第三讲基于判断矩阵的集结分析方法

《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。

要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。

二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。

2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。

（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。

（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。

构造判断矩阵的讲解层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于处理决策问题的定量方法。

它通过将问题分解为一系列相互关联的准则和备选方案，并使用判断矩阵来定量评估它们之间的相对重要程度，从而帮助决策者进行决策。

一、构造判断矩阵的基本思想判断矩阵是用于量化准则和备选方案之间相对重要程度的工具。

构造判断矩阵的基本思想是通过比较两个元素之间的重要程度，将其转化为一个数值。

这个数值被称为重要性权重。

二、判断矩阵的构建过程1.确定准则和备选方案：首先，需要明确决策问题的准则和备选方案。

准则是衡量备选方案优劣的标准，备选方案是实施决策的可行选择。

2.构建层次结构：将准则和备选方案按照层次结构组织起来。

层次结构由若干层次组成，最顶层是目标层次，下一层是准则层次，最底层是备选方案层次。

3.定义判断矩阵：对于每一对元素，决策者根据其重要程度来填写判断矩阵的元素。

判断矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是准则或备选方案的个数。

4.判断矩阵的填写：对于准则层次的判断矩阵，决策者评价不同准则之间的相对重要程度，从1到9进行评分，其中1表示两个准则同等重要，9表示一个准则远远重要于另一个准则。

对于备选方案层次的判断矩阵，决策者评价不同备选方案之间的相对重要程度。

5.判断矩阵的一致性检验：进行一致性检验是为了保证判断矩阵的可靠性。

通过计算判断矩阵的最大特征值和一致性指标，确定判断矩阵是否通过一致性检验。

三、判断矩阵的数学原理判断矩阵是根据相对重要程度进行填写的。

根据AHP的原理，假设第i个准则对于第j个准则的相对重要程度为A(i,j)，那么相对重要程度满足以下两个条件：1.A(i,j)=1/A(j,i)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则i的重要程度互为倒数。

2.A(i,j)×A(j,k)=A(i,k)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则k的重要程度的乘积等于准则i相对于准则k的重要程度。

非结构化指标判断矩阵的构造 对于非结构指标，一般是组成专家组，对评判对象进行比较，构造判断矩阵。

如果专家只是对评判对象在某一准则下进行排序，可以按照下面的计算方法，进行判断矩阵的构造。

首先计算每个因素的平均排序值 i x 。

然后确定平均排序的最小间隔n m ，N x x m i i n })min{}(max{---=（在九分位比率表中相对比较的差别只有8个，因此可以取8=N ）；最后确定判断矩阵的ij a 值，ij a = j i x x =()1N 1ij+， 如果用上述方法构造的判断矩阵不满足一致性，可以通过改变ij N 来实现其一致性。

确定ij N 还可以用以下方法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎤⎢⎢⎡-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=21mod 21mod n j i n j i n j i n j i ij m x x m x x m x x m x x N这样，就可以把不完全统一的编号顺序转化为一个判断矩阵。

如果专家直接给出了判断矩阵，而每位专家的判断矩阵又不完全相同，则需要进一步计算整理。

如果所有专家判断取值ij a 都相同，则保持不变，ijij a a '=。

否则，引入系统判断容异率y ∆（指系统允许在对某一确定事物做出判断时，持有不同观点判断者最小比例的限制值）。

当此比例小于y ∆时，认为此判断是一个误判断或是极偏判断，在计算中不予以考虑。

例如，有N 个人组成的专家组，对事件A 的判断产生了K 种观点，其中持第i 种观点的判断者人数为i n ，对于第i 种观点的最小差异比例为i ∆，max n n i i =∆（}max{,,2,1m ax n n n n ⋯⋯=）。

