【高中数学】武汉市2021年二月调研测试数学试卷：试题难度较大应试技巧有待提

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷本试题卷共4页,19题,全卷满分150分。

考试用时120分钟。

⋆祝考试顺利⋆注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A =x |2x 2+x -1<0 ,B =y y =lg x 2+1 ,则A ∩B =A.-1,0B.0,12C.-12,0D.0,12.复数z 满足2z +3z=5-2i ,则|z |=A.3B.2C.5D.63.已知ab ≠1,log a m =2,log b m =3,则log ab m =A.16B.15C.56D.654.将3个相同的红球和3个相同的黑球装人三个不同的袋中,每袋均装2个球,则不同的装法种数为A.7B.8C.9D.105.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过抛物线上点P 作其准线的垂线,设垂足为Q ,若∠PQF =30°,则|PQ |=A.23B.33C.34D.326.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时,用光波依次透过n 层薄膜,记光波的初始功率为P 0,记P k 为光波经过第k 层薄膜后的功率,假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率T k =P k P k -1=12k ,其中k =1,2,3⋯n ,为使得P n P 0≥2-2024,则n 的最大值为A.31B.32C.63D.647.如图,在函数f (x )=sin (ωx +φ)的部分图象中,若TA =AB,则点A 的纵坐标为A.2-22 B.3-12C.3-2D.2-38.在三棱棱P -ABC 中,AB =22,PC =1,P A +PB =4,CA -CB =2,且PC ⊥AB ,则二面角P -AB -C 的余弦值的最小值为A.23B.34C.12D.105二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。

湖北省武汉市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．10D ．5 【答案】D【解析】【分析】 建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离.【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，可得22y x =-∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =.故选：D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.2．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．B ．C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ；∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +， 即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩， 解得a ＝3，b ＝4，∴z ＝3+4i ，∴|z|5=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 3．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x = 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p ，即可得到抛物线方程．【详解】由抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得122p =，1p ∴=，所以抛物线的标准方程为：y 2＝2x ． 故选B ．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．4．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 【答案】A【解析】【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1，又因为O AMC M AOC V V --=，所以123AMC AOC d S S ⨯⨯=V V ， 又因为()()221122526,221222AMC AOC S S =⨯-==⨯=V V 所以12633d ⨯=，所以63d =， 所以截面圆的半径22313r d =-=，所以截面圆的面积为233S ππ=⋅=⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．132【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】 程序运行过程如下： 3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =； 3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 8．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C 3D 5【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 2212||(1)25z i z ∴=-+⇒=-+=.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.9．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个．10．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）A ．324B ．522C ．535D ．578【答案】D【解析】【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．3π1633【答案】D【解析】【分析】 结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π33V V V =+=+故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.12．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”【答案】B【解析】【分析】解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误；命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确；命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误；命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得,12||||||22p pAB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线的定义可知()1212||||||22p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 3．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.4．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+ B ．51RQ + C 51RD - D 51- 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】 解：515122AT ES SD SR RD QR -+-=-==. 故选：A本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．5．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <，函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．7．已知三点A(1,0)，B(0，3 )，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．213C ．253D ．43【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】选B.考点：圆心坐标8．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C.本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 10．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．e C ．24e D ．21e 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，()()xg x f e=，由()()()120f x g x k k ==<可得出101x<<，20x <，利用导数可得出函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，进而可得出21xx e =，由此可得出()22221x x x g x k x e ===，可得出2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2k h k k e =，利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解.【详解】()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x-'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C.本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 11．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8- C ．4 D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)xy ax e =+，所以(2)xy e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）A ．±1B ．)1±C ．)1±D ．【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三下学期2月教学质量调研数学（文）试题含答案本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：椎体的体积公式：V=，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高。

第I卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=，B=，则=A. B. C. D.2.设复数z=（7+3i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在下列函数中既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为A. B. C. D.4. 已知向量=（1,2），=(-4,m),若2+与垂直，则m=A. -3B.3C. -8D. 85．已知x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为A.6B.8C.10D. 126. 下列说法错误的是A.若a,b，且a+b>4,则a,b至少有一个大于2B.“，=1”的否定是“，1C.a>1,b>1是ab>1的必要条件D.中，A是最大角，则是为钝角三角形的充要条件7. 已知函数f（x）=，则的值为A. B. C.15 D.8. 将函数y=的图像沿x轴向右平移a(a>0)个单位后，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为A. B. C. D.9. 已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若>0，则该双曲线的离心率e的取值范围是A.（，+1）B.（1，+1）C.（1，）D.10. 已知函数是定义在R上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数x，有->0，则A.ef（xx）>f(xx)B.ef（xx）<f(xx)C.ef（xx）=f(xx)D.ef（xx）与f(xx) 大小不确定第II卷（共100分）二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

2024武汉市高三二月调研测试数学试卷及答案(公布)高考数学选择题答题技巧有哪些1、高考数学养成良好的考试习惯。

拿到试卷，首先填写好姓名和考号，快速浏览试卷，把握全卷的难易，把容易的题的题号写在草稿纸的最顶端，再做题，遇到卡壳，马上跳过去做容易的题。

这样保证最大限度发挥你的实力，也解决了由于过度紧张导致的暂时遗忘影响高考考试发挥的问题。

注意选择题机读卡的填涂问题，做完一道大题就填一部分，把第一卷做完后及时填涂，以避免全部做完再填时没时间。

2、高考数学把握好审题关。

很多学生练习了很多题，题与题之间有些相似，但又有区别，做选择题一不小心就会习惯性主观附加已知条件，导致最终出错。

要求“字字看清，句句读懂，理解题意”，审两遍题，明确已知条件和隐含的已知条件。

高考数学选择题如何答能提高正确率一、利用已知高考数学条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

二、对于具有一般性的高考数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

值得注意的是，特殊值法常常也与排除法同时使用。

三、将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何、立体几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，采用极端性去分析，就能瞬间解决问题。

四、利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出高考数学结果的方法。

高考数学答题技巧先易后难、先熟后生：先做简单题、熟悉的题，再做综合题、难题。

应根据实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，可以增强信心。

先小后大：小题一般信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在做大题之前尽快解决，为解决大题赢得时间。

先局部后整体：对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的策略是：将它划分为一个个子问题或一系列步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。

