八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形作业设计 (新版)北师大版

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第2课时等边三角形的性质例1：如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（）A．25°B．60°C．85°D．95°解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．故选：D．练习：等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（）A．30°B．50°C．60°D．90°解：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BO、CO是两个内角的平分线，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．故选：C．作业：1．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，∴∠E＝30°，故选：C．例2：如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．练习：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．作业：2. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．例3：三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°解：如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，故选：B．练习：如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．作业：3. 如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝60°+90°＝150°，∵AC＝CD，∴∠DAC＝＝15°，∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°．故选：B．例4：如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．证明：连接BD．∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴MB＝ME．练习：如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F 为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．作业：4．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．证明：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°．在△EAB和△DCA中，，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE．例5：已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD．（1）求证：AD＝BE；（2）求：∠BFD的度数．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），∴∠ABE＝∠CAD（全等三角形对应角相等），又∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∴∠BFD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，又∠BAC＝60°，∴∠BFD＝60°．练习：已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF ＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．作业：5．已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．（1）如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝（度），∠EAB的大小＝（度）；（2）如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证：FA＝FB．解：（1）∵AC＝CB，∴∠ABC＝∠CAB＝70°，∵△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣60°＝10°；故答案为：70，10．（2）证明：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵△ACE，△BDC都为等边三角形，∴∠CAE＝∠CBD＝60°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠CBA﹣∠CBD，即∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB．备用：在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD ＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．。

新版北师大版八年级下册数学全册教案教学设计DBCAE F OABCDE二.【效果检测】1.如图1 (1)，在△ABC 与△A ＇B ＇C ＇中，若AB ＝A ＇B ＇，AC ＝A ＇C ＇，∠C ＝∠C ＇＝90°，这时Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇是否全等？导学： 把Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇拼合在一起 ，如图1(2)，因为 ∠ACB ＝∠A ＇C ＇B ＇＝90°，所以B 、C(C ＇)、B ＇三点在一条直线上， 因此，△ABB ＇是一个等腰三角形，可以知道∠B ＝∠B ＇．根据AAS 公理可知Rt △A ＇B ＇C ＇≌Rt △ABC 。

请你按照上面的分析，尝试着完成本题的证明过程。

证明：反思：1.为什么要说明B 、C(C ＇)、B ＇三点在一条直线上呢？2.前面我们曾用画图剪拼的方法，比较感性的获得“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形的全等。

”但由于观察并不一定可靠，通过今天严谨逻辑证明，我们确信这是一条数学真理。

3.根据勾股定理、SAS 公理你还有其他证明方法吗？三.【布置任务】师生互动探究问题1. 证明:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

点拨：1.我们可构造如图1(2)的图形所示中，在等边三角形AB B ＇中，如 ∠BA C ＝30°，那么△ABC 是一个直角三角形，且BC ＝21AB 。

四.【小组交流】学生展示问题2. 如图所示，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC点拨：要证AB=AC ，只要分别证AE=AF ，BE=CF,因而只要用”HL ”证明Rt △AED ≌Rt △AFD, Rt △BED ≌Rt △CFD 。

六.【课堂训练】拓展延伸问题3 如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别是D 、E,BE 、CD 相交于点O ，如果AB=AC ，哪么图中有几对全C=90度，点D在BC上，课外作业第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组2.1 不等关系教学目的和要求：理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点：对不等式概念的理解 难点：怎样建立量与量之间的不等关系。

