【精品】2017-2018年山东省青岛二中高三上学期数学期末试卷(理科)及答案

第一学期学分认定考试高三数学(理)试题 2018．011．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答。

答案必须写在答题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的 答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．n xi yi nx y 公式：1．线性回归方程 $y b$x a 的系数公式 b$ i 1 nxi 22nxi 12．独立性检验统计量K2an ad bc2 bc d a cbd ，其中nabcd3．临界值表： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．z 为虚数，i 为虚数单位，若 z 1 i 2i，则z A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i 2．已知集合 A x R y log2 1 x ，集合B y y 2x , x A ，则CR AB A． ，2B． 1 2，4 C． 2， D． 1，23．已知cos 2 3 5, 2, ，则tan 3A． 3 4B． 4 3C． 3 4D． 4 34．阅读右侧框图，输出的结果为A． 9 10B． 10 C． 111112D． 109 110x 1 05．在平面直角坐标系中，动点 P x, y满足：x y 2 0, z log1 2x y ，则 z 的最大值为x y 4 03A．0B． log3 5 C．1D． log3 76．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 3，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为A．2B．3C． 2D． 3uuur uuur uuur r 7．已知 P 是 ABC 所在平面内一点，且满足 PB PC 2PA 0 ，现将一粒黄豆随机撤在 ABC 内，则黄豆落在 PBC 内的概率是A． 1 3B． 1 4C． 1 2D． 2 38．三棱锥 P ABC, PC 平面 ABC，底面 ABC中，AC BC, AC BC 2 ,PC 4，则P ABC 的外接球的表面积为A． 288 B． 96C． 48 D． 249．已知函数fx2 sin2 x 4 1对称中心和最近的对称轴之间的距离为 4，将f x 图象向左平移 个单位，所得新函数 g x 的解析式为6A.ysin 2x 3 B.ysin 2x 6 C.ysin 4x2 3 D.ysin 1 2x 6 10．抛物线 y2 4x 的焦点恰好是双曲线 x2 ny2 1 的实轴端点，又双曲线的离心率为 2，则实数 n m的值为A．1B． 1C． 3D． 133rrrr11．已知 a 4sin x, 2 3 cos x sin x ,b cos x, cos x sin x, f x agb, 角 C 是 ABC 中的锐角，且 f C 0 ，则角 C 的值为A． 6B． 3C． 2 3D． 5 6 12．已知集合 P x, y y 2 x2 , x、y R ，Q x, y y x m, x、y R ，若 P Q ，则实数 m 的取值范围是A． 2 2, 2 B． 2, 2 C． 2, 2 D． 2, 2 2 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分． r r r rr rrrr13．已知向量 a和b，a 1, b 2，则 2a b gb 2，则a和b 的夹角等于___________．14．已知 , 是两个不同的平面， m, n 是两条不同的直线，下列命题：①若 m / /n, n ，则m// ；②若 m , n ，则m n是 的必要条件；③若 ，m , n / /，则m n ．其中错误命题的序号是______________．(把所有错误命题的序号都填上)15．已知函数 f x 2 x x2 1,且f 2m 1 f 3 ，则实数 m 的取值范围是______. 16．已知 a e 11 xdx，则二项式 2x6ax 展开式中的常数项为________．三、解答题：共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．第 17 题～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其一解答． 17．(本小题满分 12 分)已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和， Sn 3 2n 3 ，其中 n N .(I)求数列 an 的通项公式； (Ⅱ)数列 bn 为等差数列， Tn 为其前 n 项和， b2 a5 , b11 S3，求Tn 的最值．18．(本小题满分 12 分) 某校成立了数学奥赛集训队，男女同学共 20 人，对男女队员历次模拟平均成绩分布情况统计如下表：(I)历次模拟平均成绩在 70 分以上的认为是“具有潜力”的选手，否则认为“不具潜力”请运用独立性检验的知识，对男女两个分类，针对是否具有潜力填写下列 4*4 列联表，请计算 K2 的观测值， 并对照以下临界值表，分析说明是否有 95％的把握认为是否具有潜力与性别有关．4×4 列联表 (Ⅱ)教练计划从模拟平均成绩在 80,100 的所有队员中抽出 3 名同学去参加比赛， (i)记 3 名同学中男女生都有为事件 A，求 P A ；(ii)设其中的女生数为 ，求 的分布列和数学期望．19．(本小题满分 12 分) 已知 ABCD 为直角梯形，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，PD⊥平面 ABCD，PD=AD=2BC=4，平面 PAD 与平面 PBC所成的二面角的平面角为 ，且 tan 1 ，M 是 BC 的中点．2 (I)求证：平面 PAC 平面 PDM； (Ⅱ)求三棱锥 B PAC 的体积．20．(本小题满分 12 分)已知平面直角坐标系内，A，B 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，线段 AB 的长为定值 2， P x, y 是动点，uuur uuur uuur且 OP 2OA OB ；直线 l 为过定点 B1,0 的动直线．(I)求动点 P 的轨迹 C 的标准方程；(Ⅱ)设直线 l 与轨迹 C 交于 M、N 两点， Q2, 0 ，求 QMN 面积 S 的最大值，并求出此时直线的方程．21．(本小题满分 12 分)已知 f x ax 2a 1ln x 2，其中a Rx(I)分析判断函数 f x 在定义域上的单调性情况；(II)若 0 a 1 ，证明：方程 ax 2a 1 ln x 2 0在区间1，e 上没有零根．ex(其中 e 为常数，e 约为 2.7182…)请考生在第 22，23 两题中任选一道作答。

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件=0.则y关于x的函数的图象形状大致是（）4.（单选题.5分）若实数x.y满足|x|-ln 1yA.B.C.D.5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-26.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π67.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.118.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24 C. 14D.09.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1) D. (3π4，2)10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ）A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥211.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD 中.底面ABCD 是边长为2的正方形.侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形.若 2√2≤SC ≤4 .则四棱锥S-ABCD 的体积取值范围为___ ． 16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P 作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC 的面积的最大值为___ ．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.9918.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动.求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n+2.数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1：{x=2t 2+2y=t2−1（t为参数）．以坐标原点O 为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系.若相交.求出弦长．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【正确答案】：A【解析】：把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简求得z.再由共轭复数的概念得答案．【解答】：解：由（1-i）z=2i.得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i .∴ z=−1−i .故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN【正确答案】：D【解析】：根据几何概型的概率公式.即可以进行估计.得到结论．【解答】：解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2. 根据几何概型的概率公式可以得到 π×122×2=mN .即 π=4m N . 故选：D ．【点评】：本题主要考查几何概型的应用.根据几何概型的概率公式.进行估计是解决本题的关键.比较基础．3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据对数函数的图象和性质.解对数不等式.利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：当“（m-1）（a-1）＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {m ＜1a ＜1.此时log a m 可能无意义.故“log a m ＞0”不一定成立.而当“log a m ＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {0＜m ＜10＜a ＜1.“（m-1）（a-1）＞0”成立. 故“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个必要不充分条件.故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据对数的性质是解决本题的关键.比较基础．4.（单选题.5分）若实数x.y 满足|x|-ln 1y =0.则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ） A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由条件可得 y= 1e|x| .显然定义域为R.且过点（0.1）.当x＞0时.y= 1e x.是减函数.从而得出结论【解答】：解：若变量x.y满足|x|-ln 1y=0.则得 y= 1e|x|.显然定义域为R.且过点（0.1）.故排除C、D．再由当x＞0时.y= 1e x.是减函数.故排除A.故选：B．【点评】：本题主要考查指数式与对数式的互化.指数函数的图象和性质的综合应用.以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题.属于中档题．5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：根据（1-2x）5展开式的通项公式.写出（2+ax）（1-2x）5的展开式中含x2项的系数.列方程求出a的值．【解答】：解：（1-2x）5展开式的通项公式为T r+1= C5r•（-2x）r.∴（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为2×C52(−2)2+aC51(−2)=70 .解得a=1．故选：A．【点评】：本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题.是基础题．6.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π6【正确答案】：C【解析】：作出几何体的直观图.得出外接球的半径.代入体积公式计算得出答案．【解答】：解：几何体为三棱锥.直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD.是长方体的一部分.三度为：2.1.3.棱锥的外接球就是长方体的外接球.球的直径为：√22+12+32 = √14 .∴外接球半径R= √142．∴外接球的体积V= 43π×(√142)3= 7√14π3．故选：C．【点评】：本题考查了棱锥的三视图.棱锥与外接球的位置关系.体积公式.属于中档题．7.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.11【正确答案】：B【解析】：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10.联立方程求得b1和d.进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1-a1.最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】：解：依题意可知{b1+2d=−2b1+9d=12求得b1=-6.d=2∵b n=a n+1-a n.∴b1+b2+…+b n=a n+1-a1.