2直角三角形(一)

“直角三角形〔第一课时〕〞教学设计一、教材的地位与作用“直角三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。

本课是《直角三角形》(第1课时)的教学内容，是在学生学习和掌握了直角三角形相关知识的根底上，进步探讨直角三角形的性质定理以及判定定理。

教学内容主要为勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，让学生经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性，并通过具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

本节通过观察、操作、推理、交流等数学活动进一步探索直角三角形的性质和判定。

以直观认识为根底进行简单的说理,将直观与简单推理相结合，表达具体--抽象--具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。

二、学情分析在图形的学习中，学生已经历观察、画图、推理、合作等活动体验，具备了本节课所需的探索、交流和演绎推理能力。

本节课在学生已经认识了直角三角形的性质和判定方法的根底上，将进一步探索直角三角形的性质和判定的证明方法。

让学生对命题的条件和结论经历观察、归纳出他们的共性，以得出互逆命题、逆命题的概念。

并能解决一些简单的实际问题。

同时注重培养学生寻找生活中蕴含数学知识的例子。

在活动中引导学生主动参与、相互合作，让他们感受到数学的乐趣、魅力和成功的快乐。

让学生参与知识的产生和开展教学过程，注重培养他们的自主学习的能力。

三、教学目标1.知识与能力目标〔1〕掌握直角三角形的性质定理及判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股定理逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.〔2〕结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.2.过程与方法目标〔1〕经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维。

《直角三角形的边角关系复习课》（一）教学设计一. 教学任务与目标1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，掌握解直角三角形及一般三角形的方法,理解锐角三角函数本质.2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法,为综合数学应用问题的解决提供基础.3、能利用解直角三角形解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力.二.教学重点:利用锐角三角函数解三角形及有关的实际问题.教学难点:把一般三角形问题转化成直角三角形问题.把实际问题转化成解三角形问题.三. 教学设计第一环节：前置学习任务一：知识点整理与回顾如图Rt△ABC中，∠C=90°。

1、直角三角形三边的关系: .2、直角三角形两锐角的关系: .3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数的定义：4、互余两角之间的三角函数关系: sin(900-A)= cos(900-A)=5、同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=AAcossin=6、特殊角300,450,600角的三角函数值.7、锐角三角函数的变化规律：锐角的正弦值或正切值随角度的增大而，锐角的余弦值或余切值随角度的增大而。

8、会识别仰角、俯角、方向角，掌握坡度（坡比）和坡角的定义:==BA cossin==BA sincos==BA cottan54sin =B 00)60(tan2-21-⎪⎭⎫ ⎝⎛图一中的角叫： 图二中的角叫： 。

图三中A 在B 的 方向上， C 在B 的 方向上。

图四中迎水坡坡面是AD,则坡角为 ，坡面AD 的坡度（也叫 ）i= =任务二：基础热身练习1、（类型一：考察定义）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8 ， ，则BC= cosB= .2、（类型二：考察特殊三角函数值的准确记忆）计算 + +3、（类型三：由特殊函数值求角度）若 ，则∠a = .4、（类型四：锐角三角函数的增减性）若锐角a 满足cosa<22，tana<3，则a 的取值范围是5、（类型四：转化求等角的函数值或利用cosa=sin(900-a ）)如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=5，BC=2，则=∠DCB cos 。

