高中数学 1.2 余弦定理(第1课时)教案 必修5

1.2余弦定理

第1课时 余弦定理(1)

(教师用书独具)

●三维目标

1.知识与技能

(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；

(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；

(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

2.过程与方法

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

3．情感、态度与价值观

(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．

●重点、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．

难点：向量方法证明余弦定理．

为了突出重点、分解难点，可引导学生把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．

(教师用书独具)

●教学建议

1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引入中提出在三角形中已知两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．

2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．

●教学流程 错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!

(对应学生用书第6页)

课标解读 1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)

2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)

余弦定理

【问题导思】

△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°.

1．能否直接利用正弦定理求AB?

【提示】 不能．

2．能否利用平面向量求边AB？怎么求？

【提示】 能．

因AB→＝AC→＋CB→，

∴|AB→|2＝|AC→|2＋|CB→|2＋2AC→·CB→

＝|AC→|2＋|CB→|2－2|AC→||CB→|cos∠ACB

＝4＋9－2×2×3 cos 60°＝7.

∴|AB→|＝7.

3．根据问题2的推导方法，能不能用b，c，A表示a?

【提示】 能．

1．余弦定理

(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

即a2＝b2＋c2－2bccos A，

b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

(2)余弦定理也可以写成如下形式：

cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，

cos C＝a2＋b2－c22ab.

2．余弦定理的应用

利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.

(对应学生用书第7页)

已知三角形三边，解三角形

已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．

【思路探究】 判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角

【自主解答】 ∵c＞a，c＞b，∴角C最大．

∵cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－3722×3×4＝－12，

∴C＝120°，∴△ABC的最大内角为120°.

1．已知三角形三边求三内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角”，应依据“大角对大边”确定．

2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y＝cos x在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．

△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为________．

【解析】 ∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，∴a∶b∶c＝3∶5∶7，

∴角C为最大内角，且cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋52－722×3×5＝－12，

∴C＝120°.

【答案】 120°

已知两边及其夹角，解三角形

在△ABC中，a＝2，b＝22，C＝15°，解此三角形．

【思路探究】 15°＝45°－30°→求cos 15°，sin 15°→余弦定理求c→正弦定理求A→求角B

【自主解答】 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝6－24.

由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－22(6＋2)＝8－43，

∴c＝8－43＝6－2.

由正弦定理得sin A＝asin Cc＝12，

∴A＝30°或A＝150°.

∵b＞a，∴B＞A.

∴A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝135°. 1．本例解法不只一个，求出边长c后，也可利用余弦定理求角A，避免角的取舍．

2．已知两边及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论．

在△ABC中，已知a＝23，c＝6＋2，B＝45°，求b及A.

【解】 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8，

∴b＝22.

下面用两种方法求A.

法一 由余弦定理，

得cos A＝b2＋c2－a22bc＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°.

法二 由正弦定理，得

sin A＝absin B＝2322sin 45°＝32，

∵(6＋2)2＝8＋43，(23)2＝12，

∴6＋2＞23，∴c＞a，∴0＜A＜90°，∴A＝60°.

余弦定理的变形及应用

在△ABC中，a，b，c分别是角A，角B，角C所对的边，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及bsin Bc.

【思路探究】 对已知条件进行转化，对cos A的表达式进行整体代换，求角A.

【自主解答】 由b2＝ac及a2－c2＝ac－bc得b2＋c2－a2＝bc.

在△ABC中，cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，

∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.

在△ABC中，由正弦定理得sin B＝bsin Aa，

又∵b2＝ac，A＝60°，

∴bsin Bc＝b2sin Aac＝sin 60°＝32.

1．当已知条件中出现关于边的二次式时，经常对已知条件转化变形，以便于利用余弦定理求解三角形．

2．利用已知等式时，应注意对原式变换，整体代换，简化运算．

(2013·成都高二检测)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是________． 【解析】 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc.

由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，即cos A≥12.

又0＜A＜π，所以角A的取值范围为(0，π3]．

【答案】 (0，π3]

(对应学生用书第8页)

忽略构成三角形的条件而致误

在△ABC中，三边的长为连续的自然数，且最大角为钝角，求这个三角形的三边的长．

【错解】 设a＝k，b＝k＋1，c＝k＋2(其中k∈N*)，由题意知cos C＜0.

由余弦定理得a2＋b2－c2＜0，

即k2＋(k＋1)2－(k＋2)2＜0.

∴k2－2k－3＜0，解得－1＜k＜3.

又∵k∈N*，∴k＝1或k＝2.

当k＝1时，三边长分别为1,2,3；

当k＝2时，三边长分别为2,3,4.

∴这个三角形的三边的长分别为1, 2,3或2,3,4.

【错因分析】 由于三边的长为连续的自然数，所以三边长分别用k，k＋1，k＋2(k∈N*)来表示，但解题时忽略了k，k＋1，k＋2能否构成三角形，只考虑到大边对大角，用余弦定理求解，从而产生错误．

【防范措施】 在三角形中隐含条件较多，可能会因为不用心而导致错误，在利用余弦定理求三角形的三边时，先要判断一下三边能否构成三角形．

【正解】 设a＝k，b＝k＋1，c＝k＋2(k∈N*)．

由a＋b＞c，知k＋(k＋1)＞k＋2，

即k＋1＞2，得k＞1，①

由cos C＜0，得a2＋b2－c2＜0，即k2－2k－3＜0.

解得－1＜k＜3，②

由①②知1＜k＜3，又k∈N*，

∴k＝2，∴a＝2，b＝3，c＝4，

∴这个三角形的三边的长分别为2,3,4. 1．基础知识：

(1)余弦定理；

(2)利用余弦定理解三角形．

2．基本技能：

(1)已知三边解三角形；

(2)已知两边及其夹角，解三角形；

(3)余弦定理的变形及应用．

3．思想方法：

(1)转化与化归思想；

(2)三角代换；

(3)边角互化.

(对应学生用书第8页)

1．在△ABC中，若a＝c＝2，B＝120°，则边b＝________.

【解析】 b＝a2＋c2－2accos B

＝22＋22－2×2×2cos 120°＝23.

【答案】 23

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a2＝b2－bc＋c2，则A＝________.

【解析】 ∵a2＝b2－bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，

∴A＝60°.

【答案】 60°

3．三角形的三边分别为4,6,8，则此三角形为________．

【解析】 设边长为8的边所对角为θ，

则cos θ＝42＋62－822×4×6＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．

【答案】 钝角三角形

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，求a.

【解】 ∵a2＋c2－b2＝2ac·cos B，

∴a2＋2－6＝22a·(－12)，∴a2＋2a－4＝0，