对K 种观点，都进行差异比例的计算。

当y i ∆≤∆时，就将第i 种观点排除，同时在N 个人中排除i n 个人，计为K '、N '。

然后，再对K '种观点下的ij a 进行加权平均，按下式计算最终的ija '。

第三讲 渐近理论初步（Basic elements of asymptotic theory ）在计量经济学研究中，对总体参数的推断、估计和检验是通过一个样本来进行的，而样本统计量如何随着样本发生改变也是我们所感兴趣的问题，特别是所构造的参数估计量是否会随着样本容量趋向无穷大而收敛于总体参数。

在前面的讲述中，我们讨论了OLS 估计量的有限样本特性，或称小样本特性，并证明了OLS 估计量具有无偏性、有效性，是总体参数的最佳线性无偏估计量，同时还证明了估计量服从精确的分布，并据以进行统计推断。

不过这些结论在满足经典假设条件下导出，而这些假设常常在实际中很难满足。

我们寻求样本容量趋于无穷大情况，估计量的统计特性及其渐近分布。

这就是本讲中要考虑的问题。

欲了解现代计量经济理论，首先要学习一些统计渐近理论，更进一步就是要对概率极限理论有一定的理解。

前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫和格涅坚科曾如是说：“概率论的认识论价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义。

”简单可以将概率极限定理分成三种类型：（1）弱大数定律（WLLN ）、（2）强大数定律（SLLN ）、（3）中心极限定律（CLT ）。

计量经济学中的渐近理论内容非常广博，我们只在本讲中介绍其最基本的一些内容。

对于想深入了解渐近理论的同学推荐阅读White （2003）和Davidson （1994）的经典著作。

1四种随机收敛的概念及性质1.1依概率收敛（convergence in probability ）（1）定义对于随机变量序列 ,,,,21n X X X ，如果存在X 满足：0>∀ε，0}{lim =<-∞→εX X P n n就称序列},2,1,{ =n X n 依概率收敛于X 。

记作：X X Pn →，或X X P n n =∞→lim 。

我们将X 称为序列},2,1,{ =n X n 的概率极限。

层次分析法判断矩阵层次分析法判断矩阵程序先确定判断矩阵；然后用以下程序就好了：%层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(输入判断矩阵);% 在屏幕显示这句话A=input(A=);% 从屏幕接收判断矩阵[n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y 的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x 第二列中最大的值赋给m的第二个分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值while k>p% 当k>p是执行循环体i=i+1;% i 自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予aw=y(:,i)/a;% y的第i 列除以at=m(i);% m的第i个分量赋给tdisp(权向量:);disp(w);% 显示权向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准CR=CI/RI(n);% 计算一致性if CR摘要在定性问题的决策中，ＡＨＰ是一种优秀的方法，其基础是对评价对象的两两比较，并用比较结果构造判断矩阵，而这些都依赖于决策者选用的偏好关系。

(完整版)矩阵收敛性判断方法总结1. 引言矩阵收敛性判断方法是在数值计算和优化算法中常用的一种技术。

通过判断矩阵是否收敛，可以避免算法迭代过程中出现不稳定或发散的情况，从而提高计算的准确性和效率。

本文将结合实际应用，总结几种常用的矩阵收敛性判断方法。

2. Jacobi判断法Jacobi判断法是通过计算矩阵的特征值来判断其收敛性。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行特征值分解，得到特征值λ1，λ2，...，λn；2. 比较所有特征值的绝对值与1的大小关系，如果所有特征值的绝对值都小于1，则矩阵A收敛；否则，矩阵A不收敛。

Jacobi判断法的优点是计算简单，但由于需要计算特征值，对于大规模的矩阵计算会比较耗时。

3. Gershgorin圆盘判断法Gershgorin圆盘判断法是通过计算矩阵的主对角元素和非主对角元素的和来判断其收敛性。

具体步骤如下：1. 对矩阵A，计算每一行的主对角元素和非主对角元素的和，得到n个圆盘，每个圆盘的圆心为主对角元素，半径为非主对角元素的和；2. 判断n个圆盘是否包含数值1，如果都不包含，则矩阵A收敛；否则，矩阵A不收敛。