∴a8=b1+b2+…+b7+3= (−6+6)×72+3=3故选：B．【点评】：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24C. 14D.0 【正确答案】：D【解析】：设BD=x.可求AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.由cos∠ADC=-cos∠BDC .利用余弦定理可得x 的值.进而可求AD.AC 的值.由余弦定理可求cosA 的值．【解答】：解：设BD=x.则AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.易知：cos∠ADC=-cos∠BDC .由余弦定理可得：9x 2+2−(2−3x )22×√2×3x =- x 2+2−(2−x )22×√2×x . 解得：x= 13 .故：AD=1.AC=1.∴cosA= AD 2+AC 2−CD 22AD×AC =0． 故选：D ．【点评】：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.考查了数形结合思想.属于基础题．9.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1)D. (3π4，2)【正确答案】：C【解析】：利用定积分求出a 的值.根据函数f （x ）的图象求出f （x ）的解析式.再利用三角函数的图象与性质求f （x- π4 ）+a 的对称中心．【解答】：解： a =2∫xdx 10 =2× 12 x 2 |01 =1. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的图象知.A=2. T 4 = π3 - π12 = π4 .∴T= 2πω =π.解得ω=2；又2× π12 +φ= π2 .解得φ= π3 ；∴f （x ）=2sin （2x+ π3 ）.∴f （x- π4 ）+a=2sin （2x- π6 ）+1；令2x- π6 =kπ.k∈Z .则x= π12 + kπ2 .k∈Z .当k=1时.x= 7π12 .∴f （x- π4 ）+a 的一个对称中心为（ 7π12 .1）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了定积分的计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥2【正确答案】：C【解析】：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y ．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．利用 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得P 坐标.代入双曲线方程.再利用重要不等式的性质即可得出结论．【解答】：解：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2a+2b.a-b ）．代入双曲线方程可得：(2a+2b )24 -（a-b ）2=1.化为ab= 14 ．∴ 14 =ab ≤(a+b 2)2 .化为：|a+b|≥1． 故选：C ．【点评】：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、重要不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 【正确答案】：D【解析】：由图中锯齿形数列排列.发现规律：奇数项的第n 项可以表示成正整数的前n 项和的形式.偶数项构成以3为首项.公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式.即可得到S 16的值．【解答】：解：根据图中锯齿形数列的排列.发现a 1=1.a 3=3=1+2.a 5=6=1+2+3.....a 15=1+2+3+ (8)而a 2=3.a 4=4.a 6=5.….a 16=10.∴前16项的和S 16=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+8）]+（3+4+5+…+10）=（1×8+2×7+3×6+…+7×2+8×1）+(10+3)×82 =164故选：D ．【点评】：本题以杨辉三角为例.求锯齿形数列的前n 项和.着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点.属于基础题．12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 【正确答案】：A【解析】：得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.这样令t=x 1x 2.t ＞0.容易求得函数t-lnt 的最小值为1.从而得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.解这个关于x 1+x 2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】：由f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0.从而（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.令t=x 1x 2.则由h （t ）=t-lnt 得.h′（t ）= t−1t. 可知.h （t ）在区间（0.1）上单调递减.在区间（1.+∞）上单调递增.∴h （t ）≥h （1）=1.∴（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.又x 1+x 2＞0.因此x 1+x 2≥√5−12成立． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用以及换元思想、转化思想.不等式的解法.属于中档题．13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]10【解析】：画出约束条件表示的可行域.判断目标函数z=2x+y 的位置.求出最大值．【解答】：解：作出实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4的可行域如图： 目标函数z=2x+y 在 {y =4x −y +1=0的交点A （3.4）处取最大值为z=2×3+4=10． 故答案为：10．【点评】：本题考查简单的线性规划的应用.正确画出可行域.判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：根据向量的数量积运算和三角函数的化简即可求出答案．【解答】：解：∵| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴| OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|sin 2θ• OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ• OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=sin 4θ| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+cos 4θ| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2sin 2θcos 2θ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . =16sin 4θ+9cos 4θ.=16sin 4θ+9（1-sin 2θ）2=25sin 4θ-18sin 2θ+9=25（sin 2θ- 925 ）2+14425 . ∴当sin 2θ= 925 时.| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值. ∴sin （ π2+2θ ）=cos2θ=1-2sin 2θ=1-2× 925 = 725 .故答案为： 725【点评】：本题考查了向量的数量积运算和三角函数的化简求值.属于中档题15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方形.侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形.若2√2≤SC≤4 .则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [4√33，83]【解析】：由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2或SC=4时.四棱锥S-ABCD的高最小.当SA⊥平面ABCD.则四棱锥高最大.分别求出对应的高.则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】：解：如图.由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2时.过S作SO⊥AB.垂足为O.连接AC.OC.设OA=x.在△OAC中.由余弦定理可得OC2=x2+8−4√2x×√22=x2−4x+8 .在Rt△SOA中.有OS2=SA2-x2=4-x2.在Rt△SOC中.有OS2+OC2=SC2.即4-x2+x2-4x+8=8.求得x=1．∴ OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；当SC=4时.可得∠BAS为钝角.同理求得OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；∴当SA⊥平面ABCD时. (V S−ABCD)max=13×4×2=83．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：[4√33，83]．故答案为：[4√33，83]．【点评】：本题考查棱锥体积的求法.考查空间想象能力与逻辑思维能力.是中档题．16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C为半圆的直径AB延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC的面积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】：解：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.∵AB=BC=2.∴C（3.0）.设P（x.y）.∵过动点P作半圆的切线PQ.PC= √2 PQ.∴ √(x−3)2+y2 = √2• √x2+y2−1 .整理.得x2+y2+6x-11=0.∴点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.∴当点P在直线x=-3上时.△PAC的面积的最大.∴（S△PAC）max= 1×4×2√5 =4 √5．2故答案为：4 √5．【点评】：本题考查三角形面积的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意两点间距离公式的合理运用．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.99【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）].乘以500可得英语成绩特别优秀的人数；由频率分布直方图可得数学成绩特别优秀的概率.乘以500得数学成绩特别优秀的人数；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人.则X 的所有可能取值为0.1.2.3.求出概率.列出频率分布列.再由期望公式求期望．【解答】：解：（Ⅰ）英语成绩服从正态分布N （120.400）.则μ=120.σ=20. 则英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）]= 12×(1−0.68)=0.16 ．∴英语成绩特别优秀的人数为500×0.16=80人；数学成绩特别优秀的概率为P （X≥140）=0.008× 20×12=0.08 ． ∴数学成绩特别优秀的人数为500×0.08=40人；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人． X 的所有可能取值为0.1.2.3．P （X=0）= C 603C 903 = 17115874 ；P （X=1）= C 301C 602C 903 = 8851958 ；P （X=2）= C 302C 601C 903 = 4351958 ；P （X=3）= C 303C 903 = 2035874 ．X 的分布列为：数学期望值为EX=0× 5874 +1× 1958 +2× 1958 +3× 5874 =1．【点评】：本题考查了频率分布直方图.考查了正态分布的应用问题.考查了离散型随机变量的分布列与期望.是中档题．18.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE 为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动.求平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求解三角形可得BC⊥AC .由平面ACFE⊥平面ABCD.结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）建立空间坐标系.令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.根据坐标表示出两个平面的法向量.结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式.再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中.由∠ADC=120°.得∠ABC=60°. ∵AB || CD .设AD=DC=CB=1.∴AB=2.则AC 2=AB 2+BC 2-2AB•BC•cos60°=3. ∴AB 2=AC 2+BC 2.得BC⊥AC ．∵平面ACFE⊥平面ABCD.平面ACFE∩平面ABCD=AC. BC⊂平面ABCD. ∴BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA.CB.CF 为x 轴.y 轴.z 轴的如图所示空间直角坐标系. 