩阵后，需要对判断矩阵进行计算，得出每个因素和子因素的权重。

一般使用特征向量法来计算权重向量。

首先，将判断矩阵的每一列进行归一化处理，然后计算归一化后矩阵的特征向量。

特征向量的计算可以使用特征值法或一致性指标法。

最后，得出的特征向量即为权重向量。

步骤五：一致性检验在计算权重向量后，需要进行一致性检验。

一致性检验是判断所构造的判断矩阵是否满足一致性要求的过程。

如果一致性比率超过一定阈值，则需要调整判断矩阵，重新进行计算。

一般情况下，可以计算判断矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR。

如果CR 小于0.1，则判断矩阵通过一致性检验，可以继续进行后续的分析和决策。

步骤六：综合判断和决策在计算了权重向量并通过一致性检验后，可以将得到的权重向量应用于问题的层次结构中。

8.3.2 层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP 进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。

这些层次大体上可分为3 类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。

这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。

为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 个，若多于9 个时，可将该层次再划分为若干子层。

例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1 所示的层次结构模型。

图8.1再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图 6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP 所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。

然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。

如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。

有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。

层次之间可以建立子层次。

子层次从属于主层次的某个因素。

它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。