2021-2021年湖北省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．3．设a=2﹣2，，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58．数列{a n}满足，则数列{log2a n}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．409．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）A．12 B．8C．8D．810．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图，且过点，则以下结论不正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数11．设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2C．5 D．412．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x2﹣1，若关于x 的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，4﹣）B．（8﹣2，4﹣2）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上13．函数的定义域为．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则a7=．15．若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是．16．已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，sin（B﹣A）+cos （A+B）=0．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积为3+，求a，c的值．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且a1=1，a n a n+1=2S n．（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．20．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．21．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=log a x++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|0＜x＜2}=（0，2），则A∪B=（﹣1，2），故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．3．设a=2﹣2，，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2﹣2=，1=30＜=＜2，c=log25＞log24=2，∴a＜b＜c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意利用指数函数、对数函数的单调性的合理运用．4．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零，得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意将f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，说明两个函数相位差是2π的整数倍，求出ω的值即可．【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位，所得的图象解析式为：y=sin （ωx+ω+φ），将函数f（x）的图象右平移个单位所得的图象解析式为：y=y=sin（ωx﹣ω+φ），若所得图象重合，∴ω+ω=2kπ，k∈Z，解得ω=4k，k∈Z，∵ω＞0，可解得ω的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，相位差是函数周期的整数倍，是本题解题关键．8．数列{a n}满足，则数列{log2a n}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．40【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而，进而log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前10项和S10．【解答】解：∵数列{a n}满足，∴{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．故选：A．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用．9．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）A．12 B．8C．8D．8【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】将sinA+cosA=两边平方，可解得sin2A=﹣，结合范围0＜A＜π，可得：cosA=﹣，由正弦定理化简3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，根据余弦定理可得49=b2+c2+bc②，由①②联立可解得b，c的值，从而得解．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴两边平方，可得：1+sin2A=，解得：sin2A=﹣，∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，∴解得：A=或（由sinA+cosA=舍去），可得：cosA=﹣，∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，∴由a=7，根据余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，∴49=b2+c2+bc②，∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8．故选：D．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图，且过点，则以下结论不正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由图象可得A=2，由图象过点B（0，﹣1），即2sinϕ=﹣1，结合|ϕ|＜，解得ϕ=﹣．由图象过点A（，0），可得2sin（ω﹣）=0，解得：ω=k+，k∈Z，解析式可为f（x）=2sin（x﹣），利用正弦函数的图象和性质即可逐一求解．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）图象最高点的纵坐标为2，所以A=2，∵图象过点B（0，﹣1），∴2sinϕ=﹣1，∴ϕ=2kπ+，k∈Z，或ϕ=2kπ+，k∈Z∵|ϕ|＜，∴ϕ=﹣．∵图象过点A（，0），∴2sin（ω﹣）=0，解得：ω=k+，k∈Z．∴k=0时，可得：ω=，故所求解析式为f（x）=2sin（x﹣）．则：A，由2sin[×（﹣）﹣]=﹣2sin≠±2，故错误；B，2sin（×﹣）=﹣2sin≠0，故错误；C，由2k≤x﹣≤2kπ，解得单调递增区间为：[7kπ﹣，7kπ+]，k∈Z，当k=0时，⊂[﹣，]，故正确；D，由2k≤x﹣≤2kπ+，解得单调递减区间为：[7kπ+，7kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[，]，故错误．故选：C．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．11．设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2C．5 D．4【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式．【分析】根据基本不等求出a，b的值，再利用换元法，求出f（t）的最小值即可．【解答】解：a2+=a2+b2﹣ab+b（a﹣b）+≥2ab﹣ab+2=ab+4，∴f（x）=+bsin2x≥2，∵b（a﹣b）≤=，当且仅当a=2b时取等号，∴a2+≥a2+≥2=8，当且仅当a2=4时，即a=2时取等号，此时b=1，∴f（x）=+bsin2x=+sin2x，设sin2x=t，则t∈（0，1]，∴y=+t，∴y=+t在（0，1]上单调递减，∴y min=+1=3，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用和函数的单调性和最值的关系，属于中档题．12．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x2﹣1，若关于x 的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，4﹣）B．（8﹣2，4﹣2）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；分类讨论；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），即f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数的周期是4的周期函数，若x∈[﹣1，0]时，则﹣x∈[0，1]时，此时f（﹣x）=x2﹣1=f（x），即f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]，综上f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]，若x∈[﹣2，﹣1]时，则x+2∈[0，1]，则由f（x+2）=﹣f（x），得f（x）=﹣f（x+2）=﹣[（x+2）2﹣1]=1﹣（x+2）2，x∈[﹣2，﹣1]若x∈[1，2]时，则﹣x∈[﹣2，﹣1]时，则f（﹣x）=1﹣（﹣x+2）2=1﹣（x﹣2）2=f（x），即f（x）=1﹣（x﹣2）2，x∈[1，2]，即函数在一个周期[﹣2，2]上的解析式为f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，等价为f（x）=kx=0恰有三个不同的实数解，即函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，作出函数f（x）和y=kx的图象如图：当x∈[1，2]时，由f（x）=1﹣（x﹣2）2=kx，得x2+（k﹣4）x+3=0，由判别式△=（k﹣4）2﹣12=0得k﹣4=±2，即k=4±2，由1＜＜2，解得0＜k＜6则k=4﹣2，此时两个函数有2个交点．当x∈[﹣4，﹣3]时，x+4∈[0，1]时，则f（x）=f（x+4）=（x+4）2﹣1，x∈[﹣4，﹣3]，此时当f（x）与y=kx相切时，即（x+4）2﹣1=kx，即x2+（8﹣k）x+15=0，判别式△=（8﹣k）2﹣4×15=0得k﹣8=±2，即k=8±2，由﹣4＜﹣＜﹣3，得0＜k＜2，即k=8﹣2，此时两个函数有4个交点．故若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8﹣2＜k＜4﹣2，故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性和解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的图象交点问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上13．函数的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴1﹣lg（x2﹣3x）≥0，即lg（x2﹣3x）≤1，∴0＜x2﹣3x≤10，解得﹣2≤x＜0或3＜x≤5，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．故答案为：[﹣2，0）∪（3，5]．【点评】本题考查了对数函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数性质的灵活运用与等价转化，是基础题．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则a7=64．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质结合已知求得a3=4，进一步求得公比，再代入等比数列的通项公式求得a7．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2a4=16，得，则a3=4（与a1同号），则，∴．故答案为：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．15．若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是[，1）．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质求出f（x）在（﹣∞，2]的最大值，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤2时：f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1，f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，2]递减；∴f（x）的最大值是﹣1，而f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，故0＜a＜1，∴≤﹣1，解得：a≥，故答案为：[，1）．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．16．已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f′（x）=x2+2x+a，由于函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，可得：f′（x）≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣2，a]．对a分类讨论即可得出．【解答】解：f′（x）=x2+2x+a，∵函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，∴f′（x）=x2+2x+a≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=x2+2x+a，x∈[﹣2，a]．g（x）=（x+1）2+a﹣1，①当﹣2＜a＜﹣1时，函数g（x）在x∈[﹣2，a]单调递减，∴必有g（a）=a2+3a≥0，解得a≤﹣3或a≥0，舍去．②当﹣1≤a时，函数g（x）在x=﹣1时取得最小值，∴必有g（x）≥g（﹣1）=1﹣2+a≥0，解得a≥﹣1，满足条件．综上可得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），由，可求2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的图象和性质可求f（x）的取值范围．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=f（x+）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）===sin（2x﹣），∵时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]．∴函数f（x）的取值范围为：[﹣，1]…6分（2）∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k，kπ+]，k∈Z (12)分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，sin（B﹣A）+cos （A+B）=0．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积为3+，求a，c的值．【考点】解三角形．【专题】计算题；分类讨论；分类法；解三角形．【分析】（1）将sin（B﹣A）+cos（A+B）=0化简得（sinB+cosB）（cosA﹣sinA）=0，然后分情况讨论解出B和A要注意角的范围．（2）借助于（1）中的结论，利用正弦定理得出==，由面积公式得出ac==4，联立方程组即可解出答案．【解答】解：（1）∵sin（B﹣A）+cos（A+B）=0．∴sinBcosA﹣cosBsinA+cosAcosB﹣sinAsinB=0cosA（sinB+cosB）﹣sinA（sinB+cosB）=0（sinB+cosB）（cosA﹣sinA）=0①若sinB+cosB=0，则sinB=，cosB=﹣，B=，C=﹣A∵=，∴=，即=，整理得：cos2A﹣sin2A﹣sinAcosA=cosA．∴cos2A﹣sin2A=cosA，即cos（2A+）=cosA∴2A+=A+2kπ或2A+=﹣A+2kπ．k∈Z．∴A=2kπ﹣或A=又∵0，∴上式无解．②若cosA﹣sinA=0，则sinA=cosA=，A=，C=﹣B．∵=，∴=，即=，整理得：﹣+sinBcosB+cosB=0∴+sin2B=﹣cosB，即sin（2B+）=﹣sin（）=sin（B﹣），∴2B+=B﹣+2kπ或2B+=π﹣（B﹣）+2kπ．k∈Z．∴B=2kπ﹣或B=+．又∵0＜B＜，∴B=．∴sinB=sin（+）==．（2）由（1）可知A=，B=，∴C=．∵S=acsinB=3+，∴ac==4．∵=，∴==，∴a=2，c=2．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，涉及分情况讨论思想．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且a1=1，a n a n+1=2S n．（n∈N*）（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）当n=1时，求出a 2=2，当n ≥2时，求出a n+1﹣a n ﹣1=2，由此能求出a n =n ，n ∈N *． （2）由a n =n ，=n •2n ，利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和．【解答】解：（1）∵数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a 1=1，a n a n+1=2S n ．（n ∈N *）， ∴当n=1时，a 1a 2=2a 1，解得a 2=2，当n ≥2时，a n ﹣1a n =2S n ﹣1，a n （a n+1﹣a n ﹣1）=2a n ， ∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a 2n ﹣1=2n ﹣1， a 2，a 4，…，a 2n ，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a 2n =2n ， ∴a n =n ，n ∈N *． （2）∵a n =n ， =n •2n ， ∴数列{}的前n 项和：T n =1•2+2•22+3•23+…+n •2n ，①2T n =1•22+2•23+…+（n ﹣1）•2n +n •2n+1，② ②﹣①，得：T n =n •2n+1﹣（2+22+23+…+2n ） =n •2n+1﹣=（n ﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查数列通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x （x ∈N *，x ≤16）年末可以以（80﹣5x ）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次函数的最值求法，即可得到最大值；（2）求得年平均利润为，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x 的值．【解答】解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），由二次函数的性质可得，当x=8时，y max=44，即有总利润的最大值为44万元；（2）年平均利润为=16﹣（x+），设f（x）=16﹣（x+），x＞0，由x+≥2=4，当x=2时，取得等号．由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．【点评】本题考查二次函数的模型的运用，考查最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=log a x++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）先利用方程组思想，求出f（x）的解析式，再利用导数，求f（x）的极值；（2）构造函数，利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）+2f（）=log a x++①∴f（）+2f（x）=﹣log a x++，②由①②可得f（x）=﹣log a x+，∴f′（x）=﹣+=0，∴x=1，a＞1时，x=1取得极小值；0＜a＜1时，x=1取得极大值；（2）设h（x）=﹣log a x++﹣，则h′（x）=﹣+﹣=，a＞1时，x=取得极小值，h（x）≥h（）＞0，∴f（x）＞f′（x）；0＜a＜1时，x=取得极大值，h（x）≤h（）＜0，∴f（x）＜f′（x）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键，属于中档题．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出的值．（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，∴△EDC∽△EBA，∴，==，∴=．证明：（2）∵EF2=FA•FB，∴，∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA=∠EBF，∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【点评】本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．【点评】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．（2）根据=（+）•，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=．（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）•=[1+++4]=+（+）≥+•2=6，当且仅当=时，取等号，故的最小值为6．【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的因公，属于中档题．。