令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.则A （ √3 .0.0）.B （0.1.0）.M （λ.0. √3 ）.E （ √3，0，√3 ）.D （ √32，−12，0 ）．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 .1.0）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ.-1. √3 ）. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ −√32，−12，0 ）. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，√3) ． 设 m ⃗⃗ =（x.y.z ）为平面MAB 的一个法向量. 由 {m ⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗ •BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −y +√3z =0.取x=1.得 m ⃗⃗ =（1. √3 . 1−√33λ ）.设平面ADE 的一个法向量为 n ⃗ =（a.b.c ）.由 {n ⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a −12b =0n ⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3c =0.取b= √3 .得 n ⃗ =(−1，√3，0) .设平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ（0°＜θ＜90°）. 则cosθ= |m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ || = 22×√1+3+(1−√33λ)2=√3√(λ−√3)2+12．∵λ∈[0. √3 ].∴cosθ∈[ √55，12 ]．即平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围为[ √55，12 ]．【点评】：本题考查平面与平垂直的证明.考查空间想象能力和思维能力.训练了利用空间向量求二面角的余弦值.是中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n +2.数列{b n }满足b n =log 2a n（Ⅰ）求数列{a n }.{b n }的通项公式； （Ⅱ）求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2≤5n−14n【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用放缩法求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n. 都有a n+1=3S n+2.则：当n≥2时.a n=3S n-1+2整理得：a n+1-a n=3a n.即：a n+1a n=4（常数）.所以：a n=2•4n−1=22n−1．由于数列{b n}满足b n=log2a n.所以b n=2n-1．证明：（Ⅱ）由于b n=2n-1.所以：1b n2=1(2n−1)2＜1(2n−1)2−1= 14(1n−1−1n) .则：1b12+1b22+⋯+1b n2= 112+132+⋯+1(2n−1)2≤1+14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)] =1+ 14(1−1n) = 5n−14n．故：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.放缩法在数列求和中的应用．20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1.且A （-1.0）.B （1.0）是上半椭圆C 1的左右顶点.设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2-1.联立解得a.b 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）.由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）.代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0.设点P 的坐标为（x P .y P ）.由求根公式.得点P的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）.由 {y =k (x +1)y=x 2−1，y ≥0.得点Q的坐标为（k+1.k 2+2k ）.由假设可得BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即可得出k ．【解答】：解：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1. 且A （-1.0）.B （1.0）是下半椭圆C 1的左右顶点. 设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2. 可得a=2.所以a=2.b=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）. 由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）. 代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0. 设点P 的坐标为（x P .y P ）.因为直线l 过点A.所以x=-1是方程的一个根. 由求根公式.得x P = 4−k 24+k 2 .y P = 8k4+k 2 . 所以点P 的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. 同理.由 {y =k (x +1)y =x 2−1，y ≥0.得点Q 的坐标为（k+1.k 2+2k ）.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 2k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k.k 2+2k ）.假设存在直线l.使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点.可知BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- 2k 24+k 2 ）•k+ 8k 4+k 2 •（k 2+2k ）=0. 即-2k 3+8k 3+16k 2=0. 因为k≠0.解得k=- 83. 经检验.k=- 83 符合题意.故存在.且直线l的方程为y=- 83（x+1）．【点评】：本题考查了直线与椭圆、抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.求出h（x）的解析式.求出函数的导数.通过讨论a的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的最小值.求出a的值即可；（2）得到1+x≤e x.令x=- kn （n∈N*.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- kn≤ e−k n .得到(1−kn)n≤ e(−k n)n=-e-k.累加.通过放大不等式.证明即可．【解答】：解：（1）因为g′（x）=-ax-1.所以h（x）=e x-ax-1.由h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.即h（x）min≥0.由h′（x）=e x-a.（i）当a≤0时.h′（x）=e x-a＞0.h（x）的单调递增区间为R.所以x∈（-∞.0）时.h（x）＜h（0）=0.所以不满足题意．（ii）当a＞0时.由h′（x）=e x-a=0.得x=lna.x∈（-∞.lna）时.h′（x）＜0.x∈（lna.+∞）时.h′（x）＞0.所以h（x）在区间（-∞.lna）上单调递减.在区间（lna.+∞）上单调递增. 所以h（x）的最小值为h（lna）=a-alna-1．设φ（a）=a-alna-1.所以φ（a）≥0. ①因为φ′（a）=-lna.令φ′（a）=-lna=0.得a=1.所以φ（a ）在区间（0.1）上单调递增.在区间（1.+∞）上单调递减. 所以φ（a ）≤φ（1）=0. ② 由 ① ② 得φ（a ）=0.则a=1． （2）由（1）知e x -x-1≥0.即1+x≤e x . 令x=- kn （n∈N *.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- k n ≤ e −kn .所以 (1−k n )n ≤ e (−k n )n=-e -k .所以 ∑ni=1 (i n )n = (1n )n + (2n )n +…+ (n−1n )n + (n n )n≤e -（n-1）+e -（n-2）+…+e -2+e -1+1 =1−e −n 1−e −1 ＜ 11−e−1 =1+ 1e−1 ＜2. 所以 ∑n i=1 (i n )n＜2. 又 (13)3+ (23)3+ (33)3＞1. 所以m 的最小值为2．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用.是一道中档题．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．以坐标原点O为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称； （Ⅱ）判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系.若相交.求出弦长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用转换关系.把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．转换为直角坐标方程为：x-2y-4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2-10x-6y+25=0.整理得：（x-5）2+（y-3）2=9.该曲线表示以（5.3）为圆心.3为半径的圆．（Ⅱ）由于该圆是以（5.3）为圆心.3为半径.所以与射线x-2y-4=0．（x≥2）有两个交点．圆心到射线的距离d=√12+22=√5 .所以弦长l=2 √32−(√5)2 =4．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求得|x+2|+|x-3|＞8.然后分类讨论去绝对值号.求解即可得到答案．（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥2.得到|x+2|+|x-3|≥m+e2．因为已知解集是R.根据绝对值不等式可得到|x+2|+|x-3|≥5.令m+e2≤5.求解即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设知：当m=8时：|x+2|+|x-3|＞8.不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x≥3x+2+x−3＞8.或{−2＜x＜3x+2+3−x＞8.或{x≤−2−x−2−x+3＞8.解得函数f（x）的定义域为（-∞.-7）∪（9.+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+2|+|x-3|≥m+e2.∵x∈R时.恒有|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5.∴不等式|x+2|+|x-3|≥m+e2解集是R.等价于m+e2≤5.∴m的取值范围是（-∞.5-e2]．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的应用问题.题中涉及到分类讨论的思想.考查学生的灵活应用能力.属于中档题目．。