Gershgorin圆盘判断法的优点是计算简单快速，适用于大规模矩阵判断。

4. 逐元素比较法逐元素比较法是通过计算矩阵每个元素的绝对值之和与各行对应元素绝对值之和的比较来判断矩阵的收敛性。

具体步骤如下：1. 对矩阵A，计算每行所有元素的绝对值之和，得到n个行和；2. 计算矩阵A的所有元素的绝对值之和；3. 逐行比较每个元素的绝对值之和与对应的行和，如果所有行和都小于总和，则矩阵A收敛；否则，矩阵A不收敛。

逐元素比较法的优点是计算简单，但对于维数较高的矩阵，可能会因为计算总和比较复杂而影响判断效率。

5. 结论本文总结了几种常用的矩阵收敛性判断方法，包括Jacobi判断法、Gershgorin圆盘判断法和逐元素比较法。

这些方法在实际应用中都有其优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的方法进行矩阵收敛性判断，以提高计算的准确性和效率。

判断矩阵总结知识点归纳一、判断矩阵的定义1.1 判断矩阵的概念判断矩阵是指一个n 阶的实数矩阵，其满足以下两个条件：1）对角线元素全是正数；2）非对角线上的元素则可以是正、负或者零。

1.2 判断矩阵的表示设A是n 阶正定矩阵，则这个矩阵也可以表示为一个n 阶的判断矩阵。

其表示为：A=(a_ij) , i,j=1,2,…,n其中，a_ij是第i行第j列元素。

1.3 判断矩阵的性质（1）对角线元素全是正数；（2）非对角线上的元素可以是正、负或者零；（3）判断矩阵是一个实对称阵；（4）判断矩阵的特征值都是正的。

二、判断矩阵的应用2.1 计算机视觉判断矩阵在计算机视觉领域中有着广泛的应用，特别是在图像处理和模式识别方面。

通过判断矩阵的特征值和特征向量，可以对图像进行分析和处理，从而实现图像的识别和特征提取等功能。

2.2 机器学习机器学习算法中常常需要对数据进行分类和预测，在这个过程中，判断矩阵可以用来对数据进行特征选择，降维处理以及数据的降噪等操作，从而提高机器学习模型的效果和性能。

2.3 控制理论在控制理论中，判断矩阵可以用来表示系统的稳定性和性能指标，通过对系统的判断矩阵进行分析和计算，可以得出系统的稳定性以及控制器的设计方案。

2.4 优化算法在优化算法中，判断矩阵可以用来表示问题的约束条件和目标函数，通过对判断矩阵进行分析和求解，可以得出问题的最优解和最优方案。

三、判断矩阵的求解方法3.1 特征值分解对于一个判断矩阵，可以通过特征值分解的方法来求解其特征值和特征向量，从而对矩阵进行分析和处理。

3.2 SVD分解奇异值分解是一种特殊的特征值分解方法，可以对任意的矩阵进行分解，对于判断矩阵也可以采用这种方法进行求解。

3.3 Cholesky 分解Cholesky 分解是一种特殊的矩阵分解方法，可以将对称正定矩阵分解为一个上三角矩阵和其转置矩阵的乘积，从而可以对判断矩阵进行求解和分析。

四、判断矩阵的实际案例分析4.1 图像处理对于一幅图像，可以将其表示为一个判断矩阵，通过对判断矩阵进行特征分解，可以得到图像的主要特征和结构信息，从而可以对图像进行处理和分析。

多个专家评分的判断矩阵（实用版）目录1.判断矩阵的定义和作用2.多个专家评分的判断矩阵的构建方法3.判断矩阵在实际应用中的优缺点4.我国在多个专家评分判断矩阵方面的研究进展和实践案例正文一、判断矩阵的定义和作用判断矩阵，又称为权重矩阵，是一种用于表示专家对不同项目或方案的评价和优先级排序的数学工具。

