2019年北京市西城区高三理科数学期末试题及答案

北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则AB =（ ）（A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b = ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____ 10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ． 若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上． 若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．………………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =， ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C =⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+ ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分 433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分 设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分 （Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。

北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么A. 2，B. 0，C.D.【答案】B【解析】解：集合，，0，．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在等比数列中，若，，则A. 10B. 16C. 24D. 32【答案】D【解析】解：等比数列中，若，，则，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，．可知其最长棱长为．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.在极坐标系中，点到直线的距离等于A. 1B. 2C. 3D.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点，，，点P的直角坐标方程为，直线，直线的直角坐标方程为，点到直线的距离．故选：A．求出点P的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，由此能求出点到直线的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点，点B在圆上，则的最大值为A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】解：，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6.设M，，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当，则为减函数，又，所以，可得，即“”是“”的充分条件，由“”不能推出“”，故由“”不能推出“”，即“”是“”的不必要条件，即即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．由，则为减函数，可得“”的充要条件为：，再判断即可．本题考查了对数函数的增减性及充分必要条件，属简单题．7.已知函数，，则A. 曲线不是轴对称图形B. 曲线是中心对称图形C. 函数是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，为轴对称图形，且其中一条对称轴为，，为轴对称图形，且其对称轴为，故是轴对称图形，且其对称轴为，A错误；对于B，，不是中心对称图形，则曲线不是中心对称图形，B错误；对于C，不是周期函数，不是周期函数，C错误；对于D，，当时，取得最小值，而，当时，取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的对称性、周期性和最值，关键掌握函数的性质，属于基础题．8.一个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对【答案】C【解析】解：由下图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌．故选：C．由右图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，由此能这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成“L”形骨牌的块数．本题考查满足条件的“L”形骨牌个数的求法，考查简单的计数问题等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数z满足方程，则______．【答案】【解析】解：由，得，则．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.已知角的终边经过点，则______；______．【答案】【解析】解：角的终边经过点，则；，故答案为：；．利用意角的三角函数的定义，诱导公式，求得所求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出数据的总个数为______．【答案】6【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，，输出n的值为3，满足条件，执行循环体，，输出n的值为7，满足条件，执行循环体，，输出n的值为15，满足条件，执行循环体，，输出n的值为31，满足条件，执行循环体，，输出n的值为63，满足条件，执行循环体，，输出n的值为127，此时，不满足条件，退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故答案为：6．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设x，y满足约束条件则的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据x，y满足约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：．则的取值范围是．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．13.能说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：可举函数，可得，，即有，但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题．故答案为：．可考虑函数，计算，但在内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．14.设双曲线：的左焦点为F，右顶点为若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解：双曲线：的左焦点为，右顶点为设，可得：，推出，，，，可得，，如图：当：时，在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，故答案为：．设出P的坐标，求出双曲线：的左焦点为F，右顶点为利用推出的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，，，．Ⅰ求的值；Ⅱ试比较与的大小．【答案】本题满分为13分解：Ⅰ，，．由正弦定理可得：，分；分Ⅱ，，可得：，分，，分，分，，分，又函数在上单调递减，且B，，分【解析】Ⅰ由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，进而可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值，由于，根据余弦函数的图象和性质可求．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别是，AC的中点，平面BCM．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求证：平面BCM；Ⅲ若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面BCM，平面BCM，，正方形，，，平面，平面，平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，，N分别是，AC的中点，，且，又，，，，四边形为平行四边形，，平面BCM，平面BCM，平面BCM．解：Ⅲ由Ⅰ知BA，BM，BC两两互相垂直，以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，是边长为2的菱形，M为的中点，且，，0，，0，，，0，，，，，0，，，0，，，设平面的法向量y，，则，令，则，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面BCM．Ⅲ以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下面表，其中．Ⅰ现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；Ⅱ为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【答案】解：Ⅰ由，解得，所以甲企业的样本中次品的频率为，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是；Ⅱ由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；且，，，，，随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；以产品的合格率非次品的占有率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，由图表可知，甲企业产品的合格率约为，乙企业产品的合格率约为，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以认为乙企业的食品生产质量更高．