2021年湖北省武汉部分学校毕业生二月调研考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，定义域和值域相同的是（ ） A ．2y x =和2xy = B ．sin y x =和tan y x = C ．3y x =和2log y x = D ．2y x =和y x =2．定义{|,}x y x y A +B =+∈A ∈B ，设集合{}0,1i M =+， 130,2i i --⎧⎫N =⎨⎬+⎩⎭，则集合M+N 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种4．设抛物线1C : 22y x =与双曲线2C : 22221x y a b-=的焦点重合，且双曲线2C 的渐近线为y =，则双曲线2C 的实轴长为（ ） A ．1 B ．12 C ．14 D ．1165．把函数y =cos(π3−2x)的图象向右平移π12，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)为（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．22 B 56．3 7．7．设0x >，则“1a ≥”是“2ax x+≥恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（ ）A ．年龄数据的中位数是40，众数是38B ．年龄数据的中位数和众数一定相等C ．年龄数据的平均数x̅∈(39,40)D ．年龄数据的平均数一定大于中位数9．如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ）A ．45B ．110C ．90D ．5510．设椭圆22214x y a +=和双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为e ，则2e 等于（ ）A ．512+ B ．312+ C ．3 D ．5二、填空题11．已知矩形ΑΒCD 中，ΑΒ=2，ΒC =1，点Ρ是ΒD 上任意一点，则ΒΡ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是 ．12．在三角形C AB 中， A ， B ， C 是三角形C AB 的内角，设函数()22C 2sinsin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f A 的最大值为 ．13．设x ， y 满足约束条件()2log 22{1x y x y +≤-≤，则z x y =+的最大值为 ．14．已知矩形 A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知直线PA 切圆O 于点A ，直线PO 交圆O 于点B 、C ，若C 23P =+，1PA =，则圆O 的半径长为 ．16．选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知抛物线C:22y px =（0p >），直线l的参数方程：2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．写出抛物线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程 、 ．参考答案1．D 【解析】试题分析：因为2y x =和2xy =的定义域和值域都不相同，所以不选;A 同理不选B ；3y x =和2log y x =定义域分别是R ，(0,)+∞，值域均为R ，所以不选C ；2y x =和y x =的定义域均为R ，值域为[0,)+∞，选D 考点：函数的定义域、值域. 2．B【解析】试题分析：因为()()()()13213551,2225i i i ii i i i -------===--++-所以{}0,1i N =--.所以{}0,1,1i i M +N =+--，共有3个元素，选B . 考点：1.复数的四则运算；2.新定义集合的运算. 3．C 【解析】试题分析：把5名学生分成3组，则有113，，或122，，两种分法，若为113，，时，有335360C A =种分法，若为122，，时，有122354231902C C C A =种分法，所以共有9060150+=种分法，故选C . 考点：简单排列组合问题. 4．B【解析】试题分析：由已知，抛物线1C : 22y x =的焦点1,02⎛⎫⎪⎝⎭即为双曲线2C : 22221x y a b -=的焦点，又双曲线2C的渐近线为y =，所以b a =则2221{ 2bac c a b ===+，解得14a =，所以双曲线2C 的实轴长为122a =，选B . 考点：1.双曲线的几何性质；2.抛物线的几何性质. 5．A 【解析】试题分析：由题意得,f(x)=cos[π3−2(x −π12)]=cos(π2−2x)=sin2x ，所以f(x)是周期为π的奇函数，选A .考点：1.三角函数图象的变换；2.三角函数的图象和性质. 6．B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABE S S S =⨯⨯===⨯⨯=151522ACD S =⨯⨯=，故选B .考点：1.三视图；2.几何体的表面积. 7．C【解析】试题分析：因为0x >，若1a ≥，则22a x a x +≥≥恒成立；若2ax x+≥恒成立，即220x x a -+≥恒成立.设()22,f x x x a =-+则2240a --≤（）或()()2240{00, 10a f a ∆=--≥=><解得1a ≥，“1a ≥”是“2ax x+≥恒成立”的充分必要条件，选C .考点：充要条件. 8．C 【解析】试题分析：由表可知120(5×38+10×39+3×41+2×32)<x <120(5×38+10×40+3×41+2×42)，解得39.35<x <39.85，所以x̅∈(39,40)，选C . 考点：1.平均数；2.中位数、众数. 9．D 【解析】试题分析：当k =2时，S =1+2；当k =3时，S =1+2+3；当k =4时，S =1+2+3+4；......；当k =10时，S =1+2+3+...+10；当k =11时，终止循环，输出S =1+2+3+ (10)10×(1+10)2=55，故选D.考点：1.算法与程序框图；2.等差数列的求和公式. 10．A 【解析】试题分析：不妨设焦点(,0)F c ，椭圆22214x y a +=短轴的一个端点为(0,a)A ，则AF a k c =-，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，因为直线AF 和渐近线平行，所以b aa c =，即2a bc =，则有2222224a bca c abc ⎧=⎪-=⎨⎪+=⎩，解得26a =-24a <所以26a =+舍去），22c =，故22212c e a ==，选A .考点：1.椭圆的几何性质；2.双曲线的几何性质；3.直线与圆锥曲线的位置关系. 11．[−5,58]【解析】试题分析：以D 点为坐标中心，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，建立直角坐标系，则A(1,0),B(1,2),C(0,2),所以BD 的直线方程为y =2x ，故设点P 的坐标为(x,2x),x ∈[0,1], BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,2x −2),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−2x),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x,2−2x),则ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2x,2−4x),ΒΡ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −1,2x −2)⋅(1−2x,2−4x)=5(2x 2−3x +1)，因为x ∈[0,1],所以，ΒΡ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∈[−5,58].考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积；3.二次函数的图象和性质. 12【解析】试题分析：()22C 2sinsin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=222sinsin sin cos 2222AA A ππ-A ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭222sincos cos sin sin cos .22224A A A A A A A π⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为A 是三角形的内角，所以0,A π<<所以3,444A πππ-<-<故当42A ππ-=，即34A π=时， ()f A 的考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质. 13．3【解析】试题分析：约束条件()2log 22{1x y x y +≤-≤即024{ 11x y x y <+≤-≤-≤，画出可行域及直线0x y +=，如图所示.将0x y +=向右平移至过点A 时， z x y =+取得最大值，由24{1x y x y +=-=-得()1,2A ，所以max 12 3.z =+=考点：1.简单线性规划的应用；2.对数函数的性质；3.绝对值不等式. 14．13π 【解析】试题分析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则6x +y =9,0<x <1.5，正六棱柱的体积 V =6×√34x 2y =√36⋅3x ⋅3y ⋅(9−6x)≤√36[3x+3x+(9−6x)3]3=9√32，当且仅当x =1时，等号成立，此时y =3，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为√1+94=√132，所以外接球的表面积为4π×134=13π．考点：六棱柱的性质；外接球的表面积．【方法点晴】本题主要考查了六棱柱的结构特征、棱柱外接球的的表面积的计算、基本不等式求最值等知识点的应用，其中解答中，利用正六棱柱的结构特征，外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，得出外接球的半径是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15【解析】试题分析：直线PA切圆O于点A，直线PO交圆O于点B、C，由切割线定理可知，2,1(2PA PB PC PB=⋅=⋅所以2PB=，(2(2BC PC PB=-=+--=因为直线PO过圆心O，所以BC是圆O的直径，则圆O考点：圆、圆的切割线定理.16．2sin2cospρθθ=，20x y--=.【解析】试题分析：根据极坐标与直角坐标的转化公式，sin,cosy xρθρθ==，代入22y px=可得2(sin)2cospρθρθ=，即2sin2cospρθθ=；直线l的参数方程：24xy⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去参数可得直线l的普通方程42,y x+=+即20x y--=.考点：极坐标与参数方程.。

湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024高三下·武月考）已知集合A ={x|2x 2+x −1<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =（ ） A ．(−1，0]B ．[0，12)C ．(−12，0]D ．[0，1)2．（2024高三下·武汉月考）复数z 满足2z +3z̅=5−2i ，则|z|=（ ）A ．√3B ．2C ．√5D ．√63．（2024高三下·武汉月考）已知ab ≠1，log a m =2，log b m =3，则log ab m =（ ）A ．16B ．15C ．56D ．654．（2024高三下·武汉月考）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．105．（2024高三下·武汉月考）设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则|PQ|=（ ） A ．23B ．√33C ．34D ．√326．（2024高三下·武汉月考）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为P 0，记P k 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率T k =P k P k−1=12k ，其中k =1，2，3…n ，为使得P n P 0≥2−2024，则n 的最大值为（ ）A ．31B ．32C ．63D ．647．（2024高三下·武汉月考）如图，在函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的纵坐标为（ ）A ．2−√22B ．√3−12C ．√3−√2D ．2−√38．（2024高三下·武汉月考）在三棱锥P −ABC 中，AB =2√2，PC =1，PA +PB =4，CA −CB =2，且PC ⊥AB ，则二面角P −AB −C 的余弦值的最小值为（ ） A ．√23B ．34C ．12D ．√105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．（2024高三下·武汉月考）已知向量a⃗=(cosθ，sinθ)，b⃗=(−3，4)，则（）A．若a⃗//b⃗，则tanθ=−43B．若a⃗⊥b⃗，则sinθ=35C．|a−b⃗|的最大值为6D．若a⃗⋅(a⃗−b⃗)=0，则|a−b⃗|=2√610．（2024高三下·武汉月考）将两个各棱长均为1的正三棱锥D−ABC和E−ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A．该几何体的表面积为3√32B．该几何体的体积为√36C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线AD//平面BCE11．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=a(e x+1)ln(1+x1−x)−e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x1，x2，x3，则（）A．实数a的取值范围是(0，1e)B．x1+x2+x3=0C．函数g(x)=f(x)+kf(−x)可能有四个零点D．f′(x3)f′(x1)=e x3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024高三下·武汉月考）在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c2=2√2ac，则△ABC的面积为．13．（2024高三下·武汉月考）设椭圆x29+y25=1的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|=．14．（2024高三下·武汉月考）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．各项均不为0的数列{a n}对任意正整数n满足：1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1．（1）若{a n}为等差数列，求a1；（2）若a1=−27，求{a n}的前n项和S n．16．（2024高三下·武汉月考）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PB，DA= DB=√2，AB=2，PD=1，点E，F分别为AB和PB的中点．（1）证明：CF⊥PE；（2）若PE=1，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值．17．（2024高三下·武汉月考）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：附：经验回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b̂=∑(x i −x ̅)n i=1(y i−y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx̅y ̅∑x i 2n i=1−nx ̅2，a ̂=y̅−b ̂x ̅， 样本相关系数r =i ̅ni=1i ̅√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y̅)2i=1=i ni=1i ̅̅√∑x i 2i=1−nx̅2√∑y i 2i=1−ny̅2；参考数据：∑x i 6i=1y i =2463.4，√∑(y i −y ̅)26i=1=20√70． （1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．18．（2024高三下·武汉月考）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点为F 1，F 2，其右准线为l ，点F 2到直线l 的距离为32，过点F 2的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=6．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线AF 1与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=e x −1x．（1）求曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （2）证明：f(x)是其定义域上的增函数；（3）若f(x)>a x ，其中a >0且a ≠1，求实数a 的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由2x 2+x −1<0，解得−1<x <12，则集合A ={x|−1<x <12}，因为x 2+1≥1，所以lg(x 2+1)≥0，则集合B ={y|y =lg(x 2+1)}={y|y ≥0}，所以A ∩B =[0,12).故答案为：B.【分析】解一元二次不等式求得集合A ；求对数函数的值域得集合B ，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：设复数z =x +yi,x,y ∈R ，则2z +3z̅=2(x +yi)+3(x −yi)=5x −yi =5−2i ，所以5x =5,−y =−2，解得x =1,y =2，所以|z|=√12+22=√5. 故答案为：C.【分析】设复数z ，根据已知条件结合复数相等求得x,y ，再根据复数模长公式计算即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：由换底公式可得：log m a =1log a m =12，log m b =1log b m =13，所以log ab m =1log m ab =1log m a+log mb =65.故答案为：D.【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算性质求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：先将3个红球分成3组，则有0，1，2和1，1，1两种分组形式；当红球分组形式为0，1，2时，将红球放入三个不同的袋中有A 33=3×2×1=6放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可； 当红球分组形式为1，1，1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可，综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为6+1=7种. 故答案为：A.【分析】先将红球分组，再分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且|PF|=|PQ|，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°， 因为FM//PQ ，所以∠QFM =30∘，因为tan30∘=|QM||MF|=|QM|1=|QM|=√33，所以|QF|=2√33， 所以|PF|=|PQ|=|QF|21cos30∘=√33√32=23. 故答案为：A.【分析】由题意得∠QFM =30∘，结合正切定义以及|FM|=1可得|QF|，求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意P n P n−1=12n ,P n−1P n−2=12n−1,⋯,P 1P 0=12，所以P n P 0=12n ×12n−1×⋯×12=12n(n+1)2≥2−2024， 所以n(n+1)2≤2024，即n(n +1)≤4048，易知f(n)=n(n +1)关于n 单调递增，其中n ∈N ∗，又因为f(63)=4032<4048<f(64)=4160，所以n 的最大值为63. 故答案为：C.【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得P n P 0=12n(n+1)2≥2−2024，进一步得 n(n +1)≤4048，再结合数列单调性求解即可. 7．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知ωx T +φ=3π2，则x T =3π2ω−φω，则T(3π2ω−φω,0)， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，因为TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 2+3π2ω−φω2=x 1y 22=y 1，解得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1， 所以2y 1=y 2=f(x 2)=f(2x 1−3π2ω+φω)=sin(2ωx 1−3π2+2φ) =cos(2ωx 1+2φ)=1−2sin 2(ωx 1+φ)=1−2y 12， 所以2y 12+2y 1−1=0，又因为y 1>0，所以y 1=√3−12.故答案为：B.【分析】由题意求得得T(3π2ω−φω,0)，进一步得由TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1，代入函数表达式结合诱导公式、余弦的二倍角公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因为PA +PB =4=2a ，所以a =2，点P 的轨迹方程为x 24+y 22=1（椭球），又因为CA −CB =2，所以点C 的轨迹方程为x 2−y 2=1，（双曲线的一支）过点P 作PH ⊥AB,AB ⊥PC ，而PH ∩PC =P,PF,PC ⊂面PHC ， 所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P −AB −C 为∠PHC ，所以设OH =2cosθ，θ∈(0,π2]，PH =√2sinθ，CH =√4cos 2θ−1，所以cos∠PHC =2sin 2θ+4cos 2θ−1−12√2sinθ√4cos θ−1=2cos 2θ2√2sinθ√4cos θ−1=√22⋅1−sin 2θsinθ√3−4sin θ，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)，令1−sin 2θ=t,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)=12⋅t 2(1−t)(4t−1)≥12⋅t 2(1−t+4t−12)2=29，当且仅当t =25=1−sin 2θ等号成立，所以当且仅当sinθ=√155,cosθ=√105时，(cos∠PHC)min =√23. 故答案为：A.【分析】根据已知条件求得点P,C 的轨迹方程，进一步作二面角P −AB −C 的平面角∠PHC ，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式求解即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A 、若a ⃗ //b ⃗ ，则4cosθ=−3sinθ，解得tanθ=−43，故A 正确； B 、若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则−3cosθ+4sinθ=0，解得tanθ=34， 所以sinθ=±35，故B 错误； C 、因为|a |=√cos 2θ+sin 2θ=1，|b ⃗ |=√(−3)2+42=5，而|a −b ⃗ |≤|a |+|b⃗ |=6， 当且仅当a ⃗，b ⃗ 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ⃗ ，b ⃗ 的起点为坐标原点， 向量a⃗ 的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量b ⃗ =(−3,4)终点在第二象限， 当a⃗ ，b ⃗ 反向，则向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)的终点应在第四象限，此时cosθ=35，sinθ=−45，故C 正确； D 、若a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0，则cosθ(cosθ+3)+sinθ(sinθ−4)=0， 即cos 2θ+3cosθ+sin 2θ−4sinθ=0，所以4sinθ−3cosθ=1，|a −b ⃗ |=√(cosθ+3)2+(sinθ−4)2=√6cosθ−8sinθ+26，所以|a −b ⃗ |=√24=2√6，故D 正确. 故答案为：ACD.【分析】根据a ⃗ //b ⃗ ，有4cosθ=−3sinθ，即可判断A ；根据a ⃗ ⊥b ⃗ ，得−3cosθ+4sinθ=0，即可判断B ；根据向量减法三角形法则有|a −b ⃗ |≤|a |+|b ⃗ |=6，分别求出|a |，|b ⃗ |，有a ⃗ ，b ⃗ 反向时|a −b ⃗ |取得最大值，根据向量的几何意义即可判断C ；根据a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0， 得4sinθ−3cosθ=1，又|a −b ⃗ |=√6cosθ−8sinθ+26，可计算|a −b⃗ |，即可判断D. 10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A 、S △ABD =12×1×1×√32=√34，所以表面积为6×√34=3√32，故A 正确；B 、如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以AO =23AM =23×1×√32=√33，又因为AD =1，所以正三棱锥D −ABC 的高为DO =√AD 2−AO 2=√1−13=√63，所以几何体的体积为V =2V D−ABC =2×13×√63×√34=√26，故B 错误；C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知D,O,E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面ABC ，故C 正确；D 、建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为AO =√33,OM =√32−√33=√36，所以B(12,√36,0),C(−12,√36,0),E(0,0,−√63),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，所以{−x =0−12x −√36y −√63z =0，不妨取z =1，解得y =−2√2,x =0，所以取n ⃗ =(0,−2√2,1)，又A(0,−√33,0),D(0,0,√63),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,√63)，而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2√63+√63=−√63≠0，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错误.故答案为：AC.