1.2 直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定教学内容第1课时直角三角形的性质与判定课时1核心素养目标1.经历猜想、操作、观察、证明等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，并运用“斜边、直角边”定理解决问题.2.经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识目标1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．教学重点探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.教学难点会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知一、创设情境，导入新知问题1 ：我们学过哪些判定三角形全等的方法？问题2 ：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗如果其中一组等边所对的角是直角呢?师生活动：学生举手回答问题.师追问：如何用数学语言来描述两边分别相等且其中一组等边的对角是直角的两个三角形全等吗?二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E = 90°，且AC = DF，BC = EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？设计意图：从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲.设计意图：教学时，如果有学生提出仿照七年级探索三角形全等条件的方法，通过赋予两边特殊值、画直角三角形、与同伴所画的直角三角形进行比较，进而归纳出结论，教师也应给予鼓励，同时，教师可由此引导学生考虑用尺规一般作出直角三角形，从而转入下面“做一做”环节.做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a，c (a＜c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.(1) 先画∠MCN＝∠α＝90°.(2) 在射线CM上截取CB＝a.(3) 以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.(4) 连接AB，得到Rt∠ABC.师生活动：学生先独立在纸上画图，然后小组交流想法，保证学生的参与度，最终派代表对问题进行讲解.验证结论：已知：如图，在∠ABC与∠A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′.求证：∠ABC∠∠A′B′C′证明：在∠ABC中，∠∠C＝90°，∠ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.∠AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠ BC＝B'C'.∠ ∠ABC∠∠A'B'C'( SSS ) .归纳总结；“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：设计意图：1.掌握三角形的尺规作图，从实践中体会三角形全等的条件.2.操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到“斜边、直角边可以判定两个直角三角形全等.3培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式.设计意图：学生经历了定理的发现、提出和证明的全过程，感受了合情推理与演绎推理的紧密联系.设计意图：培养学生逻辑思维能力，学会用“HL”条件判定三角形全等.典例精析例1如图，AC∠BC，BD∠AD，垂足分别为C，D，AC = BD. 求证BC = AD.证明：∠ AC∠BC，BD∠AD，∠∠C与∠D都是直角.在Rt∠ABC和Rt∠BAD中，AB = BA，AC = BD.∠ Rt∠ABC∠Rt∠BAD (HL).∠ BC = AD.师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析.变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明∠ABC ∠∠BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.(1) AD＝BC( HL )(2) BD＝AC( HL )(3) ∠DAB＝∠CBA( AAS)(4) ∠DBA＝∠CAB( AAS)师生活动：学生独立思考，然后举手回答问题，老师针对有问题的给与解释，或者大家一起探讨错误的原因.例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相设计意图：巩固所学的“斜边、直角边”定理，使学生对本节课所形成的概念有更深刻的理解.三、当堂练习，巩固所学等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对“HL”判定方法证明三角形全等解决实际问题的认识.练一练1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角∠ABC和∠ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.证明：∠ AD，AF分别是两个钝角∠ABC和∠ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∠ Rt∠ADC ∠ Rt∠AFE (HL).∠ CD＝EF.∠ AD＝AF，AB＝AB，∠ Rt∠ABD∠Rt∠ABF (HL).∠ BD＝BF.∠ BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.三、当堂练习，巩固所学1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等2.如图，∠ABC中，AB = AC，AD是高，则∠ADB与∠ADC(填“全等”或“不全等”)，依设计意图：及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理.设计意图：规范使用“HL”判定方法证明三角形全等的书写格式.在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明.设计意图：考查对使用“HL”证明两个直角三角形全等的使用条件的理解.据是(用简写法).3.如图，在∠ABC中，已知BD∠AC，CE∠AB，BD = CE.求证：∠EBC∠∠DCB.能力拓展4. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时∠ABC才能和∠APQ全等？设计意图：考查对使用“HL”证明两个直角三角形全等的使用条件的运用.板书设计1.2.2 直角三角形的性质与判定“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：课后小结。

第2课时直角三角形全等的判定1．掌握并利用“HL”定理解决实际问题．2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性．重点直角三角形“HL”判定定理的理解及运用．难点证明“HL”定理的思路的探究和分析．一、复习导入1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形．二、探究新知1．猜想师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等．2．探究课件出示教材第18页“做一做”．已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．已知：如图，线段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.画图过程展示：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；(2)在射线CM截取CB＝a；(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；(4)连接AB，得到Rt△ABC.思考：通过刚才的画图，你有什么发现？3．总结师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．4．证明师：你能证明这个命题是真命题吗？