高中数学 1.1.2余弦定理(一)B 新人教A版必修5

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DOC版. 1.1.2 余弦定理

课时过关·能力提升

1已知在△ABC中,a∶b∶c=1∶1∶√3,则cos

C的值为( )

A.23 B.-23 C.12 D.-12

答案D

2在△ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

解析由2cosBsinA=sinC,得𝑎2+𝑎2-𝑎2𝑎𝑎·a=c,

所以a=b.所以△ABC为等腰三角形.

答案C

3已知在△ABC中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC上的高是( )

A.3√22 B.3√32 C.32 D.3√3

解析由余弦定理,得

cosA=𝑎𝑎2+𝑎𝑎2-𝑎𝑎22𝑎𝑎·𝑎𝑎=9+16-132×3×4=12.

∴sinA=√32.

∴S△ABC=12AB·AC·sinA

=12×3×4×√32=3√3.

设边AC上的高为h,

则S△ABC=12AC·h=12×4×h=3√3.

∴h=3√32.

答案B

4已知在△ABC中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin∠BAC=( )

A.√1010 B.√105 C.3√1010 D.√55 ..

DOC版. 解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理𝑎𝑎sin∠𝑎𝑎𝑎=𝑎𝑎sin∠𝑎𝑎𝑎,即√5√22=3sin∠𝑎𝑎𝑎,所以sin∠BAC=3√1010.

答案C

5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是

三角形.

解析因为∠B=60°,b2=ac,

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,

得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.

又∠B=60°,

所以△ABC是等边三角形.

课时训练2 余弦定理

一、利用余弦定理解三角形

1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于( )

A.1 B. C. D.3

答案:C

解析:b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×

=3,故b= .

2.在△ABC中,c2-a2-b2= ab,则角C为( )

A.60° B.45°或135°

C.150° D.30°

答案:C

解析:∵cos C= -

-

=-

,∴C=150°.

3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于

.

答案:120°

解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.

∴cos C= -

-

=-

.

∵0°

.

答案:2

解析:∵在△ABC中,sin A= sin C,∴a= c.

又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=

-

-

,解得c=2.

二、判断三角形形状

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2

,则△ABC是( )

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

答案:A

解析:∵b+c=2ccos2

,且2cos2

=1+cos A,

∴b+c=c(1+cos A),即b=ccos A.

由余弦定理得b=c· -

,

化简得a2+b2=c2,

∴△ABC是直角三角形.

6.在△ABC中,若sin2A+sin2B

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

答案:A

解析:由sin2A+sin2B

所以cos C= -

<0,

所以∠C为钝角,

即△ABC为钝角三角形.

《余弦定理》教课方案 青岛 58中 张笋

《余弦定理》教课方案

课题 余弦定理（人教 A 版必修 5 第 1.1.2 节）

课型

教课理 念

设计思 想

教课过 程设计

新讲课 课时安排 1 课时

学是教课的出发点、落脚点，教课的中心、重心在学而不在教，教课应当环绕学来组织、设计、展开 。鉴于学生学习的教课不单是教课实质的表现，也是学生形成学科中心修养的必定要求。

新课程的数学倡导学生着手实践， 自主研究，合作沟通， 深刻地理解基本结论的实质，体验数学发现和创建的历程， 力争对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思虑， 作出判断；同时要讨教师从知识的教授者向讲堂的设计者、组织者、指引者、合作者转变，从讲堂的履行者向实行者、研究开发者转变。本课全力追求新课程要求， 利用师生的互动合作， 提高学生的数学思想能力，发展学生的数学应企图识和创新意识， 深刻地领会数学思想方法及数学的应用，激发学生研究数学、应用数学知识的潜能。

①从切近学生生活中的实质问题的解决引入问题， 让学生设计方案， 如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。

②余弦定理的证明： 启迪学生从不一样的角度获取余弦定理的证明， 或指引学生自己研究获取定理的证明。 ③应用余弦定理解斜三角形。

教课过程详细流程

教课

教课内容

环节

青岛 58 中育英湖中有一座假山，现有卷尺和测角仪两种工具， 请你设计合理的方案， 来丈量假山界限上两点 A 和 B 之间的距离。

方

案

设

计

学生活动 教师活动 设计

企图

学生小组讨 从学生每

论，研究设计 天的必经

方案，画在方 之路— 育

框内，小组代 英湖提出

表登台展现各 问题，来

个小组的研究 源于生活

成就。 展现简图，指导并 中的问题

能激发学 组织学生议论、展 生的学习 示各个小组的设计 兴趣，提 方案，指导学生进 高学习积 行可行性研究。 极性。让 在此环节中，学生 学生进一 可能提出多种不一样 起码展现四组 步领会到 的设计方案，老师 学生的设计方 数学根源 引领学生进行可行 案。 于生活， 性剖析，找出方案 数学服务 中共同需要解决的 于生活。 问题。

人教版高中数学必修五

1 1.1.2 余弦定理

学习目标

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理.

2.能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

学习过程

一、已知三角形两边及夹角解三角形

例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.

总结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．

变式训练1 在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.

二、已知三角形三边解三角形

例2 已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．

总结 已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．

变式训练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

三、利用余弦定理判断三角形形状

例3 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

变式训练3 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状． 人教版高中数学必修五

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课堂小结

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两边和夹角，解三角形．

(2)已知三边求三角形的任意一角．

2．余弦定理与勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．

(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．

(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．

课堂检测

1．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )