经济学中常用的函数
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1.2 经济学中常见函数
一、需求函数、供给函数、价格函数
两个要点：(1) 愿意提供；(2) 能够提供 思考：下列能不能构成房地产供给量
(1) 想做房地产，但没资金盖房
×
(2) 有钱能盖房，不想做房地产生意 × 上一页 下一页 主页
经济学中常用函数
(二) 供给函数
高 Qs f (该商品价格 , 互补品价格 , 替代品价格， , 厂商预期 ) 等 2、供给函数 数 在影响供给量变动的诸多因素中，只考虑该 学 经 商品价格变动对供给量的影响． 济 供给函数定义——厂商对某种商品的供给量随该类 商品价格变化的函数关系． 商品供给量：Qs ，该商品价格：p 供给函数记作： Qs g( p)
一、需求函数、供给函数、价格函数
两个要点：(1) 愿意购买；(2) 能够购买 思考：下列能不能构成购房需求量
(1) 想买房，买不起
× ×
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(2) 有钱，不需要买房
经济学中常用函数
, 互补品价格 , 替代品价格， , 消费者预期 ) (一) 需求函数 Qd f (该商品价格 高 2、影响需求的因素
p
最高价格
高 等 数 学 经 济 类
o
最大需求量
Qd
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经济学中常用函数
高 (二) 供给函数【Supply Function】 等 数 1、供给量的概念【The Quantity of Supply ——Qs 】 学 厂商在一定时期内，在每一价格水平时，愿 经 意提供而且能够提供某种商品的数量． 济 类 供给是从厂商的角度考虑的
最大需求量
k Qd p
k 0, 0
越减越快
o
最高价格
p
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经济学里面的数学方程
经济学里面的数学方程经济学中常使用的数学方程和模型多种多样，它们帮助经济学家分析和预测经济现象。
以下是一些常见的经济学数学方程和模型：1.供需方程：o供给函数：Qs = f(Ps)o需求函数：Qd = g(Pd)当Qs = Qd时，市场达到均衡，此时的价格称为均衡价格，对应的数量称为均衡数量。
2.市场均衡模型：o P = MC = MR = AR其中，P是价格，MC是边际成本，MR是边际收益，AR是平均收益。
当边际成本等于边际收益时，企业实现利润最大化。
3.消费者行为模型：o效用函数：U = u(x1, x2, ..., xn)描述消费者在给定商品组合下的效用水平。
4.生产函数：o Q = f(K, L)其中，Q是产出，K是资本，L是劳动。
这个函数描述了给定资本和劳动投入下的最大产出。
5.成本函数：o TC = TFC + TVC其中，TC是总成本，TFC是固定成本，TVC是可变成本。
o AC = TC / Q其中，AC是平均成本。
o MC = ∆TC / ∆Q其中，MC是边际成本。
6.无差异曲线：用于描述消费者在不同商品组合之间获得相同效用水平的路径。
7.等产量线：在生产空间中，表示给定生产要素投入组合下能生产出的最大产量。
8.IS-LM模型：o IS曲线：描述产品市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
o LM曲线：描述货币市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
9.总需求-总供给模型：o AD = C + I + G + (X - M)其中，AD是总需求，C是消费，I是投资，G是政府支出，X是出口，M是进口。
o AS = Y其中，AS是总供给，Y是国民收入。
10.菲利普斯曲线：oπ = πe - β(u - un)其中，π是实际通货膨胀率，πe是预期通货膨胀率，u是实际失业率，un是自然失业率，β是调整系数。
这些方程和模型在经济学中被广泛应用，用于分析市场行为、消费者选择、生产决策、宏观经济政策等各个方面。
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
经济数学经济学中常用的函数PPT资料(正式版)
所求供给函数为
S 1 3 0 0 04 0 0 0p
经济数学
1.需求函数与供给函数
例2 已知某商品的需求函数和供给函数分别为
Q 1 4 .5 1 .5 P ,S 7 .5 4 P
p 求该商品的均衡价格 0 .