处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程．证明过程展示：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC ＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)．∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)．师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”．三、举例分析例(课件出示教材第20页例题)处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程．分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系．解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠B＝∠DEF.∵∠DEF＋∠F＝90°，∴∠B＋∠F＝90°.四、练习巩固1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～5题．本节课讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力二次根式的除法说课稿一、教材分析本节内容是在积的二次根式性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.二、重点难点分析：本节课是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.三、教法运用：1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.2. 本节内容可以分为两阶段，第一阶段讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二阶段讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现分式或分数的情况。

第一章三角形的证明1.2直角三角形教学设计第1课时一、教学目标1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.2．证明直角三角形的性质定理和判定定理.3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、教学重点及难点重点：1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源微课，知识卡片图片五、教学过程【情境导入】问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少?解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”，得到BC=3.7 m．由此提问：“我们曾经探索过的直角三角形，还有哪些性质和判定方法?”．设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．【探究新知】1．忆一忆回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流．（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？定理：直角三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.求证：∠A＋∠B=90°.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=180°－∠C=180°－90°=90°.（2）已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.321证明：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C =180°.∵∠A ＋∠B =90°，∴∠C =180°－（∠A ＋∠B ）=180°－90°=90°.∴△ABC 是直角三角形.2．证一证我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用拼图及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?图1图2利用图1 的边长为a ，b ，c 的全等的四个直角三角形拼成一个以c 为边的正方形如图2，则图中的小正方形边长为(a -b )，它的面积为(a -b )2 ，四个直角三角形的面积和为(4×2ab ) 由此可得：c 2 = (a -b )2+2ab = a 2-2ab +b 2+2ab = a 2+b 2．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的cb acba方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?师生共同来完成．已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2求证：△ABC 是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt △A ′B ′C ′，使∠A ′＝90°，A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC (如图)，则A ′B ′2＋A ′C ′2 ＝B ′C ′2 (勾股定理)．∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴BC 2＝B ′C ′2．∴BC ＝B ′C ′．∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．∴∠A ＝∠A ′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC 是直角三角形．总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．设计意图：勾股定理及其逆定理的证明对学生有一定难度，接受并经历定理的探究过程，即明确有关定理即可．3．议一议 CB AA'B'C'观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗?通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如：“两直线平行，内错角相等”，“内错角相等，两直线平行”．“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题．活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结．活动时可以先让学生观察下面三组命题：第一组：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．第二组：如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．第三组：三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．▲在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．设计意图：通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，得到互逆命题的概念．注意原命题正确，其逆命题不一定正确.4．想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，它们都是真命题吗？答：逆命题是“如果两个有理数的平方相等，那么它们相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题.从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理．能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．设计意图：本环节关键是让笑死我验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致．