高三理科数学上学期期末测评试卷及答案

高三上册数学理科期末试题及答案第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。

1.已知平面向量，，且，则实数的值为A.B.C.D.2.设集合，，若，则实数的值为A.B.C.D.3.已知直线平面,直线,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.定义：.若复数满足，则等于A.B.C.D.5.函数在处的切线方程是A.B.C.D.6.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A.B.C.D.7.若函数的图象(部分)如图所示，则和的取值是A.B.C.D.8.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是A.B.C.D.9.已知，若方程存在三个不等的实根，则的取值范围是A.B.C.D.10.已知集合,。

若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是A.0B.1C.2D.无数个第二卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上.11.已知随机变量，若，则等于******.12.某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是******.13.已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率******.14.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为******.15.已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是******.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题满分13分)在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)证明：.17.(本小题满分13分)已知向量(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)求由的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积。

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524D ．2524-2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=nym xA n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．0.3B ．0.6C ．0.75D ．0.96．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)s i n ()c o s (021s i n c o s 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知双曲线1422=-xy，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=. 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b c o s )2(c o s -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x 轴于点A ，且.221AF AF =（Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案B C A D C B C A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－912．4π13．π48+，122- 14．92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==ac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴kk ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,ON OM OQ +=2,)2,(),(0000y y x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y yx y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y yx…………………………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分注：多端点时，合计扣1分.17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB ，11A A C C BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A A C C AM 面⊆ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11 ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可 知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ²AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅21211=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBC BOC .︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分A B C M A B M C V V --= ………………………………………………………………11分 A B C A B MS MC hS∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆A B MA B CS S MC h∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1） 1BA AM ⊥ .01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB m AM m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分 显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m CB m CB m易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）所求距离为：2263||==⋅m CB m即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f …………………………2分由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f 定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞） 1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分0202,20>->-∴<<aa a a 且由0)('>x g 得aa x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a上单调递增；由0)('<x g 得aa x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛--a a2,1上单调递减…………8分 ①时 )(,320x g a a<-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ； (2)30<<a …10分②当)(,32,223x g aa a ≥-<≤时在（0，3）上单调递减，∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF = 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+yx……………………………………………………5分（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==abDE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kkx x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-kkx x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||kk x x kDE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kkkkMN ++=-++-=………………………………10分所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kkkk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=kkkk ，…………………………………12分 令uuu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分 .3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤-- （1）当n =1时，331314)1()31(+=+===f f ，不等式成立；（2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-kkkkkkkkkk f f f f f f f得≤)31(3kf 9316)31(11+≤+--k k f331)31(+≤∴kkf即当n=k+1时，不等式成立. 由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kkf 对一切正整数都成立.于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n nn nf x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n nf f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n……………………………………13分。

四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。

考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。

山东省聊城一中—上学期高三年级期末综合测试数 学 试 题（理）一.选择题（12⨯5=60）1. 设全集是(){}(){},2|,,,|,+==∈=x y y x A R y x y x U (),124|,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x y y x B 则=B C A U( )A. φB. (2,4)C. BD.(){}4,22. 函数()2)1(22+-+=x a x x f 在区间(4,∞-)上是减函数,那么实数a 的取值范围是( )A. )[+∞,3B. (]3,-∞-C. {}3-D. (5,∞-)3. 已知不等式012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21,则不等式02<--a bx x 的解集是 ( ) A. (2,3)B. ()(),32,+∞∞-C. (21,31)D. () ⎝⎛∞+⎪⎭⎫∞-,2131,4. 关于函数),(33)(R x x f xx ∈-=-下列三个结论正确的是 ( )(1) )(x f 的值域为R; (2) )(x f 是R 上的增函数;(3) 0)()(,=+-∈∀x f x f R x 成立.A. (1)(2)(3)B. (1)(3)C. (1)(2)D. (2)(3)5. 若数列{}n a 满足),0(*N n q q a n n ∈>=,以下命题正确的是( )(1) {}n a 2是等比数列; (2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列;(3) {}n a lg 是等差数列; (4) {}2lg n a 是等差数列;A. (1)(3)B. (3)(4)C. (1)(2)(3)(4)D.(2)(3)(4) 6. 已知=+++=)2007()2()1(,3sin)(f f f n n f π( )A.3 B.23 C. 0 D. --237. 设βα,为钝角，=+-==βαβα,10103cos ,55sin （ ）A ．π43 B. π45 C. π47 D. π45或π478. 已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π,则该函数图象( )A. 关于点)0,3(π对称; B. 关于直线4π=x 对称; C. 关于点)0,4(π对称; D. 关于直线3π=x 对称;9. 已知向量,夹角为︒60=-⊥+==m m ),()53(,23 ( ) A.2332B. 4229C. 4223D. 294210. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<-1)1(log ,2222x x 的解集为( )A. )3,0(B. )2,3(C. )4,3(D. (2,4) 11. 已知点A(2,3),B(--3,--2).若直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k的取值范围是 ( ) A. 43≥k B. 243≤≤k C. 2≥k 或43≤k D. 2≤k 12. 设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点。