解
由供需均衡条件 Q S ，可得
1 4 .5 1 .5p 7 .5 4p 因此，均衡价格为 p 0 4 .
1002 1000 2250
8
平均成本函数C为(Q ：)C(Q)1000Q 82 1000Q
Q
Q
Q8
经济数学
3. 价格函数、收入函数、利润函数 （1）价格函数
P=P(Q)
注意：需求函数Q=f(P)与价格函数P=P(Q)是 互为反函数的关系。
经济数学
3. 价格函数、收入函数、利润函数 (2) 收入函数
(1) 总成本函数;
当销售100个商品时的总收入为：
经济数学经济学中常用的函数 总利润 等于总收入 与总成本
的差，所以总Q利润函Q数(为p：)
常见的供应函数有以下几种类型：
例4 设某商品的常需见求函的数为需求函数有以下几种类型：
已知某商品的需求函数和供给函数分别为
Ø线性需求函数 Q a b p(a 0 ,b 0 )
Ø 二次需求函数 Q a b p c p 2 ( a 0 (A0,b0)
经济数学
1.需求函数与供应函数 (2) 供应函数
某种商品的市场供给量也受商品价格的制约，价格上涨将刺 激生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌
总收入函数 R ( q ) 与产品的单价 p 和产量或销售量 q 有关 ，其式子为： R(q)qp(q)
q 个单位产品时的平均收： 入为：
经济学中的常用函数
b b Q = 0 时 P = , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义： 供给的含义：在某一时间内， 在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品． 生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素， 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
第五节 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义： 需求的含义： 消费者在某一特定的时期内， 消费者在某一特定的时期内， 在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要． 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
幂函数： 幂函数：Q = kP − A , 其中 A > 0 , k > 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q = −aP + b (a , b > 0)
讨论 P = 0 时的需求量和 Q = 0 时的价格 .
解 P = 0 时 Q = b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量 称为饱和需求量； 饱和需求量；
2
六、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求 量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素， 由于库存费用及资金占用等因素，显然 一次进货是不划算的， 一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货， 次进货，
Q T 每次进货批量为 q = ，进货周期为 t = . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C 1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同， 每次进货量相同，进货间隔时间不变， 进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品， 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
常用经济函数模型
常用经济函数模型经济函数模型是用来描述经济变量之间关系的数学模型。
在经济学中，一些常用的经济函数模型包括：1.消费函数模型：描述消费支出与收入之间的关系。
一般形式为C=α+βY，其中C表示消费支出，Y表示收入，α和β是参数。
这个模型表明消费支出与收入之间存在正相关关系，即收入越高，消费支出也越高。
2.投资函数模型：描述投资支出与利率之间的关系。
一般形式为I=I0(r)，其中I表示投资支出，r表示利率，I0是利率为零时的投资支出。
这个模型表明投资支出与利率之间存在负相关关系，即利率越高，投资支出越少。
3.生产函数模型：描述一定时期内生产过程中各要素的投入与产出之间的关系。
一般形式为Y=F(X1,X2,Xn)，其中Y表示总产出，X1,X2,Xn表示各种生产要素的投入量，F是生产函数。
这个模型表明在一定时期内，生产要素的投入量与产出量之间存在一定的函数关系。
4.成本函数模型：描述一定时期内生产成本与产量之间的关系。
一般形式为C=C(Y)，其中C表示总成本，Y表示总产量。
这个模型表明在一定时期内，随着产量的变化，生产成本也会发生变化。
5.收益函数模型：描述一定时期内销售收入与销售量之间的关系。
一般形式为R=R(Q)，其中R表示总收入，Q表示销售量。
这个模型表明在一定时期内，随着销售量的变化，销售收入也会发生变化。
6.利润函数模型：描述一定时期内企业利润与产量之间的关系。
一般形式为π=π(Y)，其中π表示总利润，Y表示总产量。
这个模型表明在一定时期内，随着产量的变化，企业利润也会发生变化。
这些经济函数模型在经济学的各个领域中都有广泛的应用。
例如，在宏观经济分析中，可以通过消费函数模型和投资函数模型来预测经济增长；在微观经济分析中，可以通过生产函数模型和成本函数模型来制定企业生产计划和进行成本控制；在市场营销中，可以通过收益函数模型和利润函数模型来制定销售策略和进行利润管理。
需要注意的是，这些经济函数模型都只是对现实经济现象的近似描述，并不完全准确。
经济学中常用的函数
3
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
经济学中的常用函数
第四节
一 单利与复利
经济学中的常用函数
单利计算公式
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r ) 第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp p(1 2r )
……
第n年末的本利和 sn p(1 nr )
目录
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结束
复利计算公式
所求总成本函数为 x2 C ( x ) 400 (万元) 100 平均成本函数为
C ( x ) 400 x C ( x) (万元 / 吨) x x 100
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小结
1. 函数的定义及函数的二要素 定义域 对应规律
2. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
Qd f d ( P )
均衡价格
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P
P
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例2 设某商品的需求函数和供给函数分别为
Q d 190 5P,Q s 25P 20,
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件
Qd Q s 得
190 5P 25P 20
解得 p 7,
因此，市场均衡价格为 P0 7.