以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为，乙企业产品中一等品的概率约为，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．根据第Ⅱ问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．【解析】Ⅰ由频率和为1列方程求出a的值，再计算甲企业的样本中次品的频率；Ⅱ由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，可以参考产品的合格率为标准，以产品次品率为标准，以产品中一等品的概率为标准，根据第Ⅱ问的定价为标准等．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，是中档题．18.已知函数，其中．Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；Ⅱ若，证明：；Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．【答案】解：求导得曲线与x轴相切，此切线的斜率为0．由，解得，又由曲线与x轴相切，得解得．证明由题意，，令函数求导，得由，得，当x变化时，与的变化情况如下表所示：函数在上单调递增，在单调递减，故当时，，任给，，即，Ⅲ由题意可得，，，当时，在上恒成立，函数单调递增，当时，在上恒成立，函数单调递减，在上恒成立，或在上恒成立，在上恒成立，或在上恒成立，令，，由，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，，或，或，函数在区间上不是单调函数，，故a的取值范围为．【解析】Ⅰ先求导，再根据导数的几何意义即可求出，Ⅱ构造函数，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明Ⅲ先求出函数在上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．Ⅰ若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；Ⅱ设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，，椭圆的方程为，设，由点P在椭圆C的内部，得，又，直线AM的斜率，又M为椭圆C上异于A，B的一点，，，证明Ⅱ由题意，，其中，则，直线AM的方程为，令，得点P的坐标为，，直线AQ的方程为，令，得点Q的坐标为，由，，，，即，故为定值【解析】Ⅰ根据题意可得得，由，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，Ⅱ题意，，可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，即可证明．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.设正整数数列A：，，，满足，其中如果存在3，，，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k 阶平衡数列”．Ⅰ判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？Ⅱ若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，，．Ⅲ如果，且对于任意3，，，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．【答案】解：Ⅰ由不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；Ⅱ证明：若N为偶数，设，考虑1，2，3，，k这k项，其和为．所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；这k项，其和为，所以这k项的算术平均数为：，此数不是整数；故数列A，1，2，3，4，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，4，；Ⅲ在数列A中任意两项，，，对于任意3，4，5，，，在A中任意取两项，，相异的项，并设这项和为由题意可得，都是k的倍数，即，，q为整数，可得，即数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，，的倍数，如果数列A的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数，，即，这与矛盾，故数列A的项数至多7项．数列A的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数，又，且，所以，，，，所以当且仅当，取得最大值12873；验证可得此数列为“k阶平衡数列”，3，，，如果数列的项数小于或等于6，由，可得数列中所有项的之和小于或等于，综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873．【解析】Ⅰ由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；Ⅱ讨论k为偶数或奇数，结合新定义即可得证；Ⅲ在数列A中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，讨论数列A的项数超过8，推得数列A的项数至多7项讨论数列A的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．。

高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-110．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；侧(左)视图（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；甲组乙组 890 1 a822 F BCEAHD（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区20xx — 第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分（Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……………… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BDEF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量(0,AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由33(,)222DH =， 得32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n .………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． (2)分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2ex ax x -=， 显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. (9)分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. (11)分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以OD 42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当15k ±=OD有最小值5. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. .................. 1分 所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î，所以 11n n a a qN -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被kr 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =（A ）{0,2,4} （B ）{2,0,2}- （C ）{0,2}（D ）{2,2}-2．在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7a = （A ）10（B ）16（C ）24（D ）323．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为 （A（B（C）（D4．在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D5. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为（A ）3 （B）1（C）2+（D ）4侧(左)视图正(主)视图俯视图国际象棋棋盘6. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则 （A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形 （B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形（C ）函数()()y f x g x =是周期函数 （D ）函数()()f x y g x =最大值为478. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则（A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌 （D ）前三个答案都不对第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数z 满足方程1i i z -⋅=，则z =____．10．已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____．11．执行如图所示的程序框图，若输入的1m=，则输出数据的总个数为____．12．设x，y满足约束条件230,3,20,x yx yx y-+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤0≥则的取值范围是____．