湖北省武汉二中高一数学下期期中考试试卷

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则“”是“”的（ ）11(,)a x y =22(,)b x y =1212x x y y =//a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.【详解】若，则，即，1212x x y y =12210x y x y -=//a b当，即时，满足，而无意义，0b =120y y ==//a b 1212x x y y =所以“”是“”的充分不必要条件.1212x x y y =//a b故选：A2．如图，是水平放置的△OAB 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴O A B '''△x 'y '平行），则△OAB 的面积为（ ）A ．B ．C ．24D ．48【答案】D【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，求解面积即可.【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，其面积为.1616482⨯⨯=故选：D.3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩()sin f x x=π3短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ）12()g x ()g x =A ．B ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()πsin 23x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πsin 26x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，()sin f x x =π3πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12的图象.()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴.()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B.4．已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ）αβx 2450x x -+=αβαβ+=+A B ．C D ．【答案】A【分析】解得的虚根，代入求解即可.2450x x -+=αβαβ++【详解】由，，2450x x -+=()2441540∆=--⨯⨯=-<∴方程的两个虚根为，或，，2450x x -+=2i α==+2i β==-2i α=-2i β=+不妨取，2i α=+2i β=-==∴αβαβ+==+故选：A.5，则（ ）θ=sin cosθθ⋅=A ．B ．C ．D ．1313-2323-【答案】B【分析】先由二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，再求解即可.【详解】，，θ=cos θθ=，cos θθ=∴，cos sin cos θθθθ+=两边同时平方，得，()222cos 2sin cos sin 3sin cos θθθθθθ++=∴，∴，()23sin cos 2sin cos 10θθθθ--=()()0sin cos 13sin cos 1θθθθ+=-解得或，sin cos 1θθ=1sin cos 3θθ=-又，πcos cos sin 4θθθθθ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭∴，.sin cos 1θθ≠1sin cos 3θθ=-故选：B.6．如图，在正三棱柱中，M 为棱的中点，N 为棱上靠近点C 的一个三等分点，111ABC A B C -1AA 1CC若记正三棱柱的体积为V ，则四棱锥的体积为（ ）111ABC A B C -B AMNC -A ．B ．512518V C ．D ．524V 536【答案】B 【分析】设，取AC 的中点D ，可得BD ⊥平面，分别计算四棱锥1,AB a AA b==11ACC A 的体积与正三棱柱的体积，即可得解.B AMNC -111ABC A B C -【详解】正三棱柱中，设，111ABC A B C -1,AB a AA b ==取AC 的中点D ，连接BD ，则BD ⊥AC ，BD ，，212ABC S a =⨯=正三棱柱的体积111ABC A B C -1ABC V S AA =⨯= 平面ABC ，BD 平面ABC ，则BD ，1AA ⊥⊂1AA ⊥又BD ⊥AC ，，平面，则BD ⊥平面，1AA AC A= 1,AA AC ⊂11ACC A 11ACC A ，111523212AMNC abS b b a ⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭则四棱锥的体积．B AMNC -1153312581B AMNCAMNC V ab V S BD -=⨯⨯=⨯==故选：B ．7．在ABC 中，Q 是边AB 上一定点，满足，且对于边AB 上任意一点P ，恒有14QB AB =，则（ ）PB PC QB QC ⋅≥⋅A ．B ．90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒C ．D ．AB AC =AC BC=【答案】D【分析】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．由可得PB PC QB QC ⋅≥⋅，即可判断各选项正误.QD AB ⊥【详解】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．故，()()()()22PB PC PD DB PD DC PD DB PD DB PD DB⋅=+⋅+=+⋅-=- ()()()()22QB QC QD DB QD DC QD DB QD DB QD DB⋅=+⋅+=+⋅-=- 由，得，因点到直线垂线段最短，可知.PB PC QB QC ⋅≥⋅22PD QD≥ QD AB ⊥A 选项，因，则，则 ，故A 错误；QD AB ⊥90o DQB ∠=o 90ABC ∠<B 选项，由题目条件，无法判断大小，故B 错误；BAC ∠CD 选项，因，E 为AB 中点，则Q 为EB 中点，结合D 为BC 中点，可知，14QB AB =DQ CE ，又E 为AB 中点，则，又由题目条件不能判断AB ,AC 关系，故C 错误，D 正CE AB ⊥AC BC =确.故选：D8．如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，若π3A =，则m =（ ）cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=A ．BCD ．112【答案】C【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，AB即可求的值.m 【详解】对于式子，两边同乘，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += AB 可得，cos cos 2sin sin B C AB AB AC AB mAO AB mAB AB C B ⋅+⋅=⋅=⋅即，22cos cos cos sin sin B Cc bc A mc C B +⋅=由正弦定理化简可得，22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B CC B C A m CC B +⋅=由，两边同时除以得，sin 0C ≠sin C cos cos cos sin B A C m C+=∴()cos cos cos cos cos cos sin sin A C A CB AC m C C-+++==cos cos sin sin cos cos πsin sin sin 3A C A C A C A C -++====故选：C ．二、多选题9．在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项n 式在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则()f x n ω3=1x =（ ）2++1ωωA ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AD 【分析】分解因式，求解的值，分别代入计算.()()321110x x x x -=-++=w 【详解】解：因为，所以，即，所以或.即31x =310x -=()()2110x x x -++=1x =x =或1w =w =当时，；1w =213w w ++=当.w =210w w ++=故选：AD10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若，则sin sin A B >a b>B ．若，则△ABC 为等腰三角形sin2sin2A B =C ．若，，，则符合条件的三角形有2个30B =︒b =2c =D ．若△ABC 的面积，则)222S b c a =+-π3A =【答案】ACD【分析】对于A ：利用正弦定理直接判断；对于B ：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C ：由即可判断；对于D ：由条件及余弦定理，π2A B +=A B =sin c B b c <<三角形面积公式可得即可判断．tan A =A 【详解】对于A ：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径），ABC 2sin sin a bRA B ==R ABC 因为，即，所以，故A 正确；sin sin A B >22a bR R >a b >对于B ：因为，即，sin 2sin 2A B =sin[()()]sin[()()]A B A B A B A B ++-=+--展开整理得，又，cos()sin()0A B A B +-=0π,ππA B A B <+<-<-<所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B 错误；π2A B +=A B =ABC对于C ：因为，，所以，所以，30B =︒b =2c =1sin 212c B =⨯=sin c B b c <<所以符合条件的三角形有两个，故C 正确；对于D ：三角形面积且，)222S b c a =+-222cos 2b c a A bc +-=12cos sin 2bc A bc A ⋅=因为，所以，故，故D 正确．0πA <<cos 0A ≠tan A =π3A =故选：ACD ．11．一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方a b a b ⨯ sin a b a b θ⨯=⋅ 向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结a bOACB O A C B '-'''论正确的是（ ）A ．12OABS OA OB =⨯△B ．当时，0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭tan OA OB OA OB AOB ⨯=⋅∠C ．若，，则2OA OB ==2OA OB ⋅= OA ⨯ D ．平行六面体的体积OACB O A C B '-'''()V OO OA OB'=⋅⨯ 【答案】ABD【分析】根据 的定义以及数量积的几何意义逐项分析.a b ⨯【详解】对于A ，，而，故1sin 2ABOS OA OB AOB =∠ △sin OA OB OA OB AOB ⨯=∠，正确；12ABO S OA OB=⨯△对于B ，，当，有意义cos OA OB OA OB AOB⋅=∠0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭tan AOB ∠则，正确；tan sin OA OB AOB OA OB AOB OA OB⋅∠=⨯∠=对于C ，，，，，，错误；2OA OB == 2OA OB ⋅= 1cos 2AOB ∠=sin AOB ∠=OA OB ⨯= 对于D ，的模长即为平行六面体底面OABC 的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何OA OB ⨯意义可知，就是在垂直于底面OABC 的方向上的投影向量的模长（即为高）乘()OO OA OB'⋅⨯OO ' 以底面的面积，即为体积，正确；故选：ABD ．12．已知平面向量，，满足，且，下列结论可能正确的是（ ）a b c 2,1a c == 1a b b c -=-=A ．向量，的夹角为B ．向量，共线a bπ6a cC ．D ．12b =54b c ⋅=【答案】ABD【分析】设，，，如图，不妨设，圆C 方程是，动点A OA a = OB b = OC c = ()1,0C 22(1)1x y -+=在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足．当1AB =A ；当A 的坐标为时，可判断B ；由，得，又由OB =()2,0AB OB OA +≥1OB ≥图易知，即，可判断C ；设，则，由及，可2OB ≤12b ≤≤ (,)B x y b c x ⋅= 12b ≤≤22(1)1x y -+=得，可判断D ．122x ≤≤【详解】由题意，，设，，，2,a = 1c = 1a b b c -=-= OA a = OB b = OC c = 如图，不妨设，圆C 方程是．()1,0C 22(1)1x y -+=动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足，1AB =对于A ，当时，△OAB 为直角三角形，此时，即向量，的夹角为，故A OB =30AOB ∠=︒a bπ6正确；对于B ，当A 的坐标为时，向量，共线，故B 正确；()2,0a c对于C ，当B 在圆C 上运动时，由，得，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取AB OB OA+≥1OB ≥等号，又由图易知，即，故C 错误；2OB ≤12b ≤≤ 对于D ，设，则，(,)B x y ()(),1,0b c x y x⋅=⋅=由得，又，则，即．12b ≤≤ 2212x y ≤≤+22(1)1x y -+=122x ≤≤122x ≤≤∴，故D 正确．1,22b c ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ 故选：ABD.三、填空题13．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的360︒复数为______（用代数形式表示）．【答案】-【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.【详解】复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为360︒.()()cos 33060isin 33060=︒-︒+︒-︒=-⎤⎦故答案为：.-14．如图，在三棱锥中，，，过点A作截-P ABC 8PA PBPC ===40APB APC BPC ∠=∠=∠=︒面，分别交侧棱PB ，PC 于E ，F 两点，则△AEF 周长的最小值为______．【答案】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小PA -P ABC AA 'AEF △值，在中，由余弦定理能求出的值．PAA '△AA '【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：PA -P ABC则即为的周长的最小值，AA 'AEF △在中，，，PAA '△340120APA '∠=⨯︒=︒8PA A P '==由余弦定理得：．AA '=故答案为：15．在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，ABC ∆A B C a b c cos C =，则的外接圆面积为__________．cos cos 2b A a B +=ABC ∆【答案】9π【分析】根据正弦定理得到，再根据得到答案.()1sin sin A B C R +==cos C =1sin 3C =【详解】由正弦定理知：，cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=即，，，()1sin sin A B C R +==cos C 1sin 3C =即.故.3R =29S R ππ==故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的ABC 顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．ABC 1P AB ()PA PB PC ⋅+【答案】52【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设C P 点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.P 【详解】由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，AB C 1以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由C BC x C BC y 已知，，，12A ⎛- ⎝()1,0B -()0,0C 由任意角的三角函数的定义，设，，()cos ,sin P θθ2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，1cos sin 2PA θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()1cos ,sin PB θθ=--- ()cos ,sin PC θθ=-- ∴，()12cos ,2sin PB PC θθ+=--- ∴()()()1cos 12cos sin 2sin 2PA PB PC θθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭-⋅+-⎭---2212cos 2cos 2sin 2θθθθ=+++52θθ⎫=⎪⎪⎭令，则， cos ϕ=sinϕ=()()52PA PB PC θϕ=+⋅++ 当时，，πθφ+=πθϕ=-，()2π1cos cos πcos cos 32θϕϕ=-=-=<=-()2πsin sin πsin sin 3θϕϕ=-==<=∴存在，使，即，2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πθφ+=()cos 1θϕ+=-∴当时，的最小值为()cos 1θϕ+=-()PA PB PC ⋅+()52PA PB PC ⋅+= 故答案为：52四、解答题17．在复平面内，复数对应的点为，i 为虚数单位，且______．1z 1Z 从条件①；②为关于x 的方程的一个根，且点位于第一象限；220231(1i)3i 1i z +++=-1z 2250x x -+=1Z ③，其中．选择一个填在横线上，并完成下列问题．（注：若选择)1cos i sin 1z θθ=+⋅-π4θ=多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求；1z (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z 与之间距离的取值范围．121z z -=1z 1z 1Z 【答案】(2)1⎤-+⎦【分析】（1）条件①，利用复数的运算及模的定义求解即可；条件②，由实系数一元二次方程的解法及模的定义求解即可；条件③，利用复数的运算及模的定义求解即可；（2）解法1：设，可得，因此曲线是复平面内以圆心，半径i z a b =+22(2)(4)1a b -++=()02,4Z -为1的圆，结合圆的性质求解即可；解法2：由题意可得，因此曲线是复平面内以()24i 1z --=圆心，半径为1的圆，设，则，可求得()02,4Z -()cos 2,sin 4Z θθ+-()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+- .【详解】（1）条件①：，()()()()2202313i 1i (1i)3i 2i 3i 24i 12i 1i 1i 1i 1i2z ++++++-+=====+---+所以．11z =+条件②：由得，，，所以，2250x x -+=2(1)4x -=-12ix -=±12i x =±又点位于第一象限，所以，所以1Z 112z i =+11z =+条件③：因为，所以，π4θ=)1cos i sin 1112i z θθ⎫=+⋅-=-=+⎪⎪⎭所以．11z =+（2）解法1：设，，i z a b =+,R a b ∈由（1）可得，，，112i z =-()11,2Z ()()1224i z z a b -=-++由可得，，121z z -=22(2)(4)1a b -++=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()02,4Z -故与0Z 1Z =所以Z 与，1Z 1-1+故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦解法2：由（1）可得，，112i z =-()11,2Z 曲线，即，121z z -=()24i 1z --=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()02,4Z -设，，则，()cos 2,sin 4Z θθ+-[)0,2θ∈π()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+-，==tan 6ϕ=所以，11Z Z ⎤∈+⎦故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦18．已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求函数在上的值域；()f x ()f x []1,0x ∈-(2)求方程在区间内的所有实数根之和．()12f x =-[]0,4【答案】(1)，；()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡-⎣(2)263【分析】（1）由图得，并求解出周期为，从而得，由点在的图象上，2A =2T =πω=1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 可得，从而求解得，即可得；由求得ππ2π62k ϕ+=+π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-的值域；π1sin π3x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x （2）作出函数与的图象，可得两个函数在有4个交点，从而得有四()f x 12y =-[]0,4()12f x =-个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.【详解】（1）由图可知，，2A =212π436T ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭∴，∴，πω=()()2sin πf x x ϕ=+又点在的图象上，∴，1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，，即，，ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈π2π3k ϕ=+Z k ∈∵，∴，∴．π2ϕ<π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，所以，所以．[]1,0x ∈-π2πππ,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦1sin π3πx ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣故函数在上的值域为：．()f x []1,0x ∈-⎡-⎣（2）如图，作出函数与的图象，()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12y =-由图得在上的图象与直线有4个交点，()f x []0,412y =-则方程在上有4个实数根，()12f x =-[]0,4设这4个实数根分别为，且，1234,,,x x x x 1234x x x x <<<由，，得，，π3ππ2π32x k +=+Z k ∈726x k =+Z k ∈所以可知关于直线对称，∴，12,x x 76x =1273x x +=关于直线对称，∴，34,x x 196x =34193x x +=∴．1234263x x x x =+++19．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点OABC OA CB OA OC ⊥222OA BC OC ===M AB 的一个三等分点，为线段上的一个动点．B P BC(1)用和表示；OA OC OM (2)设，求的取值范围．OB CA OP λμ=+ λμ⋅【答案】(1)2233OM OA OC =+ (2)30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；23AM AB = O （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，12OB OC OA =+ OB CA OP λμ=+ ,OC OA根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.,λμ【详解】（1）依题意，，12CB OA = 23AM AB = ∴，()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA =-=+-=+-=- ∴21223333OM OA AM OA OC OA OA OC ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭ （2）由已知，12OB OC CB OC OA =+=+ 因是线段上动点，则令，P BC 102CP xOA x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ，()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++- 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，OC OA 1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩，1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤在上递增，()2111()24λμμμμ⋅=-=--31,2μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，，，，1μ=min ()0λμ⋅=32μ= max 3()4λμ⋅=故的取值范围是．λμ⋅30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB 为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M 点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达N 点．在M 点时测得A 点位于北偏西方向上，B 点位于北偏西方向上；在N 45︒15︒点时测得A 点位于北偏东方向上，B 点位于北偏东方向上，且在N 点时观测A 的仰角的正15︒45︒．设A 点在地表水平面上的正投影为，B 点在地表水平面上的正投影为，A 'B '，，M ，N 在地表水平面上的分布如图2所示．A 'B '(1)该山的高度为多少千米？(2)已知该山的下底面圆的半径为1.8km ，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？【答案】(1)0.4千米；(2)3.9π平方千米【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度；（2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可.【详解】（1）由题意可知，75B MN A NM ''∠=∠=︒45A MN B NM ''∠=∠=︒∴，在△A 'MN 中，由正弦定理60NA M ∠='︒sin sin MN A N NA M A MN'∠'='∠，660MN ==A N '=又∵N 点观测A ，，0.4AA '==所以，该山的高度为0.4千米．