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r )
第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp(1 r )
p(1 r )2
……
第n年末的本利和 sn p(1 r )
n
例1 现有初始本金100(元)，若银行年储蓄利率为5%， 问： （1）按单利计算，3年末本利和为多少? （2）按复利计算，3年末本利和为多少?
一 单利与复利
经济学中的常用函数
单利计算公式
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r ) 第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp p(1 2r )
……
第n年末的本利和 sn p(1 nr )
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复利计算公式
所求总成本函数为 x2 C ( x ) 400 (万元) 100 平均成本函数为
C ( x ) 400 x C ( x) (万元 / 吨) x x 100
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小结
1. 函数的定义及函数的二要素 定义域 对应规律
2. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
Qd f d ( P )
均衡价格
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P
P
返回 结束
例2 设某商品的需求函数和供给函数分别为
Q d 190 5P,Q s 25P 20,
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件
Qd Q s 得
190 5P 25P 20
解得 p 7,
因此，市场均衡价格为 P0 7.
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r )
第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp(1 r )
p(1 r )2
……
第n年末的本利和 sn p(1 r )
n
例1 现有初始本金100(元)，若银行年储蓄利率为5%， 问： （1）按单利计算，3年末本利和为多少? （2）按复利计算，3年末本利和为多少?
1.5 经济学中常用的函数
§1.5 经济学中常用的函数
一.需求函数与供给函数 二.成本、收益与利润函数
1
一.需求函数与供给函数
1. 需求函数
商品的需求量Qd , 受消费者的偏好收入及商品价格等因素的 影响. 但最主要的是价格因素; 若不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 P 的函数, 即
Qd f ( P )
则称此函数为需求函数. 一般情况下, 价格越高, 商品需求量越小. 因此, 通常假设 需求函数是单调减少的. 在经济分析中, 称其为需求规律.
(Q 0)
平均收益是平均每一单位产品的销售收入, 记为R(Q), 则
R(Q ) PQ R(Q ) P Q Q
8
3. 利润函数
总利润是总收入 与总成本 之差. 则利润函数为
L(Q ) R(Q ) C (Q )
当 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0 时, 生产者盈利. 当 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0 时, 生产者亏损. 当 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0 时, 生产者盈亏平衡. 使 L(Q) 0 的点 Q0 称为盈亏平衡点.
品的价格, 而该种商品的供给函数为
Qs 20 40 P 3 3
试求市场均衡价格和市场均衡数量. 解 由均衡条件 Qs Qd , 得
20 40 25 P P 3 3
解得
P5
当P=5时, Q=20, 即市场均衡价格为5, 市场均衡数量为20.