【典例精讲】例 1 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余解析：C．如图（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图（2）所示，可知此时两角互补．例2 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，内旁内角互补；（3）如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0．解析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．（3）如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．设计意图：例题巩固了本节所学知识，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．【课堂练习】1．以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．3+1，3－1，22B ．4，7.5，8.5C ．7，24，25D ．3.5，4.5，5.52．在直角三角形中，锐角顶点所引的两条线中线长为5的斜边长（ ）A ．10 B．CD．3．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA ＝AB ＝2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：（1）DE ＝AC ；（2）DE ⊥AC ；（3）∠CAB ＝30°；（4）∠EAF ＝∠ADE ，其中结论正确的是（ ）A ． （1），（3）B ． （2），（3）C ． （3），（4）D ． （1），（2），（4） 4．如图所示，∠ACB ＝90°，BC =DB ，AC =AE ，则∠DCE=（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°F ED CBA5．直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________．6．如图所示，在高为3m ，斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯多少米？设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 参考答案：1．D 2．D ． 3．D ． 4．C ．5．4.86．解析：毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和．解：52－32＝16＝42，∴3＋4＝7．∴至少需要地毯7米．六、课堂小结1．直角三角形的性质和判定定理：三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．2．命题与逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．E D CBA3．定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．七、板书设计1.2直角三角形（1）1．直角三角形的性质和判定2．命题与逆命题3．定理与逆定理。

第一章三角形的证明专项练习（二）一、选择题1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10B．2，2，C．1，2D．8，15，1745”，第一步应假设这个三角形中2．用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于（）A．每一个锐角都小于45°B．有一个锐角大于45°C．有一个锐角小于45°D．每一个锐角都大于45°3．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A．60°B．90°C．120°D．150°4．不能判断两个直角三角形全等的条件是（）A．两锐角对应相等的两个直角三角形B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形C．两条直角边对应相等的两个直角三角形D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形5．如图，在△ABC中，△ABC和△ACB的角平分线交于点E，过点E作MN△BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=7，则MN的长为（）A．6B．7C．8D．96．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( )A．22cm和16cm B．16cm和22cmC．20cm和16cm D．24cm和12cm7．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）A cm2B．2cm C．3cm2D．4cm28．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD△AB于点D，PE△AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．59．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，AE△CE于点E，BD△CD于点D，AE＝5 cm，BD＝2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE△AB，DF△AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论中：△AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；△AD上任一点到AB，AC的距离相等；△△BDE＝△CDF；△△1＝△2；其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图,已知AB△CD，PE△AB，PF△BD，PG△CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则△BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°13．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．9C．10D．1114．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里15．如图，在等腰Rt△ABC中，△C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE；连接DE，DF，EF；在此运动变化的过程中，下列结论：△△DFE是等腰直角三角形；△DE长度的最小值为4；△四边形CDFE的面积保持不变；△△CDE面积的最大值为8；其中正确的结论是（）A．△△△B．△△△C．△△△D．△△二、填空题1．如图，在△ABC中．BC＝5cm，BP、CP分别是△ABC和△ACB的平分线，且PD△AB，PE△AC，则△PDE的周长是______cm2．如图，△C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX△AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA 全等．3．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到AGE，若3∠30=︒AE厘米，则△ABC的边BC的长为____________厘米.=EG2=4．如图，若△A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则△DEF等于_____．5．如图，MN△PQ，AB△PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．6．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为__cm．7．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=_______.8．在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为________．