13. 能说明“若定义在R上的函数满足(0)(2)0f f>，则在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．14．设双曲线的左焦点为F，右顶点为. 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P使得=PF PAλ⋅成立，则实数λ的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC∆中，3a=，b=2B A=．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM ．（Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：1//A N 平面BCM ；（Ⅲ）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N与平面1MCC 所成角的正弦值．B 1AMBA 1CC 1N17．（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a ）.0.080甲企业乙企业（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P . （Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ∠为定值.设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：满足i j a a <，其中1i j N<≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈，数列均为“k阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.AA。

北京市西城区2019届第一学期高三理科数学试题理科数学试题一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分）1.如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A. 34i --B. 54i +C. 54i -D. 34i -2.当向量(2,2)a c ==-v v ，(1,0)b =v 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A. 5B. 4C. 3D. 23.数列{}n a 的前n 项和n S ，若121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，则13a a +的值为（ ）．A. 1B. 3C. 5D. 64.“0x >”是“sin 0x x +>”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 326.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>7.已知11,1,()ln ,01,x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（ ）．A. (,1)(1,)-∞-+∞UB. (1,1)-C. [0,1]D. (,1][0,1]-∞-U 8.已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上，⊙A 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M ，若线段OM ，⊙A 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点A ，B ，C ，D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）．A. 曲线P 上不存在”完美点”B. 曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C. 曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 D. 曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.若双曲线221y x m +=的一条渐近线的倾斜角为60︒，则m =__________． 10.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin 4B =，则a =__________，ABC S =V __________． 11.已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l P ，则实数a =__________．12.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．13.如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．14.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P ． （1）下列函数中具有性质P 的有__________．①()2f x x =-+ ②()sin ([0,2π])f x x x =∈ ③1(),((0,))f x x x x-+∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15.函数f(x)＝cos(πx＋φ)02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求函数g(x)在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局得分情况如下：的（⊙）若从甲4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率．（⊙）如果7x y -=，从甲、乙两人4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x ，求x 的分布列和数学期望．（⊙）在4局比赛中，若甲、乙两人平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形， AD BC P ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（⊙）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF P 平面PAB ； （⊙）求二面角B PD A --的大小；（⊙）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由． 18.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）．（⊙）若1x =为()f x 的极值点，求实数a 的取值范围．（⊙）讨论函数()f x 在[1,]e 上的单调性． （⊙）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．，Ⅰ）求椭圆的方程．，Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．的的，Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20.设函数21()51623f x x x =++，L 为曲线:()C y f x =在点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线． （⊙）求L 的方程．（⊙）当15x <-时，证明：除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方． （⊙）设1x ，2x ，3x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值．。

高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx —第一学期期末试卷高三数学（理科）20xx.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x ，1{|||}B x x ≤，则集合AB（）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若3a ，2b ，1cos()3AB ，则c（）（A ）4（B ）15（C ）3（D ）172．已知复数z 满足2i =1iz ，那么z 的虚部为（）（A ）1（B ）i（C ）1（D ）i4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34（B ）45（C ）56（D ）16．若曲线221axby为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b （B ）11ab （C ）0ab （D ）0ba7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x ，且当(0,1]x时，2()f x xx ，则当[2,1]x时，()f x 的最小值为（）（A ）116（B ）18（C ）14（D ）05．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧?AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）（A ）22y x =+-（B ）112y x =+-（C ）22y x =-+（D ）12y x =+-i=1，S=0开始1(1)SSi i i=i+15i ≥输出S 结束否是8. 如图，正方体1111ABCDA BC D 的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BPx ，则当[1,5]x时，函数()y f x 的值域为（）（A ）[26,66]（B ）[26,18]（C ）[36,18]（D ）[36,66]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k ，若向量OA AB ，则实数k_____．10．