6
设总成本为C, 固定成本为 C 0 ,产量为Q时的可变成本为C1 (Q)
3
3. 均衡价格与均衡数量 对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达
到了市场均衡. 达到市场均衡时的商品价格为均衡价格. 达到
一.需求函数与供给函数 二.成本、收益与利润函数
1
一.需求函数与供给函数
1. 需求函数
商品的需求量Qd , 受消费者的偏好收入及商品价格等因素的 影响. 但最主要的是价格因素; 若不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 P 的函数, 即
Qd f ( P )
则称此函数为需求函数. 一般情况下, 价格越高, 商品需求量越小. 因此, 通常假设 需求函数是单调减少的. 在经济分析中, 称其为需求规律.
(Q 0)
平均收益是平均每一单位产品的销售收入, 记为R(Q), 则
R(Q ) PQ R(Q ) P Q Q
8
3. 利润函数
总利润是总收入 与总成本 之差. 则利润函数为
L(Q ) R(Q ) C (Q )
当 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0 时, 生产者盈利. 当 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0 时, 生产者亏损. 当 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0 时, 生产者盈亏平衡. 使 L(Q) 0 的点 Q0 称为盈亏平衡点.
品的价格, 而该种商品的供给函数为
Qs 20 40 P 3 3
试求市场均衡价格和市场均衡数量. 解 由均衡条件 Qs Qd , 得
20 40 25 P P 3 3
解得
P5
当P=5时, Q=20, 即市场均衡价格为5, 市场均衡数量为20.
6
设总成本为C, 固定成本为 C 0 ,产量为Q时的可变成本为C1 (Q)
3
3. 均衡价格与均衡数量 对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达
到了市场均衡. 达到市场均衡时的商品价格为均衡价格. 达到
经济数学经济学中常用的函数
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
第五节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
(经济中常用的函数)精讲
R(400) 200 400 80000 元 R(600) 180 600 10000 118000 元
12
2.供给函数
供给函数，记为 S S ( p)． 供给函数为价格 p 的单调增加函数．
线性供给函数为 S c dp (c 0, d 0) ． 使某种商品的市场需求量与供给量相等 的价格 p0，称为均衡价格．
19500(元)
例1 当鸡蛋收购价为每 kg 4.5元时，某 收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每 kg 提高0.1元，则收购量可增加400 kg ，求鸡蛋 的线性供给函数．
解 设鸡蛋的线性供给函数为 S c dp ， 由题意有 5 000 c 4.5d， 5 400 c 4.6d． 解得 d 4 000 ， c 13 000 ，所求供给函数为 S 13 000 4 000 p ．
例8
某产品日产量不超过1000件，已知产
品的固定成本为500(元)，每生产 x 件产品
1 2 的生产成本为 x 100 x ，每件售价为 6 1 400 x ，求利润函数以及销售400件时的 3
利润。
解
由题设成本函数
1 2 C C ( x) x 100 x 500 6
收入函数
10
例6 某产品每台售价200元，当年产量500台 以内时，可以全部售出；当年产量超过500台 时，经广告宣传后又可再多卖200台，这时需 要支付每台20元的广告费。生产再多，本年 就卖不出去了。试建立销售总收入 R 关于产 量 q 的收入函数。并求当产量为400台、600 台时的收入为多少元？
11
R R(Q) PQ QP ．(Q)
9
经济数学-经济学中常用的函数
1 .4 PQ 2.某工厂对棉花的需求函数由
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
1.2 经济学中常见函数
7
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经济学中常用函数
高 例 1 设某商品的需求函数为 等 数 Q aP b (a , b 0) 学 讨论 P 0 时的需求量和 Q 0 时的价格 . 经 济 解 P 0 时 Q b , 它表示价格为零时的 类 需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b 它表示价格为 Q 0时 P , 时, a a
Qs ap b 700 10a b 由已知有 1700 14a b
Qs
a 250, b 1800 解得： 故供给函数为： Qs 250 p 1800
(2)令 Qs 0 得最低价格 p 7.2
o
7.2 最低价格
p
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经济学中常用函数
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经济学中常用函数
p 例4：某地区某月对肉鸡的需求函数为 Qd 65 9 ，供给函数 高 为 Qs 5 p ，（ 5 Qs、Qd 的单位为吨，p 的单位为万元 ）． 等 (1) 求均衡价格和均衡数量；(2) 在同一坐标系中画出供给曲线 数 与需求曲线，并标出均衡价格和均衡数量． 学 Qd Qs 即：65 9 p 5 p 5 解：(1)市场达到均衡时， 经 解得均衡价格为：p 5 万元 济 均衡数量为：Q 5 5 5 20 吨 类 (2)需求曲线和供给曲线 Q Qs 5 p 5 Q 65 9 p
等 数 学 经 济 类
(4) 消费者嗜好 (5) 人口数量 (6) 政府的消费政策
(7) 季节 (8) 消费者对未来的预期——消费者对自己的收入及商品价格的预期，若预期自己
的收入上涨，且商品的价格也将上涨，则商品现在需求会增加，反之，减少 (9) ……………………
经济学中常用的函数
一般说来，商品价格低，需求量大；商品价 格高，需求量小．
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Q a bp (a 0,b 0); 2、二次需求函数：Q a bp cp2 (a 0,b 0,c 0); 3、指数需求函数：Q a eb p (a 0,b 0).