直角三角形----知识讲解（基础）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】 类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，∴2222325a c b =-=-= （2）设3a k =，5c k =．∵∠C ＝90°，b ＝32，∴222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，222BD DC BC =+， 所以2222161220BD DC BC =+=+=(cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖． 【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长． 举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 16913AB ==(m )． ∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形． （1）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （2）a ＝43，b ＝1，c ＝34； （3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a cb +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小． 举一反三：【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中a =b =2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵227a ==，223b ==，2224c ==，∴222a b c =+， ∴以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20:15:12 B ．3:4:5 C ．5:4:3 D ．10:8:2 【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.4、（春•临清市期末）已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：（1）∵a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．∴|a﹣|=0，=0，（c﹣4）2=0．解得：a=，b=5，c=4；（2）∵a=，b=5，c=4，∴a+b=+5＞4，∴以a、b、c为边能构成三角形，∵a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，∴此三角形是直角三角形，∴S△==．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、（春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC 的距离，直角三角形ABC 中，有斜边AB 的长，有直角边AC 的长，那么BC 的长就很容易求得，根据小汽车用2s 行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，AC=30m ，AB=50m ；据勾股定理可得：（m ）∴小汽车的速度为v==20（m/s ）=20×3.6（km/h ）=72（km/h ）；∵72（km/h ）＞70（km/h ）；∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等． 【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误. 举一反三：【变式1】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c，，满足222a b c+=”也是正确的.【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB中，AD BCBD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴∠DAE ＝∠CBA ＝90° 在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ） ∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90° 即ED ⊥AC ．8、如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ， ∴DE=DF；∵DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ．∴在Rt△DBE 和Rt△DCF 中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL ）； ∴EB=FC．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （在直角三角形中）．直角三角形-----巩固练习（基础）【巩固练习】 一.选择题1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算2.（春•庆云县期末）下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a=1.5，b=2，c=3B ．a=7，b=24，c=25C ．a=6，b=8，c=10D ．a=3，b=4，c=53．三角形的三边长分别为 22a b +、2ab 、22a b -（a b 、都是正整数），则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 4．（•岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米 5．（春•天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二.填空题 7．（春•东台市期末）命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是 ． 8. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝EC.若将纸片沿AE 折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.9. 已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．10. 如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三.解答题13. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．14.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．15.（•和县校级月考）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M 岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？16. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.一.选择题1.【答案】C ；【解析】面积和等于222225AC BC AB +==.2.【答案】A ；【解析】解：A 、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A 选项符合题意；B 、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D 选项不符合题意．故选：A ．3.【答案】A ；【解析】()2222222()2()a b ab a b -+=+，满足勾股定理的逆定理. 4. 【答案】B ；【解析】解：如图，设大树高为AB=10m ，小树高为CD=4m ，过C 点作CE⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，连接AC ，∴EB=4m，EC=8m ，AE=AB ﹣EB=10﹣4=6m ，在Rt△AEC 中，AC==10（m ），故小鸟至少飞行10m ．故选：B ．5. 【答案】C ；【解析】解：A 、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；B 、绝对值相等的两个数相等，错误；C 、同位角相等，两条直线平行，正确；D 、相等的两个角都是45°，错误．故选C ．6.【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二.填空题7.【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角；【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .9.【答案】61或3479 ；【解析】60cm 长的边可能是斜边，也可能是直角边.10.【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt△．11.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.三.解答题13.【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4在Rt △ACB 中，∠C ＝90°设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +∵222AB AC BC =+∴()22248x x +=+ 解得6x =，∴AC ＝6.14．【解析】解：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，222AB AE BE ＋＝，∴()22239x x +-=．解得5x =． 15．【解析】解：BM=8×2=16海里，BP=15×2=30海里，在△BMP 中，BM 2+BP 2=256+900=1156，PM 2=1156，BM 2+BP 2=PM 2，∴∠MBP=90°，180°﹣90°﹣60°=30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．16.【解析】证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.。