青岛市高三一致质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分 .考试时间120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和 0.5 毫米黑色署名笔（中性笔）将姓名、准考据号、考试科目、试卷种类填涂在答题卡规定的地点上．2．第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．答案不可以答在试题卷上．3．第Ⅱ卷一定用0.5 毫米黑色署名笔（中性笔）作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内相应的地点，不可以写在试题卷上；如需变动，先划掉本来的答案，答案；禁止使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．而后再写上新的第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题．每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 已知会合 A＝{ x || x 1| 1} ， B { x | x 1} ，则(e R A) BA．[ 1,0] B．[ 1,0)C．( 2, 1) D ．( 2, 1]2. 设 (1 i)( x yi) 2 ，此中x, y是实数， i 为虚数单位，则x yA ．1 B． 2 C． 3 D ．23. 已知R ,向量a 3, , b 1,2 ，则“3”是“a / /b”的A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件4. 中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”，此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹2 4 6 7 8 91 3 5是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算纵式横式中国古代的算筹数码筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示， 十位，千位，十万位用横式表示， 以此类推． 比如 6613 用算筹表示就是， 则 8335 用算筹可表示为A ．B ．C ．D ．5. 已知实数 x [1,10] ，履行如右图所示的程序框图， 则输出的 x 不大于 63的概率为31开始输入 xn 1n n 1A ．B ．3 103D ．2C ．35x y2 06. 若 x, y 知足 xy 4 0 ，则 zy 2x 的最大值为y 0A ． 8B ． 4C ． 17. 某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为A ． 8 8B ． 16 833C ． 8 16D ． 16 16338. 在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ，若 1A ． 30B ． 45C ． 609. 已知 x1 ， y 1，且 lg x ， 1， lg y 成等比数列，则 4 A ．最小值 10 B ．最小值 10D ．最大值102 2n 3?否 输出 x结束D ． 2224主视图2 2俯视图tan A 2c A tan B，则bD ． 120xy 有C ． 最 大 x 2x 1是侧视图值 1010. 已知双曲线 C 1 :x2y 2 1(a 0, b 0) ,圆 C 2 : x 2aby 2 2ax 3 a 20 ,若双曲线 C4 1的一条渐近线与圆C2有两个不一样的交点，则双曲线C1的离心率的范围是A．(1,2 3) B．(2 3, ) C．(1,2) D．(2,) 3 3第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．11. 已知变量 x , y 拥有线性有关关系,它们之间的一组数据以下表所示,若y对于x的线性回y 1.3x 1，则m；归方程为 ?x 1 2 3 4y m 412. 设随机变量~ N ( , 2)，且P( 3 P) = ( ，)则P( 1 )= ；13. 已知函数 f ( x) 2x , x 2,则 f (log2 7) ；f (x 1), x 2,14. 已知 m 2 9cos xdx ，则 ( 1 x) m睁开式中常数项为；0 x15. 已知函数 f ( x) 1 x x2 x3， g( x) 1 xx2 x3g(x 3) ，2 3 2，设函数 F(x) f (x 4)3且函数 F ( x) 的零点均在区间[a,b] （ a b, a,b Z ）内，则 b a 的最小值为．三、解答题：本大题共 6 小题 ,共 75 分,解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) sin(2 x) cos(2x)2sin x cos x .3 6（Ⅰ）求函数 f ( x) 图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数y f ( x) 的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原12来的4 倍，纵坐标不变，获得函数y g (x) 的图象，求y g ( x) 在 [ ,2 ] 上的值域.317．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 的前n项和为 S n, a1 1,且 a n 1 2S n 1 ,n N.（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；1，记数列 {b n } 的前 n 项和为 T n，若对随意n N ，（Ⅱ）令 c n log 3 a2n，b nc n c n 2T n恒成立，务实数的取值范围 .18．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 3 的菱形，ABC 60 ，PA平面 ABCD ， PA 3 ， F 是棱 PA 上的一个动点， E 为 PD 的中点．（Ⅰ）若 AF 1，求证： CE / / 平面 BDF ；P（Ⅱ）若 AF 2 ，求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值． EFADB C19．（本小题满分12 分）某科技展览会展出的智能机器人有A, B,C, D四种型号，每种型号起码有.4台要求每位购置者只好购置 1台某种型号的机器人，且购置此中随意一种型号的机器人是等可能的.此刻有 4 个人要购置机器人 .（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了A, B, C, D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求A 型与B 型相邻且C 型与D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购置的机器人的型号种数为，求的散布列和数学希望．20．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)1 x2 ax ， g( x) e x ， a R 且 a 0 ，， e 为自然对2数的底数．（Ⅰ）求函数 h( x) f (x) g( x) 在 [ 1,1]上极值点的个数；（Ⅱ）令函数 p( x)f ( x)g (x) ，若a [1,3] ，函数 p(x) 在区间 [b ae a , ) 上均为增函数，求证： b e 3 7．21．（本小题满分 14 分）已知椭圆 : x 2y 21 ( a 1)右极点为 A 1 ，上极点为 B 1 过F 1 、A 1 、a 2的左焦点为 F 1 ，，B 1 三点的圆 P 的圆心坐标为 ( 32 , 1 6 ) ．22（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线 l : y kxm （ k, m 为常数， k 0 ）与椭圆交于不一样的两点M 和N ．（ⅰ）当直线 l 过 E(1,0) ，且 EM 2EN 0 时，求直线 l 的方程；（ⅱ）当坐标原点 O 到直线 l 的距离为3时，求 MON 面积的最大值．2青岛市高三一致质量检测数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共10 小题．每题 5 分，共 50 分．BDABD BACBA二、填空题：本大题共5 小题，每题5 分，共 25 分．11. ；12. ； 13.7；14． 84 ； 15． 6 .2三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） f (x)sin(2 x) cos(2 x ) 2sin x cos x36sin 2 x cos3 cos2x sin cos 2xcos sin 2x sin +sin 2x ，3 663 cos 2x sin 2 x 2sin(2 x) ，,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分3由 2x2 k , k Z 可得: x 12 + 1k , k Z ，32∴函数 f ( x) 图象的对称轴方程为x12 + 1k , k Z .,,,,,,,,,,,, 6 分2（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) 2sin(2 x) ，将函数 y f ( x) 的图象向右平移个单位获得312函数 y2sin(2 x) 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为本来的4 倍，纵坐标不6变，获得函数 g( x)2sin( 1x) 的图象， ,,,,,,,,,,,,,,,,10 分2 6 ∵x 2 ，∴3 1 x 6732 6∴当 1x 6，即 x2 时， y max g( 2)22 23 3当 1x67 ，即 x 2 时， y ming (2 )126∴函数 yg (x) 的值域为 [ 1,2] ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12 分命题企图 :此题考察三角变换 ,三角函数的对称轴的性质,图象平移 ,最值问题。

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N等于（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）设i是虚数单位，若复数ai﹣是实数，则实数a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．13．（5分）等比数列{a n}中，若a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于（）A．27 B．27或﹣27 C．81 D．81或﹣814．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件5．（5分）函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（）A．[]（k∈Z）B．[]（k∈Z）C．[]（k∈Z）D．[]（k∈Z）6．（5分）已知cosα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）函数f（x）=的零点所在的一个区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）8．（5分）设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n ④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．4πC．8πD．16π10．（5分）数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．2111．（5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，又g（x）=x2f（x），且当x＞0时，g'（x）＜0恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣lg（x+1）的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知函数函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）已知向量，的夹角为，，，若点M在直线OB上，则的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）=x+，曲线y=f（x）过点P（2，f（2））处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为．16．（5分）在数列{a n}中，如果对任意的n∈N*，都有（λ为常数），则称数列{a n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{a n}满足，则数列{a n}是比等差数列，且比公差λ=2；③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥面VAB；（3）求三棱锥M﹣COV的体积．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n，S n满足（t﹣1）S n=t（a n﹣2）（t为常数，t≠0且t≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣a n）•log3（1﹣S n），当时，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N等于（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：由M中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}；由N中的不等式变形得：log2x＜1=log22，得到0＜x＜2，即N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x＜2}．故选：D．2．（5分）设i是虚数单位，若复数ai﹣是实数，则实数a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【解答】解：复数ai﹣=ai﹣=ai+=ai+3+i，∵复数是实数，∴a+1=0．解得a=﹣1．故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，若a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于（）A．27 B．27或﹣27 C．81 D．81或﹣81【解答】解：a3+a4=（a1+a2）•q2，∴q2=9，q=±3．当q=﹣3时，a1+a2=a1﹣3a1=﹣2a1=1，所以a1=﹣，a4+a5=（﹣）×（q3+q4）=﹣27；同理当q=3时，a1+a2=a1+3a1=4a1=1，所以a1=，a4+a5=×（q3+q4）=27，故选：B．4．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选：A．5．（5分）函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（）A．[]（k∈Z）B．[]（k∈Z）C．[]（k∈Z）D．[]（k∈Z）【解答】解：令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[]（k∈Z），故选：D．6．（5分）已知c osα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．故选：B．7．（5分）函数f（x）=的零点所在的一个区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=﹣1＜0，f（2）=2﹣ln2﹣1＞0，∴函数f（x）的零点在（1，2）内．故选：A．8．（5分）设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n ④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①不对，由面面垂直的判定定理知，l有可能在β内；②不对，由面面垂直的性质定理知，l有可能与β斜交；③不对，反例：长方体相连的三条棱；④对，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又因n∥β，所以m⊥n；故选：A．