它是由一组专家对项目或方案的评分数据构成的矩阵，通过计算矩阵中元素的加权平均值，可以得到各个项目或方案的综合评分，从而为决策者提供参考依据。

在多个专家参与的评分过程中，判断矩阵能够综合各专家的意见，提高评价的准确性和客观性。

二、多个专家评分的判断矩阵的构建方法构建多个专家评分的判断矩阵一般包括以下几个步骤：1.确定评价对象：根据评价的目的，选择需要评价的项目或方案。

2.选择评价指标：根据评价对象的特点，确定评价的指标体系，以便专家进行评分。

3.邀请专家：邀请具有一定专业知识和经验的专家参与评价。

4.专家评分：专家根据评价指标体系对评价对象进行评分，形成评分数据。

5.构建判断矩阵：根据专家评分数据，构建判断矩阵。

通常采用层次分析法、德尔菲法等方法，对专家评分进行加权平均，形成判断矩阵。

三、判断矩阵在实际应用中的优缺点判断矩阵在实际应用中具有以下优点：1.提高评价的准确性：通过多个专家的评分，可以减少单一专家评价的主观性和片面性，提高评价的准确性。

2.提高评价的客观性：判断矩阵的构建采用数学方法，可以减少评价过程中的人为干扰，提高评价的客观性。

3.方便决策：判断矩阵可以直观地展示各个项目或方案的评价结果，便于决策者进行决策。

然而，判断矩阵也存在一定的缺点：1.专家选择困难：在选择专家时，需要具备一定的专业知识和经验，否则评价结果可能不准确。

2.专家评分主观性强：虽然采用多个专家评分，但仍然可能存在专家评分的主观性，影响评价结果的准确性。

3.判断矩阵构建方法复杂：判断矩阵的构建需要采用一定的数学方法，对操作者要求较高。

判断矩阵法——⼀个设计权重的好⽅法SPM权重，也称权数或加权系数，它体现了各项指标的相对重要程度。

例如，我们评价项⽬经理，会认为⼀个优秀的项⽬经理，要业务能⼒强，项⽬执⾏结果好，团队领导⼒强，专业经验丰富等等。

这些都是指标，但是，其中哪⼀个指标对项⽬经理最重要？这就需要权重了！在多指标评价中，权重的确定是⼀个相当重要的基本步骤。

因为，权重将体现决策者的引导意图和价值观念如果说，指标是领导⼈⼿指的⽅向，那么，权重就是领导⼈认为到达这个⽅向的最佳路径，今天，在实践中常⽤的⽅法仍是依据管理者⾃⾝的实践经验和主观判断来确定权重。

尽管，为了弱化主观随意性带来的偏差，企业管理者会选择德尔菲法改进权重设定的⽅法，但遗憾的是，权重分配的难度和⼯作量随指标数量的增多⽽增⼤，却总是难以获得满意的结果。

基于层次分析法建⽴的判断矩阵，采⽤了成对⽐较的数量化标度⽅法，使其很⽅便地确定不同因素相对重要性的权值。

>>>>为什么这个⽅法更科学？在我们设计指标时，最头疼的就是：这么多指标，哪个最重要？判断矩阵的好处就是：你不再需要判断“谁最重要”你只需要判断“A和B谁更重要”把绝对判断转化成相对判断，难度降低，准确性却增⾼了因此，今天，笔者将给⼤家隆重介绍⼀下判断矩阵法。

>>>>先来点理论！层次分析法（The Analytic Hierarchy Process，简称AHP），是美国匹兹堡⼤学数学系教授、著名运筹学家萨迪（T.L.Saaty）于70年代中期提出来的⼀种定性、定量相结合的、系统化、层次化的分析⽅法。

⽽判断矩阵是层次分析法的基本信息，是进⾏相对重要度计算，进⾏层次单排序的依据。

通过在两两⽐较中获得量化评价，从⽽导出各因素相对于某⼀属性的排序。

基本原理现有m个指标，通过打分或问卷调查等形式获得各指标相应的分值，分别计为，就可以得到⼀个判断矩阵A。

通过对判断矩阵A的计算分析，进⽽可以求得其特征向量以及特征值，特征向量即表⽰各指标对上⼀层⽬标的权重。