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§1.6 经济学中的常用函数一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要.消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外，还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素，其他因素暂时取定值.这样，对商品的需求量就是该商品价格的函数，称为需求函数.用Q表示对商品的需求量，〃表示商品的价格，则需求函数为:Q = Q(P\鉴于实际情况，自变量因变量Q都取非负值.一般地，需求量随价格上涨而减少，因此通常需求函数是价格的递减函数.常见的需求函数有:线性需求函数：Q = a-bp,其中。
，〃均为非负常数；二次曲线需求函数：Q = a-bp-cp-,其中d, b , c均为非负常数；指数需求函数：Q = ae-bp , 其中a ,b均为非负常数. 幕函数：Q= kP~a，其中。
＞0,氐＞0需求函数Q = Q(P)的反函数，称为价格函数，记作：P = P(Q),也反映商品的需求与价格的关系.二、供给函数供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品.供给量记为S,供应者愿意接受的价格为则供给量与价格之间的关系为：s = s（p）,称为供给函数，卩称为供给价格，S与P均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：Q = aP-b,,其中a ,b均为非负常数；專函数：：Q = kP a中a>0,k>0;指数函数：Q = ae bP,其中a »均为非负常数.需求函数与供给函数密切相关，把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中，由于需求函数是递减函数，供给函数是递增函数，它们的图形必相交于一点，这一点叫做均衡点，这一点所对应的价格几就是供、需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格〃高于均衡价格时，产生了“供大于求”的现象，从而使市场价格下降；当市场价格P低于均衡价格时，这时会产生“供不应求”的现象，从而使市场价格上升；市场价格的调节就是这样实现的.应该指出，市场的均衡是暂时的，当条件发生变化时,原有的均衡状态就被破坏，从而需要在新的条件下建立新例1某商品的需求量Q与价格〃的关系由3Q2 + p = 123给出，而供给量Q与价格〃的关系由Q2-20Q-p = -99给出，试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.【解】要求均衡价格和均衡需求量，即解方程组[Q2-20Q-P=-99[3Q2 + p = \23 1帥=120 “2 =15得到两组结果]Q = _1和]02 = 6 •显然，第一组结果没有意义，故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.三、生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系•一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素•为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况•例2设投入兀与产出g(劝间的函数关系为g(x) = cx a由于g(2x) = 2a cx a = 2a g(x)可见，当时，规模报酬不变；当QV1时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；当0>1时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增•成本是指生产某种一定数量产品需要的费用，它包括固定成本和可变成本.若记总成本为C,固定成本为Co, Q为产量，G(Q)为可变成本，则成本函数为：c = c(0 = Co+G(0其中，C O>O,Q>O,显然成本函数是递增函数，它随产量的增加而增加.(2)平均成本函数平均成本是指生产每单位产品的成本，记为巴，即平&C(0)_C° | C&)Q Q Q平均成本的大小反映企业生产的好差，平均成本越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低，效益更好.五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，R表示总收益，R表示平均收益，则R = R© ,录=譽如果产品价格P保持不变，则R（Q） = PQ , R= P六、利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x ==+≤≤==+<≤例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
微分学在经济中的应用§1 经济学中的常用函数一、需求函数消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。
这种源动力的核心主要有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。
影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。
忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数)(P f D =， （1-1）需求函数通常是单调下降函数（如图1-1所示）。
产生下降的原因有两个：一是收入效应，二是替代效应。
注：需求量与价格有时也是按上升方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。
下列函数可作为需求函数：线性函数 )0,0(>>-=b a bP a D ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>--=c b a cP bP a D ，指数函数 )0,0(>>=-b A Ae D bP ，幂 函 数 )0,0(>>=-ααA AP D 。
二、供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。
所以，供给和需求是相对的概念，这就是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。
产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。
影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。
忽略其他因素，只考虑与 价格的关系就得到了供给函数：)(P g Q =， （1-2）供给函数通常是单调上升函数（如图1-2所示）。
注：供给量与价格有时也是按下降方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。
因而价格上涨供给量反而减少。
经常采用的供给函数有如下形式：线性函数 )0,0(>>+-=d c dP c Q ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>++-=c b a cP bP a Q ，指数函数 ),0,0,0(A B k B A B Ae Q kP >>>>-=， 幂 函 数 )0,0,0(>>>-=-ααB A BAP D 。
第五节第五节 经济学中的常用函数经济学中的常用函数第一章一、需求函数二、供给函数三、总成本函数、总收益函数总利润函数四、库存函数一、需求函数如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为 Q 是 P 的函数。
记作)(P f Q =则 f 称为需求函数.需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．,bP a Q −=线性需求函数：常见的需求函数：2cPbP a Q −−=二次曲线需求函数：( 其中 a , b , c , A > 0 )0,≥b a 幂函数：00A Q kP ,A ,k −=>>其中bP Q Ae−=指数需求函数：例 1设某商品的需求函数为)0,(>+−=b a b aP Q .00时的价格时的需求量和讨论==Q P 解,0b Q P ==时它表示价格为零时的需求量为 b ，称为饱和需求量；,0ab P Q ==时它表示价格为,时a b 无人愿意购买此商品.二、供给函数如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为 Q 是 P 的函数。
记作)(P G Q =则 G 称为供给函数.供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：0,,>−=b a b aP Q 其中幂函数：指数函数：0,0,>>=k A kP Q A 其中0,0,>>=b A ae Q bP 其中例2 设产品的需求函数为供给函数为 ()s s Q Q P = 在同一个坐标系中作出需求曲线D 和供给曲线S（如图），如果曲线D和曲线S 的交点00(,)P Q （或记为(,)e e P Q ）就是供需平衡点,而P 或e P 称为均衡价格，0Q 或e Q 称为均衡数量. 当0P P ¹时，市场力量会推动P 趋向0P 。
寻求0P 是金融经济学的主要问题之一。
第五节经济学中常用函数
教学目的：了解经济中常用函数的概念。
结合经济现象理解盂求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.
教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解.
教学内容：
一.需求函数与价格函数
一种商品的需求量0与该种商品的价格“密切相关，如杲不考虑其它因素的影响，则商
品的蛊求量Q可看作价格P的函数。
称为需求函数，记作Q = /(卫)。
评注：(1)一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q = f(p) 是价格〃的减少函数。
如图
(2)在企业管理和经济中常见的需求函数有
线性需求函数：Q = a-bp,其中/?>0, a>0均为常数;
二次需求函数：Q = a_bp_cp2,其中^>0, b>0, c>Q均为常数；
指数需求函数：Q = A严,其中A>0, b>0均为常数；基函数需求函数：Q = AP-a ,其+ A>0, G>0均为常数。
二、供给函数
“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意11!售并且有可供出售的商品量，如果不考
虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S = S(p)0评注：(1) 一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S = S(p)是价格〃的单调增加函数。