9．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．4πC．8πD．16π【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，直三棱锥的高是2，底面的直角边长为，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，则∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，故外接球的表面积是4πR2=8π，故选：C．10．（5分）数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．11．（5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，又g（x）=x2f（x），且当x＞0时，g'（x）＜0恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣lg（x+1）的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）=x2f（x）是奇函数，且当x＞0时，g'（x）＜0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）单调递减，在（﹣∞，0）单调递减．且g（3）=g（﹣3）=0，g（0）=0．函数y=g（x），y=lg（x+1）的图象如下：如图可知g（x）有3个零点，故选：B．12．（5分）已知函数函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：x∈[0，]时，f（x）=为单调减函数，∴f（x）∈[0，]；时，为单调增函数，∴f（x）∈（，1]，∴函数f（x）的值域为[0，1]；函数，x∈[0，1]时，值域是[2﹣2a，2﹣]∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]≠∅若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]=∅，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即a＜或a＞∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]≠∅时，实数a的取值范围是故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|x＞且x≠1} ．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x＞且x≠1．∴函数f（x）=的定义域是{x|x＞且x≠1}．故答案为：{x|x＞且x≠1}．14．（5分）已知向量，的夹角为，，，若点M在直线OB上，则的最小值为．【解答】解：∵=||，∵点M在直线OB上，向量，的夹角为，，，∴当AM⊥OB时，=2，故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=x+，曲线y=f（x）过点P（2，f（2））处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为2．【解答】解：∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，∴f′（2）=0，∴曲线y=f（x）过点P（2，f（2））处的切线方程为y=f（2）=3，∴切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的三个顶点为（1，1），（1，3），（3，3）∴面积为=2．故答案为：2．16．（5分）在数列{a n}中，如果对任意的n∈N*，都有（λ为常数），则称数列{a n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{a n}满足，则数列{a n}是比等差数列，且比公差λ=2；③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是①③．【解答】解：数列{F n}满足F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，=1，=﹣≠1，则该数列不是比等差数列，故①正确；若数列{a n}满足，则==不为定值，即数列{a n}不是比等差数列，故②错误；等比数列=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为a n=n，则=不为定值，即数列{a n}不是比等差数列，故③正确；如果{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设a n=n，b n=2n，则=不为定值，不满足比等差数列的定义，故④不正确；故答案为：①③三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥面VAB；（3）求三棱锥M﹣COV的体积．【解答】证明：（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC．（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，=S△VAB==，∴S△VMO∵OC⊥平面VAB，=V C﹣VMO=S△VMO==．∴V M﹣COV19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n，S n满足（t﹣1）S n=t（a n﹣2）（t为常数，t≠0且t≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣a n）•log3（1﹣S n），当时，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵（t﹣1）S n=t（a n﹣2）（t为常数，t≠0且t≠1）．=t（a n+1﹣2），∴（t﹣1）S n+1=ta n，∴=t，作差得a n+1∴数列{a n}成等比数列，a n=a n t n﹣1，当n=1时，（t﹣1）S1=t（a1﹣2），解得a1=2t，∴a n=2t n．（2）当t=时，a n=2•（）n，S n==1﹣，1﹣S n=，∴b n=（﹣a n）•log3（1﹣S n）=，∴数列{b n}的前n项和：T n=+…+，①T n=+…+，②①﹣②，得=+…+﹣=1﹣2×﹣=﹣=1﹣，∴T n=．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R 上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．【解答】解：（1），∵f（x）≥3，∴或或解得{x|x≤0或x≥2}，故f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）由函数的解析式得：，∴，∴，即，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x=为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2017-2018学年高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x2﹣1≥0}则A∩（∁UB）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1|} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由A中不等式变形得：20=1＜2x＜4=22，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，即B={x|x≤﹣1或x≥1}，∴∁UB={x|﹣1＜x＜1}，则A∩（∁UB）={x|0＜x＜1}，故选：B．2．设复数z的共轭复数为，若z=1﹣i（i为虚数单位），则复数+z2+|z|在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+z2+|z|=+（1﹣i）2+|1﹣i|=﹣2i+=﹣i+．在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，则a2017=（）A．4031 B．4032 C．4033 D．4034【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，数列{an}是等差数列．再利用通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，∴数列{an}是等差数列．∵a1=1，a2=3，则公差d=3﹣1=2．a2017=1+2×=4033．故选：C．4．在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S三角形=×4=．满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1﹣．故选：A．5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（﹣|x|）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=f（﹣|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，排除选项B，D；当x＞0时，函数y=f（﹣|x|）=f（﹣x）与原函数关于y轴对称，是x＜0对称的函数的图象，排除C，图象A满足题意．故选A．6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．12【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（1+2）×2=3，高h=2，故体积V==2，故选：A7．已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=2x，|F1F2|=2c，∵∠PF1F2=60°，∴cos60°==⇒x=c，∵|PF2|﹣|PF1|=2a，∴x=2a=c，∴e==．故选：D．8．已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若向量，同向，则x+y的最小值为（）A．B．2 C．2D．2+1【解答】解：∵向量=（1，x﹣1），=（y，2），向量，同向，∴，整理得：xy﹣y﹣2=0，∵向量，同向，∴y≥0，x﹣1≥0，∴y+2=xy≤，∴（x+y）2≥4y+8≥8，∴x+y≥．故选：C．9．程序框图如图所示，则该程序运行后输出n的值是（）A．4 B．2 C．1 D．2017【解答】解：第1步：n=1，k=0，n=4，k=1，第2步：n=4，n=2，k=2，第3步：n=2，n=1，k=3，第4步：n=1，n=4，k=4，第5步：n=4，n=2，k=5，第6步：n=2，n=1，k=6，…，由2018÷3=672+2，同第2步，此时n=4，n=2，k=2018＞2017，输出n=2，故选：B．10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取AC的中点D，A1C1的中点D1，建立空间直角坐标系．不妨设AC=2．则A（0，﹣1，0），M（0，0，2），B（﹣，0，0），N．=（0，1，2），=．∴===．故选：C．11．设椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=x相交于M，N两点，若在椭圆上存在点P，使得直线MP，NP斜率之积为﹣，则椭圆离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设P（x，y），M（m，m），N（﹣m，﹣m），则直线MP，NP的斜率分别为，，∵直线MP，NP斜率之积为﹣，即•=﹣，则=﹣，∵M，P是椭圆C上的点，∴+=1，，两式相减可得=﹣，∴=﹣，∴=，∴椭圆离心率e====，故选B．12．已知ω＞0，在函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点，∴根据三角函数线可得出交点（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一个周期内，∴36=（﹣）2+（﹣2﹣2）2，ω=，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若向量=（0，1），||=||，•=，则||=．【解答】解：设，由=（0，1），||=||，•=0，得，∴x=±1．则或，∴或．则．故答案为：．14．（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为16．【解答】解：（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．∴（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为=16．故答案为：16．15．设数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，记Tn=（n∈N*），则数列{Tn}最大项的值为3．【解答】解：∵数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，Tn=（n∈N*），∴Tn==9﹣2n﹣，∵=4，当且仅当时取等号，又n∈N*，n=1或2时，Tn取最大值T1=9﹣2﹣4=3．∴数列{Tn}最大项的值为3．故答案为：3．16．函数f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，则z=的取值范围是[，2]．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，可得0≤a+b﹣1≤1，﹣2≤a﹣b﹣1≤0，即，表示的可行域如图：，则z==，令t=，可得z==+．t≥0．，又b=1，a=0成立，此时z=，可得z∈[，2]故答案为：[，2]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=（m+2cos2x）•cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣（m+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴m+1=0，即m=﹣1，∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（m+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．