（2）设的外接圆为圆O ，'' A MB ∵，根据圆的性质，，，M ，N 四点共圆30A MB A NB ''''∠=∠=︒A 'B '在中，由正弦定理，圆O 直径为，A MN '△6sin MN NA M '=∠在中，由正弦定理，'' A MB 6sin 3A B A MB ''''=∠=延长与圆台交于C 点，A B ''由题意下底面圆半径为1.8km ，圆台的母线长BC 可在直角中由勾股定理得为0.5．BB C '△圆台的侧面积，()233ππ 1.5 1.80.5km 20⋅+⋅=圆台的上底面面积，229ππ1.5km 4⋅=所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．3.9π21．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．sin sin sin sin a A b B c C A +=+(1)求角C 的大小；(2)若，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．2c =【答案】(1)；π4(2)【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；222a b c +-=（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，21CD =a A =，所以2cos 2sin b B A A ==+π4sin 24ab A ⎛⎫=-+⎪⎝⎭求得的范围，即可得出答案.ab 【详解】（1）已知，sin sin sin sin aA bB cC A +=+由正弦定理可得，即，222a b c +=222a b c+-=所以222cos 2a b c C ab +-===因为，所以．()0,πC ∈π4C =（2）由余弦定理可得，222222cos 4c a b ab C a b =+-=+=又，()12CD CA CB =+ 则，()()222222111π22cos 4444CD CA CB CA CB CA CB a b ab ⎛⎫=+=++⋅=++ ⎪⎝⎭()1414=+=由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===所以，，a A=3π2cos 2sin 4b B A A A ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭所以，21cos2cos 2A ab A A A A -=+=+4sin 24πA ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由题意得，解得，则，π023ππ042A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ42A <<ππ3π2,444A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，所以，sin 24πA ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(4ab∈+所以，所以中线CD 长的取值范围为．(25,3CD ∈+ 22．如图，已知△ABC 为等边三角形，点G 是△ABC 内一点．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设，，且，．AD AB λ= AE AC μ= 0λ≠0μ≠(1)若，求；2155AG AB AC =+ GAB ABC S S △△(2)若点G 是△ABC 的重心，设△ADE 的周长为，△ABC 的周长为．1c 2c （i ）求的值；11λμ+（ii ）设，记，求的值域．t λμ=()12c ft t c =-()f t 【答案】(1)；15(2)（i ）3；（ii ）．29⎡⎢⎣【分析】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，由AF mAG = 255m m AF AB AC =+B ，F ，C 三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得53m =13BF BC = 53AF AG = FAB ABC S S △△GAB FAB S S △△出结果.（2）（i ）由题意得，，又D ，G ，E 三点共线，所()12AF AB AC =+ 211333AG AF AD AE λμ==+ 以，即可得解；（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，在△ADE 中，由余弦11133λμ+=AD λ=AE μ=定理得化简DE =12c c =113λμ+=，所以的范围及二次函数的性质求解12c c =t λμ=()f t =t 即可得出的值域.()f t 【详解】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，AF mAG = 255m m AF AB AC =+ 又B ，F ，C 三点共线，所以，，2155m m +=53m =故，即，2133AF AB AC =+ 3311AF AB AC AB =-- 则有，所以，13BF BC = 13FAB ABCS BF S BC ==△△又，所以，所以.53AF AG =35GAB FAB S AG S AF ==△△15GAB ABC S S =△△（2）（i ）连接AG 并延长，交BC 于点F ，因为G 为重心，所以F 为BC 中点，所以，()12AF AB AC =+ 所以()22111111332333AG AF AB AC AD AE AD AE λμλμ⎛⎫==⨯+=+=+ ⎪⎝⎭ 又D ，G ，E 三点共线，所以，则．11133λμ+=113λμ+=（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，（）AD λ=AE μ=(],0,1λμ∈在△ADE 中，，222222cos60DE AD AE AD AE λμλμ=+-⨯⨯︒=+-所以DE =123c AD AE DE c ++==因为，，1133λμλμλμ+=⇒+=2222()29()2λμλμλμλμλμ+=+-=-所以，12c c==因为，所以t λμ=()f t t ===因为，，所以，，又，则有，01λ<≤01μ<≤11λ≥11μ≥1132λμ=-≤112λ≤≤因为，所以，31λμλ=-22211313113924λλμλλλλ===-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭因为，，所以的最小值为，最大值为，112λ≤≤213992244λ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭λμ4912所以，单调递增，则，41,92t λμ⎡⎤=∈⎢⎣⎦211636t ⎪⎝⎭-⎛⎫-241118163612t ⎛⎫-- ⎝≤⎪≤⎭所以，即的值域为．()29f t ⎡∈⎢⎣()f t 29⎡⎢⎣。

湖北省武汉市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 3 题；共 6 分)1. （2 分） 已知 且， 则“ ”是 “ ”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2 分） 为了得到函数 y= sin3x 的图象，可以将函数 y= sin（3x+ ）的图象（ ）A . 向右平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向左平移 个单位3. （2 分） (2015 高三上·临川期末) 已知函数 y=sin（ωx+ 函数图象关于 x 轴对称，则 ω 的最小正值为（ ））向右平移个单位后，所得的图象与原A.1B.2C. D.3二、 填空题 (共 13 题；共 14 分)第1页共8页4. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 方程的解集为________.5. （1 分） (2019 高三上·上海期中) 函数 的最小正周期是________．6. （1 分） (2016 高一下·肇庆期末) 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周 四而一”的算法与现代数学的算法一致．如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20 步，径长（两段半径的和） 24 步，则该扇形田的面积为________平方米．7. （1 分） (2018 高一下·抚顺期末) 三角形 ABC 是锐角三角形，若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A－cosB，cos A－sin B)，则＋＋的值是________.8. （1 分） (2018 高三上·吉林月考) 设 为第二象限角,若,则________9. （1 分） 已知 tanα=2，则=________10. （1 分） (2016 高一上·辽宁期中) 已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）=x2+2x（x≥0），若 f（3 ﹣a2）＞f（2a），则实数 a 的取值范围是________11. （1 分） (2017·南通模拟) 已知角 α，β 满足 的值为________= ，若 sin（α+β）= ，则 sin（α﹣β）12. （1 分） (2016 高一下·随州期末) 在△ABC 中．若 b=5，13. （1 分） (2018 高一上·海安月考) 已知函数则函数的值域为________．，sinA= ，则 a=________．在区间上的最大值等于 8，14. （1 分） (2016 高二上·福州期中) 在△ABC 中，，则角 B=________．15. （1 分） (2019 高三上·建平期中) 已知二次函数满足，则称的取值范围是________为函数的一个“近似整零点”，若（ ） ，若存在，有四个不同的“近似整零点”，则16. （2 分） (2017 高二下·河北期末) 已知函数满足，若，，使得第2页共8页， 成立，则，实数 ， 的最大值为（ ）A.4B.C. D.3三、 解答题 (共 5 题；共 60 分)17. （10 分） (2018·枣庄模拟) 设。

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．|sin |y x =cos y x =tan y x=cos2xy =【答案】A【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；|sin |y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭|sin |sin y x x ==最小正周期为，在区间上单调递减；cos y x =2π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭最小正周期为，在区间上单调递增；tan y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭最小正周期为，在区间上单调递减；cos2xy =4π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则判断．【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y ′轴，故选：C.3．根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）A ．不相交的直线是平行直线B ．经过两条平行直线有且只有一个平面C ．不共线的三点确定一个平面D ．棱台的各侧棱延长后必交于一点【答案】A【分析】利用空间直线的位置关系判断A ；利用平面基本事实判断BC ；利用棱台的定义判断D 作答.【详解】对于A ，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A 错误；对于B ，两条平行直线确定一个平面，B 正确；对于C ，不共线的三点确定一个平面，C 正确；对于D ，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D 正确.故选：A4．在中，若非零向量与满足，，则为（ ）ABC ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭0AB AC ⋅= ABC A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．底边和腰不相等的等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合导出，再判0AB AC ⋅=||||AB AC = 断三角形形状作答.【详解】由，得，0AB AC ⋅= AB AC ⊥于是，则，)||||||||0(()||(||AB AC AB ACBC AC AB AC AB AB AC AB AC +==+⋅⋅--=||||AB AC = 所以是等腰直角三角形，B 正确，ACD 错误.ABC 故选：B5．设，，）22cos 12sin 12a =︒-︒22tan121tan 12b ︒=-︒c =A ．B ．C ．D ．c b a <<<<b caa c b<<b a c<<【答案】A【分析】根据三角恒等变换结合三角函数分析运算即可.【详解】因为，由题意可得：，02430︒<︒<︒22cos 12sin 12cos 24cos30a =︒-︒=︒>︒=，22tan12tan 24tan 301tan 12b ︒==︒<︒=-︒，1sin 24sin 302c ===︒<︒=则可得，,b a c a <<又因为，则，即，0cos 241<︒<sin 24sin 24sin 24tan 241cos 24︒︒︒=<=︒︒c b <所以.c b a <<故选：A.6．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm ，较短边为5cm ，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A ，B ，C 都在圆周上，角A ，B ，C 分别对应a ，b ，c ，满足.若，且，则（ ）cm c =28cm ABC S =△a c >A ．B．△ABC 周长为3sin 5C=12cm +C ．△ABC 周长为D ．圆形木板的半径为15cm+cm【答案】B【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可.【详解】对于D ：由题意可得：圆形木板的直径，2R ==即半径，故D错误；R =对于A ：由正弦定理，可得，故A 错误；2sin c RC =4sin 25c C R ==对于B 、C ：由题意可得：，解得，114sin 8225ABC S ab C ab ==⨯⨯=△20ab =因为，则，可知为锐角，可得，a c >A C >C 3cos 5C =余弦定理，即，()222222cos 22a b ab c a b c C ab ab +--+-==()240803540a b +--=解得，所以△ABC 周长为，故B 正确，C 错误；12a b +=12cm +故选：B.7．已知，且，则( )11131tan 1tan 22αα-=--+02πα-≤≤22sin sin 2cos()4ααπα+=-A B CD【答案】D【分析】把题设条件中的三角函数式通分后可得的值，再利用三角变换化简所求三角函数式tan α为，由同角三角函数的基本关系式可求其值．α【详解】因为，故即．11131tan1tan22αα-=--+22tan1231tan 2αα=--1tan 3α=-又，22sin sin 2cos 4αααπα+==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，，所以，故选D ．1tan 3α=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin α=22sin sin 2cos 4ααπα+=⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.8．已知，若的任意一条对称轴与轴的交点横坐标都不属1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈()f x x 于区间，则的取值范围是(2,3)ππωA ．B ．3111119[,][,812812⋃1553(,[,41284 C ．D ．37711[,][,]812812 13917(,[,]44812⋃【答案】C【详解】因为，所以由，其对称())4f x x πω-())4f x x πω=-=42x k ππωπ-=+轴方程，由题设且，即13()()4x k k Z ππω=+∈13(2()4k k Z πππω+≤∈13()3()4k k Z πππω+≥∈且，也即且，解之得13()2()4k k Z ω+≤∈13()3()4k k Z ω+≥∈3()28k k Z ω≥+∈1()34k k Z ω≤+∈，应选答案C ．37711[,[,812812ω∈ 点睛：解答本题的关键是想将函数解析式进行化简，进而求出其对称轴的方程，然后依据题设条件建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解．值得注意的是：在两个不等式且3()28k k Z ω≥+∈中，的取值不要一致，即第一不等式中的取0，后一个不等式中的应取1．1()34k k Z ω≤+∈k k k 二、多选题9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）21i z =-i A B ．21iz z -=+C ．的共轭复数为D ．的虚部为1z 1i -+z 【答案】AD【分析】由除法运算把复数化为代数形式，然后根据复数的定义与运算法则计算并判断．【详解】解：由已知，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++====+--+，共轭复数为，的虚部为1．()221i 1i 1i 2i 1iz z -=+-+=+-=-1i -z 其中真命题为AD ．BC 为假命题．故选：AD ．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（）A ．函数的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数在上单调递减()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．该图象向右平移个单位可得的图象π62sin 2y x =D ．函数关于点对称()y f x =π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据图象求函数的解析式，再结合三角函数现在以及图象变换逐项分析判断.()f x 【详解】由图可得：，可得，πππ2,43124T A ==-=2ππT ω==且，解得，0ω>2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为的图象过点，即，()f x π,212⎛⎫⎪⎝⎭ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，则，可得，πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ2π,62k k ϕ+=+∈Z π2π,3k k ϕ=+∈Z且，则，π2ϕ<π0,3k ϕ==所以，故A 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，则，且在上不单调，2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦[]π2π,03x +∈-sin y x =[]π,0-所以函数在上不单调，故B 错误；()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦该图象向右平移个单位可得，π6πππ2sin 22sin 2663y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以该图象向右平移个单位可得的图象，故C 正确；π62sin 2y x =因为，所以函数关于点对称，故D 正确；πππ2sin 20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()y f x =π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.11．一个腰长为1的等腰直角三角形ABC 三边上分别取一个点P ，Q ，R ，使得三角形PQR 也是等腰直角三角形，则的值可能为（ ）PRQABC S S △△A ．B ．C ．D ．152731042023【答案】ABC【分析】根据给定条件，按等腰的直角顶点在的斜边和直角边上两类，利用正弦Rt △PQR Rt ABC △定理、辅助角公式及三角函数的性质求出的取值范围作答.PRQABC S S △△【详解】在中，，不妨令点在斜边上，点分别在上，Rt ABC △1AC BC ==R AB ,P Q ,AC BC 依题意，等腰的直角顶点为或者直角顶点在上，设，Rt △PQR R ,AC BC ,QR x CQP θ=∠=当等腰的直角顶点为时，如图，Rt △PQR R 由，得，πππ44PQC RQB RQB QRB ∠++∠=∠++∠=QRB θ∠=在中，由正弦定理得，，而，QRB πsin sin4QR QBθ=sin QB θ=cos cos CQ PQ θθ==由，当点与或重合时，1CQ QB CB +==cos sin 1θθ+=Q BC x =取或，等式成立，即，0θ=π2θ=π02θ≤≤因此，而，1π2sin()4x θ==+ππ3π444θ≤+≤πsin()14θ≤+≤则；12x ≤≤2221112[,14212PRQABC xS x S ==∈⨯ 当等腰的直角顶点在上时，由对称性知，不妨令为直角顶点，如图，Rt △PQR ,AC BC Q 在中，，由正弦定理得，QRB ππ,24BQR QRB θθ∠=-∠=+ππsin sin()44QR QBθ=+则，而，πsin()(sin cos )4QB x θθθ=+=+cos cos CQ PQ x θθ==由，得，当点与重合时，，取，即，1CQ QB CB +==(2cos sin )1x θθ+=Q C 1x =π2θ=π02θ<≤因此由12cos sin x θθ==+ϕsinϕϕ=当，即时，，π2θϕ+=sin cos sin θϕθϕ===sin()1θϕ+=min x =，，1x ≤≤222112[,1]1512PRQABCxS x S ==∈⨯ 综上得，显然选项A ，B ，C 满足，而，D 不满足.1[,1]5PRQABC S S ∈4120235<故选：ABC12．对于任意，，，两直线AD ，BE 相交于点O ，延长CO 交AB 于点ABC 2AE EC = 34BD DC=F ，则下列结论正确的是（ ）A ．381717CO CA CB=+B ．，0xOA yOB zOC ++= ::3:8:7x y z =C ．当，，时，则3BAC π∠=1AB =2AC=cos DOE ∠=D ．48231DEF ABC S S =【答案】ACD【分析】根据给定条件，取平面的一个基底，利用向量的线性运算结合平面向量基本定理{,}CA CB计算判断BC ；利用向量数量积及运算律计算判断C ；利用三角形面积公式计算判断D 作答.【详解】中，令，，，ABC ,,,,,R CA a CB b AO AD BO BE λμλμ====∈ 2AE EC = 34BD DC=，()CO CA AO a AD a CD CA λλ=+=+=+- 44(1)77a b a a bλλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，()CO CB BO b BE b CE CB μμ=+=+=+- 1(1)33b a b a b μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ 因为与不共线，则，解得，a b13417μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1417917λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，A 正确；381717CO a b=+ 对于B ，，3814817171717OA OC CA a b a a b=+=--+=- ，383917171717OB OC CB a b b a b=+=--+=-+ 则，143389801717x y z x y z xOA yOB zOC a b ---+-++=+= 因此，解得，，B 错误；143308980x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩1243x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩::3:8:6x y z =对于C ，依题意，，，,DOE AOB OA OB ∠=∠=〈〉 b AB AC =-，||b == ，221()21232a b CA CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+=，()2266(74)(3)71225289289OA OB a b a b a b a b ⋅=-⋅-+=--+⋅()266672123253289289=-⨯-⨯+⨯=，||OA ===||OB====，C正确；cos cos,OA OBDOE OA OBOA OB⋅∠=〈〉===对于D，，，38,,R1717t tCF tCO a b t u==+∈(1)(1)CF CA AF CA u AB u CA uCB u a ub=+=+=-+=-+于是，解得，则，381,1717t tu u=-=178,1111t u==||8||3AFBF=，1||||sin||||281621||||31133||||sin2AEFABCAE AF BACS AE AFS AC ABAB AC BAC∠==⋅=⨯=∠同理，||||339||||11777BFDABCS BF BDS AB BC=⋅=⨯=||||414||||7321CDEABCS CD CES BC AC=⋅=⨯=，D正确.1694481337721231ABC AEF BFD CDEDEFABC ABCS S S SSS S==-----=-故选：ACD【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．三、填空题13．已知是单位向量，，若A，B，D三点共线，则12,e e1212122,3,AB BC CDe e e e e eλ=+=-+=-实数__________．λ=【答案】5【分析】先由已知求出，再由A，B，D三点共线，可得，从而列方程组可求出的BDBD mAB=λ值【详解】解：由，得，12123,e e e eBC CDλ=-+=-12(1)2BD BC CD e eλ=+=-+因为A，B，D三点共线，所以令，即，BD mAB=1212(1)2(2)e e m e eλ-+=+所以，解得，122mmλ-=⎧⎨=⎩5λ=故答案为：514．函数的定义域为___________.()(2sin f x lg x =【答案】2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+Î【分析】函数有意义可得，然后解三角不等式即可求解.2sin 0x >【详解】函数有意义，()(2sin f x lg x =则，即，2sin 0x >sin x >所以，222,33k x k k Z ππππ+<<+∈所以函数的定义域为.2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+Î故答案为：2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+Î15．设点是外接圆的圆心，，且.则的值是___________.O ABC 3AB =4AO BC =-⋅sin sin B C 【答案】13【分析】取中点，，而，这样就可以用表示，BC D AO AD DO =+ 0DO BC ⋅= 4AO BC =-⋅,AC AB 求得，然后由正弦定理得结论．AC 【详解】设点是边的中点，则D BC ()()()()221122AO BC AD DO A BC AD BC AC AB A AC ABB C =⋅=⋅=+⋅-=+-⋅即，，，故.()21942AC -=- 21AC = 1AC =sin 1sin 3B AC C AB ==故答案为：．13【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理．解题关键是取中点，BC D 利用数量积的运算法则得，从而可求得边长．C AD BC AO B =⋅⋅ AC 16．浑仪，是中国古代的一种天文观测仪器，是以浑天说为理论基础制造的、由相应天球坐标系各基本圈的环规及瞄准器构成的古代天文测量天体的仪器，它的基本结构由重重的同心圆环构成，整体看起来像一个圆球.武汉外校某社团的同学根据浑仪运行原理制作了一个浑仪的模型：同心的小球半径为3，大球半径为R .现为提高浑仪的稳固性，该社团同学在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，为不影响浑仪的正常使用，小球能在框架内自由转动，则大球半径R 的最小值为______________.【答案】【分析】根据题设描述知小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球R 最小，结合正四面体的结构特征，确定球心位置及大小球半径，根据三角形相似列方程求R 最小值.【详解】由题意，小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证R最小，如上图，设正四面体的棱长为，为△中心，故面，a E BCD ⊥AE BCD 又面，则，且，CE ⊂BCD AE CE⊥23CE ==又小球半径，则OF ⊥AC ，大球半径，，3OF r ==OA R =AC a =易知：，故，即.AOF ACE △OA OFACCE=Ra=R =故答案为：四、解答题17．已知，.()4,3a =()3,0b = (1)当为何值时，与垂直；k ka b + 2a b +(2)当为何值时，与的夹角为锐角.k ka b + 2a b +【答案】(1)3049k =-(2)3011,,4922k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）求出向量与的坐标，分析可知，结合平面向量数量ka b + 2a b + ()()20ka b a b +⋅+= 积的坐标运算可求得实数的值；k （2）根据与的夹角为锐角可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.ka b + 2a b +k k 【详解】（1）解：因为，，则，()4,3a =()3,0b =()()()4,33,043,3ka b k k k +=+=+，()()()24,36,010,3a b +=+=因为与垂直，则，解得.ka b + 2a b + ()()()21043949300ka b a b k k k +⋅+=++=+= 3049k =-（2）解：因为与的夹角为锐角，则，ka b + 2a b +()()()24930030343ka b a b k k k ⎧+⋅+=+>⎪⎨≠+⎪⎩ 解得且，3049k >-12k ≠因此，当时，与的夹角为锐角.3011,,4922k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ka b + 2a b +18．已知函数()()222sin cos f x x x x =++-(1)求的对称轴方程；()f x (2)若，求函数的值域.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)ππ,212k x k =+∈Z (2)2⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）根据利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数对称性分析运()π4sin 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭算；（2）以为整体，结合正弦函数的性质即得.π23x +【详解】（1）由题意可得：()()()221cos 22sin cos 212sin cos 2xf x x x x x x +=++-=++-，π2sin 2224sin 223x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令，解得，ππ2π,32x k k +=+∈Zππ,212k x k =+∈Z 所以的对称轴方程为.()f x ππ,212k x k =+∈Z（2）因为，则，可得，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,πsin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以，()2f x ⎡⎤∈-⎣⎦故函数的值域为.()f x 2⎡⎤-⎣⎦19．（1）如图1，在直角梯形中，，，，，梯形ABCD //AB CD BC CD ⊥26CD AB ==45ADC ︒∠=绕着直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；（2）有一个封闭的正三棱柱容器，高为AB 12，内装水若干（如图2，底面处于水平状态），将容器放倒（如图3，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点F ，E ，，分别为所在棱的中点，求图2中水面的高度.1E 1F【答案】（1）；（2）9．(45π+【分析】（1）旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由圆柱与圆锥侧面，圆柱的一个底面构成旋转体的表面，由此可得表面积；（2）两个图形中水体积相等，一个是正三棱柱，一个直四棱柱，由柱体体积公式计算可得．【详解】（1）依题意，旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的.由，可知，26CD AB ===45ADC ∠︒3BC ==AD 其表面积圆柱侧面积+固锥侧面积+圆柱下底面积 S =223633πππ=⨯⨯+⨯⨯369(45πππ++=+（2）F ，E ，，分别为所在棱的中点，1E 1F AEF ABC∽.113,,244BCFE AEF BAC ABC S EF S BC S S === 梯形所以棱柱的体积梯形BCFE，1111BCFE B C F E -12V S=31294ABC ABCS S =⨯=△△设图2中棱柱水面的高度为h ，则，即水面高度为9.9,9ABC ABC S h S h ⨯== 【点睛】本题考查旋转体的概念，考查圆柱圆锥的侧面积公式，柱体的体积公式，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．20．如图，在平面四边形中，，，.ABCD π2BCD ∠=1AB =3π4ABC∠=(1)当的面积；BC =CD =ACD (2)当，时，求.π6ADC ∠=2AD =cos ACD ∠【答案】；(2).cos ACD ∠=【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.AC cos ACB ∠（2）在和中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.ABCACD 【详解】（1）当中，由余弦定理得，BC =ABC 2222cos AC AB BC AB BCABC =+-⋅∠即，解得23354AC π=-=AC =222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅因为，则π2BCD ∠=sin cos ACD ACB∠=∠=CD =所以的面积是.ACD 1sin 2ACD S AC CD ACD =⋅∠==（2）在中，由正弦定理得，即ABC sin sin AB AC ACB ABC =∠∠3sin4sin AB AC ACB π==∠在中，由正弦定理得，即，ACD sin sin AD AC ACD ADC =∠∠sin16sin sin AD AC ACD ACD π==∠∠，整理得，而，1sin ACD =∠sinACD ACD ∠=∠22sin cos 1ACD ACD ∠+∠=为锐角，ACD ∠所以.cos ACD ∠=21．（1）证明两角和的余弦公式：，并由推导两角和C αβ+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-C αβ+的正弦公式：：；S αβ+()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+（2）已知，，，求的值.π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,πβ∈()sin πα-=3sin 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2αβ-【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）利用单位圆结合平面向量数量积分析证明；（2）以为整体，结合三角恒等变换运算求解.,22αβα-【详解】（1）在标准单位圆上取点，不妨设，()()cos ,sin ,cos ,sin A B ααββαβ>则，()()(),cos ,sin ,cos ,sin ,cos cos ,sin sin AOB OA OB AB αβααβββαβα∠=-===--可得，221,cos cos sin sin OA OB OA OB αβαβ==⋅=+因为，cos OA OB OA OB AOB⋅=⋅∠可得，()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+则，()()()cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβ+=-+-=-即，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-则，πππcos cos cos sin sin 222αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得，即.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+（2）因为，则，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin πsin αα-==1cos 4α==且，则π0,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 22αα====又因为，则，()0,πβ∈ππ,222βα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭注意到，则，，3sin 025βα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭π0,22βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭4cos 52βα⎛⎫- ⎪==⎝⎭所以cos cos cos cos sin sin2222222αββαβαβαααα-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355==22．一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修ABC ∆()建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在CN 上，规划在小路MN 与AP .的交点O (O 与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，)A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，().费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米5万元，小路ON 段的建造费用为.每百米4万元．（Ⅰ）若拟修的小路AO 百米，求小路ON 段的建造费用；（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．AOM θ∠=cos θ【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO 段与ON 段的建造总费用最小为.4cos 5θ=12+【分析】（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.AOM ∆OM ON ON （Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令AOM ∆,AO OM ()54cos 12sin f θθθ-=，将其变形为，利用辅助角公式可得0054cos (3060)sin t θθθ-=<<sin +4cos =5t θθ，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.()5θϕ+=3t ≤【详解】（Ⅰ）在中，，AOM ∆2222cos120AO AM MO AM MO=+-⋅⋅ 即，221222(2OM OM =+-⋅⋅-2+2-3=0OM OM 故或（舎去），故，1=OM 3OM =-=1ON MN OM -=所以段的建筑费用为万元.ON 41=4⨯（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，AOM ∆0sin sin120sin(60)AMAO OM θθ==-02sin(60)sin OM θθ-= ，=2ON MN OM∴-==设小路和段的建造总费用为，AO ON ()f θ则，54cos ()=54412sin f AO ON θθθ-+==+令，且，，0054cos (3060)sin t θθθ-=<<0t >sin +4cos =5t θθ即.()5θϕ+=sin +θϕ（）由，故，即或（舍去）.sin +1（）θϕ≤1≤29t ≥3t ≥-3t ≤当时，，故，其中，min =3t 3sin +4cos =5θθsin+=1θϕ（）43sin =cos =55ϕϕ，故由，符合题意.41+cos cos()sin2252ππθϕθϕϕ⎛=⇒=-==∈ ⎝答：，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小为.4cos 5θ=12+【点睛】把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如cos sin cos sin a x b xy c x d x +=+得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的cos sin A x B x C +=C ≥y 最值.。

数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。

2023-2024学年湖北省部分区域高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知tan 5α=，则2sin 3cos 3sin 2cos αααα+=-（）A ．1713B ．1C ．35D ．713【正确答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．【详解】2sin 3cos 2tan 325313sin 2cos 3tan 2352αααααα++⨯+===--⨯-，故选：B ．2．设复数z 满足()1i 2z +=，则z =（）A ．2B ．1C D ．2【正确答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则1i z =+，故z =故选：C3．sin2023 最接近（）A ．B ．2C ．2D ．2【正确答案】B【分析】先利用诱导公式得到()sin 137sin2023=-︒︒，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.【详解】()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒，其中137-︒为第三象限角，且当α为第三象限角时，sin 0α<，其中()2sin 135sin 45-︒=-︒=-，又()2sin 120sin 60-︒=-︒=-，而135-︒较120-︒，离137-︒更近，综上，sin2023 最接近2-.故选：B4．关于向量a ，b，下列命题中，正确的是（）．A ．若a b = ，则a b=B ．若a b =- ，则//a bC ．若//a b ，//b c，则//a cr r D ．若a b > ，则a b> 【正确答案】B【分析】利用相等向量、向量的模及平行向量等概念，判断选项的正误即可.【详解】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A 错误；若a b =- ，得,a b 方向相反，则//a b，故B 正确；当0b = ，a 与c不一定平行，故C 错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 错误；故选：B ．5．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从A 点处开始带球沿正北方向行进16米到达B 处，再转向北偏东60°方向行进了24米到达C 处，然后起脚射门，则A ，C 两点的距离为（）A ．B ．米C ．32米D ．【正确答案】D【分析】作出示意图，利用余弦定理计算即可.【详解】如图，根据题意可知16,24,120AB BC ABC ︒==∠=.根据余弦定理可得：2222212cos120162421624()2AC AB BC AB BC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-，解得AC =米)故选：D6．已知向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b + 在a 方向上的投影向量为（）A ．aB ．bC ．2aD ．2b【正确答案】A【分析】根据向量的数量积运算，对a b a b +=- 两边同时平方得到0a b ⋅= ，再由投影向量的定义即可求解.【详解】由已知条件得：22a b a b +=- ，即0a b ⋅=，又a b + 在a方向上的投影向量为()()2cos ,a b a a a b a a a a b a b a a a a a a a+⋅+⋅⋅+<+>=⋅=⋅=，故选：A.7．已知π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．125-B ．725-C ．2425D ．725【正确答案】B【分析】根据三角函数诱导公式以及二倍角的余弦公式化简、求值，即可得答案.【详解】由于π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2ππππ167cos 2cos 2cos212sin 1233662525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B ．8．已知锐角ABC，AB =π3C =，则AB 边上的高的取值范围为（）A ．(]0,3B ．()0,3C ．(]2,3D ．()2,3【正确答案】C【分析】设AB 边上的高为h ，根据题意得ππ62A <<，再结合条件得π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再分析求值域即可.【详解】因为ABC 为锐角三角形，π3C =，设AB 边上的高为h ，所以π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<由正弦定理可得，4sin sin sin a b c A B C ===，所以4sin a A =，4sin b B =，因为11πsin 223S ch ab ==，所以2π14sin sin 4sin cos sin 322h A A AA A ⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为ππ62A <<，所以ππ5π2666A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，所以AB 边上的高的取值范围为(2,3].故选：C.二、多选题9．若复数20231i z =+（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（）A．z =B ．z 的虚部为-1C ．2z 为纯虚数D ．1iz =-【正确答案】ABC【分析】由i 的幂运算的周期性可求得1i z =-；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【详解】()5052023431i 1i i 1i z =+=+⋅=-，对于A ，z =A 正确；对于B ，由虚部定义知：z 的虚部为1-，B 正确；对于C ，()221i 2i z =-=-为纯虚数，C 正确；对于D ，由共轭复数定义知：1i z =+，D 错误.故选：ABC.10．已知函数()πsin 324f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为2π3B ．直线π12x =是()y f x =的一条对称轴C ．点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【正确答案】ABD【分析】根据三角函数的性质逐项分析.【详解】对于A ，3ω=，所以最小正周期2π3T =，A 正确；对于B ，将π12x =代入函数解析式得：ππππsin 32sin 2121242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π12x =是一条对称轴，B 正确；对于C ，因为()f x 可以看作是函数πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向上平移2个单位后的函数，所以对称中心的纵坐标不可能是0，C 错误；对于D ，当ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ3,π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而正弦函数sin y x =在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，D 正确.故选：ABD.11．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，则下列说法正确的是（）A ．π6C =B ．若ABC c 的最小值为2C ．若1a =，5π12B =，则ABC 的面积为38+D ．若3b =，c =ABC 有且仅有一个【正确答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得π3C =，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．【详解】∵()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，∴由正弦定理可得22()a a b c b -=-，即222a b c ab +-=，对于A 选项，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，∵0πC <<，∴π3C =，故A 错误；对于B选项，由题可知1sin 24ab C ab =4ab =，由余弦定理可得222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==，∴2c ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；对于C 选项，由题可知π4A =，由正弦定理得sin sin a c A C =，∴sin 2sin 22a C c A ==∴ABC的面积为115πππsin 1221246ac B =⨯=+3448==，故C 正确；对于D 选项，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2793a a =+-，2320a a -+=，解得1a =或2a =，故D 错误．故选：BC ．12．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（）A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++= C ．若()0AB AC k AD k AB AC AD +=> ，则BD 是AB 在BC 方向上的投影向量D ．若点P 是线段AD 上的动点，目BP BA BC λμ=+ ，则λμ的最大值为18【正确答案】BD【分析】对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确；对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C错误；对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD=+-，01t ≤≤，再根据已知得到12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111())2228t y t t lm -===--+，即可判断选项D 正确.【详解】如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误；对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确；对选项C ，||AB AB，||AC AC，||AD AD 分别表示平行于AB，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠的角平分线表示的向量.因为||||||AB AC k ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：所以BD 是BA 在BC的投影向量，故选项C 错误；对选项D，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD=+-，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC -=+.因为BP BA BC λμ=+ ，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t y t t lm -==´=--+，当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.三、填空题13．已知向量()1,3a = ，()1,2a b +=- ，则a b ⋅=_________．【正确答案】5-【分析】求出向量b的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得a b ⋅ 的值.【详解】因为()1,3a = ，()1,2a b +=- ，则()2,1b =-- ，因此，235a b ⋅=--=- .故答案为.5-14．若复数z 的虚部小于0，且21z =-，则()41z +=______．【正确答案】-4【分析】设i(,R z a b a b =+∈且0)b <，根据21z =-，求出,a b ，再根据复数的乘方运算即可得解.【详解】设i(,R z a b a b =+∈且0)b <，则()22222i 1i z a b a b ab =+=+=--，所以22120a b ab ⎧-=-⎨=⎩，则2210a b a ⎧-=-⎨=⎩或2210a b b ⎧-=-⎨=⎩（舍去），所以10b a =⎧⎨=⎩（舍去）或10b a =-⎧⎨=⎩，所以i z =-，()()()44211i 2i 4z +=-=-=-故4-15．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标保持不变），再向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[]0,πx ∈上的单调递减区间为______．【正确答案】π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据图象变换可得()πsin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再以π6x +为整体结合正弦函数的单调减区【详解】将函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标保持不变），得到πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，得到()πππsin sin 366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵[]0,πx ∈，则ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，令ππ7π662,x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，解得π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 在[]0,πx ∈上的单调递减区间为π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()2sin()f x x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，角ϕ的终边经过点(1,P ，且当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π3.