高三上学期期末考试数学（理科）试卷一、选择题（请将每小题唯一正确的答案涂在答题卡上相应的位置。

每小题5分，共50分）1．若复数)(13R x ii x z ∈-+=是实数，则x 的值为 A. 3- B. 3 C. 0 D.32．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线22154y x -=的一个焦点重合， 则该抛物线的标准方程可能是A ．x 2 = 4yB ．x 2 = – 4yC ．y 2 = –12xD ．x 2 = –12y3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 5)πB 5)πC ．6πD 6)π4.中美朝韩“四方”会谈后，俄日两国也参与协调，现有六国外长与会后合影，其中朝韩两国外长表示友好意愿而相邻排列，但不与日本外长相邻，试问有多少种不同的排列顺序（ ）A. 240B. 144C.72D.1205．关于直线n m 、与平面βα、，有以下四个命题：①若βαβα////,//且n m ，则n m // ②若n m n m //,,//则且βαβα⊥⊥③若n m n m ⊥⊥，则且βαβα////, ④若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且,,βαβα 其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]9．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则=⋅( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 7．图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高在[)150,155内的人数）。

图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

现要统计身高在[)160,180内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的s 值分别是 （ ）A ．6,1000i <B ．7,1500i <C ．8,1850i <D ．9,2050i <8．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则|)9||1(|log 2-+-x x 的值为（ ）A ．22B ．3C ．4D ．与θ有关10. 给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数， 记作{}m x =. 在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]21,0[；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k k x ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数.其中正确的命题的序号是( ) A. ① B.②③ C. ①④ D ．①②③二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