9．用反证法证明“一个三角形不可能有两个直角”时，第一步应假设：_______________________；10．如图，在△ABC中，AB=AC，△A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为______cm．三、解答题1．如图，已知△A＝△D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF．求证：Rt△ABF△Rt△DCE．2．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，△AOB=△COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC△△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．3．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF△AC，垂足为F，△BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF△△BCF．4．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE△AC，BF△AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．5．如图所示，直线1l 、2l 、3l 为围绕区域A 的三条公路，为便于公路维护，需在区域A 内筹建一个公路养护处P ，要求P 到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）.6．如图，在△ABC 中，AB=AC=10 cm ，△B=15°，CD 是AB 边上的高，求CD 的长．7．已知，如图，直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点求作：点E ，使直线DE△AB ，且点E 到B 、D 两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）结论：BE=DE8．如图，△ABC 中，AB=BC ，BE△AC 于点E ，AD△BC 于点D ，△BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若AD 的长．9．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，AD 平分△CAB ，DE△AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．10．如图所示，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，求AMN ∆周长.11．如图，AB 与CD 相交于O ，OE 平分△AOC ，OF△AB 于O ，OG△OE 于O ，若△BOD=40°，求△AOE 和△FOG 的度数．12．如图，AD为△ABC的角平分线，DE△AB于点E，DF△AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若△BAC=60 ，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．13．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE 平分△AOD．（1）若△COE=20°，则△BOD=；若△COE=α，则△BOD=（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测△COE与△BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．14．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：△AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．（3）拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断△AEB的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、△62+82=100=102，△能够成直角三角形，故本选项不符合题意；B、△22+22=8≠（2，△不能够成直角三角形，故本选项符合题意．C、△12+2=4=22，△能够成直角三角形，故本选项不符合题意；D、△82+152=289=172，△能够成直角三角形，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．D【解析】【分析】熟记反证法的第一步，根据反证法第一步首先从结论的反面假设结论不成立，即可得出答案．【详解】用反证法证明直角三角形中的两个锐角不能都大于45°，应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．A【解析】【分析】据已知条件和等边三角形的性质可知：△1=△2=12△ABC=30°，所以△3=△1+△2=60°．【详解】如图，△等边三角形ABC中，AD，BE分别是△BAC，△ABC的角的平分线，交于点F，△△1=△2=12△ABC=30°，△△3=△1+△2=60°，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．4．A【解析】A、两锐角对应相等的两个直角三角形，是AAA，不能判定全等，B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS，能判定全等，C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS，能判定全等，D、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合HL，能判定全等，故选A．5．B【解析】【分析】由△ABC、△ACB的平分线相交于点E，可得△MBE=△EBC，△ECN=△ECB，利用两直线平行，内错角相等及等量代换可得△MBE=△MEB，△NEC=△ECN，根据等腰三角形的判定定理可得BM=ME，EN=CN，由此可得MN=ME+EN，再结合已知条件即可求得结论．【详解】解：△△ABC、△ACB的平分线相交于点E，△△MBE=△EBC，△ECN=△ECB，△MN△BC，△△EBC=△MEB，△NEC=△ECB，△△MBE=△MEB，△NEC=△ECN，△BM=ME，EN=CN，△MN=ME+EN，即MN=BM+CN，△BM+CN=7，△MN=7，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和平行线性质．证明△BME，△CNE是等腰三角形是解决本题的关键．6．A【分析】根据已知条件作出图像，连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=AD，可知两三角形的周长差为AB，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC，即可得出答案.【详解】如图，连接BD，△D在线段AB的垂直平分线上，△BD=AD，△BD+DC+BC=AC+BC=38cm，且AB+AC+BC=60cm，△AB=60-38=22cm,△AC=22cm,△BC=38-AC=38-22=16cm,即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm,故选A.【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答. 7．A【解析】【分析】根据等边三角形面积公式2,即可解题.【详解】解：△△ABC为等边三角形,边长=2,,△S=224故选A【点睛】本题考查求等边三角形的面积,属于简单题,熟悉等边三角形面积公式是解题关键.8．A【分析】过A点作AF△BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC＝S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．