【分析】求其中一个正三角形的面积，即可求得几何体的表面积，判断A ；先求得V D−ABC ，进一步即可验算即可判断B ；证明面ADE ⊥面ABC 即可判断C ；建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A 、aln(1+x 1−x)=−1−e x e x +1，设p(x)=aln(1+x 1−x ),m(x)=−1−e x e x +1，则p ′(x)=2a 1−x 2,m ′(x)=2e x (e x +1)2，所以p ′(0)=2a,m ′(0)=12，从而0<2a <12,0<a <14，故A 错误； B 、f(x)=0⇔aln(1+x 1−x)+1−e x e x +1=0，设ℎ(x)=aln(1+x 1−x)+1−e xe x +1，则它的定义域为(−1,1)，它关于原点对称，且ℎ(−x)=aln(1−x 1+x )+1−e −x e −x +1=−(aln(1+x 1−x )+1−e xe x +1)=−ℎ(x)，所以ℎ(x)是奇函数，由题意ℎ(x)=0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；C 、由f(x)+kf(−x)=0⇒a(e x +1)ln(1+x 1−x )−e x +1+[a(e −x +1)ln(1−x 1+x)−e −x +1]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1+k[a ln(1+x1−x )e x −1−e x e x (1+e x )]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1=k e x [aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1]，即[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3， 当k >0时，令1−ke x =0，则x =lnk ，只需保证lnk ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；D 、由B 可知，x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，又f ′(x)=ae x ln 1+x 1−x +a(e x +1)21−x 2−e x ,e x 3f ′(−x 3)=aln 1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1， 所以f ′(x 3)=ae x 3ln 1+x 31−x 3+a(e x 3+1)21−x 32−e x 3 =aln1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1+ae x 3ln 1+x 31−x 3−aln 1−x 31+x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)+a(e x 3+1)ln 1+x31−x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)，故D 正确；故答案为：BCD.【分析】通过构造函数可得0<p ′(0)=2a <m ′(0)=12，由此即可判断A ；f(x)=0⇔ℎ(x)=0，证明函数ℎ(x)=aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1是奇函数即可判断B ；将方程等价变形为[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0，由此即可判断C ；由x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，进一步求导运算即可判断D.12．【答案】3【解析】【解答】解：在△ABC 中，B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB =2√2ac −2accos 3π4=3√2ac ，解得ac =6√2， 所以S △ABC =12acsinB =12×6√2×√22=3. 故答案为：3.【分析】根据B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，利用余弦定理求得ac =6√2，再由三角形面积公式求解即可.13．【答案】107【解析】【解答】解：设线段AF 2的中垂线与AF 2相交于点M ，易知a =3，b =√5，c =2；由已知可得|AF 1|=|F 1F 2|=2c =4，点A 在椭圆上， 由椭圆定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =6，所以|AF 2|=2，|AM|=|MF 2|=1，在Rt △F 1F 2M 中，cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，∠F 1F 2M +∠F 1F 2B =π， cos∠F 1F 2B =−14，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：|BF 1|+|BF 2|=2a =6，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，|F 1F 2|=4，在△F 1F 2B 中由余弦定理有：cos∠F 1F 2B =|F 1F 2|2+|BF 2|2−|BF 1|22|F 1F 2|⋅|BF 2|=16+m 2−(6−m)28m =−14， 解得m =107，即|BF 2|=107. 故答案为：107. 【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出|AF 2|=2，在Rt △F 1F 2M 中，求出cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，再由诱导公式求出cos∠F 1F 2B =−14，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，在△F 1F 2B 中由余弦定理构造方程16+m 2−(6−m)28m =−14，解出m 值即可. 14．【答案】1013【解析】【解答】解：设从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，所以{P 1=23+13P 2P 2=13P 1+0+13P 3=13P 1+16P 2P 3=12P 2，解得P 1=1013. 故答案为：1013. 【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.15．【答案】（1）解：由题意1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1， 当n ≥2，n ∈N ∗时，1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n ， 两式相减得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2，n ≥2， 因为{a n }为等差数列，在式子：1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n 中令n =1， 得1a 1a 2=1−12a 2，所以a 2=1a 1+12， 所以a 2−a 1=1a 1+12−a 1=2⇒a 1=−2或a 1=12， 若a 1=−2，则a 2=0，但这与a n ≠0矛盾，舍去，所以a 1=12. （2）解：因为a 1=−27，所以a 2=−72+12=−3， 而当n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，所以此时a n =−3+2(n −2)=2n −7，所以此时S n =−27+(n−1)(−3+2n−7)2=n 2−6n +337， 而n =1也满足上式，综上所述，{a n }的前n 项和S n =n 2−6n +337. 【解析】【分析】（1）由递推关系求得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2,n ≥2，结合已知数列{a n }为等差数列，再令n =1，求解即可；（2）先求a 2，由n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，推出{a n }的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可.16．【答案】（1）证明：取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，由DA =DB =√2，AB =2，易知△DAB 为等腰直角三角形，此时DE =1，又PD =1，所以PE ⊥DG .因为PA =PB ，所以PE ⊥AB ，由FG//EB ，即FG//AB ，所以PE ⊥FG ，此时，CD//AB//FG ，有C ，D ，G ，F 四点共面，FG ∩DG =G ，所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF ⊥PE .（2）解：由AB ⊥PE ，AB ⊥DE ，且PE ∩DE =E ，所以AB ⊥平面PDE .由PE =DE =PD =1，得△PDE 为等边三角形，以E 为原点，EB ，ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，12，√32)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，F(12，14，√34)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−12，√32)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0)，设平面PBD 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z) 由{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12y +√32z =0x −y =0，取z =1，n ⃗ =(√3，√3，1)， 又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32，34，−√34)，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ， 则sinθ=|cos⟨n ⃗ ，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |⋅|FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√37⋅3=2√77， 所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为2√77. 【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式求解即可.17．【答案】（1）解：x ̅=1+2+3+4+5+66=72，y ̅=15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.46=85.4， ∑x i 26i=1−6x ̅2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5， 所以r =∑x 6i=1y −6x ̅y ̅√∑x i 2i=1−6x ̅2√∑y i 2i=1−6y ̅2=2463.4−6×72×85.417.5×2070=67020×35≈0.96. （2）解：由题意b ̂=∑x i 6i=1y i−6x ̅y ̅∑x i 26i=1−6x ̅2=2463.4−6×72×85.417.5≈38.3， 所以a ̂=85.4−72×38.3=−48.7， 所以y 关于x 的经验回归方程为y =38.3x −48.7，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为y =38.3×7−48.7=219.4万元.【解析】【分析】（1）由题意根据参考公式先分别算得x ̅,y ̅以及∑x i 26i=1−6x̅2，再代入相关系数公式求解即可；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得b ̂,a ̂，由此即可得经验回归方程并预测.18．【答案】（1）解：由题意{ c −a 2c =b 2c =322b 2a =6a 2+b 2=c 2⇒{a =1b =√3，所以双曲线E 的标准方程为x 2−y 23=1. （2）证明：由题意l ：x =12，设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 1(−2，0)，{x =my +23x 2−y 2=3,⇒(3m 2−1)y 2+12my +9=0， 所以Δ=144m 2−36(3m 2−1)=36(m 2+1)>0，y 1y 2=93m 2−1，y 1+y 2=−12m 3m 2−1， 直线AF 1的方程为：y =y 1x 1+2(x +2)，∴P(12，5y 12(x 1+2))， 所以PB 的方程为y =y 2−5y 12(x 2+2)x 2−12(x −x 2)+y 2，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令y =0⇒x =−y 2(x 2−12)y 2−5y 12(x 1+2)+x 2=−2y 2(x 1+2)(x 2−12)2x 1y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(my 1+4)(my 2+32)2(my 1+2)y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(m 2y 1y 2+32my 1+4my 2+6)+2m 2y 1y 22+8my 22−5my 1y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2 =−8my 1y 2−12y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2， 又{y 1y 2=93m 2−1y 1+y 2=−12m 3m 2−1⇒my 1y 2=−34(y 1+y 2)，所以x =6(y 1+y 2)−12y 2−32(y 1+y 2)+8y 2−5y 1+2=6y 1−6y 2132y 2−132y 1+2=1413， 所以直线PB 过定点(1413，0). 【解析】【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合a,b,c 之间的平方关系求解即可； （2）设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F 1(−2,0)，联立双曲线方程消元整理由韦达定理得my 1y 2=−34(y 1+y 2)，用m 以及A,B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令y =0，证明相应的x 为定值即可.19．【答案】（1）解：由题意f(1)=e −1，即切点为(1，e −1)，f ′(x)=xe x −e x +1x 2，k =f ′(1)=1， 所以曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y =x −1+e −1，即y =x +e −2；（2）证明：由f ′(x)=(x−1)e x +1x 2，设g(x)=(x −1)e x +1，则g ′(x)=xe x ， 所以当x <0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，当x >0时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， 又g(0)=0，所以对于任意的x ≠0有g(x)>0，即f ′(x)>0，因此f(x)在(−∞，0)单调递增，在(0，+∞)单调递增，即ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1，所以x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x<1， x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x>1， 所以f(x)是其定义域上的增函数.（3）解：由（2）可知，x <0时，f(x)<1，所以a x <1，故a >1，令a =e k ，k >0，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ，由题意x <0时，F(x)<0，x >0时，F(x)>0，若k ≥1，则当x >1时，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ≤1−e −kx −x <0，不满足条件， 所以0<k <1，而F ′(x)=(1−k)e (1−k)x +ke −kx −1，令G(x)=F ′(x)，则G ′(x)=(1−k)2e (1−k)x −k 2e −kx =e −kx [(1−k)2e x −k 2]， 令G ′(x)=0，得x =2ln k 1−k， F ′(x)在(−∞，2ln k 1−k )单调递减，在(2ln k 1−k ，+∞)单调递增，若2ln k 1−k <0，则当2ln k 1−k<x <0时，F ′(x)<F ′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)>F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k >0，则当0<x<2lnk1−k时，F′(x)<F′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)<F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k=0，则当x<0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)<F(0)=0，且当x>0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)>F(0)=0，满足题意，所以2ln k1−k =0，解得k=12，综上所述，a=√e.【解析】【分析】（1）由题意f(1)=e−1求得切点坐标，再求出切点处的导数值得切线斜率，即可求得切线方程；（2）对f(x)求导后，令g(x)=(x−1)e x+1，对g(x)继续求导发现，对于任意的x≠0有f′(x)>0，故只需要证明x<0时，e x−1x<1，x>0时，ex−1x>1即可；（3）由（2）得a>1，进一步令a=e k,k>0，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x，结合题意知x<0时，F(x)<0，x>0时，F(x)>0，对k分类讨论即可求解.。

湖北省武汉市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案. 【详解】1i =，1S =.运行第一次，11lg 1lg30,33S i =+=->=，不成立，运行第二次，131lg lg 1lg50,535S i =++=->=，不成立，运行第三次，1351lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=，不成立，运行第四次，13571lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=，不成立，运行第五次，135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911S i =+++++=-<=，成立，输出i 的值为11，结束. 故选：B. 【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.2．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．42D ．47【答案】B 【解析】 ∵1243F F = ∵12243F F c == ∴23c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.3．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算． 4．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率.【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点，双曲线半焦距，设点是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以抛物线的准线，从而轴，所以，即故双曲线的离心率为故选A 【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.5．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。

湖北省武汉市2021届新高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥画出该几何体的直观图P ABCD平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可证：平面PAB⊥平面PAD，由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB⊥平面PCD，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 2．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以()()111()cos cos cos 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ； 又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，可排除D ； 故选：B. 【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案. 【详解】{}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21201q a q -+<，因为2210q q -+≥恒成立， 故可以推出10a <且1q ≠， 若210n S -<成立， 当1q =时，有10a <， 当1q ≠时，有()211101n a q q--<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.4．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 01231.5x +++==3 5.5715.5m m y ++++==∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．5．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅I ð”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅U A B A B ð， 同时⋂=∅⇒⊆U A B A B ð. 故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.6．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 8．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,=22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.9．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254 B ．9C ．7D ．252【答案】B 【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，22(41)(51)5PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．10．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()U M N ⋂=ð（ ） A ．{}|2x x > B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥【答案】A 【解析】 【分析】先求出U M ð，再与集合N 求交集. 【详解】由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð.本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.11．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.12．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈u u u r u u u u r u u u r ，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( )A ．4B ．12C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r，求出点()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得241e λμ=，又已知625λμ=，即可求出离心率．由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，代入OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r 得：()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e λμ=，又因为625λμ=，即可得到e =，故选：D ． 【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省局部重点中学2021—2021学年度第二次联考理科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题；每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中， 有且只有一项为哪一项符合题目要求的．1. ,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，那么(1)x yi ++的值为 A ．4 B ．4- C ．44i + D ． 2i 2. 不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是 A ．1a <B ．1a ≤C ．01a <<D ．0a <3. 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.假设每个社区至少一名义工，那么甲、乙两人被分到不同社区的概率为 A ．B ．C ．D ．4. 以下几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是5. 数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，那么=-+87201111tanb b a aA ．1B ．-1C 33D ． 36. xdx N dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π， 由如右程序框图输出的=S A. 1 B. 2πC.4πD. 1-输出S 结束否开始输入M ，NN S =M S =N M >是7. 点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，那么a b ca++的值为 A ．2B ．12C ．-2D ．-1 8.设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，假设π20120≤≤x ，那么函数)(x f 的各极大值之和为A. πππe e e --1)1(1006B. πππ220121)1(e e e -- C. πππ210061)1(e e e -- D. πππe e e --1)1(20129.O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心,且A θ∠=，假设cos cos =2sin sin B CAB AC mAO C B+，那么m = A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定 21=4y x 的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在准线上的射影为点/M ，那么在/MM F ∆的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分。