山东省临沂高新实验中学届高三上学期期末考试数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝|0，a |，N ＝|x |x 2－2x －3<0,x ∈Z|，若M∩N≠∅，则a 的值为A ．1B ．2C ．1或2D ．不为零的任意实数2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，＋∞）上单调递增的是A ．y ＝sin xB ．y ＝－x 2C ．y ＝lg2xD ．y ＝e|x |3．若cos （2π－α）＝35且a ∈（－0,2π）,则sin （π－α） A ．－35B ．－32 C ．31 D ．±324．给出以下命题：①Ax ∈R ，有x 4>x 2；②Ea ∈R ，对Ax ∈R 使x 2＋2x ＋a<0,其中真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．35．若x ∈（0，1），则下列结论正确的是 A ．2x >x 21>lgxB ．2x >lg x >x 21C ．x 21>2x >lg xD ．lg x >x 21>2x6．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是 A ．121B ．101 C ．253 D ．125127．把直线x －2y ＋λ＝0向左平移1个单位，再身下平移2个单位后，与同线x 2＋y 2＋2x －4y ＝0正好相切，则实数λ的值为 A ．－13或3B ．13或－3C ．13或3D ．－13或－38．已知函数y ＝f （x ）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若0<x 1<x 2<1,则 A ．()11x x f <()22x x f B ．()11x x f ＝()22x x f C ．()11x x f >()22x x f D ．不能确定 9．如图，三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC 且△ABC 为正三角形，M 、N 分别是PB 、PC 的中点若截面AMN ⊥侧面PBC ，则此棱锥侧面PBC 与底面ABC 所成二面角的余弦值是A ．2nB ．22 C ．36 D ．66 10．在等比数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为Sn ，若数列|a n ＋1|也是等比数列，则S n 等于 A ．2nB ．3nC ．2n ＋1－1D ．30－111．在△OAB 中，OD b OB a OA ,,==是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ行等于 Ａ．()2ba ab a --⋅ B ．()2ba b a a --• C ．()ba ab a --•D ．()ba b a a --•12．如图，过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝x 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆球直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上． 13．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是__________． 14．一个总体依有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是_________． 15．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不给予折扣；②如一次购物超过200元不超过500元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只云一次购买同样的商品，则他应该付款为__________________元． 16．设函数f （x ）＝sin （ω＋φ）（ω>0,－2π）,有下列论断： ①f （x ）的图象关于直线x ＝12π对称； ②f （x ）的图象关于（0,3π）对称；③f （x ）的最小正周期为π；④在区间［－0,6π］上，f （x ）为增函数． 以其中的两个论断为条件，剩下的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：若___________，则_________________．（填序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，则ABC S ∆=•38（其中S △ABC 为△ABC 的面积）．（1）求sin 2A CB 2cos 2++； （2）若b ＝2,△ABC 的面积S △ABC ＝3，求a ． 18．（本小题满分12分）如图，在五面体，ABCDF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面ABF 是等边三角形，棱EF ＝BC 21． （1）证明EO ∥平面ABF ； （2）问CDBC为何值是，有OF ⊥ABE ，试证明你的结论．19．（本小题满分12分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船 不需要等等码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率．20．（本小题满分12分）函数y ＝f （x ）是定义域为R 的奇函数，且对任意的x ∈R ,均有f （x ＋4）＝f （x ）成立，当x ∈（0,2）时，f （x ）＝－x 2＋2x ＋1． （1）当x ∈[4k －2,4k ＋2]（k ∈Z ）时，求函数f （x ）的表达式； （2）求不等式f （x ）>23的解集．21．（本小题满分12分）设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N*,都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2，其中Sn 为数例{a n }的前n 项和． （1）求证：a n 2＝2S n －a n ； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）设b n ＝3n ＋（－1）n －1λ·2a n （λ为非零整数，n ∈N*），试确定λ的值，使得对任意n ∈N*,都有b n ＋1>b n 成立．22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(235222>=+m m y x ，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆G 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点．（1）是否存在k ，使对任意m>0，总有ON OB OA =+成立？若存在，求出所有k 的值； （2）若()m m OB OA 4213+-=•，求实数k 的取值范围．数学（理工）试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分） 1．D2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B11．B 12．C二、填空题（每小题4分，共16分） （13）2S（14）76 （15）582．6 （16）①③，②④或②③，①④ 三、解答题17．（本小题满分12分） 解：（1）∵.38ABC S AC AB ∆=• ∴|A AC AB A AC AB sin 2138cos •=••| 1分∴cosA ＝A sin 342分∴cosA ＝,53sin 54=A ，3分 ∴sin2()A C B A C B 2cos 2cos 12cos 2++-=++＝1cos 22cos 12-++A A ＝.50596分（2）∵sinA ＝.53由S △ABC ＝A bc sin 21，得3＝,53221⨯⨯c 解得c ＝5． 9分∴a 2 ＝b 2＋c 2－2be cos A ＝4＋25－2×2×5×54＝1318．（本小题满分12分）（1）证明：取AB 中点M ，连结OM ．2分在矩形ABCD 中，OM ＝BC 21， 又EF ＝BC 21，则EF ＝OM ， 连结FM ，于是四边形EFMO 为平行四边形．∴OE ∥FM ． 4分 又∵EO ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EO ∥平面ABF ．6分（2）解：∵OF ⊥平面ABE ，连结EM ．∵EM ⊂平面ABE ．∴OF ⊥EM ，又四边形OEFM 为平行四边形． ∴□OEFM 为菱形．8分∴OM ＝MF ，设OM ＝a ，则BC ＝2a ．在正△ABF 中，MF ＝a ，∴a ＝3AB 2，∴AB 3a =． 10分∴CD ＝3a ，∴2323BC aCD a ==综上可知，当3=CDBC时，有OF ⊥平面ABE ．12分19．（本小题满分12分）（1）设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则O≤x <24，0≤y <24且y －x >4或y －x <－4作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<><≤<≤.4x -y 4,x -y 24,y 0,240或x4分设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P （A ）＝.362524242020212=⨯⨯⨯⨯6分（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2．8分设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域．⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤.2,4,240,240y x x y y x 或 10分P （B ）＝.2882215764422424222221202021==⨯⨯⨯+⨯⨯12分20．（本小题满分12分）（1）当x ＝0时，∵f （0）＝－f （0）,∴f （0）＝0．1分当x ∈[－2,0]时，－x ∈（0,2）,f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2－2x ＋1）＝x 2＋2x －1．3分由f （x ＋4）＝f （x ）,知f （x ）为周期函数，且周期T ＝4． 4分 当x ∈[4k －2,4k]（k ∈Z ）时，x －4k ∈[－2,0],∴f （x ）＝f （x －4k ）＝（x －4k ）2＋2（x －4k ）－1． 5分当x ∈（4k ,4k ＋2）（k ∈Z ）时，x －4k ∈（0,2）, ∴f （x ）∈f （x －4k ）＝－（x －4k ）2＋2（x －4k ）＋1． 6分故当x ∈[4k －2,4k ＋2]（k ∈Z ）时，f （x ）的表达式为f （x ）＝()()[)(]⎪⎩⎪⎨⎧+∈+-+---∈--+-24,4,1)4(22)4(,04,24,14242k k x k x k x k k x k x k x7分（2）当x ∈［－2，2］时，由f （x ）>23得⎪⎩⎪⎨⎧>-+<≤-2312022x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤<2312202x x x解得1－.22122+<<x 10分∵f （x ）是以4为周期的周期函数， ∴f （x ）>23的解集为|x |4k ＋1－221422++<<k x |． 12分21．（本小题满分12分）（1）由已知，当n ＝1时，a 13＝a 12,又∵a 1>0,∴a 1＝1．1分当n≥2时，a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2① a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12②2分由①②得，a n 3＝（S n －S n －1）（S n －S a －1）（S a ＋S a －1）＝a n （S n ＋S n －1）． ∵a n >0,∴a n 2＝S n ＋S n －1, 又S n －1＝S a －a a ,∴a n 2＝2S n －a n ．3分当n ＝1时，a 1＝1适合上式． ∴a n 2＝2S n －a n ．4分（2）由（1）知，a n 2＝2S n －a n ,③当n≥2时，a n －12＝2S n －1－a n －1,④5分 由③④得，a n 2－a n －12＝2（S n －S n －1）－a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1．6分∵a n ＋a n －1>0,∴a n －a n －1＝1,数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1． 7分 ∴a n ＝n ．8分（3）∵a n ＝n ．,∴b n ＝3n ＋（－1）n －1λ·2n ．要使b n ＋1>bn 恒成立，b n ＋1－b n ＝3n ＋1－3n ＋（－1）n λ·2n ＋1－（－1）n －1λ·2n ＝2×3n －3λ（－1）n －1·2n>0恒成立，9分即（－1）n －1λ<（23）n －1恒成立． ⅰ。

