2019_2020学年高中数学第1章算法初步1.1.1算法的概念学案新人教b版必修3

1.1.1 算法的概念

学

习

目 标 核 心 素 养

1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)

2．了解算法的含义和特征．(重点)

3．算法特征的使用，及算法的设计．(难点) 1.通过算法概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．借助算法的设计与应用，培养直观想象的核心素养.

一、算法的概念

算法的概念 由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题

描述算法的方式 可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌

思考：某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？

[提示] 符合算法概念，是算法．

二、算法的要求

1．写出的算法，必须能解决一类问题并且能重复使用．

2．算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果．

思考：根据算法的要求，你能简要地概括一下算法有哪些特征吗？

[提示] 有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．

1．下列选项中能称为算法的是( )

A．在家里一般是爸爸做饭

B．做饭需要刷锅、淘米、加水、加热这些步骤

C．在野外做饭野炊

D．做饭必须有米

B [B项描述的是解决一类问题的方法，能称为算法，故选B.]

2．算法的有限性是指( )

A．算法必须包含输出

B．算法中每个操作步骤都是可执行的

C．算法的步骤必须有限

D．以上说法均不正确

[答案] C

3．下列说法中不能看成算法的是( )

A．某人乘车去公园，先遛弯，再买菜，最后带着菜回家

B．烹制红烧肉的菜谱

C．从山东济南乘火车到北京，再从北京乘飞机到伦敦

D．小明会洗衣服

D [只要按步骤完成某项任务就是一个算法，很明显A、B、C都是按步骤完成某项任务的，均是算法，而D中仅仅说明了一个事实，不是算法．]

4．求过P(a1，b1)，Q(a2，b2)(a1，b1，a2，b2∈R)两点的直线的斜率有以下算法，请在横线上填上适当的步骤：

第一步，取x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2.

第二步，若x1＝x2，则输出“斜率不存在”，结束算法；否则，执行第三步．

第三步，______________.

第四步，输出k.

计算斜率k＝y2－y1x2－x1 [分析第二步和第四步可知，第三步的功能是给出斜率的计算公式，并将值赋给k，参考第一步的写法，第三步的内容应是“计算斜率k＝y2－y1x2－x1”．]

算法的概念

【例1】 (1)下列描述不能看作算法的是( )

A．解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1

B．洗衣机使用说明书的使用操作步骤

C．解方程2x2＋x－1＝0

D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42

(2)下列关于算法的说法：

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊不清；

③算法执行后一定产生明确的结果．

其中正确的个数有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．0个

(1)C (2)B [(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法， 而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．

(2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．]

1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．

2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题，应根据算法的这五大特点进行判断．

1．(1)下列可以看成算法的是( )

A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B．今天餐厅的饭真好吃

C．这道数学题很难做

D．方程2x2－x＋1＝0无实数根

A [A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]

(2)下列叙述中，

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；

②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；

③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京；

④3x>x＋1；

⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

能称为算法的有________．(填序号)

①②③ [根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．]

算法的应用

【例2】 下面给出一个问题的算法：

第一步，输入x.

第二步，若x≥4，则输出2x－1，算法结束；否则执行第三步．

第三步，输出x2－3x＋5.

(1)这个算法解决的问题是什么？

(2)当输入x的值为1时，输出的结果为多少？

[解] (1)这个算法是求分段函数f(x)＝ 2x－1，x≥4x2－3x＋5，x＜4的函数值．

(2)x＝1＜4，则f(1)＝12－3×1＋5＝3.

故当输入x的值为1时，输出的结果为3.

给出一个算法，其功能往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下，进而总结其算法功能，还可以用此算法解决同类问题.

2．下面算法要解决的问题是________．

S1 输入三个数，并分别用a、b、c表示．

S2 比较a与b的大小，如果a

S3 比较a与c的大小，如果a

S4 比较b与c的大小，如果b

S5 输出a、b、c.

输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出 [第一步是给a、b、c赋值．

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，所以a>b>c.

第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列．]

算法的设计

[探究问题]

1．算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？

[提示] 它们之间是一般与特殊的关系，要设计出解决某一类问题的算法，可以借助于此类问题中的某一个问题的解决过程和思路进行设计，且此类问题中的任何一个具体问题都

可以利用这类问题的算法来解决．

2．任何问题都可以设计算法解决吗？

[提示] 不是．只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法来解决．

3．一个具体问题的算法是不是唯一的？如何评价一个算法的好坏？

[提示] 解决一个问题的算法可以有多个，其中结构简单，步骤少、速度快的算法是好算法．

【例3】 设计一个算法，判断大于2的整数是否为质数．

[思路探究] 由于大于2的整数有无数个，但对于每一个数的判断方法是相同的，故应设计一个可以循环的步骤．

[解] S1 给定一个大于2的整数n.

S2 令i＝2.

S3 用i除n，得到余数r.

S4 判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．

S5 判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回S3.

设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

1认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；

2借助有关变量或参数对算法加以表述；

3将解决问题的过程划分为若干步骤；

4用简练的语言将这个步骤表示出来.

3．有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法．

[解] 如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝13πr2h计算V，然后输出结果．

第一步，令r＝3，l＝5.

第二步，计算h＝l2－r2.

第三步，计算V＝13πr2h.

第四步，输出V.

1．本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是掌握简单问题算法的表述．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)掌握算法的特征．

(2)掌握设计算法的一般步骤．

(3)会设计实际问题的算法．

3．本节课的易错点

(1)混淆算法的特征．

(2)算法语言不规范致误．

1．思考辨析

(1)一个算法可解决某一类问题．( )

(2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．( )

(3)同一个问题可以有不同的算法．( )

[解析] (1)√ 根据算法的概念可知．

(2)× 算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无．

(3)√ 例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”．

[答案] (1)√ (2)× (3)√

2．下列说法中，能称为算法的是( )

A．巧妇难为无米之炊

B．炒菜需要洗菜、切菜、刷锅、炒菜这些步骤

C．数学题真有趣

D．物理与数学是密不可分的

B [算法是做一件事的步骤或程序，不是解决问题的办法，因而只有选项B正确．]

3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：

S1 输入x；

S2 ________；

S3 计算y＝－x－1；

S4 输出y.

当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行S3 [含绝对值的函数的函数值的算法要注意分