若等差数列{}n a 满足112a ，465a a ，则公差d______；24620a a a a ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）ABA 1B 1DC D 1C 1P侧(左)视图213．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA，3BC ，则PB______；AC AB______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2xy x y xy ≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T vxy的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v .（1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()3cos f x x ，π()sin()(0)3g x x，且()g x 的最小正周期为π. （Ⅰ）若6()2f ，[π,π]，求的值；（Ⅱ）求函数()()yf xg x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；APB CO .（Ⅲ）当2a 时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角HBDC 的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a ，其中e 是自然对数的底数，a R .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a时，试确定函数2()()g x f x a x 的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W yx 上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐甲组乙组8 91a8 22FB CEAHD标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2）,记[]n n b a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q .（Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N**挝.北京市西城区20xx —第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B5．A 6．C 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．410．125511．2312．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x的最小正周期为π，所以2||ω，解得2ω．………………3分由6()2f，得63cos22，即2cos22，………………4分所以π22π4k，k Z.因为[π,π]，所以7πππ7π{,,,}8888. ………………6分（Ⅱ）解：函数π()()3cos2sin(2)3yf xg x x x ππ3cos2sin 2cos cos 2sin33x x x ………………8分13sin 2cos222xxπsin(2)3x，………………10分由2πππ2π2π232k k x≤≤，………………11分解得5ππππ1212k k x ≤≤．………………12分所以函数()()y f x g x 的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k kZ ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得11(889292)[9091(90)]33a ，………………2分解得1a .………………3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，………………4分依题意0,1,2,,9a ，共有10种可能. ………………5分由（Ⅰ）可知，当1a时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ．……………… 7分（Ⅲ）解：当2a时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，………………9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分因此2(0)9P X，2(1)9P X ，1(2)3P X，1(3)9P X ，1(4)9P X .……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：X 01234P2929131919………………12分所以X 的数学期望221115()1234993993E X ．……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD .………………1分因为平面BDEF 平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以ED 平面ABCD ，………………2分又因为AC 平面ABCD ，所以ED AC . ………………3分因为ED BDD ，所以AC平面BDEF .………………4分（Ⅱ）解：设AC BD O ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，又因为ED平面ABCD ，所以ON 平面ABCD ，由ACBD ，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系.………………5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD，3BF，所以(0,3,0)A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D ，(1,0,3)E ，FEzN(1,0,3)F ，(0,3,0)C ，133(,,)222H .………………6分因为AC 平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量(0,23,0)AC . …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为，由333(,,)222DH，得3332307222sin |cos ,|721232DH AC DH AC DH AC，所以直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值为77. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得133(,,)222BH，(2,0,0)DB.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z n，所以0,0,BH DBn n ………………10分即1111330,20,x y z x 令11z ，得(0,3,1)n.………………11分由ED平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED，则00(3)01(3)1cos ,232ED EDEDn n n .………………13分由图可知二面角H BD C 为锐角，所以二面角HBDC 的大小为60.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a ，xR ，所以()(1)e xf x xa ．………………2分令()0f x ，得1xa ．………………3分当x 变化时，()f x 和()f x 的变化情况如下：x(,1)a 1a (1,)a ()f x 0()f x ↘↗………………5分故()f x 的单调减区间为(,1)a ；单调增区间为(1,)a ．…………6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点.………………7分理由如下：由2()()0g x f x a x，得方程2ex ax x ，显然0x 为此方程的一个实数解.所以0x 是函数()g x 的一个零点. ………………9分当0x 时，方程可化简为e xax .设函数()ex aF x x ，则()e1x aF x ，令()0F x ，得xa ．当x 变化时，()F x 和()F x 的变化情况如下：x(,)a a(,)a ()F x 0()F x ↘↗即()F x 的单调增区间为(,)a ；单调减区间为(,)a ．所以()F x 的最小值min()()1F x F a a .………………11分因为1a ，所以min()()10F x F a a ，所以对于任意xR ，()0F x ，因此方程e x ax 无实数解．所以当0x时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x 的焦点为1(0,)4.………………1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x ，………………2分令0x ，得1y k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k .………………3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以114k ，解得34k.………………5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x yx 消去y ，得210xkx k ，由韦达定理，得11x k ，所以11x k .………………7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k ，211x k.………………8分对函数2y x 求导，得2y x ，所以抛物线2yx 在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y xx x x ，即2112y x x x.………………9分同理，抛物线2y x 在点C 处的切线CD 的方程为2222yx xx .………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x yx x x 解得12311(2)22x x x kk ，3121y x x k k，所以点D 的坐标为111((2),)2kk kk.………………11分因此点D 在定直线220xy 上.