汕头市金山中学高三上学期期末考试高三理科数学试卷一﹑选择题（每小题5分，共40分）1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=0)1(3x xx M ,{}R x x y y N ∈+==,132,则M ⋂N ＝ A. ∅ B. {}1≥x x C. {}1>x x D. {}01<≥x x x 或 2.若)(x f 为奇函数且在+∞,0(）上递增，又0)2(=f ，则0)()(>--xx f x f 的解集是A.)2,0()0,2(⋃-B.)2,0()2,(⋃-∞C.),2()0,2(+∞⋃-D.),2()2,(+∞⋃--∞3.已知向量a ,b 满足4,1==b a ,且2=⋅b a ，则a 与b 的夹角为A.6πB.4πC.3πD.2π4.已知2tan sin 3,0,cos()26ππαααα⋅=-<<-则的值是 A ．0 B ．32 C ．1 D ．125.在等差数列中，21232a a +=，则的值是A. 24B. 48C. 96D. 无法确定6.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q,点且∠POQ ＝90°，再过二分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR ＝60°，则tan 2∠OPQ 的值等于A ．427B ．239C ．49D ．以上均不正确7.已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10,则()2f 的值等于A.9B.11C.18D. 11或188.已知x 1是方程2010lg =x x 的根，x 2是方程201010=⋅x x 的根，则x 1·x 2=A ．22010B ．C ． 22011D ．二﹑填空题（每小题5分，共30分）9.已知等比数列{}n a ,前n 项和为c S nn +=3,其中c 是常数,则数列通项=n a *** . ⒑ 若平面向量a ,b 满足1=+b a ,b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则a = *** ． ⒒如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h = *** cm ．}{n a 1532a a +OM12π56πxy12.如图是函数在一个 周期内的图象，、分别是最大、最小值点，且，则= *** , A= *** . 13.设b 3是a -1和a +1的等比中项,则b a 3+的最大值是 *** .⒕已知函数)(x f 满足:),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==, 则=)2010(f *** .三、解答题（共80分）15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，3π=B, 4cos ,5A b ==。