故f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣sin4x，由4x=kπ，k∈Z得：x=kπ，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称中心坐标为：（kπ，0），k∈Z，由4x∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，（Ⅱ）∵f（+）=﹣sin（2C+）﹣，C为三角形内角，故C=，∴c2=a2+b2﹣2abcosC==，∵c=1，ab=2，∴a+b=2+，∴a+b+c=3+，即△ABC的周长为3+．18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AE⊥PC于点E，EF∥CD，交PD于点F（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面PBC（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，∵AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，∵AE⊥PC，∴PC⊥平面ADE，∵PC⊂平面PBC，∴平面ADE⊥平面PBC．解：（Ⅱ）设AB=1，则PD=，PC=PA=2，由（Ⅰ）知PC⊥平面ADE，∴DE⊥PC，CE=，PE=，以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），E（0，，），F（0，0，），设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（），∵PC⊥平面ADE，∴平面ADE的一个法向量是=（0，1，﹣），设二面角D﹣AE﹣F的平面角为θ，cosθ==，∴二面角D﹣AE﹣F的余弦值为．19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450，乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99），共三个，∴乙班总分超过甲班的概率为p==．（Ⅱ）①甲班平均分为=（88+89+90+91+92+90）=90，乙班平均数为=（82+84+92+91+94+97）=90，甲班方差为S2甲=（22+12+12+22）=，乙班方差为S2乙=（82+62+22+12+42+72）=，两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，故甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴E（ξ）==2．20．已知M是直线l：x=﹣1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），准线方程为l：x=﹣1，∴点N的轨迹C的方程y2=4x；（Ⅱ）设A（，a），则A′（，﹣a），直线AP的斜率kAP==，直线AB的方程y=（x﹣2），由，整理得：ay2﹣（a2﹣8）y﹣8a=0，设B（x2，y2），则ay2=﹣8，则y2=﹣，x2=，则B（，﹣），又A′（，﹣a），∴A′B的方程为y+a=﹣（x﹣），令y=0，则x=﹣2，直线A′B与x轴交于定点T（﹣2，0），△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，∴丨OH丨=丨TP丨=2，即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．21．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不可能有2个零点；②a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，由题意得：有f（a）＜0，则0＜a＜e2；（Ⅱ）要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a﹣x1，易知x2＞a，2a﹣x1＞a，而f（x）在区间（a，+∞）递增，∴只要证明f（x2）＞f（2a﹣x1），即证f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），则g（a）=0，且区间（0，a）上，g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）=＜0，即g（x）在（0，a）递减，∴g（x1）＞g（a）=0，而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，∴x1+x2＞2a．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与y轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρcosθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=2x+2，令x=0得y=2，即M点的坐标为（0，2）．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（1，0），半径r=1，则|MC|=，|MN|≤|MC|+r=+1．∴MN的最大值为+1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|（m＞0），g（x）=2f（x）﹣f（x+m），g（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求证：f（ab）＞|a|f（）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣m|（m＞0），∴g（x）=2f（x）﹣f（x+m）=，故当x=m时，函数取最小值﹣m=﹣1，解得：m=1；（Ⅱ）证明：要证f（ab）＞|a|f（）．即证|ab﹣1|＞|a﹣b|，∵|a|＜1，|b|＜1，∴（ab﹣1）2﹣（a﹣b）2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即（ab﹣1）2＞（a﹣b）2，∴|ab﹣1|＞|a﹣b|，∴f（ab）＞|a|f（）。

山东省青岛市2017-2018届高三上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合{}21log ,1,,12xA y y x xB y y x B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A ，则A B ⋂=A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ∅2.若复数12a i i++是纯虚数，则实数a 的值为A. 2B. 12- C. 2- D. 1-3.圆()2211x y -+=和圆222440x y x y +++-=的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能4.已知函数()ln x f x e =，则函数()1y f x =+的大致图象为5.下列命题：①4k >是方程2224380x y kx y k +++++=表示圆的充要条件； ②把sin y x =的图象向右平移3π单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；③函数()sin 2036f x x ππ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在，上为增函数；④椭圆2214x y m +=的焦距为2，则实数m 的值等于5.其中正确命题的序号为A.①③④B.②③④C.②④D.② 6.若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 A.1：16 B.39：129 C.13：129 D.3：277.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C. 12D. 1-8.函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,49.有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是13，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A. 827B. 49C. 23D. 192710.已知函数()32123f x x ax bx c=+++有两个极值点1212,112x x x x -<<<<，且，则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是A. 22,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 23,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_________.12.当01a a >≠且时，函数()()log 11a f x x =-+的图像恒过点A ，若点A 在直线0mx y n -+=上，则42m n +的最小值为_________. 13.两曲线20,2x y y x x -==-所围成的图形的面积是_________. 14.若数列{}n a 的通项公式为()()()()()()*122111...11n na n N f n a a a n =∈=---+，记,试通过计算()()()1,2,3f f f 的值，推测出()f n =_________.15.已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，双曲线的一个焦c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知直线两直线121:cos 10:sin ,26l x y l y x ABC παα⎛⎫+-==+∆ ⎪⎝⎭；中，内角A ，B ，C 对边分别为,,4=a b c a c A α==，，且当时，两直线恰好相互垂直； （I ）求A 值；（II ）求b 和ABC ∆的面积17. （本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人 （I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ； （II ）现欲将90~95分数段内的n 名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（III ）在（II ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB//CD，=ADC=90∠∠oBAD====，E为BC中点，连结AE，交BD于O.22,,DC AB a DA PD（I）平面PBD⊥平面PAE（II）求二面角D PC E--的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）19. （本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a =-恰为421S b 与的等比中项，圆()(222:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N *∈，直线l 都与圆C 相切. （I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）若1n =时，{}111111111,2...,111112n n n n nc n c c b b b b --=+≥=+++++时，的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有12n n T >+20. （本小题满分13分）已知()()()221,ln 1,1g x bx cx f x x ax x g x x =++=+++=在处的切线为2y x = （I ）求,b c 的值；（II ）若()1a f x =-，求的极值；（III ）设()()()h x f x g x =-，是否存在实数(],0,,a x e ∈当（ 2.718e ≈，为自然常数）时，函数()h x 的最小值为3.21. （本小题满分14分）已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率e = F.（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==u u r u u u r u u u r u u u r ，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''++=u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，若点S 满足：OS OP OQ =+u u r u u u r u u u r ，证明：点S 在椭圆2C 上.16．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)当A α=时，直线 121:cos 10;:sin()26l x y l y x παα+-==+的斜率分别为122cos ,sin()6k A k A π=-=+，两直线相互垂直所以12(2cos )sin()16k k A A π=-+=-即1cos sin()62A A π+=可得1cos (sin cos cos sin )662A A A ππ+=211cos cos 22A A A +=11cos 212()222A A ++=1cos 2212A A ++= 即1sin(2)62A π+=…………………………4分 因为0A π<<，022A π<<，所以132666A πππ<+<所以只有5266A ππ+=所以3A π=………………………………6分 (Ⅱ)4,3a c A π===,所以2222cos 3a b c bc π=+- 即21121682b b =+-⨯所以2(2)0b -=即2b =…………………………9分 所以ABC∆的面积为11sin 42sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=12分(Ⅱ)9095 分数段内共6名毕业生,设其中男生x 名,女生为6x -名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ,则 则66223()15x C P A C -=-= 解得2x =或9(舍去)即6名毕业生中有男生2人,女生4人…………………8分 (Ⅲ) ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,所以ξ的取值可以为0,1,2当0ξ=时,34361(0)5C P C ξ===当1ξ=时,1224363(1)5C C P C ξ=== 当2ξ=时,2124361(2)5C C P C ξ=== 所以ξ的分布列为所以ξ期望为13390125555Eξ=⨯+⨯+⨯= (12)分18．