2021届湖北省武汉一中高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知集合{51}A xx =-<<∣，{}24B x x =≤∣，则A B =（ ）A ．[)2,1-B ．()5,1-C ．(]5,2-D ．()5,2-答案：C解题思路：先求出集合B ，再根据集合的并集运算，即可求出结果.解：∵{51},{22}A xx B x x =-<<=-≤≤∣∣，∴(]5,2AB =-．故选：C ．2．已知复数z 满足23ai iz=++，||z =，则正数a =（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．14答案：A解题思路：将复数化简利用求模公式计算即可. 解：解：23ai iz=++，∴6(23)z a a i =-++，∵||z =，= 解得正数1a =． 故选：A ． 3．已知2,4a b ==，当()4b a b ⊥-时，向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．23π D ．34π 答案：B解题思路：由()4b a b ⊥-得()40b a b -=，从而可求a b ，然后根据向量夹角公式可解. 解：解：()4b a b ⊥-，2,4a b ==，()40b a b ∴-=，即22440a b b a b b -=-=，4a b ∴=，4cos ,22a b a b a b∴<>===⨯， 所以向量a 与b 的夹角为4π， 故选：B.4．()()5321x x -+展开式中3x 的系数为（ ） A ．15- B ．10-C ．10D ．15答案：C解题思路：根据二项式定理得到展开式通项，根据r 的取值可确定所求系数. 解：()51x +展开式通项公式为：55r rC x-，()()5321x x +∴-展开式中3x 的系数为：235532302010C C -=-=.故选：C.5．已知直线m ，n 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ） A ．若m α⊥，//n β，且//m n ，则//αβ B ．若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ C ．若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ D ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ 答案：D解题思路：利用线面平行、垂直的判定定理，面面平行、垂直的判定定理，即可得出结论．解：若m α⊥，//n β，且//m n ，∴n α⊥，//n β，∴αβ⊥，故A 不正确； 若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ或αβ⋂，故B 不正确；若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，故D 正确， 故选：D ．6．已知sin 22sin 2,log sin 2,2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>答案：B解题思路：根据2223ππ<<，利用三角函数、对数函数和指数函数的单调性判断. 解：因为2223ππ<<，sin 22sin 21,log sin 201,2a b c =<=<=<>>, 所以c a b >>， 故选：B7．若函数()sin (03)3f x x πωω⎫⎛=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移56π个长度单位后关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．-1B ．12-C ．D 答案：C解题思路：利用三角函数的平移变换原则以及正弦函数的中心对称点求出ω，再由正弦函数的单调性即可求解. 解：()sin (03)3f x x πωω⎫⎛=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移56π个长度单位可得 55sin sin 6363y x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为,02π⎛⎫⎪⎝⎭是此函数的对称中心点， 则5,263k k Z πππωωπ-+=∈， 解得31k ω=-+，k Z ∈， 又因为03ω<<， 所以当0k =时，1ω=， 所以()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为2x ππ-≤≤，则4633x πππ-≤+≤，所以sin 123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为32-.故选：C8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：22221x y a b+= (a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cbx 的对称点E 在椭圆C 上，则OEF 的面积为（ ） A ． B ． C ．1 D ．2答案：C解题思路：设椭圆的另一个焦点为F '，运用点到直线的距离公式以及中位线定理、对称性，可得2||bc EF a '=，22||c EF a=，运用椭圆的定义，化简为b c =，即222a b =，再由直线和椭圆相切的条件得到判别式为0，解方程可得a ，b ，c ，运用三角形的面积公式可得所求值．解：设椭圆的另一个焦点为F '， 可得||||2EF EF a '+=，F 到直线cy x b=的距离为2222c d a c b ==+，即有22||c EF a=，由EF 的方程为()by x c c=--，可得O 到EF 22bca cb =+， 由中位线定理可得2||bc EF a'=， 由椭圆的定义可得2222c bca a a+=， 化为222()2a c bc -=， 化为b c =，即222a b =，直线220x +-=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相切，可得2222222(2)880a b y b y b a b +-+-=， 即有△422222644(2)(8)0b a b b a b =-+-=，化为2228a b +=， 解得2a =，2b c ==，则22||2c EF a==，O 到EF 的距离为1bc a =， 则OEF 的面积为12112⨯⨯=． 故选：C【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多选题9．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 10＝S 20，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 16＜0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n ＜0时n ≥32答案：ABC解题思路：根据题意，可得2a 1+29d ＝0，根据a 1＞0，可判断A 的正误；根据d ＜0，可得a 15＞a 16，可判断B 、C 的正误；分别求得3031,S S ，即可判断D 的正误，即可得答案.解：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20， ∴10a 1+45d ＝20a 1+190d ， ∴2a 1+29d ＝0，∵a 1＞0，∴d ＜0，故A 正确； ∴a 1+14d +a 1+15d ＝0，即a 15+a 16＝0，∵d ＜0，∴a 15＞a 16，∴a 15＞0，a 16＜0，故B 正确； ∴S n ≤S 15，故C 正确； 又131311631()3102a a S a +==<，130********()15()02a a S a a +==+=， ∴当且仅当S n ＜0时，n ≥31，故D 错误. 故选：ABC ．10．下列命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-” C ．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 答案：ABD解题思路：对于ACD 项，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即可．对于B 项，根据存在量词命题的否定形式可判断.解：A.若“11a <”，则1a >或0a < “1a >”是“11a<”的充分不必要条件.B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B 正确.C.设,x y ∈R ，若“2x ≥且2y ≥”，则“224x y +≥”若224x y +≥，不一定有2x ≥且2y ≥，比如3,1x y ==也可 “2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件. D. 若0a ≠，不一定有0ab ≠ 若0ab ≠，则一定有0a ≠“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p q ⇒，q p ⇒11．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平ABCD ，90DAB CBD ∠=∠=︒，260ADB BDC ∠=∠=︒，E 为PC 中点，F 在CD 上，30FBC ∠=︒，22PD AD ==，则下列结论正确的是（ ）A ．//BE 面PADB ．PB 与平面ABCD 所成角为30°C ．四面体D BEF -3D ．平面PAB ⊥平面PAD 答案：ACD解题思路：对A ，连结EF ，DE ，通过证明//EF 平面PAD 和//BF 平面PAD 得出平面//BEF 平面PAD 可证；对B ，易得PBD ∠即为PB 与平面ABCD 所成角，求出即可；对C ，利用D BEF E BDF V V --=可求；对D ，由PD AB ⊥和AB AD ⊥证明AB ⊥平面PAD 即可.解：对于A ，连结EF ，DE ，因为90DAB CBD ∠=∠=︒，260ADB BDC ∠∠==︒， 所以30DCB ∠=︒，30FBC ∠=︒，故BF CF =， 同理可得DF BF =，故DF CF =，所以F 为CD 的中点，又E 为PC 的中点，故//EF PD ， 又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故//EF 平面PAD ，又因为6060120ADC ∠=+=︒︒︒，180120BFC FBC BCF ∠∠∠=--=︒︒， 所以ADC BFC ∠=∠，故//AD BF ，又BF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故//BF 平面PAD ， 又EFBF F =，EF ，BF ⊂平面BEF ，所以平面//BEF 平面PAD ，又BE ⊂平面BEF ，所以//BE 平面PAD ，故A 正确； 对于B ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 与平面ABCD 所成的角即为PBD ∠， 因为1AD =，所以2BD =，则tan 1PDPBD BD∠==， 又0,2PBD π∠⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故45PBD ∠=︒，故选项B 错误；对于C ，1sin 6032BDFSBD DF =⋅⋅⋅︒=， 因为PD ⊥平面ABCD ，//CD EF ，所以EF ⊥平面ABCD ， 又12EF PD =，所以1h EF ==， 故11331333D BEFE BDF BDFV V S h --==⋅=⨯⨯=，故选项C 正确； 对于D ，因为PD ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又因为AB AD ⊥，ADPD D =，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故选项D 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确利用线面平行、面面垂直的判断定理，正确寻找图中位置关系.12．若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =成立，则称()f x 为“自倒函数”．则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )＝sin x 2（x ∈[－2π，2π]）是“自倒函数” B ．“自倒函数”()f x 可以是奇函数 C ．“自倒函数”()f x 的值域可以是RD ．若()()y f x y g x ==，都是“自倒函数”且定义域相同，则()()y f x g x =⋅也是“自倒函数” 答案：AB解题思路：依据“自倒函数”的定义，对各个选项给出证明或给出反例即可． 解：对于A ，()sin 2,22f x x x ππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，任取1,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]1sin 1,1x ∈，∴()11sin f x x =()11]f x ∈； 由()()121f x f x =，得()()211f x f x ==即2sin x +=，∴2sin x =，且2sin x ∈，即2sin [1,1]x ∈-，显然存在唯一的2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足题意. ∴()f x 是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的自倒函数，所以A 正确；对于B ，当()f x 是奇函数时，不妨设1()f x x=，其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞， 则任取1(,0)(0,)x ∈-∞+∞，有()111(,0)(0,)f x x =∈-∞⋃+∞， 由()()1212111f x f x x x =⋅=得211x x =，其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，∴()f x 是定义域上的自倒函数，所以B 正确；对于C ，若自倒函数()f x 的值域是R ，则当()10?f x =时，不存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=成立，所以自倒函数()f x 的值域不可以是R ，命题不成立，所以C 错误；对于D ，当()y f x =，()y g x =都是自倒函数，且定义域相同时，函数()()y f x g x =⋅不一定是自倒函数， 例如()()1f x g x x ==，其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，则()()21y f x g x x=⋅=不是自倒函数，因为由2212111x x ⋅=，得22211x x =，∴211x x =±不唯一，故命题不成立，所以D 错误． 故选：AB ．【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，若()80.23P X <=，则()12P X <=________.答案：0.77解题思路：根据正态分布曲线的对称性，得到()()1218P X P X <=-<，即可求解. 解：由题意，随机变量X 服从正态分布()210,N σ，可得对称轴10x =，则812102+=， 因为()80.23P X <=，根据正态分布曲线的对称性，可得()()12180.77P X P X <=-<=. 故答案为：0.77.14．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有_________种（请用数字作答） 答案：56解：试题分析：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有3856C =中方法，故答案为56.【解析】1、阅读能力、数学建模能力；2、化归思想及组合问题的“插空法”.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及组合问题的“插空法”，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将熄灯方法转化为组合问题的“插空法”解答.15．过双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．答案：12解：试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E 为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得e =【解析】双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.16．已知函数2(),()(1)f x x ax g x b aln x =-=+-，存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图象与()y g x =的图象无公共点，则实数b 的取值范围为__________． 答案：3,ln 24⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭解题思路：因为()y f x =的图象与()y g x =的图象无公共点等价于()()0f x g x ->或()()0f x g x -<(1)a ≥恒成立，利用参变分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数求最值即可求解.