高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 设全集，会合，，则()A. B. C. D.C【答案】【分析】，，，所以，应选择 C.2. 已知复数知足，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】z 知足，则，应选D．试题剖析：∵复数考点：复数运算.3. 已知中，，，则等于A. B. C.或 D.或【答案】A【分析】【剖析】由正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，联合大边对大角的性质即可确定出 B的度数．【详解】中，，，，由正弦定理得：，，，则．应选： A．【点睛】本题考察了正弦定理，以及特别角的三角函数值，娴熟掌握正弦定理是解本题的关键．4. 已知随机变量听从正态散布则A. 0.89B. 0.78C. 0.22D. 0.11【答案】 D【分析】本题考察正态散布和标准正态散布的转变及概率的计算方法.应选 D5. 已知向量，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】依题意，，即解得，故，则与的夹角的余弦值，故.选 D.6. 设等差数列 {a} 的前n项和为S，若S－ 1＝－2，S＝ 0，S＋1＝3，则＝ ()n n m m mA.3B.4C.5D. 6【答案】 C【分析】∵{a n} 是等差数列∴S m==0a1=－ a m=－ (S m－ S m－1)= － 2，又=－=3，∴公差=－=1，∴3==－，∴=5，应选 C．视频7.如所示的程序框，出的S 的 ()A. B.2 C.－1 D.－【答案】 A【分析】k＝ 1 ， S＝ 2，k＝ 2 ， S＝，k＝ 3 ， S＝－ 1，k＝ 4，S＝ 2，⋯⋯所以 S 是以 3 周期的循．故当 k＝2 012 ， S＝．8.如所示是一个几何体的三，个几何体外接球的表面A. B. C. D.【答案】 C【分析】试题剖析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选 C.考点：三视图，外接球【方法点睛】波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点( 一般为接、切点 ) 或线作截面，把空间问题转变为平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.视频9.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见次日行里数，请公认真算相还. ”其粗心为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从次日起脚痛每日走的行程为前一天的一半，走了6天后抵达目的地 . ”则这人第一天走的行程为（）A. 192 里B. 96里C. 63里D.6里【答案】 A【分析】设第一天走了里，则是以为首项，以为公比的等比数列，依据题意得：解得应选10. 函数A.，B.在区间，，C.内是增函数，D.则实数的取值范围是【答案】 B 【分析】【剖析】对函数进行求导，依据函数单一递加易得在内恒成立，即果 .【详解】∵，∴，∵函数在区间内是增函数，∴在内恒成立，即，∴，应选B．【点睛】本题考察利用导数研究函数的单一性，将函数单一递加转变为属于中档题．，解出即得结是解题的重点，11. 已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于、两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为A. B. 4 C. 3 D. 2【答案】【分析】D试题剖析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，进而，把代入得，所以的面积为，解得，所以离心率，应选 D.考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考察了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题. 正确运用双曲线的几何性质是本题解答的重点，第一依据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦的长，表示出的面积，进而求得值，最后由离心率的定义求出其值.12. 已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单一，则的最大值为A.11B.9C.7D.5【答案】 B【分析】，则，得，又，则，得，当时，则，则，所以，在不但一；当，则，则，所以，在单一递减。