若π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()2mf x m f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是_____________.【正确答案】13m ≥【分析】由ϕ的终边上的点可求出ϕ的值，再由题可得2π3T =，即可求出ω，可得()f x 解析式；根据π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得()f x 的范围，不等式化为()212m f x ≥-+，求出()212f x -+的最大值即可.【详解】（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ=又π02ϕ-<<，所以π3ϕ=-，因为当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π3，所以2π3T =，即2π2π3ω=，所以3ω=，可得()π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ3336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1sin 332x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()1f x ≤，所以()20f x +>，于是()()2mf x m f x +≥即为()()()2122f x m f x f x ≥=-++，由()1f x ≤≤，()223f x +≤，()22432f x ≤=++所以()213123f x --≤-≤+，得()212f x -+的最大值为13，所以实数m 的取值范围是13m ≥.故答案为.13m ≥四、解答题17．已知复数12i z =+，223i z =-.(1)计算12z z ⋅.(2)若5z =，且复数z 的实部为复数12z z -的虚部，求复数z .【正确答案】(1)74i -(2)43i z =+或43i z =-.【分析】（1）由复数的乘法运算法则，即可求解；（2）设i z a b =+，由5z =和124i z z -=，根据题意求得,a b 的值，即可求得复数z .【详解】（1）由题意，复数122,23i i z z =+=-，可得212(2i)(23i)46i 2i 3i 74iz z ⋅=+-=-+-⋅=-（2）设i(,R)z a b a b =+∈，因为5z =，所以2225a b +=，由复数12(2i)(23i)4i z z -=+--=，所以复数12z z -的虚部为4，又因为复数z 的实部为复数12z z -的虚部，所以4a =，又由2225a b +=，解得3b =±，所以43i z =+或43i z =-.18．已知向量(),1a k =，(3,1)=+- b k k ．(1)若//a b，求k 的值；(2)若()a a b →→→⊥-，求a →与a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭的夹角θ的余弦值．【正确答案】(1)3k =或1k =-(2)13【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得k 的值；（2）根据平面向量垂直列方程，求出k 的值，再结合坐标运算求a →与a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭的夹角θ的余弦值即可．【详解】（1）因为(),1a k = ，(3,1)=+- b k k ，//a b ，所以(1)(3)0k k k --+=，即2230k k --=，所以3k =或1k =-．（2）因为()a a b →→→⊥-，所以()0a a b →→→⋅-=，即20a a b →→→-⋅=所以21[(3)(1)]0k k k k +-++-=，所以420k -+=，即12k =，所以1,12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,71,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则14,2a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，所以()cos a a ba a bθ⋅+==⋅+5213=.19．在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin cos sin cos 3a B C c B A +=，c b >.(1)求cos B ；(2)若3c =，AC 边上中线BD =ABC 的面积.【正确答案】(1)13【分析】（1）由正弦定理和已知可得sin B =（2）法一：在ABC 和ABD △中，由余弦定理可得2226b a =+，1cos 3B =，求出a 代入三角形面积公式可得答案；法二：由cos ADB cos DB 0∠+∠=C 得2226b a =+，1cos 3B =，求出a 由1sin 2ABC S ac B =△可得答案；法三：作//DE BC 交AB 于E ，则322c BE ==，2a DE =，由余弦定理可得1a =，代入三角形面积公式计算可得答案.【详解】（1）由正弦定理有sin sin cos sin sin cos sin 3A B C C B A B +=，因为sin 0B ≠，有()sin cos sin cos sin sin A C C A A C B +=+==，因为c b >，故cos 0B >，1cos 3B ==；（2）法一：在ABC 和ABD △中，2222222cos 222b c BD b c a A b bc c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，因为3c =，BD ，则2226b a =+，因为()222229261cos 263a a a cb B ac a +-++-===，所以1a =，所以11sin 13223ABC S ac B ==⋅⋅⋅= 法二：因为cos ADB cos DB 0∠+∠=C，所以2223932202222b b a b b ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅⋅，有2226b a =+，因为()222229261cos 263a a a cb B ac a +-++-===，所以1a =，所以11sin 1322ABC S ac B ==⋅⋅= 法三：如图，作//DE BC 交AB 于E ，则E 是AB 的中点，所以322c BE ==，2a DE =，1cos cos 3BED ABC ∠=-∠=-，即222312233222a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅，解得1a =，所以11sin 13223ABC S ac B ==⋅⋅⋅=20．已知OAB 中，点D 在线段OB 上，且3OD DB =，延长BA 到C ，使BA AC =．设OA a =，OB b = ．(1)用,a b表示向量,OC DC ；(2)若向量OC 与OA k DC +共线，求k 的值．【正确答案】(1)2OC a b =- ，724DC a =-；(2)23．【分析】（1）利用向量线性运算法则即可表示；（2）利用向量共线定理即可计算．【详解】（1）∵A 为BC 的中点，∴1()2OA OB OC =+ ，可得22OC OA OB a b =-=- ，37244DC OC OD OC OB a b =-=-=-；（2）由（1）得7(21)4OA k DC k a kb +=+-，∵OC 与OA k DC +共线，则()OC OA k DC λ=+ ，即72(21)4a b k a kb λλ-=+- ，∵,a b不共线，∴()221714k k λλ⎧=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得23k =．21．已知函数π()2sin(2)(0)6f x x ωω=+>.(1)若点5π(,0)8是函数()f x 图像的一个对称中心，且(0,1)ω∈，求函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；(2)若函数()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数ω的取值范围.【正确答案】(1)[1,2]-(2)10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）利用整体代入法求4156k ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而得到23ω=，进而利用正弦函数的性质，结合x 的取值范围即可得解；（2）利用整体代入法求得()f x 的单调性，从而利用数轴法得到关于0,k ω的不等式，结合正弦函数的周期性先确定0k 的值，再得到ω的取值范围，由此得解.【详解】（1）由题意得:5ππ41π,,,Z,4656k k Z k k ωω⎛⎫⋅+=∈∴=-∈ ⎪⎝⎭(0,1)ω∈ 2,3ω∴=π4π()2sin 22sin ,636f x x x ω⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π0,,4x ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 4ππ7π,3666x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，4π1sin ,1362x ⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-.（2）令πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈，解得ππππ36k k x ωωωω-≤≤+，函数()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，000πππ2πππ,,,Z 3336k k k ωωωω⎛⎫⎛⎫∴⊆-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00πππ33,ππ2π63k k ωωωω⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩即0031,614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩又0ω>，2ππ112π3,0,332222T ωω-≤=⋅∴<≤00151,0,0664k k ω∴-<≤∴=∴<≤，所以ω的取值范围为10,4⎛⎤⎝⎦.22．已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，m ∈R ．(1)当m=0时，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值．【正确答案】(1)32(2)m 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及两角和的余弦定理得到函数()f x 的解析式，代入6π计算即可.（2）利用向量的运算的坐标表示及两角和的余弦定理化简函数解析式，再利用换元法根据函数最大值求出参数m 的值.【详解】（1）33333cos sin cos sin cos cos sin sin cos()cos 222=22222222x x x x x x x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅--=+= ，，∴当0m =时，()1cos 21f x a b x =⋅+=+13cos 21cos 1166322f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，1cos ,12x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，又33cos +cos sin sin 22+22x x a x x b ⎛⎫=⎪⎭- ⎝，2cos a b x ∴+=()21cos 22cos 12cos 2cos f x a b m a b x m x x m x∴=⋅-++=-+=-令cos t x =，则112t ≤≤，222()22=222m m f t t mt t ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，对称轴为2m t =，当122m <，即1m <时，()f t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，min 1()(1122f x f m -==-=解得32m =（舍去），当1122m ≤≤，即12m ≤≤时，()f t 在1,22m ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，在,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，min 2()212()m f x f m -==-=，解得m =当12m >，即m>2时，()f t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，min ()(1)212f x f m ==-=-解得32m =（舍去），综上，若()f x 的最小值为−1，则m。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 1i z +=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．iB ．22-C ．11i22+D 【正确答案】B【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解.【详解】由题意可知：1i -，由()1i 1i z +=-)()()1i 1i 1i z -===+-.故选：B.2．已知向量(1,2)a = ，(1,1)b =-r ，(4,5)c = ．若a 与b c λ+ 垂直，则实数λ的值为（）A ．114B ．47-C ．3D ．411【正确答案】A【分析】首先求出b c λ+的坐标，依题意()0a b c λ⋅+= ，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.【详解】因为(1,1)b =-r ，(4,5)c = ，所以()()()1,14,541,51b c λλλλ+=-+=+-，又(1,2)a = 且a 与b c λ+垂直，所以()()()1412510a b c λλλ⋅+=⨯++⨯-= ，解得114λ=.故选：A3．下列说法正确的是（）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【正确答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．如图所示，点E 为ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF =（）A ．1233BA BC + B ．4233BA BC +C ．5166BA BC -+D ．2133BA BC -+【正确答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将AF 用BA 、BC表示，即可得出答案.【详解】解：112()22323AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1211223336AC AB AC AC BA =+-=-1251()6366BC BA BA BA BC =--=-+.故选：C.5．如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A ．2AB =B ．A D''=C ．四边形ABCD 的周长为4+D ．四边形ABCD 的面积为【正确答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1422A D E '''==-⨯,即B 错误；还原平面图为下图，即42,AB CD AD ===A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得CB =，故四边形ABCD 的周长为：426++=+C 错误；四边形ABCD 的面积为：()1422⨯+⨯=，即D 正确.故选：D6．已知角α满足π2sin (2cos 3αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin 23cos +αα的值为（）A ．25B ．45C ．75D ．85【正确答案】C【分析】根据三角恒等变换结合齐次式问题运算求解.【详解】由题意可得：π2sin sin (23αααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，整理得sin 2cos αα=，即tan 2α=，则2222222sin cos 3cos 2tan 32237sin 23cos sin cos tan 1215ααααααααα++⨯++====+++.故选：C.7．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P 是BC 中点，现有一只妈蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P 处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）AB C D 【正确答案】A【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ PQ +的最小值就是AE 的长，求解即可．【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径1r =，高4h =将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD ，其中πAB =，4=AD ，问题转化为在CD 上找一点Q ，使AQ PQ +最短，作P 关于CD 的对称点E ，连接AE ，令AE 与CD 交于点Q ，则得AQ PQ +的最小值就是为AE =．故选：A8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则关于x 的方程()cos πf x x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【正确答案】D【分析】根据题意，判断函数()f x 的最小正周期为2；再由其奇偶性，得到()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos πy x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像，即可得出结果.【详解】因为()()11f x f x =+-，所以()()2f x f x +=，因此函数()f x 的最小正周期为2；又因为函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-=-，即函数()f x 关于直线1x =对称，函数cos πy x =的最小正周期π1πT ==，且函数图象关于x k =，Z k ∈对称，画出函数()y f x =和cos πy x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下，由图像可得，函数()y f x =和cos πy x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有13个交点，除1x =，其余两两关于直线1x =对称，因此关于x 的方程()cos π=f x x 在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为26113⨯+=.故选：D.二、多选题9．将函数()sin f x x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，再将所得图象向右平移π12是个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．若12π2x x +=，则()()12g x g x =D ．函数()g x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】对于A 、B 选项，根据正弦函数的性质即可判定；对于C 、D 选项，利用三角函数图像变换求解析式，再利用其性质判定选项即可.【详解】因为()()()sin sin 00x x f x f x +-=⇒+-=，故A 正确；正弦函数的对称中心为()()π,0Z k k ∈，故B 错误；根据三角函数的图象变换可得：()πsin 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππππ3π4243k x k x -=+⇒=+，故其对称轴为()ππZ 43k x k =+∈，若12π2x x +=，由对称性可得，显然()()12g x g x =成立，故C 正确；令()πππ3πZ 4123k x k x k -=⇒=+∈，故其对称中心为()ππ,0Z 123k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然无论k 取何值πππ1236k +≠，故D 错误.故选：AC10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形【正确答案】BD【分析】利用余弦定理即可判断A ；利用正弦定理化边为角即可判断B ；利用正弦定理化边为角结合二倍角的正弦公式即可判断C ；利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可判断D.【详解】对于A ，若2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，则C 为锐角，但是A 、B 两角无法判断其是否为锐角，如当4a =，2b =，3c =时，2220a b c +->，22230b c a +-=-<，ABC 为钝角三角形，故A 错误；对于B ，因为cos cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，所以tan tan tan A B C ==，且,,(0,π)A B C ∈，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故B 正确；对于C ，因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，因为cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin()sin C B B +=，则sin sin A B =，又因为,(0,π)A B ∈，所以A B =或πA B +=（舍去），所以ABC 为等腰三角形，故D 正确.故选：BD.11．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）A ．2i e 对应的点位于第二象限B ．πi e 为纯虚数C ix 12D ．πi 3e 的共轭复数为122-【正确答案】ACD【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.【详解】对于A ：由题意可得：2i e cos 2isin 2=+，则其对应的点为()cos 2,sin 2，∵π2,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos20,sin 20<>，∴2i e 对应的点位于第二象限，故A 正确；对于B ：由题意可得：πi e cosπisin π1=+=-为实数，故B 错误；对于C ：由题意可得：())()i cos isin icos sin cos sin i1π1πsin i cos42323x x x x x x x x x +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，12==，故C 正确；对于D ：由题意可得：πi 3cosis ππ1e i 33n i 2==+，则πi 3e 的共轭复数为12-，故D 正确；故选：ACD.12．假设(0,π)α∈，且π2α≠．当xoy α∠=时，定义平面坐标系xoy 为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：21,e e分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若12OP xe ye =+ ，则记为(,)OP x y =，那么下列说法中正确的是（）A ．设(,)a m n = ，则||a =B ．设(,),(,)a m n b s t ==，若a //b ，则0mt ns -=C ．设(,),(,)a m n b s t == ，若a b ⊥，则()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设(1,2),(2,1)a b =-=-，若a 与b 的夹角为π3，则π3α=【正确答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=u r ru u u r r ，对于A ：若(,)a m n = ，则12a me ne =+，可得()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++u r u r u r u r u r u r r ，所以||aA 正确；对于B ：∵(,),(,)a m n b s t ==，则1212,a me ne b se te =+=+u r u r r u r u r r ，若a //b，则有：当0a = 或0b =时，则0m n ==或0s t ==，可得0mt ns -=成立；当0a ≠ 且0b ≠时，则存在唯一实数λ，使得a b λ= ，则()121212me ne se te se te λλλ+=+=+u r u r u r u r u r u r ，可得m s n t λλ=⎧⎨=⎩，整理得0mt ns -=；综上所述：若a //b，则0mt ns -=，故B 正确；对于C ：∵(,),(,)a m n b s t ==，则1212,a me ne b se te =+=+u r u r r u r u r r ，可得()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅=u r u r u r u r u r u r u r r u r r ，若a b ⊥，则()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅r r ，故C 错误；对于D ：∵(1,2),(2,1)a b =-=-，由选项A 可得：|||a b==r r，由选项C可得：()()()()12211122cos45cosa bαα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=r r，若a与b的夹角为π3，则πcos3a ba b⋅=⋅r rr r，即145cos254cosαα-=-，解得1cos2α=，∵(0,π)α∈，则π3α=，故D正确；故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2a=r，()2,4b=-r，则向量a在向量b上的投影向量为__________（用坐标表示）．【正确答案】36,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量a在向量b上的投影向量.【详解】向量a在向量b上的投影向量为2cos,b a b b a ba ab a bb a b b b⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅()63362,4201055b⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.故答案为.36,55⎛⎫-⎪⎝⎭14．在ABC中，4,5,6AB AC BC===，O为三角形ABC的外心，则AB AO⋅为______．【正确答案】8【分析】作出图形，利用余弦定理求出角A的余弦值，利用同角三角函数的关系求出sin A，再利用正弦定理得到外接圆的半径，再次利用余弦定理求出AB与AO的夹角即可求解.【详解】如图，连接,OA OB，在ABC 中，由余弦定理可得，2221625361cos 22458AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，则237sin 1cos 8A A =-=，在ABC 中，由正弦定理可得，2sin 378BCR A==，则877R =所以877OA OB ==，在ABO 中，由余弦定理可得，2227cos 24OA AB OB OAB OA AB +-∠==⋅，所以877cos 4874AB AO AB AO OAB ⋅=∠=⨯⨯= ，故答案为.815．