2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课件新人教A版必修3

1 高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课堂探究 新人教B版必修3

1．辗转相除法与更相减损之术的异同

剖析：相同点：①都是求最大公约数的方法．②更相减损之术的理论依据为：由m－n＝r，得m＝n＋r，可以看出，m，n与n，r有相同的公约数；辗转相除法的理论依据是：由m＝nq＋r可以看出，m，n和n，r有相同的公约数，即二者的“算理”相似．

不同点：①更相减损之术进行的是减法运算，辗转相除法进行的是除法运算，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少．②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损之术则以减数与差相等而得到．

2.秦九韶算法是多项式求值最先进的方法

剖析：(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0的值转化为求递推公式

 v0＝an，vk＝vk－1x＋an－k，(k＝1,2, „，n)中vn的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上来实现．

(2)运算次数减少，只需至多n次乘法和n次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为nn＋12，加法的次数为n次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．

所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．

3．教材中的“探索与研究”

古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法)：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．以求288和123的最大公约数为例，操作如下：

(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)．

想一想这种算法的道理．试着编写程序在计算机上实现．

1 高中数学 第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图教材习题点拨 新人教A版必修3

练习

1.解:算法步骤:

第一步,给定一个正实数r.

第二步,计算以r为半径的圆的面积S＝πr2.

第三步,得到圆的面积S.

2.解:算法步骤:

第一步,给定一个大于1的正整数n.

第二步,依次以2～(n－1)的整数d为除数去除n,检查余数是否为0.若是,则d是n的因数;若不是,则d不是n的因数.

第三步,在n的因数中加入1和n.

第四步,得到n的所有因数.

点拨:找一个数的因数,需要判断这个数是否能被比它本身小且大于1的数整除,能够整除的数就是它的因数,最后加上1和n,输出所有因数.本题是一个可以用“遍历”的算法解决的问题.

练习

算法步骤：第一步，给定精确度d,令i＝1.

第二步，取出2的到小数点后第i位的不足近似值，记为a;取出2的到小数点后第i位的过剩近似值，记为b.

第三步,计算m＝5b－5a.

第四步,若m＜d,则得到25的近似值为5a;否则,将i的值增加1,返回第二步.

第五步,得到25的近似值为5a.

程序框图: 2

习题1.1

A组

1.解:下面是关于城市居民生活用水收费的问题.

为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过9

m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过9 m3的部分，每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费.

设每户每月用水量为x m3，应交纳水费y元，那么y与x之间的函数关系为：

.9,8.109.1,90,2.1xxxxy

我们设计一个算法来求上述分段函数的值.

第一步，输入每月用水量x.

第二步，判断输入的x是否超过9.若不超过9，则计算y＝1.2x；若超过9，则计算y＝1.9x－10.8.

1．1．1算法的概念

一、三维目标：

1、 知识与技能：

（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。

2、 过程与方法：

通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、 情感态度与价值观：

通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：

重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具：

学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器

四、教学设想：

1、 创设情境：

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。

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. 新课程人教A版数学必修（Ⅲ）教案1.3 算法案例——进位制一、教学目标：1.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法，，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，掌握不同进位制之间的互化，并理解其中的数学规律。3.能写出进位制之间的互化程序，理解数学算法与计算机算法的区别。二、教学重点：各进位制表示数的形式（方法）及各进位制之间的转换。三、教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计。学法：学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。四、教学过程1、【问题引入】我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制，旧式的称是十六进制的，计算一打数值时是12进制的...... 阅读课本P32--33，思考以下问题：（1）、什么是进位制？（2）、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．（3）、不同的进位制之间又又什么联系呢? 2、【知识讲解】（1）进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，它用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。约定满二进一，就是二进制；满六十进一，就是六十进制；也就是说“满k进一”，就是k进制；可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字。比如现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。精品文档

. 如：23450123105104103102。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起的形式：110()110...(0,0,...,,)nnknnaaaaakaaak，（2）k进制的数转化为十进制的数的方法：先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。如：其中要注意的是，k的幂的最高次数应是该k进制数的位数减去1，然后逐个减小1，最后是0次幂。（如：1210()nnkaaaaaL有n+1位数）（3）十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。3【例题示范】〖例1〗：把二进制数110011(2)化为十进制数. 解:110011（2）=1×25+1×24+0×23+1×24+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1 = 51 练习：把八进制数(8)7348化为十进制数. 解: 3210(8)73487*83*84*88*83816〖例2〗：把89化为二进制数. 解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下: 121210()1210nnnnknnaaaaaakakakakaLL精品文档