【详解】解：过A点作AF△BC于F，连结AP，△△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，△BF＝4，△△ABF中，AF=3，△1118355222PD PE ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，12＝12×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选A．【点睛】考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．9．C【分析】利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证△AEC△△CDB ，进而可得AE=CD ，CE=BD ，所以DE 可求出．【详解】解：△△ACB=90°，△△ACE+△DCB=90°，△AE△CD 于E ，△△ACE+△CAE=90°，△△CAE=△DCB ，△BD△CD 于D ，△△D=90°，在△AEC 和△CDB 中090CAE DCB AEC D AC BC ∠=∠⎧⎪∠==⎨⎪=⎩,△△AEC△△CDB ，（AAS ），△AE=CD=5cm ，CE=BD=2cm ，△DE=CD -CE=3cm ，故答案为C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．10．C【解析】试题分析：△MN是线段AB的垂直平分线，△AN=BN，△△BCN的周长是7cm，△BN+NC+BC=7（cm），△AN+NC+BC=7（cm），△AN+NC=AC，△AC+BC=7（cm），又△AC=4cm，△BC=7﹣4=3（cm）．故选C．考点：线段垂直平分线的性质．11．C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一定理可得：△1=△2，△BDE=△CDF，根据角平分线的性质可知：AD上任一点到AB、AC的距离相等，故正确的有3个，选C．12．D【解析】△PE△AB，PF△BD，PF=PE，△PB平分△ABD，△△PBD=12△ABD，同理△PDB=12△CDB，△AB△CD，△△ABD+△CDB=180°，△2△PBD+2△PDB=180°，△△PBD+△PDB=90°，△△BPD=180°-△PBD-△PDB=90°.故选D.点睛：本题最后求的是角度，关键是利用角平分线的判定将PF=PG=PE转化为角度的关系. 13．C【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC 的周长=AD+BC+CD=AC+BC．【详解】解：△ED是AB的垂直平分线，△AD=BD，△△BDC的周长=DB+BC+CD，△△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．14．B【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．【详解】由题意得△ABC=60°，AB=BC=40△△ABC是等边三角形△AC=AB=40海里．故选B ．15．C【解析】【分析】连结CF ，如图，根据等腰直角△ABC 的性质得CF=AF=BF ，CF△AB ，△1=45°，则可根据“SAS”判断△ADF△△CEF ，得到DF=EF ，△3=△2，由△3+△CFD=90°可得△CFD+△2=90°，即△DFE=90°，所以△DEF 为等腰直角三角形，于是可对△进行判断；利用△DEF 为等腰直角三角形得到，利用垂线段最短，当FD△AC 时，FD 的长度最小，此时FD=12AC=4，所以DE 长度的最小值为，则可对△进行判断；利用S △ADF =S △CEF 可得四边形CDFE 的面积=S △ACF =12S △ABC =16，于是可对△进行判断；由于S △CDE =S 四边形CDFE -S △DEF =16-S △DEF ，FD 的长度的最小值为4，则S △DEF 的最小值值为8，所以△CDE 面积的最大值为8，则可对△进行判断．【详解】连结CF ，如图，△△ABC 为直角三角形，△△A=45°，△F 是等腰直角△ABC 斜边上的中点，△CF=AF=BF ，CF△AB ，△1=45°，在△ADF 和△CEF 中，1AD CE A AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADF△△CEF（SAS），△DF=EF，△3=△2，△△3+△CFD=90°，△△2+△CFD=90°，即△DFE=90°，△△DEF为等腰直角三角形，所以△正确；△△DEF为等腰直角三角形，FD，当FD△AC时，FD的长度最小，此时FD=12AC=4，△DE长度的最小值为△错误；△△ADF△△CEF，△S△ADF=S△CEF，△四边形CDFE的面积=S△ACF=12S△ABC=12×12×8×8=16，所以△正确；△S△CDE=S四边形CDFE-S△DEF=16-S△DEF，而当FD△AC时，FD的长度最小，此时FD=12AC=4，△S△DEF的最小值为12×4×4=8，△△CDE面积的最大值为16-8=8，所以△正确．故答案为△△△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题1．5【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．【详解】解：△BP、CP分别是△ABC和△ACB的平分线，△△ABP＝△PBD，△ACP＝△PCE，△PD△AB，PE△AC，△△ABP＝△BPD，△ACP＝△CPE，△△PBD＝△BPD，△PCE＝△CPE，△BD＝PD，CE＝PE，△△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝5cm．故答案为5．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE的周长转化为BC边的长．2．5或10【分析】分两种情况：△当AP=BC=5时；△当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC△Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【详解】解：△AX△AC，△△PAQ=90°，△△C=△PAQ=90°，分两种情况：△当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB PQ BC AP =⎧⎨=⎩， △Rt△ABC△Rt△QPA （HL ）；△当AP=CA=10时，在△ABC 和△PQA 中，AB PQ AP AC=⎧⎨=⎩， △Rt△ABC△Rt△PQA （HL ）；综上所述：当点P 运动到AP=5或10时，△ABC 与△APQ 全等；故答案为5或10．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．3．【解析】【分析】过点E 作EH△AG 于H ，由△AGE=30°可求得AG 的长，由翻折可知AE=BE 、AG=CG ，根据BC=BE+EG+CG ，将数据代入相加即可得.【详解】过点E 作EH△AG 于H ，，△AGE=30°，，由翻折得6BE AE GC GA ====，△6BC BE EG GC =++=+故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.4．60°【解析】试题解析：△AB=BC=CD=DE=EF，△A=15°，△△BCA=△A=15°，△△CBD=△BDC=△BCA+△A=15°+15°=30°，△△BCD=180°-（△CBD+△BDC）=180°-60°=120°，△△ECD=△CED=180°-△BCD-△BCA=180°-120°-15°=45°，△△CDE=180°-（△ECD+△CED）=180°-90°=90°，△△EDF=△EFD=180°-△CDE-△BDC=180°-90°-30°=60°，△△DEF=180°-（△EDF+△EFD）=180°-120°=60°．点睛：三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．5．7【解析】由MN△PQ，AB△PQ，可知△DAE=△EBC=90°，可判定△ADE△△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为：7.点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．6．