数学1.1.2《余弦定理》教案(新人教B版必修5)

第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；

2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；

二、过程与方法

通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性

三、情感、态度与价值观

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

【教学重点与难点】：

重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；

难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.余弦定理的内容？

2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？

2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （教材16P例6）在ABC中，AM是BC边上的中线，求证：222)(221BCACABAM

例2 （教材15P例5）在ABC中，已知CBAcossin2sin，试判断三角形的形状

例3 在ABC中，证明：CBAcbasin)sin(222

例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正

1．在ABC中，设CBar,ACbr，且|ar|2,|br|3,ar•br3，则_____AB

2. 在ABC中，已知060C，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，则acbcba的值等于________

3.已知aba,6,13边上的中线，2338am,则_____c

4.已知圆内接四边形ABCD中，4,6,2CDADBCAB,求四边形ABCD的面积

教B版必修5

教学分析

对余弦定理的探究，教材是从直角三角形入手，通过向量知识给予证明的．一是进一步加深学生对向量工具性的认识，二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处，感受向量法在解决问题中的威力．课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法，推出余弦定理后，可让学生用自己的语言叙述出来，并让学生结合余弦函数的性质明确：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．由上可知，余弦定理是勾股定理的推广．还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的．

应用余弦定理及其另一种形式，并结合正弦定理，可以解决以下问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题．在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式，也可以用正弦定理．用余弦定理的另一种形式，可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小．

根据教材特点，本内容安排2课时．一节重在余弦定理的推导及简单应用，一节重在解三角形中两个定理的综合应用．

三维目标

1．通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用；了解余弦定理与勾股定理之间的联系；知道解三角形问题的几种情形．

2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美．

3．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握．

1．1．2 余弦定理

三维目标

1．知识与技能

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．

2．过程与方法

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，开展用数学工具解答现实生活问题的能力．

3．情感、态度与价值观

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合〞的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．

重点难点

重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；

难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理的灵活应用.

教学工具

多媒体教学

教学方式

互动式

教学过程

一、 知识回忆〔学生完成〕

1：正弦定理2sinsinsinabcRABC

2：变形：

〔1〕2sinb2sin,2sinaRARBcRC，

〔2〕bsinsin,sin222acABCRRR，

〔3〕::sin:sin:sinabcABC

〔4〕sinsinsinsinabcaABCA

〔5〕1sin2SabC1sin2bcA1sin2acB

二、新知互动

探究：.bcAa(1)已知、、，求.abcA(2)已知、、，求 余弦定理讲解：++=0abc=-(+)abc22()abc2222abcbc2222cos()abcbcA2222cosabcbcA

余弦定理：

2222cosabcbcA 2b222coscacaB 2c222cosababC

余弦定理适用于：2SASSSSS、、

余弦定理推论：222cos2bcaAbc 222cos2cabBca 222cos2abcCab

三、 例题互动

知识点1：余弦定理应用

例1：在三角形ABC中，根据以下条件解三角形，

(1)a＝2，b＝22，C＝15°；

1.1.2余弦定理教案

教学目标：

1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程；

2．使学生能初步运用它解斜三角形。

教学重点：

余弦定理的证明，

余弦定理的应用。

教学过程

一、复习引入：

1． 复习正弦定理及其证明

2． 复习正弦定理的应用

二、讲解新课：

1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

即 Abccbacos2222bcacbA2cos222

Bacacbcos2222cabacB2cos222

Cabbaccos2222abcbaC2cos222

推导过程：

如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b

∵BCABAC

∴)()(BCABBCABACAC••

222BCBCABAB•

22)180cos(||||2BCBBCABAB•

22cos2aBacc

即Bacacbcos2222

同理可证 Abccbacos2222，Cabbaccos2222

方法2：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系 cabABC

。

由两点的距离公式有：

两边平方，得

同理可证另两式

2、正弦定理、余弦定理与射影定理：

O为ΔABC的外接圆圆心，皆得 sin∠BAC＝sin（90o－∠OBC）＝cos∠OBC 。

（A1）在ΔOBC中，利用射影定理： BC＝BOcos∠OBC＋COcos∠OCB ＝2Rcos∠OBC

（A2）在ΔOBC中，利用余弦定理：BC2＝BO2＋CO2－2BOCOcos∠BOC＝4R2cos2∠OBC

∵ ∠OBC必为锐角 ∴ BC＝2Rcos∠OBC

由上可知：在ΔABC中，Aasin＝BACBCsin＝OBCOBCRcoscos2＝2R

同理：Bbsin＝2R；Ccsin＝2R

故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。