（本小题满分12分） (Ⅰ) 连结BD90BAD ADC ∠=∠=,AB a DA ==,所以2BD DC BC a ===E 为BC 中点,所以,DE AD ==因为AB BE a ==,DB DB = 所以DAB ∆与DEB ∆为全等三角形 所以ADB EDB ∠=∠所以DAO ∆与DEO ∆为全等三角形所以在DAE ∆中,DO AE ⊥,即AE BD ⊥又因为PD ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面所以AE PD ⊥而BD PD D =所以AE ⊥平面PBD ………………………5分 因为AE ⊂平面PAE所以平面PAE ⊥平面PBD ……………………6分 (Ⅱ) 以O 为原点,分别以,,DA DB DP 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系如图 二面角D PC E --即二面角D PC B --AD ⊥平面DPC ,平面DPC 的法向量可设为1(1,0,0)n = (7)分设平面PBC 的法向量为2(,,1)n x y =所以2200n BC n PC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ ,而,,0),(0,2,0),)B a C a P(,,0),(0,2,)BC a PC a ==即:020ay ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,可求得21(2n = (10)分1(1,0,0)n =所以两平面DPC 与平面DBC 所成的角的余弦值为1212121cos ,||||n n n n n n ∙〈〉===12分设等比数列{}n b 的公比为q ,所以11112n n n b b q q --==51a -恰为4S 与21b 的等比中项549,16a S ==,212b q =,所以21(91)641612q -==⨯,解得12q =………………………7分所以111()2n n n b b q -==……………………8分(Ⅱ)2n ≥时,121222231111111...(1)()()22122122232n n T c c c =+++=++++++++++++ 11111...(...)21222n n n--++++++ 而2n ≥时,11111111......21222222n n n n n n nc --=+++>+++++ (10)分112(21)121222n n n n n ----+===所以12111...1 (2)22n n T c c c =+++>++++12n=+……………………………12分说明:本问也可用数学归纳法做. 20．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) '()2g x bx c =+在1x =处的切线为2y x = 所以'1()2x g x ==,即22b = 又在1x =处2y =,所以(1)2g =所以2221112b c b c +=⎧⎨⨯+⨯+=⎩,可得10b c =⎧⎨=⎩ 所以2()1g x x =+……………………………3分 (Ⅱ) 1a =-时2()ln 1f x x x x =--+,定义域为(0,)+∞2'121(1)(21)()21x x x x f x x x x x---+=--==可以看出,当1x =时,函数()f x 有极小值(1)1y f ==极小 (8)分(Ⅲ) 因为2()ln 1f x x ax x =+-+,2()1g x x =+ 所以22()()()ln 1(1)ln h x f x g x x ax x x ax x =-=+-+-+=- 假设存在实数a ，使()ln ((0,])h x ax x x e =-∈有最小值3,'1()h x a x=-…………………9分①当0a ≤时，'()0h x <，所以()h x 在(0,]e 上单调递减，min 4()()13,h x h e ae a e==-==（舍去）… …………10分②当0a >时,1()a x a x- (i)当10a e <≤时,1e a≥，'()0h x <在(0,]e 上恒成立所以()h x 在(0,]e 上单调递减，min 4()()13,h x h e ae a e==-==（舍去）……11分(ii)当1a e>时, 10e a<<，当10x a<<时,'()0h x <所以()h x 在1(0,)a上递减当1x e a<<时'()0h x >,()h x 在1(,)e a上递增所以, min 1()()1ln 3h x h a a==+= …………12分所以2a e =满足条件, 综上，存在2a e =使(0,]x e ∈时()h x 有最小值3 (13)分所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*) (5)分由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-=得: 1212,11x xx x λμ==--……………………………………7分所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++ (9)分(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ∙+∙+=得21P Q P Q x x y y +=-(1)…………………………………11分2212P P y x +=,(2) 2212Q Q y x +=(3) (1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程命题得证………………………………………………………14分。

2017-2018学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面2．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2 B．4 C．8 D．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，84．下列关于直线l，m与平面α，β的中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．函数f（x）=x2e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e28．下列错误的是（）A．“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假，则p，q均为假C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”9．已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）10．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和e a f（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（）A．f（a）≥e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）≤e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸横线上）11．将参加夏令营的编号为1，2，3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．12．（5分）（2014黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为．13．在函数y=x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是．14．（5分）（2010盐城三模）若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为．15．下列四个关于圆锥曲线的：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．其中正确的是．（填上你认为正确的所有序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015秋青岛校级期末）设p：方程+=1表示的图象是双曲线；q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真时，实数m的取值范围．17．（12分）（2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．18．（12分）（2015秋青岛校级期末）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．19．（12分）（2012大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．20．（13分）（2015秋青岛校级期末）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x 轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk﹣2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21．（14分）（2015秋青岛校级期末）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．2015-2016学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面【分析】利用互斥事件的定义：即在任何一次试验中不会同时发生的事件，即可判断出．【解答】解：对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件；故选：D．【点评】本题正确理解互斥事件的定义是解题的关键．2．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2 B．4 C．8 D．【分析】由双曲线的标准方程求出其右焦点，从而得到抛物线的焦点坐标，进行求出P的值．【解答】解：∵双曲线的右焦点为（4，0），∴抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是（4，0），∴．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，8【分析】根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．【解答】解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，86，84，87，所以所剩数据的平均数为（84+84+86+84+87）=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]==1.6．故答案为C【点评】解决此类问题的根据是熟练掌握均值与方差的计算公式，并且要结合正确的计算．4．下列关于直线l，m与平面α，β的中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α【分析】对于A，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于D，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于A，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以A错；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；B正确对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以C错对于D，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以D错故答案为 B【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线【分析】利用sinθ值的范围，求得2sinθ+3与sinθ﹣2的范围，结合标准形式判断曲线的形状．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，∴2sinθ+3＞0．sinθ﹣2＜0，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键．6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．函数f（x）=x2e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e2【分析】求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值．【解答】解：f′（x）=xe x+1（x+2）令f′（x）=0得x=﹣2或x=0当f′（x）＞0时，x＜﹣2或x＞0；当f′（x）＜0时，﹣2＜x＜0当x=﹣2时f（﹣2）=；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2所以函数的最大值为e2故选C【点评】利用导数求函数的最值时，求出函数的极值及端点值，选出最值即可．8．下列错误的是（）A．“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假，则p，q均为假C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”【分析】根据复合p∧q的真假与p，q真假关系选出答案．