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱116AA =．若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC A C B C 的中点．当底面ABC 水平放置时，液面高为__________．【正确答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设ABC 的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，侧面11AA B B 水平放置时，水的体积为133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅= 当底面ABC 水平放置时，水的体积为ABC V S h ah == ，于是12ah a =，解得12h =，所以当底面ABC 水平放置时，液面高为12.故12四、双空题16．若,,,(),(),()a b c A f a f b f c ∀∈为一个三角形的三边长，则称函数()f x 在区间A 上为“三角形函数”．已知函数25()sin cos 4f x x x m =--++在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是“三角形函数”，请解决以下问题：（1）()f x 在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的值域为________；（2）实数m 的取值范围为_____________．【正确答案】[,1]m m +1m >【分析】根据三角函数的性质求出函数()f x 在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的值域；再根据三角函数的定义列式可求出结果.【详解】因为函数222511()sin cos cos cos (cos )442f x x x m x x m x m =--++=-++=-+，令cos x t =，由π2π,33x -∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得1[,1]2t ∈-，则函数25()sin cos 4f x x x m =--++可化为21(2y t m =-+，且1[,1]2t ∈-，当12t =时，即π3x =±时，函数取最小值m ，当12t =-时，即2π3x =时，函数取最大值1m +，所以函数()f x 在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的值域为[,1]m m +；因为函数25()sin cos 4f x x x m =--++在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是“三角形函数”，所以1m m m +>+，解得1m >，故[,1]m m +；1m >.五、解答题17．已知sin(π)2cos αα-=．(1)若α为锐角，求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(2)7【分析】（1）根据题意先求sin ,cos αα，再利用两角和的余弦公式运算求解；（2）根据倍角公式结合两角差的正切公式运算求解.【详解】（1）∵()sin πsin 2cos ααα-==，且22sin cos 1αα+=，α为锐角，解得cos αα==，所以πππ1cos cos cos sin sin 3332ααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭（2）由（1）可知：sin 2cos αα=，可得tan 2α=，所以222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---，所以41πtan 213tan 27441tan 213ααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-．18．某同学用“五点法”画函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ37π12()f x 0202-0(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数()y f x =在一个周期内的图象；(2)将()y f x =的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象，若()y g x =的图象关于y 轴对称，求θ的最小值．【正确答案】(1)表格见解析，图象见解析(2)π3【分析】（1）根据表格，分别求得,,A ωϕ，即可得到函数()f x 的解析式，从而得到其函数图像；（2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值.【详解】（1）由表中数据可得，7πππ2,41234T A ==-=，所以πT =，则2ππω=，且0ω>，解得2ω=，当3x π=时，π2x ωϕ+=，即π2π23ϕ⨯+=，解得π6ϕ=-，所以π()2sin(2)6f x x =-.分别令π3π20,,2π62x -=，解得π5π13π,,12612x =，据此可得表格为：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12()f x 0202-0由表格作出图象，如下图所示.（2）由题意可得：()ππ()2sin 2()2sin 2266g x f x x x θθθ⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()y g x =的图象关于y 对称，则ππ2π,62k k θ-=+∈Z ，解得ππ,32k k θ=+∈Z ，且0θ>，所以当0k =时，θ取到最小值min π3θ=．19．如图，在ABC 中，点D 为边AB 的中点，14BE BC =．(1)若3,1,60AC BC ACB ==∠=︒，求||CD；(2)若CO CD λ=，求λ的值．【正确答案】(1)2；(2)67.【分析】（1）将CD 用CA CB,表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答.（2）取平面向量的基底{,}CA CB，再利用平面向量基本定理求解作答.【详解】（1）在ABC 中，点D 为边AB 的中点，则1()2CD CA CB =+，因此222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒=所以||CD =（2）在ABC 中，CA CB,不共线，因为14BE BC = ，则34CE CB = ，而O 在AE 上，即有,R EO EA μμ=∈，()CO CE CA CE μ-=- ，于是3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+，而22CO CD CA CB λλλ==+ ，因此()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以λ的值为67.20．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：cm ，π取3）【正确答案】(1)21085120cm (2)31344cm 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（12216835cm 2-⎛⎫+= ⎪⎝⎭和222412335cm 2-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．故()2(1224)35(816)5225120cm22侧S +⨯+⨯=⨯+⨯=+．（2）V V V V =++球直四棱柱四棱台3441π842081624(128)(1624)]3323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3326406721344cm ≈++=.21．已知ABC 的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B--=+．(1)求cos A ；(2)若ABC的面积为AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D ，求线段AD 长的最大值．【正确答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得6bc =，再根据等面积得11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a bc --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bcc b a A bc bc +-===.（2）由（1）知sin 3A =，因为ABC的面积为，所以1sin 2bc A =6bc =，又因为1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==，所以221cos 1sin sin ,sin sin 233A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=．于是11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么13132323AD b c ⎛⎫⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭所以2AD b c =≤=+（当且仅当b c ==故AD 的最大值为2．22．如图，已知||1,||2,OA OB OA == 与OB 的夹角为2π3，点C 是ABO 的外接圆优孤 AB 上的一个动点（含端点A ，B ），记OA 与OC的夹角为θ．(1)求ABO 外接圆的直径2R ；(2)试将||OC表示为θ的函数；(3)设点M 满足13AM AB = ，若OC xOA yOB =+ ，其中,x y ∈R ，求OC OM ⋅的最大值．【正确答案】(2)2πcos sin ,033OC θθθ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦uuu r(3)1【分析】（1）在AOB 中，利用正、余弦定理运算求解；（2）在AOC 中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；（3）根据数量积用,OC θuuu r表示,x y ，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解.【详解】（1）在AOB 中，由余弦定理22212cos 1421272AB OA OB OA OB AOB ∠⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即AB =，由正弦定理可得2sin 3ABR AOB===∠（2）连接AC ，由题意可知2π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在AOC 中，由正弦定理2sin OAR OCA=∠，则sin 214OA OCA R ∠=，且OCA OBA ∠=∠为锐角，则cos OCA ∠=，可得()sin sin sin cos cos sin 14OAC OCA OCA OCA θθθθθ∠=∠+=∠+∠=，由正弦定理||2sin OC R OAC=∠uuu r，可得||2sin cos cos sin 314143OC R OAC θθθθ⎛⎫=∠=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭uuu r ，所以||OC 表示为θ的函数为2π||cos sin ,0,33OC θθθ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦uuu r.（3）由题意可得1cos 1212OA OB OA OB AOB ⎛⎫∠=⨯⨯-=-⋅=⎪⎝⎭⋅ uu r uu u r uu r uu u r ，则2co co s s OA OC xOA yOA OB x y OA O A C OC OC θ⋅=+⋅=-=⋅∠=⋅uu r uuu r uu r uu r uu u r uu r uuu r uuu r，2c 2π42c os os 3OB OC yOB xOA OB x y OB OC O B C OC θ⎛⎫⋅=∠=+⋅=-+=⋅⋅- ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uuur )12cos cos 22OC OC θθθθ⎛⎫⋅-+=⋅- ⎪ ⎪⎝=⎭uuu r uuu r ，即)cos 4sin cos x y OC x y OC θθθ⎧-=⋅⎪⎨-+=⋅-⎪⎩，解得cos x OC y OC θθθ⎧⎫=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，可得()2133OC OM OB xOA yOB⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r2221213333x OA x y OA OB y OB ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭uu r uu r uu ur uu u r ()123x y =+)1cos sin sin cos 33OC OC OCθθθθθ⎡⎤⎫=+=+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦uuur uuu r uuur)1cos co 3s 3θθθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭)()1cos 3cos 9θθθθ=++，其中2π03θ≤≤构建())()22cos 3cos 15sin cos 3cos f θθθθθθθθθ=++=++2312sin cos θθθ=++1cos 231222θθ-=+⨯96cos2θθ=+-92277θθ⎫=+-⎪⎪⎭()92θϕ=+-，其中πsin ,cos ,0,772ϕϕϕ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，当π22θϕ-=，即42πϕθ=+时，()f θ取到最大值为9+所以()121339x y f θ+=的最大值为(19199+=+.。

湖北省部分重点中学高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角比第一象限角大 B ．角与角是终边相同角60 600 C ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D ．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为103π【答案】C【分析】判断每一个选项的正误即可.【详解】选项A ：第二象限角可能为负角，如，第一象限角也有可能为正角，如，故A 240-︒60︒错误；选项B ：，故角与角终边不同，故B 错误；60060540360()k k Z ︒-︒=︒≠︒∈ 60 600 选项C ：斜三角形的内角为锐角或者钝角，故其内角为第一象限角或第二象限角，故C 正确； 选项D ：分针拨快是顺时针旋转，得到的角为负角，故D 错误.2．已知是第三象限的角，且，那么的值为 θ445sin cos 9+=θθsin 2θA B ．C ．D ．2323-【答案】A【分析】将恒等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得结果. 22sin cos 1θθ+=【详解】∵， 22sin cos 1θθ+=∴，4422sin cos 2sin cos 1θθθθ++=∵，∴，445sin cos 9+=θθ2242sin cos 9θθ=∵角是第三象限角即，322,2k k k Z ππθππ+<<+∈∴，∴，24234,k k k Z ππθππ+<<+∈sin 2θ=故选A ．【点睛】本题主要考查已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．3．如图，已知中，为的中点，，若，则ABC ∆D AB 13AE AC = DE AB BC λμ=+λμ+=A ．B ．C ．D ．56-16-1656【答案】C【解析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.DE ,AB AC,λμλμ+【详解】因为，1123DE DA AE BA AC =+=+ ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+所以，.故.16λ=-13μ=16λμ+=故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.4．中，角，，所对应的边分别为，，.已知ABC ∆A B C a b c ，则是 222(cos cos )2cos a b a B b A ab B +-+=ABC ∆A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】B【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得，再利用余弦定理可得2222cos a b c ab B +-=，可得结果.cos cos B C =【详解】由题，已知 ，()222+cos cos a b a B b A -+=2cos ab B 由正弦定理可得：()222sin sin sin cos cos sin 2sin sin cos A B A B A B A B B +-+=即()222sin sin sin 2sin sin cos A B A B A B B +-+=又因为()sin sin A B C +=所以 222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B B +-=即2222cos a b c ab B +-=由余弦定理： 2222cos a b c ab C +-=即 cos cos B C =所以B C =所以三角形一定是等腰三角形 故选B【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.5．如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则150BAC ∠=︒P BC AP AB AC λμ=+的最小值是（ ）μ-A ．0BC ．2D ．1-【答案】D【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量AB x A ()cos ,sin P θθ0150θ︒≤≤︒，再利用三角函数的有界性，即可得到答案； ()2sin 60μθ︒-=+【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，AB x A设，， ()cos ,sin P θθ0150θ︒≤≤︒则，，， ()0,0A ()10B ,12C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∵，AP AB AC λμ=+∴ ()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ,2μλ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴，cos θλ=sin 2μθ=∴，， cos λθθ=2sin μθ=3sin 2sin μθθθ-=+-， ()sin 2sin 60θθθ=+=+︒∵， 0150θ︒≤≤︒∴，6060210θ︒︒︒+≤≤∴当时，， 150θ=︒()2sin 601θ+︒=-的最小值为． μ-1-故选：D ．6．已知函数为的零点，为图象的对称()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，()f x 4x π=()y f x =轴，且在单调，则的最大值为()f x π5π(1836，ωA ．11 B ．9 C ．7 D ．5【答案】B【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 为f （x ）的零点，x 为y ＝f （x ）4π=-4π=图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（，）上单调，可得ω的最大值． 18π536π【详解】∵x 为f （x ）的零点，x 为y ＝f （x ）图象的对称轴，4π=-4π=∴，即，（n ∈N ） 2142n T π+⋅=21242n ππω+⋅=即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数， ∵f （x ）在（，）上单调，则， 18π536π53618122Tπππ-=≤即T ，解得：ω≤12，26ππω=≥当ω＝11时，φ＝k π，k ∈Z ， 114π-+∵|φ|， 2π≤∴φ，4π=-此时f （x ）在（，）不单调，不满足题意； 18π536π当ω＝9时，φ＝k π，k ∈Z ， 94π-+∵|φ|，2π≤∴φ，4π=此时f （x ）在（，）单调，满足题意； 18π536π故ω的最大值为9， 故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠期的一半;②若的图像关于直线对称,则或()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠0x x =()0f x A =.()0f x A =-7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最AP BD ⋅大值为（ ）A ．3B ．C ．D ．3+3【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三P 角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标D AD x D AD y 系，则，， (2,0)A-32B ⎛- ⎝12C ⎛- ⎝圆的方程为，可设，D 2214x y +=11cos ,sin 22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所以． 11cos 2,sin 22AP αα⎛⎫ ⎪⎭=+⎝u u ur 3,2BD =⎛ ⎝u u ur 故．3113cos 2sin cos 32224AP BD αααα⎛⎫⋅=⨯+= +⎪⎝⎭u u u r u u ur 36πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以的最大值为AP BD ⋅ 3故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.8．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（ ）ABC M 222AM BC AC AB ⋅=- M ABC A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】先对题设中的等式进行变形，可得，即在边的垂直222AM BC AC AB ⋅=- MC MB =M BC 平分线，由此选出正确选项．【详解】，()()()222AM BC AC AB AC AB AC AB AC AB BC ⋅=-=+⋅-=+⋅，()20AC AB AM BC ∴+-⋅=，()()0MC MB MC MB ∴+⋅-=，即，即，220MC MB -= 22MC MB = MC MB =在边的垂直平分线上，M ∴BC 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心.M ABC故选：B ．二、多选题9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中则下列结论正确的是（ ）2OA =A ．B ．OA OD ⋅=-2OB OH OE +=- C ．D．AH FH -=AF =【答案】AC【分析】利用向量数量积的运算性质，向量的加减法法则及正八边形的性质逐个分析判断即可 【详解】解：对于A ，，所以A 正确， 3cos 224OA OD OA OD π⎛⋅==⨯⨯=- ⎝对于B ，由，得 ，所以B 错误，2BOH π∠=OB OH +==对于C ，AH FH AH HFAF OF OA -=+==-==C 正确，=对于D ，由C 可知 D 错误， AF =故选：AC10．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛O BC 水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是（ ）P DA ．分钟时，以射线为始边，为终边的角为t OA OP 36t ππ-B ．分钟时，该盛水筒距水面距离为米t 3sin 362t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D ．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】ACD【解析】由题意写出点离水面的距离函数，再计算对应的函数值即可． P 【详解】解：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，O依题意，设函数解析式为，因为半径为，所以，距水面的距离为，sin()y A t b ωϕ=++33A =O 1.5所以，每6分钟转一圈，所以，所以，所以，当1.5b =6T =23T ππω==3sin 1.53y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0=t 时，，所以，即，所以，所以0y =3sin 1.50ϕ+=1sin 2ϕ=-6πϕ=-563sin 1.3y t ππ⎛⎫+ ⎪⎝-=⎭所以分钟时，以射线为始边，为终边的角为，故A 正确，B 错误；t OA OP 36t ππ-当时，；当时，；故C 正确；1t =63sin 1.533y ππ⎛+-⎫== ⎪⎝⎭3t =363sin 3 1.53y ππ⎛⎫=+ ⎭-⨯=⎪⎝令，即，在一个周期内，解得，有分63sin 1.533y t ππ⎛⎫=+≥ ⎪-⎝⎭1sin 326t ππ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭-56663t ππππ≤≤-13t ≤≤2钟，1个小时，有10个周期，所以有分钟，故D 正确； 21020⨯=故选：ACD11．有下列说法其中正确的说法为A ．若，，则：a b b c a c B ．若，，分别表示，的面积，则；230OA OB OC ++=AOC S ∆ABC S ∆AOC ∆ABC ∆:1:6AOC ABC S S ∆∆=C ．两个非零向量，，若，则与共线且反向；a b a b a b -=+a b D ．若，则存在唯一实数使得 a b λa b =λ【答案】BC【解析】A 选项错误，例如，推不出，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC0b =a c ∥的距离等于B 到AC 距离的,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结16π论正确，D 选项错误，例如.0b =【详解】A 选项错误，例如，推不出，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为0b =a c ∥，所以,即,所以O 是MD 的三等分点，可知O 230OA OB OC ++=2220OM OD ⨯+= 2OM OD =- 到AC 的距离等于D 到AC 距离的,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到13AC 的距离等于B 到AC 距离的，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得16，所以，即夹角为，结论正确，D 选项错误，例如. 故选B 22||||a b a b -⋅= cos ,1a b <>=- π0b =C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ） ()sin 0f x x x ωωω=>，A ．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称()f x 6πB ．若 ，且 的最小值为，则ω=2()()124f x f x -=12x x -2πC ．若在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]()f x 3πD ．