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章末总结网络建构名师导学本章要解决的主要问题是:指数、对数、幂的计算和化简,指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象、性质及应用.解决上述问题的关键是:理解并掌握好幂函数、指数函数、对数函数的运算,指数函数、对数函数、幂函数的概念、性质和图象等基础知识,做到基础知识无盲点.要注意函数与方程思想的应用,进一步形成应用函数思想、数形结合思想解决问题的能力.题型探究·素养提升类型一幂、指、对数的运算思路点拨:利用指数幂、对数的运算法则及性质进行化简或计算,要注意法则的正、逆应用.(1)(0.000 114)-+2237-124964-⎛⎫ ⎪⎝⎭+ 1.519-⎛⎫ ⎪⎝⎭;解:(1)原式=(0.1414)-+(3323)-12278-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+32213-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=0.1-1+32-178-⎛⎫ ⎪⎝⎭+313-⎛⎫ ⎪⎝⎭ =10+9-87+27=3147.解:(2)原式=22log 23+23log 3-2log (2)4=32+12-4=-2. (2)log 48-19log 3-2log 4.方法技巧(1)指数幂的运算关键是化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数.(2)对数式的化简或计算要注意利用对数的运算性质或对数恒等式、换底公式来进行.类型二比较大小问题【例2】 (1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a= -f(log215 ),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( ) (A)a<b<c (B)b<a<c(C)c<b<a (D)c<a<b解析:(1)因为f(x)在R上是奇函数,所以a=-f(log215)=f(-log215)=f(log25).又f(x)在R上是增函数,且log25>log24.1>log24=2>20.8,所以f(log25)> f(log24.1)>f(20.8),所以a>b>c.故选C.(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①ca>cb;②a c<b c;③log b(a-c)>log a(b-c).其中所有的正确结论的序号是( )(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③解析:(2)由a>b>1可得0<1a<1b,故ca>cb,①正确;结合指数函数性质,a>b>1时,若c<0则a c<b c,②正确;另一方面a-c>b-c>1,故log b(a-c)>log a(a-c)>log a(b-c),③正确.故选D.方法技巧将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,利用函数的单调性比较是常用的一种方法,当两个幂形式的数的底数与指数都不同时,常利用选取中间量法进行比较.另外,还可以借助于图象法,比较(作差、作商)法等.类型三幂、指数、对数函数的性质、图象【例3】方程a-x=logax(a>0且a≠1)的实数解个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3解析:利用数形结合法画出y2=a-x与y1=logax的图象,观察判断.当a>1时,在同一坐标系中画出y1=logax的图象和y2=a-x的图象如图(1),由图象知两函数图象只有一个交点;同理,当0<a<1时,由图(2)知,两函数图象也只有一个交点.因此,不论何种情况,方程只有一个实数解.故选B.类型四指数、对数型函数求值域、最值、定义域思路点拨:本题考查指数函数的单调性的应用,由于本题是分段函数,因此需分段求函数的值域.解:当x≤1时,x-1≤0,故0<3x-1≤1.由此可得-2<3x-1-2≤-1.当x>1时,1-x<0,故0<31-x <1.由此可得-2<31-x -2<-1.故所求函数的值域为(-2,-1].【例4】 求函数f(x)=1132,1,32,1x x x x --⎧-≤⎪⎨->⎪⎩ 的值域.方法技巧指数函数、对数函数的性质主要是指两种函数的定义域、值域、单调性等,其中单调性是高考考查的重点,并且经常以复合函数的形式考查,求解此类问题时,要以基本函数的单调性为主,结合复合函数单调性判断法则,在函数定义域限制之下讨论.类型五函数中的思想方法思路点拨:原方程等价于()()13,,13.x x a x x a x ⎧<<⎪<⎨⎪--=-⎩方程(x-1)(3-x)=a-x 的解满足1<x<3,方程的左边为正,右边也为正,所以必满足x<a;反之若满足x<a,则必满足1<x<3,于是问题转化为解方程(x-1)(3-x)= a-x 且x ∈(1,3).【例5】设a∈R ,试讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数.解:原方程等价于()()10,30,0,13,x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩⇔()()10, 30, 13. x x x x a x ⎧->⎪->⎨⎪--=-⎩①②③ 由①,②得1<x<3,由③得-x 2+5x-3=a(1<x<3).在同一坐标系中分别作函数y=a 及y=-x 2+5x-3,x ∈(1,3)的图象,如图.当x=1时,y=1;当x=3时,y=3;当x=52时,y最大=134.由图可知,当a>134,或a≤1时,函数图象无交点,原方程无实数解.当a=134,或1<a≤3时,函数图象有一个交点,故原方程有一个解.当3<a<134时,函数图象有两个交点,故原方程有两个实数解.方法技巧本题将函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想与化归思想有机地结合在一起,是考查数学思想方法的好题,本题的关键是数形结合.类型六函数的实际应用题【例6】某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人x+b,y=a x+b.均GDP关系更合适?说明理由.y=ax2+bx,y=kx+b,y=loga解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关x+b,y=a x+b在其定义域内都是单调函系更合适.因为函数y=kx+b,y=loga数,不具备先递增后递减的特征.(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?解:(2)依题意知函数图象过点(1,2)和(4,5),则有2,1645,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,49,4ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以y=-14x2+94x(0.5≤x≤8).因为y=-14x2+94x=-14(x-92)2+8116≤8116.所以在各地区中,当x=92时,A饮料的年人均销量最多是8116升.方法技巧利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法:(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;(2)利用待定系数法,确定具体函数模型;(3)对所选定的函数模型进行适当的评价、比较,并选择最恰当的模型;(4)根据实际问题对模型进行适当的修正.。