的固定成本C0 ，以及随产量变化而变化的变动 成本C1(Q)，即C(Q) C0 C1(Q) ．
平均成本函数 C
为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R (Q) Q P ．
平均收入
R
R
(Q
)
QP Q
P
利润函数
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q Q P 称为需求函数．
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数 与成本函数之差，即L L(Q) R (Q) C (Q)
1、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为有盈余生
产，即生产处于有利润状态；
2、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为亏损生产，
供求关系
如果市场上某种商品的市场需求量与供给量
相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商 品价格 P0 称为均衡价格
p p0 p p0
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Q a bp (a 0,b 0); 2、二次需求函数：Q a bp cp2 (a 0,b 0,c 0); 3、指数需求函数：Q a eb p (a 0,b 0).
的固定成本C0 ，以及随产量变化而变化的变动 成本C1(Q)，即C(Q) C0 C1(Q) ．
平均成本函数 C
为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R (Q) Q P ．
平均收入
R
R
(Q
)
QP Q
P
利润函数
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q Q P 称为需求函数．
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数 与成本函数之差，即L L(Q) R (Q) C (Q)
1、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为有盈余生
产，即生产处于有利润状态；
2、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为亏损生产，
供求关系
如果市场上某种商品的市场需求量与供给量
相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商 品价格 P0 称为均衡价格
p p0 p p0
经济学中常用的函数
2、 ()()() 0 ，此时称为亏损生产， 即生产处于亏损状态，利润为负；
3、L(Q) 0，此时称为无盈亏生产，若把无盈亏
生产时的产量记为 Q 0 ，将其称为无盈亏点．
谢谢~~
.
C(Q)
C(Q) Q
收入函数
设P 为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R(Q)QgP ．
平均收入 RR(Q)QQgP P
利润函数
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或
LLQRQCQ 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数
与成本函数之差，即 ()()()
1、L( Q ) R ( Q ) C ( Q ) 0，此时称为有盈余生 LQRQCQ 产，即生产处于有利润状态；
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q QP 称为需求函数．
p p0 p p0
供大于求，p下降 物资短缺，p上升
成本函数
某产品的总成本C (Q （) Q 表示产量）是指生产一
定数量的产品所需的费用（化而变化
的固定成本C 0 成本C 1 (Q )，即
，以及随产量变化而变化的变动
C(Q)C0C1(Q)．
平均成本函数 C
供给函数
设p 表示商品价格，S 表示供给量，将供给量与商
品价格之间的函数关系S S p称为供给函数．
一般说来，商品价格低，生产者不愿生产， 供给减少；商品价格高，供给增加．
3、L(Q) 0，此时称为无盈亏生产，若把无盈亏
生产时的产量记为 Q 0 ，将其称为无盈亏点．
谢谢~~
.