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()f x 710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD【分析】先化简的解析式；由三角函数的图像变换判断选项A ；由，可得()f x ()()124f x f x -=是函数的最大、小值点，从而可判断B ；由在上单调递增，则，可12,x x ()f x ()f x 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦132T π≤判断选项C ；设，即在仅有3个零点，可判断选项D.3t x πω=-2sin y t =,33t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【详解】函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭选项A ：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数2ω=()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 6πsin 2y x=的图像，所以A 正确；选项B ：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为()()124f x f x -=12,x x ()f x 12x x -，则最小正周期是，所以，B 正确；2ππ2ω=选项C ：若在上单调递增，则，所以，C 错误；()f x 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32ππωπ-≤502ω<≤选项D ：设，当时， 3t x πω=-[]0,π,333t x πππωωπ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦若在仅有3个零点，即在仅有3个零点()f x []0,π2sin y t =,33t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则，所以，D 正确，233ππωππ≤-<71033ω≤<故选：ABD ．三、填空题13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____．3π【答案】6π【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得， 362l ππαr ==⨯=根据扇形的面积公式可得．1126622S lr ππ==⋅⋅=故答案为：．6π14．已知，分别是与方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上9a b ⋅=-12,e e ,a b a b 23e - b a 的投影向量为，则与的夹角为__________________.132e -a b θ【答案】.120︒【解析】根据向量的投影定义，列出方程，求解，再根据夹角公式，即可求解. 63a b == ，【详解】由题意，得解得∴.∵，∴cos 3,3cos ,29.a b a b θθ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⋅=-⎪⎩6,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 91cos 632b b a a θ⋅-===-⨯ 0180θ︒≤≤︒.120θ=°故答案为：120︒【点睛】本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.15．已知△ABC 中，，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)311,,523CD BC EC AC AF AB =-==且，则实数x 的取值范围为___________. 13DP DC xDE =-+ 【答案】14,23⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x 的取值范围.【详解】解：如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得， 13DG DC =- 设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ； 过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ， 连接FH ，则点K ､H 为临界点； GH ∥DE ，所以HE EC ，AH EC ，HG DE ，13=23=43=， 12AH AFHC FB==所以FH ∥BC ； 所以FH BC ， 13=所以， FH KHDG KG=所以KG HK ，35=KG HG DE .38=12=所以实数x 的取值范围是().1423，故答案为：().1423，【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.16．已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为2()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω___________． 【答案】2335,66⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据区间上，求出的范围，由于在区间上恰有2个最高点，建立不0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭223x πω+0,2π⎛⎫⎪⎝⎭等式关系，求解即可．【详解】因为，所以， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2222,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭依题意得，解得．9213232πππωπ<+≤233566ω<≤故答案为：.2335,66⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．设，是不共线的两个非零向量．a b(1)若，，，求证：，，三点共线；2=- OA a b 3OB a b =+ 3OC a b =-A B C (2)若，，，且，，三点共线，求的值． AB a b =+ 23BC a b =- 2CD a kb =-A C D k 【答案】(1)证明见解析 (2)． 43【分析】（1）利用向量加减法及向量共线条件证明三点共线； （2）由三点共线转化为向量共线即得结果.【详解】（1）证明：因为， 322AB OB OA a b a b a b =-=+-+=+又， 3324BC OC OB a b a b a b =-=---=--故，又与有公共点， 2BC AB =- BC ABB 所以，，三点共线．A B C（2），．32AC AB BC a b =+=- 2CD a kb =- 因为，，三点共线，所以，A C D AC CD λ=即，因为与是不共线的两个非零向量，322a b a k b λλ-=-a b 所以，故. 322k λλ=⎧⎨=⎩3243k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩综上，的值为． k 4318．如图为函数的部分图象．()()sin (0,0,,R)2f x A x Ax πωϕωϕ=+>><∈(1)求函数解析式；(2)求函数的单调递增区间；()f x (3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)， 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(3) (2,m ∈-【分析】（1）由图象分别求出、的值，由五点作图法，求出的值； A T ϕ（2）令，，求出的范围，即为函数的单调递增区间；222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈x ()f x （3）首先求出函数在上的单调性，则问题转化为函数与在上有()f x 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()y f x =y m =02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，两个交点，即可得出的范围．m 【详解】（1）解：由题中的图象知，，即，所以， 2A =43124T πππ=-=T π=22Tπω==根据五点作图法，令，，解得，，22122k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，2πϕ<3πϕ=所以.()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：令，，解得，， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈所以的单调递增区间为，.()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（3）解：因为，所以，令，解得,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦22332x πππ-≤+≤-5212x ππ-≤≤-，令，解得， 2233πππx -≤+≤5012x π-≤≤所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为， ()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又，， 2sin 23f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-()0f =又方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =y m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦点，所以．(2m ∈-19．如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且ABC ∆,,A B C ,,a b c 6c =3b =sin 2sin C B =AD 为边上的中线，为的角平分线. BC AE BAC ∠（1）求线段的长； AD （2）求的面积.ADE ∆【答案】（1； （2【分析】（1）根据题意，哟祖新大陆可得.进而得到；又由2cos c C b =1cos 4C =，可得.最后在中，由余弦定理得2221cos 24a b c C ab +-==3CD =ACD ∆，即可求出.2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅AD （2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由AE BAC ∠1212ABEACEBE hS S CE h ∆∆⋅=⋅123CE BC ==，则，故即可. 1cos 4C =sin C =ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=-【详解】（1）根据题意，，sin2sin 2sin cos sin C B C C B =⇒=∴. 2cos c C b =又，， 3b =6c =∴； 1cos 24b Cc ==又由，2221cos 24a b c C ab +-==解得，即，则.6a =6BC =3CD =在中，由余弦定理得， ACD ∆222272cos 2AD AC CD AC CD C =+-⋅=解得AD =（2）根据题意，因为平分，AE BAC ∠所以， 11sin 2211sin 22ABE ACEAB AE BAE BE h S S AC AE CAE CE h ∆∆⋅∠⋅==⋅∠⋅故， 2AB BE AC CE==变形可得，，则，123CE BC ==1cos 4C =sin C =所以11333222ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角形面积的求法，属中档题. 20．如图，在四边形中， ．ABCD 4,2AD AB ==（1）若△为等边三角形，且， 是的中点，求；ABC //AD BC E CD AE BD ⋅（2）若， ， ，求．AC AB =3cos 5CAB ∠=45AC BD ⋅= DC【答案】(1)11,(2) DC = 【分析】（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果． （2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．【详解】（1）因为△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ， 所以∠DAB=120°． 又AD=2AB ，所以AD=2BC ， 因为E 是CD 的中点，所以：=，()12AE AD AC =+ ()12AD AB BC ++ =． 3142AD AB +又，BD AD AB =- 所以， ()3142AE BD AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭=． 22311424AD AB AD AB --⋅=， 3111164424242⎛⎫⋅-⋅-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭=11．（2）因为AB=AC ，AB=2， 所以：AC=2．因为：，45AC BD ⋅= 所以：．()45AC AD AB ⋅-= 所以：． 45AC AD AC AB ⋅-⋅= 又=4．AC AB AC AB cos CAB ⋅=∠ 31255⋅=所以：．41655AC AD AC AB ⋅=+⋅= 所以：=．22||DC AC AD =-1668416255+-⋅=故：DC = 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，属于基础题.21．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.OAB θ∠=S（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围； S θtan θ（2）求面积最小值，并求出此时的值.S tan θ【答案】（1）；的取值范围为，；（2）228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-θ()00,θ01tan 3θ=. min S =tan θ=【解析】（1）由题意可知小正方形的边长为， 1(sin )2sin 2θθ⨯=大正方形的边长为，1(cos sin )2cos 2sin 2θθθθ-⨯=-所以五个正方形的面积和为，22224sin (cos 2sin )8sin cos 4sin cos S θθθθθθθ=+-=+-又，所以，sin cos 2sin θθθ<-1tan 3θ<所以的取值范围为，，；θ0(0,)θ01tan 3θ=0(0,)2πθ∈(2)其中，，所以228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-()922θϕ=-+7tan 4ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，则，因为minS =()sin 21θϕ+=22πθϕ+=22tan 4tan 21tan 7θθθ==-10tan 3θ<<，解得，即可求出面积最小值 tan θ=S 【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，O E F 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的E F 中点，所以小正方形的边长为，1sin 2sin 2θθ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭大正方形的边长为.1cos sin 2cos 2sin 2θθθθ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭所以五个正方形的面积和为， ()224sin cos 2sin S θθθ=+-.228sin cos 4sin cos θθθθ=+-因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，，，sin cos 2sin θθθ<-1tan 3θ<00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以的取值范围为，. θ()00,θ01tan 3θ=（2）， 228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-， 1cos 21cos 282sin 222θθθ-+=+-， 972sin 2cos 222θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中，.()922θϕ=+7tan 4ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以. min S =()sin 21θϕ+=因为，所以， ()00,θθ∈0302222πθϕθπ<+<+<所以，22πθϕ+=所以， 14tan 2tan 2tan 7πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭则，化简得：， 22tan 4tan 21tan 7θθθ==-22tan 7tan 20θθ+-=由此解得： tan θ=因为，所以. 10tan 3θ<<tan θ=【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题．22．在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若，则.()11,a x y =r()22,b x y =ra b ⊥12120x x y y +=（1）拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量，，若，则()111,,a x y z = ()222,,b x y z = a b ⊥_______（请在空格处填上你认为正确的结论）（2）若非零向量，，，()()cos ,cos ,2cos a αk βk γ=- ()()sin ,sin ,2sin b αk βk γ=- ()1,1,1c = a c ⊥且，利用（1）的结论求当为何值时，分别取到最大、最小值？ c b ⊥r rk ()cos βγ-【答案】（1）；（2）时，有最大值；或时，有最小值. 1212120x x y y z z ++=1k =0.5-12k =32【分析】（1）根据已知可得答案；（2）由，得，由，得，a c ⊥ ()cos 2cos cos k βk γα+-=-a b ⊥()sin 2sin sin k βk γα+-=-，根据，可得可得答案.()()23cos 1211βγk -=+⎡⎤--⎣⎦()[]cos 1,1βγ-∈-1322k ≤≤【详解】（1）1212120x x y y z z ++=（2）因为，a c ⊥所以得①， ()cos cos 2cos 0αk βk γ++-=()cos 2cos cos k βk γα+-=-又因为，所以 a b ⊥()sin sin 2sin 0αk βk γ++-=得②，()sin 2sin sin k βk γα+-=-∴①②，得到，2+2()()()22222cos cos sin sin 1k k k k βγβγ+-+-+=∴，()()224422cos 1k k k k βγ-++--=若或2，此方程无解， 0k =∴，即且，()220k k -≠2k ≠0k ≠∴， ()()222224333cos 112424211k k βγk k k k k -+-==+=+--⎡⎤--⎣⎦因为，所以得， ()[]cos 1,1βγ-∈-()23111211k -≤+≤⎡⎤--⎣⎦()2320211k -≤≤⎡⎤--⎣⎦又，所以，解得，()230211k ≠⎡⎤--⎣⎦()2320211k -≤<⎡⎤--⎣⎦1322k ≤≤当时，最小，此时最大，， 1k =()211k --()cos βγ-()cos 0.5βγ-=-任意角的余弦最小为，当， 1-()cos 1βγ-=-即，此时或，231124k k +=--12k =32综上：当时，有最大值； 1k =()cos βγ-0.5-当或时，有最小值. 12k =32()cos βγ-1-【点睛】本题考查了向量的坐标运算及三角函数的性质，关键点是由且得到a c ⊥ c b ⊥r r()cos βγ-，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题正确的是A.若,0a b x y >>>则ax by >B. 若11x y>则x y <C. 若x y >则22x y > D .若33x y >则x y > 2.不等式2230x x -++<的解集是A ．﹛x|x<-3或x>1﹜ B.．﹛x|x<-1或x>3﹜ C. ﹛x|-1<x<3﹜ D. ﹛x|-3<x<1﹜3.已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = A ．23B.13C.13-D. 23-4.在A B C ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≥+-，则A 的取值范围是 A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B.0,3π⎛⎤⎥⎝⎦ C.,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =6.已知关于x 的不等式20ax x +<的解集中的整数恰有2个，则A ．1132a <≤ B.1132a ≤< C. 1132a <≤或1123a -≤<-D.1132a ≤<或1123a -<≤-7.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，(n a R ∈),则公比为A ．4-B ．2C ．4D ．168. 已知{}n a ，{}n b 都是等差数列，前n 项和分别记为,n n A B ，若213n nA nB n+=，则45a b =A ．59B.35C1927D.579.记实数,a b 中的最大数为{}m ax .a b ,定义数列{}n a ： {}2max ,2n n a n =， 则数列{}n a 的前10项和为A ．2046 B.2047 C.2048 D.204910.等差数列{}n a （公差不为0）的部分项构成等比数列{}n b ，已知nn k b a =，12k =24k =，312k =，则4k =A .26 B. 28 C. 44 D. 48二．填空题：本大题共5小题．每小题5分．共25分． 11. 不等式10x x+>的解集是12 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60C AB C BA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

高一期中联考数学试题考试用时：120分钟 试卷满分：150分★祝考试顺利★一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆心角为（ ）A.1B.2C.D.3π6π2.已知在复平面内,是原点,向量对应的复数分别为,那么向量对应的O ,OA OB 3524i i --+，AB复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ．9i 1-i -93. 已知,则（ ） ()3sin 35απ+=-23cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-53-35454. 已知，为单位向量,当向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为||4a = e ,a e α23πa e （ ）A ．B ．C ．D ．a e2e -e -5.设是定义在上的奇函数,对任意的满足且()f x (,0)(0,)-∞+∞ 12,(0,)x x ∈+∞()()2112120x f x x f x x x -<-,则不等式的解集为（）(2)4f =()2f x x > A ． B ． (2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C ．D ．()(2),2,-∞-+∞ (,2)(0,2)-∞- 6.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式,将中心内一块平面四边形区域设计灯带.已知灯带米,米, 米,且ABCD =CD 10AB =20BC =AD =,则（ ） 34A C π∠+∠=cos BCD ∠=A.B. 350C.457.在中,已知,,点分别是的三等分ABC ∆4AB =23ABC π∠=,M N ,AC AB 点（ ）,与相交于点,则的余弦值为（）1,3CM CA =13AN AB =BM CN P MPN ∠A. B.8. 已知在上的最小值为,则的解有（）个()=cos(6f x x πω+π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4ωωA.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知平面内四点可构成平行四边形,其中,则点的坐标可能,,,A B C D (1,3),(2,1),(3,2)A B C ---D 为（ ）A.B.C.D. (0,4)-(6,1)-(6,0)-(4,6)10. 下列函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递增的是（）π(,)2ππA.B.C. D.tan y x =|sin |y x =2cos y x =sin cos y x x =-11. 在所在的平面上存在一点,,则下列说法错误的是（ ）ABC ∆P (),AP AB AC λμλμ=+∈R A ．若，则点的轨迹不可能经过的外心 1λμ+=P ABC ∆ B ．若，则点的轨迹不可能经过的垂心 2λμ+=-P ABC ∆ C ．若，则点的轨迹可能经过的重心 12λμ+=P ABC ∆D ．若，则点的轨迹可能经过的内心λμ=P ABC ∆12. 已知是边长为的等边三角形,平面内有两动点满足ABC ∆2ABC ,M N .若,则的值可能为MN xMA yMB zMC =++ (1,,,0)x y z x y z ++=≥2MN = MA MB ⋅（ ）A.B.C.D.1-26-0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知,,则______． tan 5α=32παπ<<cos 2α=14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等,且,则,,a b c ||2,||2,||5a b c === |2|a b c +-=______．15. 在中,已知是的一元二次方程的两个实根,则ABC ∆tan ,tan B C x 20mx x m -++=A ∠=______．16. 已知函数,若函数有5个零点,则实数的取值(),222tan ,22a x x x f x x x πππππ⎧+≤-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或()32y f f x π=-⎡⎤⎣⎦a 范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知.(1,0),(2,1)a b ==-(1)若,且三点共线,求的值.,AB a b BC a mb =+=-,,A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k a kb - 32a b -+18.（本题满分12分）要得到函数的图象,可以从正弦函数或余弦函数图象出发,通过图象变换得2π()2s 3in 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭到,也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由图象变换得到函数的图象,写出变换的步骤和函数；sin y x =()f x (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．()f x π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦19.（本题满分12分）已知函数在区间上的最大值为5 2()2sin 2()4f x x x m π=-+-[0,]2π(1)求常数的值;m (2)求函数的单调递减区间. ()f x20.（本题满分12分）已知函数为奇函数，,. 3()log ()1x mf x x +=-1()42(0)x xg x λλλ+=⋅-->(1)求实数;m (2)求函数在区间上的最小值; ()g x [1,2]21.