第一章三角形的证明1.2直角三角形教学设计第1课时一、教学目标1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.2．证明直角三角形的性质定理和判定定理.3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、教学重点及难点重点：1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源微课，知识卡片图片五、教学过程【情境导入】问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少?解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”，得到BC=3.7 m．由此提问：“我们曾经探索过的直角三角形，还有哪些性质和判定方法?”．设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．【探究新知】1．忆一忆回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流．（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？定理：直角三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.求证：∠A＋∠B=90°.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=180°－∠C=180°－90°=90°.（2）已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.321证明：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C =180°.∵∠A ＋∠B =90°，∴∠C =180°－（∠A ＋∠B ）=180°－90°=90°.∴△ABC 是直角三角形.2．证一证我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用拼图及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?图1图2利用图1 的边长为a ，b ，c 的全等的四个直角三角形拼成一个以c 为边的正方形如图2，则图中的小正方形边长为(a -b )，它的面积为(a -b )2 ，四个直角三角形的面积和为(4×2ab ) 由此可得：c 2 = (a -b )2+2ab = a 2-2ab +b 2+2ab = a 2+b 2．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的cb acba方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?师生共同来完成．已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2求证：△ABC 是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt △A ′B ′C ′，使∠A ′＝90°，A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC (如图)，则A ′B ′2＋A ′C ′2 ＝B ′C ′2 (勾股定理)．∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴BC 2＝B ′C ′2．∴BC ＝B ′C ′．∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．∴∠A ＝∠A ′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC 是直角三角形．总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．设计意图：勾股定理及其逆定理的证明对学生有一定难度，接受并经历定理的探究过程，即明确有关定理即可．3．议一议 CB AA'B'C'观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗?通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如：“两直线平行，内错角相等”，“内错角相等，两直线平行”．“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题．活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结．活动时可以先让学生观察下面三组命题：第一组：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．第二组：如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．第三组：三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．▲在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．设计意图：通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，得到互逆命题的概念．注意原命题正确，其逆命题不一定正确.4．想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，它们都是真命题吗？答：逆命题是“如果两个有理数的平方相等，那么它们相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题.从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理．能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．设计意图：本环节关键是让笑死我验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致．【典例精讲】例 1 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余解析：C．如图（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图（2）所示，可知此时两角互补．例2 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，内旁内角互补；（3）如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0．解析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．（3）如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．设计意图：例题巩固了本节所学知识，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．【课堂练习】1．以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．3+1，3－1，22B ．4，7.5，8.5C ．7，24，25D ．3.5，4.5，5.52．在直角三角形中，锐角顶点所引的两条线中线长为5的斜边长（ ）A ．10 B．CD．3．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA ＝AB ＝2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：（1）DE ＝AC ；（2）DE ⊥AC ；（3）∠CAB ＝30°；（4）∠EAF ＝∠ADE ，其中结论正确的是（ ）A ． （1），（3）B ． （2），（3）C ． （3），（4）D ． （1），（2），（4） 4．如图所示，∠ACB ＝90°，BC =DB ，AC =AE ，则∠DCE=（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°F ED CBA5．直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________．6．如图所示，在高为3m ，斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯多少米？设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 参考答案：1．D 2．D ． 3．D ． 4．C ．5．4.86．解析：毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和．解：52－32＝16＝42，∴3＋4＝7．∴至少需要地毯7米．六、课堂小结1．直角三角形的性质和判定定理：三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．2．命题与逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．E D CBA3．定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．七、板书设计1.2直角三角形（1）1．直角三角形的性质和判定2．命题与逆命题3．定理与逆定理。

第7讲 直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质 （1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半. （3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch （a ，b ，c 分别是直角三角形的三边，h 为斜边上的高） （5）如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则∠ACD=∠B ，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半. （3）如图，AD 是△ABC 的高，且∠DAC=∠B. （4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等. 二、例题精选例1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AF 平分∠BAC ，分别交 CD ，BC 于点E ，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD 是△ABC 的高，CE 是中线，DC=BE ， DG ⊥CE 于点G ，求证：（1）点G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB ，CD 交于点E ，AD=AE ，CB=CE ，点 F ，G ，H 分别是DE ，BE ，AC 的中点.求证：FH=GH.CA CA E F 例1AE GB D C例2DA H CBFG E例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2）， 则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中 点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量 关系和BF ，AE 的位置关系：； （2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM与DM有什么数量关系与位置关系？请证明你的结论；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．例8.已知，如图点D是线段AB上一点（不与点A，B重合），CD⊥AB于D，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD.（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，试判断∠ACE与∠BCF的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明.D CBAEM图1MEABC图2CA D BE 图2CA DB E 图1 F学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（ ） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（ ）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（ ） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题 第4题第5题 第6题第7题 第8题 第9题 第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（ ） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 ．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件 ，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题 第12题第14题 第16题 第17题 第18题 第20题第19题 第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE 例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高，又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF ∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等 （2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解答：（1）∠1=2∠2 ∠3=2∠4∴∠1+∠3=90° （2）取AC ，AE 的中点G ，H 则DH=AH=GM HM=AG=BG ∠DHM=∠BGM=∠EAC+90° ∴△DHM ≌△BGM ∴DM=BM∴∠1=∠3 ∵∠4=∠1+∠2 ∴∠4=∠3+∠2∵∠4+∠5=90° ∴∠5+∠3+∠2=90°例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形.∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5AEGB D C例2DA H CBFG E例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2 A G D F E B H C 例5MA BC 12 34 5 G H C B A E M 1 2 3 4 例7学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。