高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题：每小题5分：共40分．在每小题给出的四个选项中：选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N =A ．{}|01x x ≤<B ．{|01x x <<C ．{}|0x x ≥D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图：则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处：现随机抽取其中的200辆进行车速统计：统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ：试km/h ）错误!估计2000辆车中：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ：则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示：则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ：如果存在正实数m ：使得对任意x D ∈：都有()()f x m f x +>：则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数：且当0x >时：()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”：则实数a 的取值范围是 A ．0a > B ．5a < C．10a<D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题：每小题5分：共30分．把答案填在答题卡上．侧视图俯视图9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ：最小值是 ．10．若x ：y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列n a 中：若22a ：则132a a 的最小值是 ．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间：甲同学不与老师相邻：则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心）：且满足||25CA CB +==AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部：且有xOA yOB zOC ++=0：记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===：则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ：若2,3,4x y z ===：则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题：共80分．解答应写出文字说明：演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班：现从高一年级选10名同学组成社区服务小组：其中高一（1）班选取3名同学：其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学：到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率：（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数：求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图：在ABC ∆中：点D 在BC 边上：7,42CAD AC π∠==：cos 10ADB ∠=-．（Ⅰ）求sin C ∠的值：（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）如图：在四棱锥P ABCD -中：底面ABCD 是菱形：且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点：平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ：（Ⅱ）若PA PD AD ==：且平面PAD ⊥平面ABCD ： 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+：其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数：求a 的取值范 围：（Ⅱ）当e a =-时：（ⅰ）证明：()20f x +≤：19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ：B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率： （Ⅱ）求证：OA OB ⊥： （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分） 已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数：且满足条件：①1k a a =：②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-．（Ⅰ）若13,2k a ==：求出这个数列： （Ⅱ）若4k =：求1a 的所有取值的集合： （Ⅲ）若k 是偶数：求1a 的最大值（用k 表示）．数学答案（理工类） ．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空：第一空3分：第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ：则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0：1：2：3：则03373107(0)24C C P X C ⋅===： 123731021(1)40C C P X C ⋅===： 21373107(2)40C C P X C ⋅===：30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-：所以sin 10ADB ∠=． 又因为4CAD π∠=：所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=． ………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中：由ADCAC C AD ∠=∠sin sin：得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形：所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ：CD ⊂面PCD ：所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面：且平面ABEF平面PCD EF =：所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ：连接,PG GB ．因为PA PD =：所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ： 且平面PAD平面ABCD AD =：所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中：因为AB AD =： 60DAB ∠=︒：G 是AD 中点： 所以AD GB ⊥．如图：建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===： 则(0,0,0),(,0,0)G A a ：,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ：点E 是棱PC 中点：所以点F 是棱PD中点．所以(,,)22E a -：(2a F -．所以3(2a AF =-：(,2a EF =．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ：则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =：则平面AFE 的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD ：所以(0,,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,39GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE ． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ：1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数：所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立： 即1()0f x a x '=+≥：1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立： 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时：() e ln f x x x =-+：e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ：得1ex =． 令()0f x '>：得1(0,)e x ∈：所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<：得1(,)e x ∈+∞：所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以：max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知： max ()2f x =-： 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ：得e x =．令()0g x '>：得(0,e)x ∈：所以函数)(x g 在(0,e)单调递增： 令()0g x '<：得(e,)x ∈+∞：所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减：所以：max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<： 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ：即>|)(|x f ln 32x x +．所以：方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可知24a =：243b =：所以22283c a b =-=．所以3c e a ==．所以椭圆C的离心率为3． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在：则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -：则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理：当:1l x =-时：也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在：设:l y kx m =+1=：即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩：得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ：22(,)B x y ：则122631kmx x k +=-+：21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．综上所述：总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切：则圆O 半径即为OAB ∆的高： 当l 的斜率不存在时：由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时：由（Ⅱ）可知：AB ===223131k k ==++231k =+． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时：等号成立）．所以AB ≤．此时：max (S )OAB ∆=.综上所述：当且仅当3k =±时：OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==：由①知32a =： 由②知：21211223a a a a +=+=：整理得：2222310a a -+=．解得：21a =或212a =． 当21a =时：不满足2323212a a a a +=+：舍去： 所以：这个数列为12,,22． …………………………………………………3分 （Ⅱ）若4k =：由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=：所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=．所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=：显然不满足条件： 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=：共有下面4种情况： （1）若211a a =：3212a a =：4312a a =：则41114a a a ==：解得112a =： （2）若2112a a =：321a a =：4312a a =：则4111a a a ==：解得11a =：（3）若2112a a =：3212a a =：431a a =：则4114a a a ==：解得12a =：（4）若211a a =：321a a =：431a a =：则4111a a a ==：解得11a =： 综上：1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意：设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知：112n n a a +=或11(1,2,3,21)n n a n m a +==-．假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=：用了21m i --次递推关系112n n a a +=： 则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ． 当i 是偶数时：0t ≠：2111()2tm a a a =⋅=无正数解：不满足条件： 当i 是奇数时：由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤：所以112m a -≤．又当1i =时：若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====： 有222111()2m m a a --=⋅：222112m m a a a -==：即112m a -=．所以：1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。