【解答】解：∵当p、q中有一个是假则p∧q为假；当p、q中两个都是真时则为真；∴若p∧q为假，则p，q均为假是错误的．故选B．【点评】本题考查复合的真假与构成其简单真假的关系，属于一道基础题．9．已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）【分析】先由函数求导，再由“函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增”转化为“f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立”即﹣≥0在区间[1，+∞）内恒成立，再令t=∈（0，1]转化为：在区间（0，1]内恒成立，用二次函数法求其最值研究结果．【解答】解：∵函数，其中a为大于零∴f′（x）=﹣∵函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立，∴﹣≥0在区间[1，+∞）内恒成立，令t=∈（0，1]∴在区间（0，1]内恒成立，∴∴a≥1故选C【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．10．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和e a f（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（）A．f（a）≥e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）≤e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究其单调性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）为单调增函数，最后由a＞0，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）=＞0∴函数g（x）为R上的增函数∵a≥0，∴g（a）≥g（0）即＞，∴f（a）≥e a f（0），故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恰当的构造函数，并能利用导数研究其性质是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸横线上）11．将参加夏令营的编号为1，2，3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是19．【分析】求得系统采用的分段间隔为=13，根据第一个取号为6号可得其他取号．【解答】解：系统采用的分段间隔为=13，由第一个取号为6号得，第二个至第四个取号分别是19号，32号，45号，则样本中还有一名学生的编号是19，故答案为：19．【点评】本题考查了系统采用的特征，求得系统抽样的分段间隔是关键．12．（5分）（2014黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为 ﹣ ．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到不满足条件输出s 结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到s=cos ，不满足n ≥3，n=2，执行第二次循环得到s=cos cos ，不满足n ≥3，n=3，执行第三次循环得到s=cos cos cos ，满足判断框的条件执行“否”输出S=cos cos cos．又s=coscoscos =××（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．13．在函数y=x 3﹣8x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是0 ．【分析】求出函数的导数，运用直线的斜率公式，解不等式即可判断整数点的个数．【解答】解：函数y=x 3﹣8x 的导数为y ′=3x 2﹣8， 设切线的倾斜角为α，即有切线的斜率k=tan α∈[0，1），即有0≤3x 2﹣8＜1，解得﹣＜x ≤﹣或≤x ＜，由坐标为整数，可得x ∈∅，故答案为：0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查判断能力，属于中档题．14．（5分）（2010盐城三模）若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出的否定，再用恒成立来求解【解答】解：“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．15．下列四个关于圆锥曲线的：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．其中正确的是②④．（填上你认为正确的所有序号）【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3＜4，则动点P的轨迹不存在，故不正确；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长，正确；③双曲线的焦点是（±5，0），椭圆的焦点是（±，0），故不正确；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015秋青岛校级期末）设p：方程+=1表示的图象是双曲线；q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真时，实数m的取值范围．【分析】根据复合真假的判断，可得p和q都是真．再根据双曲线方程的形式和二次函数的图象与性质，分别解出p为真和q为真时m的取值范围，最后取交集即可得到本题答案．【解答】解：∵“p且q”为真，∴p和q都是真∵p：方程+=1表示的图象是双曲线，p是真∴（1﹣2m）（m+4）＜0，解之得m＜﹣4或m＞又∵q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0，q是真∴△=4m2﹣12（m+6）＞0，解之得m＜﹣3或m＞6因此，使“p且q”为真时的m的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）．【点评】本题以真假的判断为载体，求实数m的取值范围，着重考查了双曲线的标准方程和二次函数的图象与性质等知识点，属于基础题．17．（12分）（2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【分析】（I）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出n、a、p的值．（II）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，∴高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，∴．由题可知，第二组的频率为0.3，∴第二组的人数为1000×0.3=300，∴．第四组的频率为0.03×5=0.15，∴第四组的人数为1000×0.15=150，∴a=150×0.4=60．（Ⅱ）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．18．（12分）（2015秋青岛校级期末）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．【分析】（1）根据椭圆的定义求出a，b，即可求椭圆的方程（2）求出圆心坐标，根据点的对称性，利用作差法求出直线斜率即可求出直线方程．【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，即a=3，且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=解得c2=，∴b2=9﹣=，故椭圆的方程为，（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，圆心M（﹣2，1），∵A，B关于M对称，∴，即，∵A，B都在椭圆上，∴，两式相减得，即，即直线AB的斜率k=，∴直线方程为y﹣1=（x+2），即56x﹣81y+193=0．【点评】本题主要考查椭圆的方程和性质，利用对称性结合作差法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．19．（12分）（2012大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【分析】解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）先证明A1C⊥B1C1．再证明A1C⊥平面AB1C1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设点C1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解法二：如图建系O﹣xyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）通过，证明AB1⊥A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（4分）（Ⅱ）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1．（6分）又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵，即d．（10分）又∵在△AA1B1中，，∴S△AA1B1=．∴，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．（12分）解法二：如图建系O ﹣xyz ，，，C 1（0，1，0），B 1（2，1，0），．（2分）（Ⅰ）∵=，，∴，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，∴OE ∥平面AB 1C 1．（6分）（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，∵，设平面AA 1B 1的一个法向量是则即不妨令x=1，可得，（10分）∴，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．（12分）【点评】本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．20．（13分）（2015秋青岛校级期末）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x 轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk﹣2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义和点在抛物线上满足的条件即可得出；（Ⅱ）由题意可知：过点P（t，t2）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y﹣t2=k（x﹣t），即可求出点M的坐标，把直线PQ的方程与抛物线的方程联立即可得出点Q的坐标．由QN⊥QP，即可得出直线QN的方程，与抛物线方程联立即可得出点N的坐标，利用导数和斜率的计算公式即可得出直线MN两种形式的斜率，化简即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）可得抛物线的准线方程为，由题意可得，解得．∴抛物线的方程为x2=y．把点A（a，4）代入此方程得a2=4，解得a=±2．∴a=±2，．（Ⅱ）由题意可知：过点P（t，t2）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y﹣t2=k（x﹣t），当y=0时，，∴M ．联立消去y 得（x ﹣t ）[x ﹣（k ﹣t ）]=0， 解得x=t ，或x=k ﹣t ．∴Q （k ﹣t ，（k ﹣t ）2），∵QN ⊥QP ，∴，∴直线NQ ：，联立，消去y 化为，解得x=k ﹣t ，或．∴N，∴抛物线在点N 处的切线的斜率为=，另一方面k MN =，∴，∵，∴，化为k 2+tk ﹣2t 2=﹣1为定值．【点评】熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立即可得到交点的坐标、导数的几何意义与切线的斜率关系、斜率的计算公式设解题的关键．21．（14分）（2015秋青岛校级期末）已知函数f （x ）=lnx+x 2﹣ax （a 为常数）．（1）若x=1是函数f （x ）的一个极值点，求a 的值；（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】求导f′（x）=+2x﹣a，（1）由题意得，f′（1）=1+2﹣a=0从而解得a=3，检验即可；（2）当a∈（1，2），f′（x）=＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，求最大值，化对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4﹣2a＞mlna恒成立；从而得m＜恒成立，令g（a）=，（1＜a＜2）；求函数的最小值即可．【解答】解：f′（x）=+2x﹣a，（1）由题意得，f′（1）=1+2﹣a=0，解得，a=3；经检验，x=1是函数f（x）的一个极小值点；（2）当a∈（1，2），f′（x）=＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，故f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=ln2+4﹣2a；故对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立可化为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4﹣2a＞mlna恒成立；即m＜恒成立；令g（a）=，（1＜a＜2）；则g′（a）=，令M（a）=﹣2alna+2a﹣4﹣ln2，则M′（a）=﹣2lna＜0，则M（a）在（1，2）上是减函数，M（a）＜M（1）=2﹣4﹣ln2＜0，故g′（a）＜0；则g（a）=在（1，2）上是减函数，故m≤g（2）=1，故实数m的取值范围为：m≤1．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．。