直角三角公式大全在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接的图形，且有一个内角为90°的三角形，叫做直角三角形（简称 ‘Rt △’）。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

AB C性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。

直角三角公式大全:1.勾股定理在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边（最长边，与直角相对）的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有： a2+b2=c2。

2.边角关系：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

此外，两个锐角互为余角（两角相加等于90°）3.面积公式：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积除以2，即S=21ab 。

也可以表示S=21bh,其中b 是底边，h 是对应底边的高。

4.三角函数：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义域为整个实数域。

对于直角三角形中的任意一个非直角 (设为θ ) ,可以定义以下几种基本的三角函数:（1）正弦( sine ):对边与斜边的比例,记作sin(θ) =斜边对边=ca (假设θ对应于边长为a 的角)（2）余弦(cosine):邻边与斜边的比例,记作cos(θ)=斜边邻边=cb （3）正切(tangent) :对边与邻边的比例,记作tan(θ)=邻边对边=b a。

直角三角形的性质
直角三角形的性质:1。

直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，称为直角三角形的斜边中线定理。

2.直角三角形的两个直角的乘积等于斜边和斜边高的乘积，等等。

直角三角形的性质
1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)
2、在直角三角形中，两个锐角互余。

如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4.直角三角形的两个直角的乘积等于斜边和斜边高的乘积。

5、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

6.两个直角三角形除以斜边上的高度，类似于原来的三角形。

直角三角形的判定
1.有一个角为90°的三角形是直角三角形；
2.一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；
3.若a^2＋b^2=c^2,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形（勾股定理的逆定理）。

直角边一边为1一边为2的度数1.引言1.1 概述直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

本文将讨论一类特殊的直角三角形，即边长为1和2的直角三角形。

通过研究这类三角形，我们可以探索它们的性质、特点以及可能存在的应用场景。

在本文中，我们首先将介绍直角三角形的定义，以及为什么它们具有重要性。

随后，我们将着重讨论一边为1，一边为2的直角三角形。

我们将探索它们的边长比例、角度关系以及可能的三角函数值。

通过深入研究这些内容，我们可以更好地理解这类特殊三角形的性质。

最后，我们将给出几个关于这类直角三角形的结论。

这些结论可能涉及到角度大小、边长的关系，以及与其他几何图形的联系。

通过总结这些结论，我们可以更好地把握这类直角三角形的特点，为进一步的研究和应用提供基础。

总而言之，本文将从概述直角三角形的基本定义开始，重点讨论了一边为1，一边为2的直角三角形。

我们将通过推导和分析，探索这类三角形的性质和结论。

这将为我们深入理解直角三角形的一些特殊情况，以及与其他几何图形的联系，提供有益的指导和启示。

1.2文章结构文章结构是指文章的整体组织架构，用于展现论述和观点的逻辑关系。

在本篇文章中，我们主要探讨直角边一边为1一边为2的情况。

文章结构应该清晰明了，使读者能够准确理解和跟随你的论述。

首先，引言部分概述了文章的主题和目的。

在引言部分中，我们简要介绍了直角边一边为1一边为2的度数这一问题，并解释了为什么这个问题值得研究。

接下来，我们明确了文章的主要目的，即探究这种情况下的特性和性质。

接下来，正文部分是文章的主体部分。

在正文的第一部分，我们首先给出了直角三角形的定义。

通过详细介绍直角三角形的特点和性质，我们可以建立一个基础，并引导读者进入后续的讨论。

在正文的第二部分，我们着重讨论了直角边一边为1一边为2的情况。

我们可以探究这种情况下的三角函数值、角度关系等。

通过数学推导和几何图形的分析，我们可以得出这种情况下的具体结论和性质。

八年级数学下册第一章三角形的证明2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案北师大版年级：姓名：第2课时直角三角形全等的判定【知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感【情感态度】进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点】进一步理解证明的必要性.一.情景导入，初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.二.思考探究，获取新知探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知，深化理解1.见教材P20例题2.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD=B'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理)．∴CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS)．4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA（HL）其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．5.如图，在△ABC与△A'B'C'中，CD、C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B'，这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．证明：∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A' (已证)，AC=A'C' (已知)，∠ACB=∠A'C'B' (已知)，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四.师生互动，课堂小结直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现很值得夸赞．。