2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5

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.专业. 1.1.2 余弦定理

教学过程

推进新课

1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:

形式一:

2222cosabcbcA，2222cosbacacB，2222coscababC.

形式二:

bcacbA2cos222,cabacB2cos222,abcbaC2cos222.

师

在余弦定理中,令C

=90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.

[合作探究]

2.向量法证明余弦定理

(1)证明思路分析

师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?

生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角.

师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CBCA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.

(2)向量法证明余弦定理过程:

如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.

由向量加法的三角形法则，可得BCABAC,

∴222ACAC(ABBC)(ABBC)ABABBCBC

222cos180ABABBC(B)BC

222coscacBa，即2222cosbacacB

由向量减法的三角形法则，可得BCACAB, .

.专业. ∴222BCBC(ACAB)(ACAB)ACACABAB

222ACACABcosAAB222bbccosAc，

即2222cosabcbcA.

由向量加法的三角形法则,可得ABACCBACBC,

∴222ABAB(ACBC)(ACBC)ACACBCBC

222222ACACBCcosCBCbbacosCa，

即2222coscababC

[方法引导]

(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.

(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC与AB属于同起点向量,则夹角为A；AB与BC是首尾相接,则夹角为角B的补角180B；AC与BC是同终点,则夹角仍是角C.

[合作探究]

师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

bacabCacbcaBbcacbA2cos,2cos,2cos222222222.

师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC中，C =90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．

师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)

通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:

(1)已知三边,求三个角.

这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况.

(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形.

.专业. 所产生的判断取舍等问题.

接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］

【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.

解：根据余弦定理，

a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A≈41

cm.

由正弦定理得sinC=4141sin34sinaAc≈41656.034≈0.544 0,

因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C≈33°, B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°. 【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.

解：由余弦定理的推论,得

cosA=7.1618.8726.1347.1618.872222222bcacb≈0.554 3,A≈56°20′;

cosB=7.1616.13428.877.1616.1342222222cabac≈0.839 8,B≈32°53′;

C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.

[知识拓展]

补充例题：

【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1°)

分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.

解：∵725.0610276102cos222222bcacbA,

∴A≈44°.

∵cosC=140113107261072222222abcba≈0.807 1,

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.

[教师精讲]

(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.

(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.

【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).

分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两.

.专业. 种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.

解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′,

得c≈4.297.

∵cosA=297.4696.32730.2297.4696.32222222bcacb≈0.776 7,

∴A≈39°2′.

∴B=180°-(A+C)=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]

通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.

【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△ABC.

分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=21acsinB可以求出.

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的.

下面给出两种解法.

解法一:由正弦定理得60sin7sin8A,

∴A1=81.8°,A2=98.2°,

∴C1=38.2°,C2=21.8°.

由Ccsin60sin7,得c1=3,c2=5,

∴S△ABC=36sin211Bac或S△ABC=310sin212Bac.

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,

∴72=c+82-2×8×ccos60°,

整理得c2-8c+15=0,

解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=36sin211Bac或S△ABC= 310sin212Bac.

[教师精讲]

在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.

综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.

课堂练习

1.在△ABC中:

(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A;

(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;

(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B;

(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A. .

.专业. 解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A=7.

(2)由cabacB2cos222,得021202292120cos222B.∴B=90°.

(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b=7.

(4)由bcacbA2cos222,得22)13(222)13()2(cos222A.∴A=45°.

评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.

2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).

(1)a=31,b=42,c=27;

(2)a=9,b=10,c=15.

解：(1)由bcacbA2cos222,得27422312742cos222A≈0.675 5,∴A≈48°.

由273124227312cos222222cabacB≈-0.044 2,∴B≈93°.

∴C=180°-(A+B)=180°-(48°+93°)≈39°.

(2)由,2222bcacb得1510291510cos222A≈0.813 3,

∴A≈36°.

由1592109152cos222222cabacB≈0.763 0,

∴B≈40°.

∴C=180°-(A+B)=180°-(36°+40°)≈104°.