12【解析】连接BE，△D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，△△A=△BDE=90°，△在Rt△DBE和Rt△ABE中，BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，△Rt△DBE△Rt△ABE(HL)，△AE=ED，又△AE=12cm，△ED=12cm.故填12.7．7【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．【详解】△点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，△PB=PA=7，故答案为7．【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8．1或3【详解】当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF△BD,垂足为F点,可得△EFB=90°，△EC=ED,△F为CD的中点,即CF=DF=12 CD，△△ABC为等边三角形,△△ABC=60°，△△BEF=30°，△BE=AB+AE=1+2=3，△FB=12EB=32，△CF=FB−BC=12，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF△BD,垂足为F点,可得△EFC=90°，△EC=ED,△F为CD的中点,即CF=DF=12 CD，△△ABC为等边三角形,△△ABC=△EBF=60°，△△BEF=30°，△BE=AE−AB=2−1=1，△FB=12BE=12，△CF=BC+FB=32，则CD=2CF=3，综上，CD的值为1或3.故答案为：1或39．在一个三角形中，有两个角是直角【解析】【详解】用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为直角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为直角”．故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为直角．【点睛】反证法：第一步应假设假设结论不成立.10．3【解析】试题分析：连接AM，AN，△AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，△BM=AM，CN=AN，△△MAB=△B，△CAN=△C，△△BAC=120°，AB=AC，△△B=△C=30°，△△BAM+△CAN=60°，△AMN=△ANM=60°，△△AMN是等边三角形，△AM=AN=MN，△BM=MN=NC，△BC=9cm，△MN=3cm．故答案为3cm．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；三、解答题1．证明见解析.【解析】【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【详解】△BE=CF ，△BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，△△A=△D=90°，△△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt△ABF 和Rt△DCE 中，BF=CE ，AB=CD ，△Rt△ABF△Rt△DCE （HL ）．2．（1）证明见解析；（2）CD【分析】（1）因为△AOB=△COD=90°，由等量代换可得△DOB=△AOC ，又因为△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则△AOC△△BOD ；（2）由（1）可知△AOC△△BOD ，所以AC=BD=2，△CAO=△DBO=45°，由等量代换求得△CAB=90°，则CD ==【详解】（1）证明：△△DOB=90°-△AOD ，△AOC=90°-△AOD ，△△BOD=△AOC ，又△OC=OD ，OA=OB ，在△AOC 和△BOD 中， OC OD AOC BOD OA OB ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝△△AOC△△BOD （SAS ）；（2）解：△△AOC△△BOD ，△AC=BD=2，△CAO=△DBO=45°，△△CAB=△CAO+△BAO=90°，△CD==3．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得△BAE=△EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出△EAF=△CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.【详解】（1）证明：△AB=AC，D是BC的中点，△△BAE=△EAC.在△ABE和△ACE中，△AB AC{BAE EAC AE AE=∠=∠=，△△ABE△△ACE（SAS）.△BE=CE.（2）△△BAC=45°，BF△AF，△△ABF为等腰直角三角形.△AF=BF.△AB=AC，点D是BC的中点，△AD△BC.△△EAF+△C=90°.△BF△AC，△△CBF+△C=90°.△△EAF=△CBF.在△AEF和△BCF中，△EAF CBF{AF BFAFE BFC90∠=∠=∠=∠=︒，△△AEF△△BCF（ASA）.4．详见解析.【分析】根据已知条件证明AB=CD,AF=CF，证明Rt△ABF△Rt△CDE（HL）,得BF＝DE,进而证明△BFG△△DEG（AAS），即可证明.【详解】证明△DE△AC，BF△AC，△△DEG＝△BFE＝90°,△AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，△Rt△ABF△Rt△CDE（HL），△BF＝DE．在△BFG和△DEG中，△BFG=△DEG,△BGF=△DGE，BF=DE△△BFG△△DEG（AAS），△FG＝EG，即BD平分EF【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质,中等难度,将中点问题转化成证明全等问题是解题关键.5．画图见解析【解析】试题分析：要使P到三条公路的距离相等，那么P点必然在这三条公路夹角的角平分线上，因此，分别作出l1与l3、l2与l3夹角的角平分线，在区域A内的交点即为点P.试题解析：如图，点P即为所求．点睛：本题关键在于利用角平分线的逆定理解题，掌握尺规作图作角平分线的方法. 6．CD的长是5 cm．【解析】试题分析：根据等边对等角和三角形的外角求出△CAD的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质可求解.试题解析：在△ABC中，因为AB=AC=10 cm，△B=15°，所以△B=△ACB=15°.所以△DAC=△B+△ACB=30°．因为CD是AB边上的高，所以△D=90°.所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5 cm．7．见解析【分析】因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上，首先以D为顶点，DC为边作一个角等于△ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．【详解】解：作图如下：结论：点E为所求8．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出△CAD=△CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证．（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．解：（1）证明：△AD△BC，△BAD=45°，△△ABD是等腰直角三角形．△AD=BD．△BE△AC，AD△BC，△△CAD+△ACD=90°，△CBE+△ACD=90°．△△CAD=△CBE．在△ADC 和△BDF 中，△CAD=△CBF ，AD=BD ，△ADC=△BDF=90°，△△ADC△△BDF （ASA ）．△BF=AC ．△AB=BC ，BE△AC ，△AC=2AE ．△BF=2AE ．（2）△△ADC△△BDF ，．在Rt△CDF 中，CF 2===．△BE△AC ，AE=EC ，△AF=CF=2．．9．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）△AD 平分△CAB ，DE△AB ，△C=90°，△CD=DE ，△CD=3，△DE=3；（2）在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB 10==，△△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 10．