C(Q)
C(Q) Q
收入函数
设P 为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R(Q)QgP ．
平均收入 RR(Q)QQgP P
利润函数
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或
LLQRQCQ 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数
与成本函数之差，即 ()()()
1、L( Q ) R ( Q ) C ( Q ) 0，此时称为有盈余生 LQRQCQ 产，即生产处于有利润状态；
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q QP 称为需求函数．
p p0 p p0
供大于求，p下降 物资短缺，p上升
成本函数
某产品的总成本C (Q （) Q 表示产量）是指生产一
定数量的产品所需的费用（化而变化
的固定成本C 0 成本C 1 (Q )，即
，以及随产量变化而变化的变动
C(Q)C0C1(Q)．
平均成本函数 C
供给函数
设p 表示商品价格，S 表示供给量，将供给量与商
品价格之间的函数关系S S p称为供给函数．
一般说来，商品价格低，生产者不愿生产， 供给减少；商品价格高，供给增加．
经济师函数知识点归纳总结
经济师函数知识点归纳总结经济师函数知识点归纳总结引言：经济学中的函数是研究经济现象和经济关系的重要工具。
函数是一种数学工具，可用来描述两个变量之间的关系。
经济师在研究经济问题时，通常会使用各种各样的函数来描述不同的经济关系。
本文将对经济师常用的函数进行归纳总结，希望能为读者提供一个全面而清晰的概览。
一、线性函数线性函数是最简单和最常用的函数之一，在经济学中被广泛应用。
线性函数的表达式为：y = ax + b。
（其中，a和b为常数）线性函数的特点是在平面坐标系中表示为一条直线。
例如，如果我们用y表示消费支出，x表示收入，那么x和y之间的关系可以用线性函数来描述。
二、二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数。
二次函数的图形是一个抛物线，通常有一个最高点或最低点。
在经济学中，二次函数常用于描述边际效应和成本曲线。
例如，当我们研究某种产品的成本与产量之间的关系时，二次函数可以帮助我们更好地理解成本的变化情况。
三、指数函数指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个常数。
指数函数的特点是随着x的增加，y值会以指数形式增长或下降。
指数函数在经济学中常用于描述增长率和复利的概念。
例如，当我们研究人口增长、经济增长或利息计算时，指数函数可以提供更准确的结果和预测。
四、对数函数对数函数是指形如y = loga x的函数，其中a是一个常数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数和指数函数互为反函数。
对数函数在经济学中也是常用的函数之一。
例如，当我们研究货币的时间价值、价格弹性或投资回报率时，对数函数可以为我们提供更多的信息和洞察。
五、多项式函数多项式函数是指形如y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0、a1、a2...a和n都是常数。
多项式函数在经济学中常用于描述复杂的经济关系和现象。
例如，当我们研究经济增长模型、生产函数或收益递减时，多项式函数可以提供更加灵活的表达和分析工具。
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它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里. 又知铁路运价为 m 元/ 吨·公里, 公路运价是 n元/吨·公里(m < n), 为节省运费,
拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站, 那么总运费的多
少决定于M的位置. 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系.
解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则 AM x2 a2
A
B
b M
a xC
y n x2 a2 m (b x), x [0, b]
13
例7 (复利息问题)设银行将数量为 A0 的款贷出, 每 期利率为 r. 若一期结算一次, 则 t 期后连本带利可收回
A 0(1 r )t 若每期结算 m 次, 则 t 期后连本带利可收回
A
0[(1
即如果需求量大于供给量则价格会上涨, 反之, 价格 会降低. 因此, 市场上商品的价格总是围绕均衡价格上 下浮动.
7
2. 总成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源的价格或费用总额.
它由固定资本(生产准备费,用于维修、添制设备等)b元
和可变资本 (每单位产品消耗原材料、劳力等费用) a元, 则生产 x 件产品的总成本为
确问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及 它们之间存在什么关系, 以确定函数关系,根据实际问题 的要求指出定义域.
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价
格为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与
其需求量多少是线性关系, 试建立该型号手机的需求量
与价格之间的函数关系.
供应,因此供给量Qs 是价格 p 的单增函数. 最简单的供给 函数是如下形式的线性供给函数.
Qs g( p) cp d (c、d 均为正常数)
反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,
如图.