………………12分因为点O 到直线220x y 的距离22|2002|25521d，所以255OD ≥，当且仅当点42(,)55D 时等号成立．………………13分由3125y kk，得1265k，验证知符合题意.所以当1265k时，OD 有最小值255. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<.………………1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==.………………2分即,6,2,4,17,3.nnnT n ≥………………3分（Ⅱ）证明：因为201421()nT n n ≤，所以113b T ==，120142(2)n nnb T T n ≤≤.………………4分因为[]n n b a =，所以1[3,4)a ，2014[2,3)(2)n a n ≤≤.………………5分由21a qa ，得1q.………………6分因为201220142[2,3)a a q ，所以20122223qa ≥，所以2012213q ，即120122()13q .………………8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N*?，q N *?，所以11n n a a qN-*=?，所以[]n n n b a a ==对一切正整数n 都成立.因为12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以n n S T =.………………9分（必要性）因为对于任意的n N *?，n n S T =，当1n时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n nn a S S ，1n n n b T T ，得n n a b .所以对一切正整数n 都有nn a b .由n b Z ?，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N*?，………………10分所以公比21a qa 为正有理数.………………11分假设q N *?，令p q r=，其中,,1p r rN *?，且p 与r 的最大公约数为1.因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N ?，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r 整除.又因为111211k k kk a p a a qr，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +?，这与n a N *?（n N *?）矛盾. 所以q N . 因此1a N *?，qN .……………13分。

北京西城区2019年高中数学度末考试高一数学2016.1试卷总分值：150分考试时刻：120分钟A卷[必修模块4]本卷总分值：100分【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把【答案】填在题中横线上. 11.sin45π=﹏﹏﹏﹏﹏. 12.如下图，D 为ABC △中BC 边旳中点，设AB =a ，AC =b ， 那么BD =﹏﹏﹏﹏﹏.〔用a ，b 表示〕13.角α终边上一点旳坐标为(1,2)，那么tan 2α=﹏﹏﹏﹏﹏. 14.设向量(0,2),a b ==，那么,a b 旳夹角等于﹏﹏﹏﹏﹏. 15.(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，那么α=﹏﹏﹏﹏﹏. 16.函数()sin f x x ω=〔其中0ω>〕图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增， 那么ω旳值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【三】解答题：本大题共3小题，共36分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、〔本小题总分值12分〕2απ∈π(,)，且3sin 5α=.〔Ⅰ〕求tan()4απ-旳值； 〔Ⅱ〕求sin2cos 1cos 2ααα-+旳值、18、〔本小题总分值12分〕如下图，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+〔0>A 〕图象上相邻旳两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴旳一个交点.〔Ⅰ〕假设2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上旳值域； 〔Ⅱ〕假设CD BD ⊥，求A 旳值、 19、〔本小题总分值12分〕如图，在ABC △中，1AB AC ==，BAC ∠=〔Ⅰ〕求AB BC ⋅旳值； 〔Ⅱ〕设点P 在以A 为圆心，AB 为半径旳圆弧BC 且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R .求xy 旳最大值B 卷[学期综合]本卷总分值：50分ABCD【一】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把【答案】填在题中横线上.1、设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，那么U A B =ð﹏﹏﹏﹏﹏、2、2log =﹏﹏﹏﹏﹏，31log 23+=﹏﹏﹏﹏﹏、3、函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，那么实数a =﹏﹏﹏﹏﹏、4、函数)(x f 是定义在R 上旳减函数，假如()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 旳取值范围是﹏﹏﹏﹏﹏、5、通过实验数据可知，某液体旳蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境旳温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=〔e 为自然对数旳底数，,k b 为常数).假设该液体在0℃旳蒸发速度是0.1升/小时，在30℃旳蒸发速度为0.8升/小时，那么该液体在20℃旳蒸发速度为﹏﹏﹏﹏﹏升/小时、【二】解答题：本大题共3小题，共30分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6、〔本小题总分值10分〕函数26()1xf x x =+. 〔Ⅰ〕推断函数)(x f 旳奇偶性，并证明你旳结论；〔Ⅱ〕求满足不等式(2)2x x f >旳实数x 旳取值范围、 7、〔本小题总分值10分〕设a 为实数，函数2()2f x x ax =-、〔Ⅰ〕当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上旳值域；〔Ⅱ〕设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上旳最大值，求()t a 旳最小值. 8、〔本小题总分值10分〕设函数()f x 定义域为[0,1]，假设()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，那么称*x 为函数()f x 旳峰点，()f x 为含峰函数、〔专门地，假设()f x 在[0,1]上单调递增或递减，那么峰点为1或0〕关于不易直截了当求出峰点*x 旳含峰函数，可通过做试验旳方法给出*x 旳近似值.试验原理为：“对任意旳1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，假设)()(21x f x f ≥，那么),0(2x 为含峰区间，现在称1x 为近似峰点；假设12()()f x f x <，那么)1,(1x 为含峰区间，现在称2x 为近似峰点”、我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．旳最大距离称为试验旳“可能误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---〔其中},max{y x 表示y x ,中较大旳数〕、 〔Ⅰ〕假设411=x ，212=x 、求此试验旳可能误差d 、〔Ⅱ〕如何选取1x 、2x ，才能使那个试验方案旳可能误差达到最小？并证明你旳结论〔只证明1x 旳取值即可〕、 〔Ⅲ〕选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，能够确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x .在所得旳含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地能够进一步得到一个新旳可能误差d '、分别求出当411=x 和125x =时可能误差d '旳最小值、〔本问只写结果，不必证明〕。

高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π=（B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A （B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8)（B ）(4,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．（C ）(0,4) （D ）(8,)+?13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.B CDA B 1C 1E FA 1 D 119．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区20xx — 第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角， 所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s -=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0).…………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =,2c , ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠，……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。