（本题满分12分）宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷,它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合,设计的十分精致优美.为了迎接2023年的春天,公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜,其斜边米.为了方便游客观光,欲在上选择一点ABC 300BC =BC ,修建两条观赏小径,点分别在边上,且小径与边的夹角都Q ,QM QN ,M N ,AB AC ,QM QN BC 是.区域和区域种植粉色油菜,区域种植黄色油菜.3πQMB QNC AMQN (1)随着春天到来,油菜均已开花,为了游客深度体验观赏,准备在种植黄色油菜区域内修建小径,当点在何处时，三条小径()的长度之和最小?MN Q ,,QM QN MN (2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用.22.（本题满分12分）定义非零向量的“伴随函数”为,非零向量(),OM a b =()()cos sin f x a x b x x =+∈R 为函数的“伴随向量”（其中为坐标原点）．(),OM a b =()()cos sin f x a x b x x =+∈R O(1)设,求出与的“伴随向量”共线的单位向量; ())25π2cos 26x f x x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭R ()f x (2)已知点满足,向量的“伴随函数”在处取得(),M a b 22560(0)a ab b ab -+<≠OM()g x 0x x =最小值,求的取值范围;0tan(2)4x π-(3)向量,其“伴随函数”为,已知,求的取值范围. ()1,0OA =()h x ()()()h h h αβαβ+=+()h α2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C 二、多项选择题s9.ACD 10.AC 11.ABC 12.BCD 三、填空题13. 15. 16. 3121-6π(0,1]四、解答题17.解：（1）（2分）(1,1)(12,)AB BC m m =-=+-因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得(),BC AB R λλ=∈整理得所以，解得.故的值为.（5分）(12,)(,),m m λλ+-=-12m m λλ+=-⎧⎨-=⎩1m =-m 1-（2）（7分） (12,),a kb k k -=+- 32(7,2).a b -+=-因为与垂直，a kb - 32a b -+所以解得.（10分） 7(12)2()0,k k -⨯++⨯-=716k =-18.解：（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的sin y x =2π32πsin(3y x =+图象；步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数2πsin()3y x =+12的图象； 2πsin(23y x =+步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数2πsin(2)3y x =+的图象．（6分） 2π2sin(2)3y x =+或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函sin y x =12数的图象；sin 2y x =步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图sin 2y x =π3π2πsin 2()sin(2)33y x x =+=+象；步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数2πsin(2)3y x =+的图象．（6分） 2π2sin(2)3y x =+（2）因为列表： 2π2[,3],3x ππ+∈2π23x +π 3π2 2π 5π2 3πxπ65π122π311π127π6y0 2-20（12分）19.解：（1）化简可得：，因为，所以，()2sin(2)16f x x m π=-+-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π2,666x π⎡⎤-∈-⎢⎣⎦则当时，取得最大值，故，即.（6分）262x ππ-=()f x 3m -35m -=2m =-（2）的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)622k x k k +≤-≤+∈解得， π5πππ(Z)36k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：.（12分） ()f x π5π,π(Z)36k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20.解：（1）解：因为为奇函数，所以， ()f x ()()0f x f x -+=所以在定义域内恒成立，23332log log log 0111x m x m x mx x x +-+-+==----整理，得在定义域内恒成立，所以，解得， 2221x m x -=-21m =1m =±当时，的定义域为，定义域不关于原点对称，此时没有奇偶1m =-()31log 1x f x x -=-{}|1x x ≠()f x 性，当时，的定义域为，关于原点对称， 1m =()31log 1x f x x -=+()(),11,-∞-⋃+∞且，符合题意， ()()()133331111log log log log 1111x x x x f x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-=====-=- ⎪-+-++⎝⎭综上可得：；（5分） 1m =（2），，令，()()2142222x x xx g x λλλλ+-=⋅-=-⋅-[]1,2x ∈2x t =则上述函数化为，.因为，则对称轴()22y t t t λλ=+-[]2,4λ∈0λ>10t λ=>1）当，即时，函数在上单调递增，故； 12λ≤12λ≥()y t []2,4()min (2)4434y t y λλλ==--=-2）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故124λ<<1142λ<<()y t 12,λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,4λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；min 11()y t y λλλ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭3）当，即时，函数在上单调递减，故. 14λ≥104λ<≤()y t []2,4()min ()4158y t y λ==-综上所述：①当时，的最小值为；②当时，的最小值为；12λ≥()g x 34λ-1142λ<<()g x 1λλ--③当时，的最小值为.（12分） 104λ<≤()g x 158λ-21．解：（1）在中,,由正弦定理可得：,BMQ △53412BMQ ππππ∠=--=sin sin QM BQ B BMQ =∠∠即＝，同理可得， sin 45sin 75QBQM ︒⋅=︒1)QB1)QN QC =-所以＝；（3分） 1)()QM QN QC QB +=+1)1)BC =在中，由余弦定理可得：，QMN A 2222cos 60MN QM QN QM QN =+-⋅︒即，2222()()3()34QM QN MN QM QN QM QN QM QN +=+-⋅≥+-⨯所以，，又因为＝，22()4QM QN MN +≥2QM QN MN +≥QM QN +1)故，当且仅当时等号成立.1)MN ≥-1)QM QN ==故当点是的中点时，三条小径（QM ，QN，MN ）的长度之和最小，最小为；Q BC 1)（7分）（2）由（1）可知，故，1)QM QB =1sin 602BQM S QBQM =⋅⋅⋅︒A 21)QB -同理可得：，所以＝21)CQN S QC =ABQM CQN S S +A A 221)()QB QC +＝2)2]QB QC QB QC+-⋅22())24QBQC QB QC +≥+-⨯2)QB QC +＝（当且仅当时取得最小值）， 211250(3150QB QC ==11250(3故最少费用为.（12分） 11250(31001125000(3⨯=22.解：（1）因为 ()1cos 12(sin )sin 22x f x x x x x -=--=故的“伴随向量”，所以，与共线的单位向量为（3分） ()fx OM ⎫=⎪⎪⎭OM±（2）的“伴随函数”，OM ()()cos sin ,tan g bx a x b x a x ϕϕ=+=+=因为在处取得最小值，所以，当，即时，()f x 0x x =03π2π,Z 2x k k ϕ+=+∈03π2π,Z 2x k k -ϕ=+∈有最小值，()f x 03πsin sin 2πcos 2x k -ϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，03πcos cos 2πsin 2x k -ϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭所以，因为，所以，即 0cos 1tan sin tan b x a ϕϕϕ===22560(0)a ab b ab -+<≠2156()0b b a a -+<1132b a <<所以，则，令，则011(,)t 32an x ∈0020002tan 2tan 211tan tan tan x x x x x ==--011(,an )t 32t x =∈， 0011tan tan x t x t-=-因为均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，故1,y y t t ==-11(,)321y t t =-11(,)32，所以，， 001138tan (,)tan 23x t x t -=-∈0022tan 234tan 2(,11tan 43tan tan x x x x x ==∈--又因为，令，在上单调递0000tan 212tan(2141tan 21tan 2x x x x π--==-++034(,an 2t 43k x =∈211y k =-+34(,43增，故，故的取值范围为.（8分）2111(,177y k =-∈-+0tan(2)4x π-11(,)77-（3）由题意可知，，则，化简可得()cos h x x =cos cos cos()αβαβ+=+，即sin sin (1cos )cos cos αβαβα+-=-)cos βϕα+=-，当时，不符合题意，舍去；当时，)cos βϕα+=-cos 1α=cos 1α≠，故（12分）sin()[1,1]βϕ+=-cos [1]α∈--。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．若角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，则与2023 角终边相同的最小正角为（）A ．23°B ．137°C ．223°D ．337°【正确答案】C【分析】运用终边相同的角的定义求解即可.【详解】因为20233605223︒︒︒=⨯+，所以与2023︒角终边相同的最小正角为223︒.故选：C.2．已知向量()1,1a = ，()8,6b =- ，则2a b -的值为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【正确答案】B【分析】现根据平面向量坐标的线性运算求得2a b -，进而根据向量的模长公式求解即可.【详解】由()1,1a =，()8,6b =- ，可得()()()22,28,66,8a b -=--=-，所以210a b -=.故选：B.3．已知4sin 5α=，则7cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．－45【正确答案】C【分析】运用诱导公式化简即可.【详解】7π7ππ4cos()cos(4π)cos()sin 2225αααα+=+-=-==.故选：C.4．已知G 是△ABC 的重心，若(),R AG xAB y AC x y =+∈）则2x y -=（）A ．－1B ．1C ．13D ．－13【正确答案】D【分析】根据三角形重心的定义和向量的线性运算进行解决.【详解】由题意，画图如下：由重心的定义，可知：()2211133233AG AD AB AC AB AC =++=⋅= ，则11122333x y -=-⨯=-.故选：D.5．函数3πcos tan 02y x x x ⎛=⋅≤< ⎝且π2x ⎫≠⎪⎭的图象是下列图象中的（）A．B．C ．D．【正确答案】C【分析】根据函数的自变量，将函数变形为π3πsin ,0,22πsin ,.2x x x y x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.【详解】依题意，π3πsin ,0,22cos tan πsin ,.2x x x y x x x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或由此判断出正确的选项为C.故选：C.6．已知平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅= ，点P 在线段CD 上（不包含端点），则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[)1,8-B ．()0,8C ．[)1,10D ．()0,10【正确答案】A【分析】根据平面向量的数量积的定义，由4AB AD ⋅= 可得π3A =，再以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立坐标系，设(()15P x x <<，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得()221PA PB x ⋅=-- ，结合二次函数的性质即可求解.【详解】∵4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，∴cos 4AB AD A ⨯⨯=，即1cos 2A =，即π3A =，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴()0,0A ，()4,0B ，(D ，(C ，设(()15P x x <<，∴((,,4,PA x PB x =-=--，∴()()22434321PA PB x x x x x ⋅=-+=-+=-- ，设()()221f x x =--，∴()f x 在()1,2上单调递减，在[)2,5上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()58f x f <=，则PA PB ⋅的取值范围是[)1,8-.故选：A.7．已知函数()()tan (0,0)f x x ωϕωϕπ=-><<与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好为奇函数，则ϕ的值为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π4或3π4【正确答案】D【分析】根据题意求得()f x 的最小正周期为π3T =，得到3ω=，结合三角函数的图象变换，得到()tan(3π4)g x x ϕ=-+，由()g x 为奇函数，求得ππ,Z 42k k ϕ=-∈，进而求得ϕ的值.【详解】因为函数()()tan f x x ωϕ=-与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，可得函数()f x 的最小正周期为π3T =，所以2π3Tω==，所以()()tan 3f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到()tan(3π4)g x x ϕ=-+，又因为()g x 为奇函数，可得ππ,Z 42k k ϕ-=∈，即ππ,Z 42k k ϕ=-∈，因为0ϕπ<<，当0k =时，可得π4ϕ=；当1k =-时，可得43πϕ=，所以ϕ的值为π4或3π4.故选：D.8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC ，若2,sin 14EF ACF =∠=，则AC ＝（）A ．8B ．7C ．6D ．5【正确答案】B【分析】在ACF △中，设AF CE t ==，根据题意利用正弦定理可得73AC t =，然后利用余弦定理即可求解.【详解】在ACF △中，18060120AFC ∠=-= ，设AF CE t ==，则2CF t =+，由正弦定理可知，sin sin AF ACACF AFC=∠∠=，则73AC t =，在ACF △中，222||||2cos AC AF CF AF CF AFC =+-∠，()()22249122292t t t t t ⎛⎫=++-+⨯- ⎪⎝⎭，又0t >，则3t =，故773AC t ==，故选：B.二、多选题9．已知函数()f x 的图象可由函数()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度得到，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 在π[0,4上单调递增D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为1[0,]2【正确答案】ABD【分析】运用图象平移变换求得()f x 的解析式，运用公式2π||T ω=可判断A 项，运用偶函数的定义可判断B 项，求()f x 的单调递减区间，判断π[0,]4是否包含于()f x 的单调递减区间即可判断C 项，运用()f x 在π[0,]4上单调递减求()f x 的值域即可判断D 项.【详解】由题意知，1ππ1π1()sin(2()sin(2cos 2284222f x x x x =++=+=，对于A 项，2ππ2T ==，故A 项正确；对于B 项，()f x 的定义域为R ，11()cos(2)cos 2()22f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，故B 项正确；对于C 项，因为2π2π2πk x k ≤≤+，Z k ∈，解得：πππ2k x k ≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π[π,π]2k k +，Z k ∈，又因为ππ[0,][π,π]42k k ⊆+，Z k ∈，所以()f x 在π[0,4上单调递减，故C 项错误；对于D 项，由C 项知，()f x 在π[0,4上单调递减，1(0)2f =，π1π()cos 0422f ==，所以()f x 的值域为1[0,]2，故D 项正确.故选：ABD.10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂密，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，则下列说法正确的是（）A ．FB FD AE-= B ．2AD AF AF⋅= C ．AD 在AB 上的投影向量为ABD ．32AC AE AD+= 【正确答案】BCD【分析】可得DB与AE为相反向量可判断A ；利用数量积公式计算可判断B ；由投影向量的定义可判断C ；由图得直线AD 平分EAC ∠，且与EC 的交点H 为EC 中点，利用,EDH AEH 均为含π6的直角三角形，可判断D.【详解】对于A ，FB FD DB -= ，显然由图可得DB与AE 为相反向量，故A 错误；对于B ，π3DAF ∠=，AD AF =2 ，所以2πcos 3AD AF AD AF AF ⋅== ，故B 正确；对于C ，因为π2ABD ∠=，则AD 在AB 上的投影向量为AB，故C 正确；对于D ，由图易得AE AC =，直线AD 平分EAC ∠，且与EC 的交点H 为EC中点，且ACE △为正三角形，根据平行四边形法则有2AC AE AH += 与AD共线且同方向，ππ,26DHE DHC HED HCD ∠==∠=∠=，故3,33EH AH DH === ，则4AD DH = ，而26AH DH = ，故232AH AD= ，故32AC AE AD += ，故D 正确.故选：BCD.11．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列四个命题中正确的命题是（）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形C ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形D ．若tan tan tan 0A B C ++＜，则ABC 一定是钝角三角形【正确答案】AD【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A 选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出A 、B 的关系，可判断B 选项；利用余弦定理可判断C 选项；分析可知tan A 、tan B 、tan C 中一定有一个小于0成立，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为cos cos cos a b c A B C==，由正弦定理可得sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，则tan tan tan A B C ==，因为ABC 至少有两个锐角，从而可得tan tan tan 0A B C ==>，故ABC 为锐角三角形，因为正切函数tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，故A B C ==，所以，ABC 为等边三角形，A 对；对于B 选项，因为cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，因为A 、()0,πB ∈，所以，sin 0A >，sin 0B >,又因为A 、B 中至少有一个为锐角，则sin cos sin cos 0A A B B =>，则A 、B 均为锐角，所以，2A 、()20,π∈B ，所以，22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错；对于C 选项，2220a b c +->时，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，即C 为锐角，但A 、B 是否都是锐角，不能保证，因此ABC 不一定是锐角三角形，C 错；对于D 选项，因为A 、B 、()0,πC ∈，由tan tan tan 0A B C ++<，因为A 、B 、C 至少有两个锐角，则tan A 、tan B 、tan C 中至少有两个正数，可得tan A 、tan B 、tan C 中一定有一个小于0成立，不妨设tan 0C <，可得π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 为钝角三角形，所以D 正确．故选：AD ．12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，O 为ABC 的外心，4,5b c ==，ABC的面积S 满足()22b c a +-=．若AO AB AC λμ=+，则下列结论正确的是（）A ．π3A =B ．S =C ．92AO BC ⋅=-D ．1320λμ+=【正确答案】ACD【分析】结合题意和余弦定理得出π3A =，判断选项A ；利用三角形面积公式判断选项B ；利用平面向量的数量积运算判断选项C ；利用平面向量的基本定理即可求解D【详解】由()22b c a +-=，得2222sin b c a bc A+-+=2cos 2sin bc A bc A +=，即cos 1A A+得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πA <<，故ππ5π666A -<-<，∴ππ66A -=，即π3A =所以A正确；1sin 2S bc A ==，所以B 错误；()22119||||222AO BC AO AC AB AC AB ⋅=⋅-=-=- ，所以C 正确；由AO AB AC λμ=+ ，可知22AO AB AB AC ABAO AC AB AC AC λμλμ⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩得252510281016λμλμ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得：12,45μλ==，故1320λμ+=，所以D 正确．故选：ACD.三、填空题13．已知向量,a b 满足1,2,22a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为___．【正确答案】3π/13π【分析】根据平面向量数量积的性质求解即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，由22a b -= ，可得224a b -= ，即22444a a b b -⋅+= ，即2244cos 4a a b b θ-⋅⋅+=，即48cos 44θ-+=，即1cos 2θ=，又[]0,πθ∈，所以π3θ=故答案为.π314．已知定义在R 上的函数()f x 不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①()()=f x f x -；②()π4f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．请你写出符合上述条件的一个函数()f x ＝___．【正确答案】cos8x （答案不唯一）【分析】根据偶函数和周期性直接写出一个符合题意的函数即可.【详解】由题意可知，()f x 为偶函数，且周期为π4，所以可以取()cos8f x x =.故cos8x （答案不唯一）15．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC于点D ，且BD ，则a c +的最小值为___．【正确答案】4【分析】利用等面积法可得出ABC ABD BCD S S S =+△△△，化简可得111a c+=，将代数式a c +与11a c +相乘，展开后利用基本不等式可求得a c +的最小值.【详解】因为π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即1π1π1πsin sin sin 232626ac c BD a BD =⋅+⋅，即)44ac c a =+，即ac a c =+，所以，111c a ac a c +=+=，所以，()11224c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2a c ==时，等号成立，故a c +的最小值为4.故答案为.416．已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭），若方程()2[]1f x =在()0,3π上恰有5个实数解，则实数ω的取值范围为___．【正确答案】1316,99⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由2[()]1f x =可得()1f x =±，运用换元法令πππ3π666x t t ωω⎛⎫+=<<+ ⎪⎝⎭，将问题转化为sin y t =在ππ,366ωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上恰有5条对称轴，画sin y t =图象运用数形结合列式即可求得结果.【详解】当03πx <<时，πππ3π666x ωω<+<+，因为函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,3π)上恰好有5个x ，使得()1f x =±，故()f x 在(0,3π)上恰有5条对称轴．令πππ3π666x t t ωω⎛⎫+=<<+ ⎪⎝⎭，则sin y t =在ππ,366ωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上恰有5条对称轴，如图：所以9ππ11π3π262ω<+≤，解得1316,99ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故答案为.1316,99⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题17．已知平面向量()()1,2,3,2a b ==-- ．(1)若()2c a b ⊥+ ，且5c = c 的坐标；(2)若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【正确答案】(1)()2,1--或()2,1(2)()5,00,7⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可；（2）由题意可得()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可.