Q
o
d
p
c
–d
5
显然只有价格不低于 d/c 时, 才有供给量Qs, 因为厂 商都不愿作亏本生意.
4. 总利润函数
总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差. 设 x 件产品的总成本为 C(x), 销售收入为 R(x). 则利润为 L( x) R( x) C( x)
5. 其它经济函数
9
二. 建立函数关系举例
运用数学来解决实际问题, 首先要把问题中的数量关系 用数学表达式表示出来, 也就是建立数学模型. 为此必须明
C( x) 1000 4 x
R( x) 8x
L( x)
例5 某工厂在一年内分若干批生产某种车床, 年产 量为 a 台, 每批生准备费 b 元, 设产品均匀投入市场(即 平均库存量为批量的一半), 每年每台库存费为 c 元, 显 然, 生产批量大则库存费高; 生产批量小则批数增多; 因 而生产准备费高. 试求出一年中库存费与生产准备费之和 与批量的函数关系.
解
价格 x 元/只,
需求量 y只,
则
y 1 x 40, x (0,1600] 40
10
例4 工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资
本4元, 单位售价8元. 求：
(1) 总成本函数;
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数.
解
C( x) 4x 1000
记为p*. 显然此时的市场处于均衡状态.
6
当市场价格 p 高于均衡价格 p* 时, 则供给量Qs将增加, 需求量 Qd 将相应地减少; 反之, 当市场价格 p 低于均衡 价格 p*时, 则供给量 Qs 将减少, 而需求量 Qd 将增加.
因此, 市场上商品价格的调节, 就是按照需求律与供 给律来实现的.
§1.3 经济学中常用的函数
一. 常用的几个经济函数 二. 建立函数关系举 例
1
§1.3 经济学中常用的函数
一.常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及 商品价格等等因素的影响. 但最主要的是价格因素; 若
不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即 Qd f ( p)
r m
)m
]
t
A
0(1
r) m
mt
此函数即可看成期数 t 的函数, 也可看成结算次数 m的
函数.
现实生活中一些事物的生长 (r > 0) 和率减 (r <0)就遵这
种规律, 而且是立即产生立即结算. 例如细胞的繁殖、树
木生长、物体冷却、放射性元素的率减等.
14
p
特别地, 当价格 p=0时, 需求量 Qd=b , 它表示人们的 需要是有限的. b/a 为最大销售价格, 此时需求量为零.
当然价格 p 也可表示成需求量Qd的函数, p g(Qd ) 称
作价格函数.
3
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增
加3元就少买300件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数. 解 设价格由70元增加 k个3元, 则
解 设批量为 x台, 库存费与生产准备费之和为p(x) , 则 全年的生产准备费为 (a/x) ∙ b, 库存费为 (x/2) ∙ c, 故
p( x) ab cx , x (0, a]. x2
其中 a/x 为批数, x/2 为库存量.
12
例6 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼. 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,
p 70 3k , Qd 10000 300k
从而 k 100 , 3
而
k
1 (p
70),
则 p 170
3
故
Qd 17000 100 p, p (70,170]
4
(2) 供给函数 生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的, 其中
价格是最主要的因素; 一般地, 价格越高, 就越要加大
例2 某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为75元时, 有100单位投放市场, 求供给 Qs 与价 格p的函数.
解 设 Qs g( p) cp d , 则 Qs 2 p 50
(3) 均衡价格 均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd 与供给量Qs 相等时的价格; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p) 时的价格,
C( x) ax b
每件产品的成本(称为单位成本或平均成本)为
C(x) C(x) x
8
3. 销售收入函数(总收益函数)
总收益是产量的函数. 设某种产品的销售量为x, 价格为 p,则销售收入函数为 R p x
而价格 p 又可表为 x 的函数, 所以销售收入函数可看成 x 的函数 R(x).
则称此函数为需求函数.
需求函数 Qd f ( p) 一般是 p 的递减函数. 最常见、最 简单的需求函数是如下形式的线性需求函数
Qd f ( p) ap b (a、b均为正常数)
2
这个函数的几何形态, 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图.
Qd
b
o
b a