解：解：因为()y f x =的图象与()y g x =的图象无公共点 等价于()()0f x g x ->或()()0f x g x -<(1)a ≥恒成立，即2(1)0x ax b aln x ---->或2(1)0x ax b aln x ----<(1)a ≥恒成立，即2(1)x ax aln x b --->或2(1)x ax aln x b ---<(1)a ≥恒成立，设2()(1)h x x ax aln x =---(1)a ≥，则()222()21,111a x x a h x x a x a x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=>'≥--， 当()21,2a x +∈时，()0h x '<，2,2a x +⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>， 所以当22a x +=时，函数()h x 取得极小值同时也是最小值221ln 242a a a h a +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 设()22()1ln 1242a a a G a h a a +⎛⎫==-+-≥ ⎪⎝⎭，易知()G a 在[1,)+∞上为减函数， 则()G a 的最大值为3(1)ln 24G =+，故()h x 的最小值23ln 224a h +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，①若2(1)x ax aln x b --->，则3ln 24b <+； ②若2(1)x ax aln x b ---<恒成立，则不成立， 综上，3ln 24b <+． 故答案为：3,ln 24⎛⎫-∞+⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：将()y f x =的图象与()y g x =的图象无公共点等价转化为()()0f x g x ->或()()0f x g x -<(1)a ≥恒成立，然后再利用参变分离法，将问题转化为求函数的最值是本题解题的关键.四、解答题17．在①2cos cos cos 0a A b C c B --=，②sin sin sin sin sin sin a B Cb Bc C a A A+=+，③锐角A满足2tan sin cos 23A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭并完成解答．问题：ABC 的三个角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c，a =ABC 面积为4，且____． （1）求角A ；（2）求ABC 的周长．答案：选择见解析；（1）3A π=；（2）．解题思路：（1）选①：利用正弦定理、两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选②：利用正弦定理和余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选③：利用三角恒等变换思想可得出sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得bc 的值，利用余弦定理可求得b c +的值，进而可求得ABC 的周长.解：（1）选①：由于2cos cos cos 0a A b C c B --=，利用正弦定理：sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=，整理得sin 2sin cos A A A =， 由于()0,A π∈，所1cos 2A =，解得3A π=； 选②：sin sin sin sin sin sin a B Cb Bc C a A A+=+， 利用正弦定理：222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==， 由于()0,A π∈，所1cos 2A =，解得3A π=；选③：锐角A 满足2tan sin cos 23A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12tan cos cos 2sin cos 2sin cos sin 3322A A A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)211sin cos sin 21cos 2sin 2222222A A A A A A A =+=+-=-+sin 232A π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，整理得：sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于A 为锐角，即02A π<<，则22333A πππ-<-<，故233A ππ-=，所以3A π=；（2）由于ABC 面积为4，故1sin 24bc A =，解得5bc =．由于2222cos a b c bc A =+-，由于a =所以()223a b c bc +-=，解得b c +==．【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 18．设*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11252,,,n n n S S a a a a +=++成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()11na nn n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T答案：（1）()*21n a n n N=-∈；（2）2nT =21222n n ++-.解题思路：（1）由已知可得12n n a a +-=，则由等差数列的定义可知数列{}n a 是等差数列，再由已知条件求出首项，进而可得结果.（2）由（1）可得数列{}n b 的通项公式，进而根据分组求和法即可求解.解：解：（1）由12n n n S S a +=++，得()*12n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列可得2215a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =，所以()*21n a n n N=-∈.（2）由（1）得21n a n =-，所以()11na n n nb a +=+-()()2121nn n =+--所以()()()222211357434121n nTn n -⎡⎤=+-+-+---+-⎣⎦-21222n n +=+-. 【点睛】方法点睛：当数列的通项公式为等差数列与等比数列的和差时，求数列的前n 项和常用分组求和法求解.19．如图1，在平行四边形11 ABB A 中，1ABB ∠＝60°，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11 ABB A 沿1CC 折起如图2所示，连接1B C ，1B A ，11B A ．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若16AB 11C AB A --的余弦值． 答案：（1）证明见解析；（2）10． 解题思路：（1）根据线面垂直的判定定理，可证明1C C ⊥平面1OAB ，进而可证明结果； （2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角11C AB A B --的余弦值． 解：证明：（1）取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，∵在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，∴1ACC △，11B CC ，为正三角形， 则1AO CC ⊥，11OB C C ⊥，又∵1AO OB O =，∴1C C ⊥平面1OAB ， ∵1AB ⊂平面1OAB ∴11AB CC ⊥；（2）∵160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点， ∴2AC =，OA =1OB =，若1AB =则22211OA OB AB +=，则三角形1 AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥，以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C，1B ，1(1,0,0)-C，A ， 则()12,0,0CC =-，则11(2,0,0)==-AA CC，1(0,=AB ，(AC =-， 设平面1AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x =-=⎪⎩ 令1z =，则1y=，x =则(3,1,1)n =，设平面11 A B A 的法向量为(,,)m x y z =，则112030m AA x m AB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，则0x =，1y =，即(0,1,1)m =，则0cos ,||||531m n m n m n ⋅<>====+ 由于二面角11 C AB A --是钝二面角， ∴二面角11 C AB A --的余弦值是．【点睛】方法点睛：利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ(0)θπ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有θωπ+=（图1）或 θω=（图2）其中1212cos n n n n ω⋅=⋅.20．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用a ，b ，c ，d 表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记X ＝|a ﹣1|+|b ﹣2|+|c ﹣3|+|d ﹣4|． （1）求该业主获得礼品的概率； （2）求X 的分布列及数学期望． 答案：（1）124P =；（2）分布列见解析，()5E X =． 解题思路：（1）求得该业主预测的结果的总数，其中预测完全正确的结果只有1种，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解；（2）以（a ，b ，c ，d ）为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列，利用公式求得数学期望.解：（1）由题意，该业主预测的结果有4424A =种可能，预测完全正确的结果只有1种，所以该业主获奖的概率为124P =． （2）以（a ，b ，c ，d ）为一个基本事件，如下表所示：所以随机变量X 的所有可能的取值为0,2,4,6,8， 可得1317(0),(2),(4)2424824P X P X P X ======= 9341(6),(8)248246P X P X ======所以随机变量X 的分布列如表：所以数学期望E （X ）0246852482486=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的个数，得出随机变量的取值情况是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.21．已知顶点为原点O 的抛物线C ，焦点F 在x 轴上，直线y x =与抛物线C 交于O 、M 两点，且线段OM 的中点为()2,2P ．（1）求抛物线C 的标准方程．（2）若直线l 与抛物线C 交于异于原点的A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点D ，且有1FA FD +=，直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，请问直线AE 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．答案：（1）24y x =；（2）是，直线AE 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 解题思路：（1）设抛物线C 的标准方程为22y px =，求出点M 的坐标，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，由此可求得抛物线C 的标准方程； （2）设点()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x ≠，(),E E E x y ，由条件1FA FD +=可得出03D x x =+，可求出直线AB 的斜率，由此可设直线1l 的方程为03y y x b =-+，与抛物线C 的方程联立，由0∆=可得出03b y =-，分206y ≠与206y =两种情况讨论，求出直线AE 的方程，即可得出直线AE 所过定点的坐标. 解：（1）由题意设抛物线C 的标准方程为22y px =， 因为OM 的中点为()2,2P ，所以M 的坐标为()4,4，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，得2424p =⨯，可得2p =，因此，抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）由（1）知()1,0F ，设()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x ≠， 因为1FA FD +=，则012D x x -=+，由0D x >，可得03D x x =+，即()03,0D x +，所以，直线AB 的斜率03AB y k =-， 因为直线1//l l ，设直线1l 的方程为03y y x b =-+， 代入抛物线C 的方程可得20012120b y y y y +-=， 因为且1l 和C 有且只有一个公共点E ，可得200144480b y y ∆=+=，解得03b y =-， 设(),E E E x y ，则06E y y =-，209E x y =，即20096,E y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当206y ≠时，0020046E AE E y y yk x x y -==--，可得直线AE 的方程为()0002046y y y x x y -=--， 由2004y x =时，代入整理0204362y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，即直线AE 恒过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当206y =，直线AE 的方程为32x =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭， 综上，可知直线AE 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的求解，考查计算能力，属于难题. 22．已知函数()()()3e 0xx af x x xa R -+=>∈，．（1）当34a >-时，判断函数()f x 的单调性； （2）当()f x 有两个极值点时， ①求a 的取值范围；②若()f x 的极大值小于整数m ，求m 的最小值． 答案：（1）答案见解析；（2）①3e a -<<-；②3.解题思路：（1）求出函数的导函数，法一：结合二次函数的性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二：令()()233xh x x x e a =-+--，根据函数的单调性求出()h x 的最大值，判断导函数的符号即可求解；（2）①令()()233xh x x x e a =-+--，求出函数的导函数，根据函数的单调性得到()0h x =有两不等实数根1x ，()212x x x <，求出a 的范围， ②求出()f x 的极大值，从而确定m 的最小值即可．解：（1）由题()()()()()22233e e 3e 3e 0x x x x x x a x x x a f x x x x⎡⎤-+---+----⎣⎦'==>．方法1：由于233304x x -+-≤-<，e 10x -<-<，()2333e 4x x x -+-<-，又34a >-，所以()233e 0xx x a -+--<，从而()0f x '<， 所以()f x 为()0,∞+上的减函数．方法2：令()()233e xh x x x a =-+--，则()()2e xh x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 故()h x 在1x =时取得极大值，即为最大值,则()()max 1e h x h a ==--． 由于34a >-，所以()()max 1e 0h x h a ==--<，所以 ()f x 为()0,∞+上的减函数．（2）令()()233e xh x x x a =-+--，则()()2e xh x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 当x 趋近于+∞时，()h x 趋近于-∞．由于()f x 有两个极值点，所以()0f x '=有两不等实根，即()()233e 0xh x x x a =-+--=有两不等实数根12,x x （12x x <）．则(0)0,(1)0,h h <⎧⎨>⎩解得3e a -<<-．可知1(0,1)x ∈，由于()33223331e 0e e +30244h a h a ⎛⎫=-->=--<-< ⎪⎝⎭，，则231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．而()()222222233e 0x x x af x x -+--'==，即2222e 33x ax x =-+-（）所以()()()22223e xx af x f x x -+==极大值，于是()22222233ax af x x x -=-+，（）令2212212t x x t t ⎛⎫=-⇒=+-<<-⎪⎝⎭， 则（）可变为()21111t g t a at t t t==++++， 可得121131t t -<<-++，而3e a -<<-，则有()213111t g t a a t t t t==<++++，下面再说明对于任意3e a -<<-，23(1,)2x ∈，()22f x >． 又由（）得()2222e 33x a xx =-+-，把它代入（）得()()2222e x f x x =-，所以当231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2221e 0xf x x '=-<恒成立， 故()()2222e x f x x =-为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的减函数，所以()32231e 222f x f ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭．所以满足题意的整数m 的最小值为3.【点睛】关键点点睛：（1）问关键点是利用34a >-这一条件，判断()233e xx x a -+--的符号；（2）问②的关键点是求出()f x 的极大值并化简得()()()2222e xf x f x x ==-极大值.。