△AMN 的周长为2．【分析】根据已知条件得△CDE△△BDM ，再利用DE=DM ，MDE EDN 60∠∠==︒证明△DMN△△DEN ，得到对应边相等即可解题.【详解】如图，延长NC 到E ，使CE=BM ，连接DE ，△△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且△BDC=120°，△△MBD=△MBC+△DBC=60°+30°=90°，△DCE=180°﹣△ACD=180°﹣△ABD=90°，又△BM=CE ，BD=CD ，△△CDE△△BDM ，△△CDE=△BDM ，DE=DM ，△NDE=△NDC+△CDE=△NDC+△BDM=△BDC ﹣△MDN=120°﹣60°=60°，△在△DMN 和△DEN 中，60DM DE MDE EDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，△△DMN△△DEN ，△MN=NE=CE+CN=BM+CN ，△△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.11．△AOE=20°，△FOG=20°【解析】试题分析：根据对顶角相等得到△AOC=△BOD=40°，然后再根据角平分线的定义即可求得△AOE的度数，再根据同角的余角相等即可求得△FOG的度数.试题解析：△△AOC与△BOD是对顶角，△△AOC=△BOD=40°，△OE平分△AOC，△△AOE=12△AOC=20°，△OF△AB，OG△OE，△△AOF=△EOG=90°，即△AOG与△FOG互余，△AOG与△AOE互余，△△FOG=△AOE=20°.【点睛】本题考查了对顶角的性质、角平分线的定义、余角的性质等，在解题时根据对顶角的性质和角平分线，余角的性质进行解答是关键．12．（1）见解析；（2）14 DO AD【解析】试题分析：（1）由AD为△ABC的角平分线，得到DE=DF，推出△AEF和△AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论；（2）由已知推出△EAD=30°，得到AD=2DE，在△DEO中，由△DEO=30°推出DE=2DO，即可推出结论．试题解析：（1）△AD为△ABC的角平分线，DE△AB，DF△AC，△DE=DF，△AED=△AFD=90°，△△DEF=△DFE，△△AEF=△AFE，△AE=AF，△点A、D都在EF的垂直平分线上，△AD垂直平分EF．（2）14DO AD=，理由：△△BAC=60°，AD平分△BAC，△△EAD=30°，△AD=2DE，△EDA=60°，△AD△EF，△△EOD=90°，△△DEO=30°△DE=2DO，△AD=4DO，△14DO AD=.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DO．13．（1）40°；2α；（2）△BOD=2△COE．【解析】试题分析：（1）先根据直角计算△DOE的度数，再同角平分线的定义计算△AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（2）设△BOD=β，则△AOD=180°-β，根据角平分线的定义表示△BOE，再利用互余的关系求△COE的度数，可得结论．试题解析：（1）若△COE=20°，△△COD=90°，△△EOD=90°﹣20°=70°，△OE平分△AOD，△△AOD=2△EOD=140°，△△BOD=180°﹣140°=40°；若△COE=α，△△EOD=90﹣α，△OE平分△AOD，△△AOD=2△EOD=2（90﹣α）=180﹣2α，△△BOD=180°﹣（180﹣2α）=2α；故答案为40°；2α；（2）如图2，△BOD=2△COE，理由是：设△BOD=β，则△AOD=180°﹣β，△OE平分△AOD，△△EOD=12△AOD=1802β-=90°﹣2β，△△COD=90°，△△COE=90°﹣（90°﹣2β）=2β， 即△BOD=2△COE ．14．（1）详见解析；（2）△AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE=AD ；（3）详见解析.【解析】试题分析：(1) 根据已知条件可知，要想证明BD =CE ，可以证明△BAD 与△CAE 全等. 根据已知条件中关于等腰三角形的叙述，可以得到AB =AC ，AD =AE . 由于这两个等腰三角形的顶角均为40°，所以这两个顶角分别减去△DAC 也一定相等. 综合上述条件，利用SAS 可以证明△BAD 与△CAE 全等，进而证明BD =CE .(2) 根据已知条件不难利用SAS 证明△ACD 和△BCE 全等. 利用全等三角形的相关性质，可以得到AD =BE ，即线段BE 与AD 之间的数量关系是BE =AD . 同理，根据全等三角形的性质可知△ADC =△BEC . 根据等边三角形的性质和邻补角的相关结论可知，△BEC =△ADC =120°. 利用等边三角形的性质即可求得△AEB 的度数.(3) 通过两个直角与△DCB 的和差关系可以得到△ACD =△BCE ，再结合等腰直角三角形的性质，不难利用SAS 证明△ACD 和△BCE 全等. 利用全等三角形的性质可以得到AD =BE . 根据等腰直角三角形的性质，可以得到CM =DM =EM . 综上所述，AE =AD +DE =BE +2CM . 试题解析：(1) 证明：△△BAC =△DAE =40°，△△BAC -△DAC =△DAE -△DAC ，即△BAD =△CAE .△△ABC 与△ADE 分别是以BC 与DE 为底边的等腰三角形，△AB =AC ，AD =AE .△在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BAD △△CAE (SAS)，△BD =CE .(2) 本小题应依次填写：60°；BE =AD . 理由如下.△△ACB 和△DCE 均为等边三角形，△AC =BC ，CD =CE ，△ACB =△DCE =60°.△△ACB -△DCB =△DCE -△DCB ，即△ACD =△BCE .△在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△BCE (SAS)，△AD =BE ，△ADC =△BEC .△△DCE 为等边三角形，△△CDE =△CED =60°，△点A ，D ，E 在同一直线上，△△ADC =180°-△CDE =180°-60°=120°，△△BEC =△ADC =120°，△△AEB =△BEC -△CED =120°-60°=60°.综上所述，△AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE =AD .(3) △AEB 的度数为90°；线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系是：AE =BE +2CM . 理由如下. △△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形且△ACB =△DCE =90°，△AC =BC ，CD =CE ，△CDE =△CED =45°.△△ACB =△DCE =90°，△△ACB -△DCB =△DCE -△DCB ，即△ACD =△BCE .△在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△BCE (SAS)，△AD =BE ，△ADC =△BEC ，△△CDE =45°，又△点A ，D ，E 在同一直线上，△△ADC =180°-△CDE =180°-45°=135°，△△BEC =△ADC =135°.△△BEC =135°，△CED =45°，△△AEB =△BEC -△CED =135°-45°=90°.△CM 为△DCE 中DE 边上的高，即CM △DE ，△在等腰直角三角形DCE 中，DM =EM .△CM △DE ，△CDE =45°，△△CMD 是等腰直角三角形，△CM =DM .△CM=DM=EM.△DE=DM+EM=2CM，又△AD=BE，△AE=AD+DE=BE+2CM.点睛：本题综合考查了全等三角形，等腰三角形以及等边三角形的相关知识. 根据各个相关角之间的位置关系，灵活运用角的和差获得相等的角. 这是本题解题的一个关键点. 另外，灵活运用等边三角形和等腰直角三角形的判定和性质也是解决本题的重要手段.。