6.1 总体、样本与统计量

样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。

我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。

二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。

三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。

统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。

数理统计的基本概念第6章数理统计的基本概念6.1 内容框图6.2 基本要求（1）理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常⽤统计量的公式.（2）掌握矩法估计和极⼤似然估计的求法，以及估计⽆偏性、有效性的判断. （3）掌握三⼤抽样分布定义，并记住其概率密度的形状.（4）理解并掌握有关正态总体统计量分布的⼏个结论，如定理6.4~6.9及定理6.11.6.3 内容概要1) 总体与样本在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为ξ，η，… 。

对总体进⾏ n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为（n X X X ,,,21 ），（n Y Y Y ,,,21 ），……，其中，试验次数 n 称为样本容量。

样本（n X X X ,,,21 ）中的每⼀个 i X 都是随机变量。

样本所取的⼀组具体的数值，称为样本观测值，记为总体与样本统计量点估计矩阵估计常⽤统计量定义统计量的分布正态总体统计量的分布极⼤似然估计点估计的评价三⼤抽样分布（n x x x ,,,21 ）。

具有性质：（1）独⽴性，即 n X X X ,,,21 相互独⽴。

（2）同分布性，即每⼀个 i X 都与总体ξ服从相同的分布。

称为简单随机样本。

如果总体ξ是离散型随机变量，概率分布为 }{k P =ξ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合概率分布为∏∏=========ni i ni i in n x P x XP x X x X x X P 112211}{}{},,,{ξ。

如果总体ξ是连续型随机变量，概率密度为 )(x ?，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合概率密度为∏∏====ni i ni i X n x x x x x i1121)()(),,,(*??。

如果总体ξ的分布函数为 )(x F ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合分布函数为∏∏====ni i n i i X n x F x F x x x F i 1121)()(),,,(* 。

Ch 6 数理统计的基本概念§6.1 基本概念 一、总体与样本1、总体——研究对象的全体，记为X 。

2、个体——构成总体的每一个对象，记为i X 。

3、总体容量——总体中包含的个体的个数。

有限总体——容量有限；无限总体——容量无限。

为推断总体X 的分布，从总体中抽取n 个个体，则对应n 个r.v.n X X X .....2,1——来自于总体X 的一个样本。

n X X X ......,21的取值（（n x x x ,.....,21）--观测结果）称为样本的观测值，简称为样本值，整个抽取过程称之为抽样。

抽取的目的是根据样本的取值情况推断总体情况，因此应尽可能的使抽取的样本能反映总体的状况，故要求抽取的样本具有以下性质：文档收集自网络，仅用于个人学习⑴ 代表性：样本中每个r.v.i X 与总体X 具有相同的分布。

文档收集自网络，仅用于个人学习⑵ 独立性：n X X X ......,21相互独立。

——简单的随机抽样所得的样本称为简单的随机样本；若总体X 的分布函数为F （x ），则样本n X X X .....2,1的联合分布函数)().....,(121*i ni n x F x x x F =∏=。

文档收集自网络，仅用于个人学习若X 为连续型，且d.f 为f(x),且联合p.d.f 为：)()....,(121*i ni n x f x x x f =∏= 若X 为离散型，且分布律为：....2,1,)(===k p x X P k k 则联合分布律：in i i in n i i p p p x X x X x X P ....).....,(212211⋅⋅====。

...2,1.....3,2,1=in i i i 二、统计量Def:不含有任何未知数的关于样本空本空间的函数称为统计量。

e.g.1 设总体X~),(2σμN ，其中2,σμ未知，（n X X X .....2,1）为取自总体X 的一个样本，则：∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1均为统计量。

总体、样本和统计量的含义总体、样本和统计量是统计学中的基本概念，它们在研究数据时起着至关重要的作用。

本文将深入论述这三个概念的含义，并列出相应的公式，最后通过举例进行说明。

一、总体总体是指研究对象的全体，也可以理解为我们想要了解的整个现象。

例如，我们要研究全国100个城市的平均工资水平，那么总体就是这100个城市的所有居民的工资。

总体的计算公式为：总体容量=城市数量×每个城市的人口数量二、样本样本是从总体中抽取的一部分个体，用于对总体进行研究和分析。

样本的大小取决于我们的研究目的和资源限制。

例如，我们要研究全国100个城市的平均工资水平，那么我们可以从每个城市中随机抽取一定数量的居民作为样本，例如抽取500个样本。

样本的计算公式为：样本容量=样本数量三、统计量统计量是用来描述样本特征的数值指标，它可以帮助我们了解样本的总体特征。

例如，我们可以计算每个城市的平均工资、平均工资的标准差等统计量。

四、总体、样本和统计量的关系1. 总体容量与样本容量的关系：总体容量=样本容量×（总体中每个个体被抽到的概率）2. 样本均值与总体均值的关系：样本均值=总体均值×（总体中每个个体被抽到的概率）/样本容量3. 样本标准差与总体标准差的关系：样本标准差=总体标准差×（总体中每个个体被抽到的概率）/样本容量五、举例说明假设我们要研究全国100个城市的平均工资水平，采用分层抽样的方法，从每个城市中抽取50个居民作为样本。

现在我们来计算各个统计量。

1. 总体容量：总体容量=100×（1-（1-0.5）^50）=100×（1-0.957423）=26.38≈26（单位：万元）2. 样本容量：样本容量=50×100=5000（单位：人）3. 计算每个城市的平均工资：由于我们只关心平均工资这个统计量，所以我们可以直接用每个城市被抽到的居民的工资之和除以样本容量得到平均工资。