【详解】（1）由()()1,2,3,2a b ==-- ，所以()()()22,43,21,2a b +=+--=- ，设(),c x y = ，因为()2c a b ⊥+ ，所以()220c a b x y ⋅+=-+= ，因为5c = 225x y +=解得21x y =-⎧⎨=-⎩，或21x y =⎧⎨=⎩，所以c的坐标为()2,1--或()2,1.（2）由()()1,2,3,2a b ==-- ，所以()()()1,23,213,22a b λλλλλ+=+--=-- ，因为a 与a b λ+ 的夹角为锐角，所以()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不共线，()()132********λλλλ⎧-+->⎪⎨-≠-⎪⎩，解得57λ<且0λ≠，即实数λ的取值范围为()5,00,7⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.18．函数()()πsin (0,0)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)求()f x 在[]π,0-上的单调递减区间及对称轴．【正确答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)单调减区间为5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；对称轴方程为5π6x =-和π3x =-【分析】（1）由函数图像得2A =，计算得周期πT =，从而得2ω=，再代入最大值计算可得ϕ值，从而可得函数解析式；（2）由整体法计算函数()f x 的单调递减区间和对称轴方程，然后结合[]π,0-的范围，可得答案.【详解】（1）由图可得2A =，周期为2ππ2π2π36T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以2ω=，因为0ω>，所以2ω=；根据图像可得ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ,63k x k k +≤≤+∈Z ，令ππ2π,62x k k +=+∈Z ，解得对称轴方程为：ππ,26k x k =+∈Z ；所以()f x 单调递减区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；对称轴方程为：ππ,26k x k =+∈Z 所以()f x 在[]π,0-上的单调减区间为5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；()f x 在[]π,0-上的对称轴方程为5π6x =-和π3x =-19．已知π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且函数()sin tan f ααα=(1)化简()f α；(2)若函数()()2π222g x f x f x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，试求其最大值．【正确答案】(1)cos α-(2)338【分析】（1）由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得sin 0,cos 0αα<>，结合同角三角函数关系化简即可；（2）根据题意可得()g x 的定义域为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得()21332sin 48g x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，进而求解.【详解】（1）π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα∴<>()sin tan f ααα∴=-sin sin cos ααα=1cos sin cos sin sin cos sin ααααααα+=⋅-⋅--cos α=-.（2）π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ,022x ⎛⎫∴--∈- ⎪⎝⎭，()g x ∴的定义域为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()222π1332cos cos 22sin sin 42sin 248g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴当sin 14x =-时，()g x 取最大值338.20．如图，在菱形ABCD 中，4,60AB BAD ∠== ，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且AE EB = ，3BF FC = ，连接ED 、AF ，交点为G ．(1)设AG t AF = ，求t 的值；(2)求EGF ∠的余弦值．【正确答案】(1)411t =(2)【分析】（1）324t AG t AF t AE AD ==+ ，由,,D G E 三点共线得DG DE λ= ，(1)AG AE AD λλ=+- ，结合平面向量基本定理可求得t ；（2）取,AB AD 作为平面的一组基底，用基底表示出向量,DE AF uuu r uu u r ，求出DE AF ⋅ ，DE ，AF ，由向量夹角公式即可求得答案.【详解】（1）()33244t t AG t AF t AB BF t AB AD t AE AD ==+=+=+ ，又D ，G ，E 三点共线，则DG DE λ= ，则()()1AG AD DG AD DE AD AE AD AE AD λλλλ=+=+=+-=+- ，因为AD ，AE 不共线，由平面向量基本定理，得2t λ=且314t λ=-，解得411t =.（2）取AB ，AD 作为平面的一组基底，则,1324DE AE AD AB AD AB B A A AF F B D =-=-=+=+ ，则44cos608AB AD ⋅=⨯⨯= ，221315324284DE AF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221534849284=⨯-⨯-⨯=-.DE ====，AF ====cos cos ,74DE AF EGF DE AF DE AF ⋅∠===- ．21．已知函数()21cos cos 2f x x x x =-+．(1)若123f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，求sin α的值；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求a b 的取值范围．【正确答案】(2)12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得到π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而求得πcos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求得sin α.（2）由122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 的取值范围，求得a b 的取值范围.【详解】（1）因为()2cos211πs 1cos co in 2226s 2f x x x x x x x +⎛⎫=-+==-+ ⎝-⎪⎭，所以π1sin 263f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，则ππ,663πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 63α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故11sin 332α=⨯=（2）由π1sin 262C f C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππππ0,,2663C C ⎛⎫∈-<-< ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，即π3C =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得2πsin sin 13sin sin 2B a A b B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，因为ABC 是锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<．所以3tan 0,32tan 2B B ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，所以11,222a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即a b 的取值范围为12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．某公园有一块矩形空地ABCD ，其中AB BC ⊥，AB =2BC =百米．为迎接“五一”观光游，欲从边界AD 上的中点P 处开始修建观赏小径PM ，PN ，MN ，其中M ，N 分别在边界AB ，CD 上，小径PM 与PN 相互垂直，区域PMA 和区域PND 内种植绣球花，区域PMN 内种植玫瑰花，区域BMNC 内种植杜鹃花．设APM α∠=．(1)设种植绣球花的区域的面积为S ，试将S 表示为关于α的函数，并求其取值范围；(2)为了节省建造成本，公园负责人要求观赏小径的长度之和（即PMN 的周长l ）最小．试分析当α为何值时，PMN 的周长l 最小，并求出其最小值，【正确答案】(1)11tan 2tan S αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；⎡⎢⎣⎦(2)当π4α=时，PMN 的周长l 取得最小值，最小值为2百米【分析】（1）结合题意可得ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而可得11tan 2tan PAM PDN S S S αα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，再结合对勾函数的性质即可求解；（2）在直角PAM △中，1cos PM α=，在直角PND △中，1sin PN α=，由勾股定理得，1cos sin MN αα=，可得()1sin cos sin cos f ααααα++=，令sin cos t αα=+，进而求解即可.【详解】（1）由题意，当点M 位于点B 时，角α取最大值，此时tan α=因为π02α<<，所以π3α=，当点N 位于点C 时，由对称性知DPN ∠取最大值π3，角α取最小值πππ236-=，所以角α的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在直角PAM △中，tan AM α=；在直角PND △中，1tan DN α=，所以种植绣球花的区域的面积1111tan 222tan PAM PDN S S S PA AM PD DN αα⎛⎫=+=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，令tan x α=，则由ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知，3x ∈⎣，所以112S x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质知，函数在,13⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，在(上单调递增，12,3x x ⎡+∈⎢⎣⎦，所以S的取值范围为⎡⎢⎣⎦.（2）在直角PAM △中，1cos PM α=，在直角PND △中，πcos cos sin 2PD DPN PN ∠αα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭且1PD =，所以1sin PN α=，在直角PMN 中，由勾股定理得，2222222111cos sin cos sin MN PM PN αααα=+=+=，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0,cos 0a α>>，所以1cos sin MN αα=，所以()1111sin cos sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos t αα=+，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π4t α⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎣，又由21sin cos 2t αα-=，可得()212112t g t t t +==--，且()g t在⎣上单调递减，当t =时，() min 2g t ==，此时π4t α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π4α=，综上，当π4α=时，PMN 的周长l取得最小值，最小值为2百米。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A ．6232-B ．3636-4．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4A．42B．二、多选题：（本题共4小题，每小题合题目要求．全部选对的得9．若复数2022i iz=+（i为虚数单位）z=B．A．1四、解答题：（本题共6小题，共70分，其中第字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知1a = ，2b = ，且()()243a b a b +⋅-=(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图像向右平移的12，纵坐标不变，得到函数(1)求ABD △的面积；(2)求点C D ，之间的距离．20．△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC(1)求AM；(2)求MPN ∠的余弦值.【详解】12AB BD AB BC AB =+=+= ()1132ED DB AB AC +=+=⨯ ，观察图形可知，当点P 在线段CD 上时，且684CBM πππ∠=-=，则BM = 故AP AB ⋅的最大值为(AM AB ⋅= 故选：C.9．CD所以()221111122222AM BN AB AC AC AB AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22111111=72124=13222222AM BN AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21=18124102BN AC AB ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，所以131310cos ===50510AM BN AM BN AM BN ⋅⨯⋅ ，，又MPN ∠与,AM BN的夹角相等，所以1310cos =50MPN ∠，所以MPN ∠的余弦值为131050.22．(1)43310-(2)()3,1--【分析】（1）先通过已知条件求得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，通过配角的方法并结合正弦差角公式求得sin x 的值；（2）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，通过参变分离转化为最值问题进而求得答案.【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON =的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}210,124x A x x B x =-≤=≤≤∣∣，则A B = （）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．[)1,0-D ．[]1,0-A ．(21)y f x =-B ．y =C ．(12)y f x =-D ．y =7．已知函数()*()sin cos N n n f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（①1n =时，()f x 的最大值为2；A ． AP的长度为αβ-B ．扇形11OA P 的面积为αβ-C ．当1A 与P 重合时，12sin AP β=D ．当3πα=时，四边形11OAA P 面积的最大值为12．如图，设()0,πα∈，且π2α≠，当A ．设(),a m n = ，(),b s t = ，若B ．设(),a m n = ，则2a m =+C ．设(),a m n = ，(),b s t = ，若(1)求AM BC ⋅ ；(2)若45BAC ∠=︒，求MPN ∠的余弦值，20．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观h x 的实数解的个数.于x的方程()012()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.当1m <时，直线y m =与函数当1m =或54m ≥时，()h x =当514m <<时，()0h x =在(综上，1m <或54m >时，(h。

2022-2021学年湖北省武汉二中、麻城一中高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2021春•麻城市校级期中）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（）A．a2＞b2 B．ac＞bc C．|a|＞|b| D．2a＞2b考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：对于A，B，C举反例即可比较，对于D，考察指数函数y=2x的单调性即可得出．解答：解：对于A，当a=0，b=﹣1时，a2＜b2，故A不成立，对于B，当c=0时，不成立，对于C，当a=0，b=﹣1时，|a|＜|b|，故C不成立，对于D，依据指数函数y=2x为增函数，故2a＞2b，故成立，故选：D．点评：本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由任意角的三角函数的定义可得tanα==，由此求得角α的最小正值．解答：解：由任意角的三角函数的定义可得tanα===，故角α的最小正值为，故选C．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2021春•麻城市校级期中）若向量，满足，，则•=（）A．1 B． 2 C． 3 D． 5考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：通过将、两边平方，利用||2=，相减即得结论．解答：解：∵，，∴（+）2=10，（﹣）2=6，两者相减得：4•=4，∴•=1，故选：A．点评：本题考查向量数量积运算，留意解题方法的积累，属于基础题．4．（5分）（2021春•麻城市校级期中）在等比数列{a n}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值等于（）A．1 B．﹣C．1或D．﹣1或考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：依据题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出公比q的值．解答：解：∵在等比数列{a n}中，a3=7，S3=21，∴，化简得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1或，故选：C．点评：本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想，若利用等比数列的前n项和公式遗忘q=1的状况，属于基础题．5．（5分）（2021春•麻城市校级期中）已知f（x）=，则不等式f（x）＜f（4）的解集为（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由分段函数可得f（4）=2，争辩x的范围，由不等式的解法，即可得到所求解集．解答：解：由f（x）=，可得f（4）=2，当x≥0时，f（x）＜2可得＜2，解得0≤x＜4；当x＜0，f（x）＜2可得﹣x2+3x＜2，解得x＜0；综上可得x＜4，即不等式的解集为（﹣∞，4）．故选：B．点评：本题考查分段函数及运用，主要考查不等式的解法，考查运算力气，属于中档题．6．（5分）（2021春•麻城市校级期中）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：依据函数的图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．解答：解：由函数的图象可得T=•=+，∴ω=．再依据五点法作图可得（﹣）+φ=π，求得φ=，∴f（x）=2sin （x+），故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D． 2考点：简洁线性规划．专题：数形结合．分析：先依据曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．解答：解：画出可行域，如图所示解得A（﹣2，2），设z=2x﹣y，把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min=2×（﹣2）﹣2=﹣6，故选A．点评：本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．8．（5分）（2022•青浦区三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n ，代入可得==，裂项可求和解答：解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题9．（5分）（2021春•麻城市校级期中）已知实数a、b、c满足b+c=6﹣4a+3a2，c﹣b=4﹣4a+a2，则a、b、c的大小关系是（）A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b。

湖北省武汉市高一下学期数学期中考前模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·蔡甸模拟) 运行如图所示的流程图，则输出的结果S是（）A .B .C . ﹣1D . 12. （2分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）①从30件产品中抽取3件进行检查．②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．A . ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B . ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样C . ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D . ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样4. （2分） A=15,A=-A+5,最后A的值为（）A . -10B . 25C . 15D . 无意义5. （2分）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A . 30B . 25C . 20D . 156. （2分）(2018·济南模拟) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是（）A . 46，45，56B . 46，45，53C . 47，45，56D . 45，47，537. （2分）下列说法正确的是（）A . 甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样B . 期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好C . 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D . 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好8. （2分）某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A . 9.2B . 9.5C . 9.8D . 109. （2分）(2018·宣城模拟) 从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·清城期末) 若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A . 114B . 10C . 150D . 5011. （2分）(2018·河北模拟) 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·舒城期末) 已知单位圆有一条长为的弦，动点在圆内，则使得的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·黑龙江模拟) 某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=________．14. （1分） (2017高二上·定州期末) 如图所示，程序框图的输出结果是________．15. （1分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为________16. （1分）定义：min{a，b}=，在区域内任取一点P（x，y），则x、y满足min{x2+x+2y，x+y+4}=x2+x+2y的概率为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）(2013·四川理) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（2）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计图（部分）运行次数n输出y的值为1的频输出y的值为2的频输出y的值为3的频数数数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；（3）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．18. （5分）(2018·齐齐哈尔模拟) 近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:愿意接受外派人数不愿意接受外派人数合计80后20204090后402060合计6040100(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为 ,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为 ,求的概率.参考数据:参考公式: ，其中19. （10分）(2020·洛阳模拟) “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.（1）最低录取分数是多少?(结果保留为整数)（2）考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料: ⑴当时，令，则 .⑵当时，，，.20. （5分） (2017高二下·仙桃期末) 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．21. （10分） (2016高一下·南市期末) 袋子中放有大小和形状相同的四个小球，它们的标号分别为1、2、3、4，现从袋中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球的标号为a，第二次取出的小球的标号为b，记事件A为“a+b≥6“．（1）列举出所有的基本事件（a，b），并求事件A的概率P（A）；（2）在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2≥12P（A）“的概率．22. （15分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数、平均数各是多少？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。