(2)常见的供给函数有线性函数，二次函数，幕函数，指数函数等。
(3)如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格刁就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。
◎就是均衡数量。
2 4
例1 :已知某商品的供给函数是S=-p-4,需求函数是Q = 50--p,试求该漓品处于市
3 3
场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。
解: 令S=Q,解方程组< e=|/^-4
4 Q
= 50--p得均衡价格p = 27,均衡数量e = 14o
2 4
说明供给函数S=-p-4与需求函数2 = 50-一0的图彖交点的横坐标就是市场均衡价格。
高于这个价格，供大于求；低于这个价格，求大于供。
三、总成本函数
总成本是工厂生产一种产品所需费用的总和，它通常分为固定成本和变动成本两部分, 固定成本指不受产量变化影响的成本，如厂房，机器设备的费用等，常用G表示。
可变成本指随产量变化而发生变化的成本，如原材料费，工人工资，包装费等，常用C?表示，它是产量q 的函数，即C2=C2(q)o
生产q个单位某种产品时的可变成本C?与固定成本G之和，成为总成本函数，记作C, 即C = C(g) = C[ +C?⑷ o
评注：(1)总成本函数C(g)是产量今的单调增加函数。
(2)常见的成本函数有线性函数、二次函数、三次函数等。
(3)要评价企业的生产状况，还需要计算产品的平均成本，即生产g个单位产品时，单位产
品的成本，记做E(g),即乙⑷=£@=£+9^1 ,其中9^2称为平均可变成本。
q q q q
例2:生产某种商品的总成本(单位：元)是C(g) = 500 + 4q,求生产50件这种商品的总成本和
平均成本。
解：生产50件这种商品的总成本为C(50) = 500 + 4x50 = 700 (元)；
平均成本为A(50) = -^l _50= —= 14 (元/件)。
q 150
四、收益(收入)函数与利润函数
1 •收益函数
收益是指销售某种商品所获得的收益，又可分为总收益和平均收益。
总收益是销售者售出一定数量商品所得的全部收益，常用R表示。
平均收益是售出一定数量的商品时，平均每售出一个单位商品的收益，也就是销售一定数量商品时的单位商品的销售价格。
常用尺表示。
总收益和平均收益都是售出商品数量的函数。
设P为商品价格，q为商品的销售量，则有
R=R(q) = qP(q), 示= ^l = p⑷，其中P(q)是商品的价格函数。
q
例3 :设某商品的价格函数是P = 50-|^,试求该商品的收入函数，并求出10件商品时的总收入和平均收入。
解：收入函数为R=Pg = 50g_*2；
-R 1
平均收入为R = -=P = 50 — q；
q 5
1 0
销售10件商品时的总收入和平均收入分别为/?(10)=50X10--X102=480,
— 1
/?(10) = 50--xl0 = 48o
2.利润函数
总利润指生产一定数量的产品的总收入与总成本之差，记做厶，即
L = L(q) = R(q) — C(q)，其中q是产品数量。
平均利润记做L = Z(q)= 如o
q
例4:已知生产某种商品q件时的总成本(单位：万元)为C(q) = 10 + 6q + 0.1g2如果该商品的销售单价为9万元，试求：
(1)该商品的利润函数；
(2)生产10件该商品时的总利润和平均利润；
(3)生产30件该商品时的总利润。
解：(1)该商品的收入函数为R(q) = 9q,得到利润函数为
L(q) = R(q) - C⑷=3q -10 - 0.1/
(2)生产10件该商品时的总利润为L (10) = 3x10-10-0」xl02=10 (万元)，
此时的平均利润为Z = = —= 1 (万元/件)
10 10
(3)生产30件该商品时的总利润为厶(30) = 3x30 — 10-0」x302 =-10 (万元)
评注：一般地，收入随着销售量的增加而增加，但利润并不总是随销售量的增加而增加。
它可出现三种情况
(1)如果厶⑷= /?(g)— C⑷>0,则生产处于盈利状态；
(2)如果L(q) = R(q)-C(q) < 0 ,则生产处于亏损状态；
(3)如果L(q) = R(q)_C(q)=0,则生产处于保本状态。
此时的产量绻称为无盈亏点。
例5:己知某商品的成本函数为C = 12 + 3q + b，若销售单价定为11元/件，试求：
(1)该商品经营活动的无盈亏点；
(2)若每天销售10件该商品，为了不亏本，销售单价应定为多少才合适？
解：(1)利润函数厶(g) = /?(g)_C(g) = llg_(12 + 3g +『) = 8g_12_q2
由L⑷=0 ,即Sq-12-q2 =0,解得两个无盈亏点也=2和q?=6；
由厶⑷= (q — 2)(6 — q)可看出，
当q<2或q>6时，都有厶(q)v0,生产经营是亏损的；
当2<q<6时，厶⑷>0,生产经营是盈利的，
因此，q = 2件和g = 6件分别是盈利的最低产量和最高产量。
(2)设定价为“元/件，贝闲润函数L(q) = pq_Q2 + 3q + q?),为使生产经营不亏本, 须有1(10)>0,即10卩-142»0,得p>14.20所以，为了不亏本，销售单价应不低于14.2 元/件。
练习；某产品的成本函数为C(g) = 18 — 7q + /,收入函数为R(q) = 4q ,求
(1)该产品的盈亏平衡点；
(2)该产品销量为5时的利润；
(3)该产品销量为10时能否盈利？
答案：［(1) 2, 9；(2) 12；(3) L(10) =-8,不能盈利。
］。