上海市崇明县高三上学期期末考试试卷 高三数学（理科）（满分150分，答题时间120分钟 编辑：刘彦利）注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 一、填空题（每小题4分，共56分）1、设}5,4,3,2,1{=U ，{}1)43(log 22=+-=x x x M ，那么=M C U .2、若函数)(x f y =是函数x y a log =（1,0≠>a a ）的反函数， 且2)1(=-f ，则=)(x f .3、一个三阶行列式按某一列展开等于22113311332232　ba b a ba b a ba ba ++，那么这个三阶行列式可能是 .（答案不唯一） 4、已知6π-=x 是方程3)tan(3=+αx 的一个解，)0(，πα-∈，则=α ．5、右图是一个算法的流程图，最后输出的 =W ．6、若圆锥的侧面积为π20，且母线与底面所成的角的余弦值为54，则该圆锥的体积为.7、已知二项展开式5522105)1(x a x a x a a ax +⋯+++=-中，803=a ，则5210a a a a +⋯+++等于 .8、复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根，则=⨯b a .9、已知nS 是数列{}n a 前n 项和，2,111+==+n n a a a （*N n ∈）,则limnn n na S →∞=。

10、定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧---=+)1()()4(log )1(2x f x f x x f 0,0,>≤x x ，计算)2010(f 的值等于 .11、如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，︒=∠90ABC ，BC BA =，球心O 到平面ABC 的距离是223，则B 、C 两点的球面距离是 .12、若命题p ：34-x ≤1；命题q :)2)((---m x m x ≤0，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .13、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为︒120.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x + 的取值范围是 . 14、已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为 .二、选择题（每小题4分，共16分）15、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若31-=a 且4a 是3a 与7a 的等比中项， 则10S 等于 …………………………………………………………………………………（ ） （A ）18（B ）24（C ）60（D ）9016、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 12sin 2ππx x y 的最大值、最小值分别为 …………………………（ ） （A ）2，2-（B ）21,23-（C ）21,23（D ）23,21- 17、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数))((mi n ni m -+为实数的概率为 …………………………………………………………………………………………（ ）（（A ）31（B ）41（C ）61（D ）12118、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠，有0))()()((1212>--x f x f x x 恒成立. 则当*N n ∈时，有……………………………（ ）（A ）)1()()1(-<-<+n f n f n f （B ）)1()()1(+<-<-n f n f n f （C ）)1()1()(+<-<-n f n f n f（D ）)()1()1(n f n f n f -<-<+三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设函数xx x f 2sin )32cos()(++=π.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设C B A ,,为∆ABC 的三个内角，41)2(-=C f ，且C 为锐角，35=∆ABC S ，4=a ， 求c 边的长．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在直四棱柱D C B A ABCD ''''-中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，4=AB ， 2==CD BC ，21=AA ，E 、F 、G 分别是棱11B A 、AB 、11D A 的中点.（1）证明：直线GE ⊥平面1FCC ； （2）求二面角C FC B --1的大小.ABF CDEGA1D1 C1B121、（本题满分16分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题8分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。

实验2021-2021学年度上学期期末考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日高三理科数学试题第一卷选择题〔一共60分〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的〕1.集合A=，B=，那么A B中元素的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，根据直线与圆的位置关系，即可求解集合中元素的个数，得到答案。

【详解】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又由圆与直线相交于两点，那么中有两个元素，应选C.【点睛】求集合的根本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或者其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.，是虚数单位，假设，，那么〔〕A. 1或者B. 或者C.D.【答案】A【解析】由得，所以，应选A.【名师点睛】复数的一共轭复数是，据此结合条件，求得的方程即可.3.某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图复原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，那么AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．应选：．4.函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正弦函数的周期公式直接求解即可.详解：由题函数的最小正周期应选C.点睛：此题考察正弦函数的周期，属根底题.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为，那么展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项一共有几项，进展相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的详细情况，尤其是两个二项展开式中的不同.6.椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解。

第一学期高三年级期末理科数学试题与答案数学试卷《理科》第Ⅰ卷《选择题 共40分》一、选择题(本大题共8小题；每小题5分；共40分．在每小题列出的四个选项中；选出符合题目要求的一项．) 《1》若集合{}2,1,0,1,2Α=--；{}2|1Βx x =>；则=ΑΒA ．{|11}x x x <->或B ．{}2,2-C ．{}2 D ．{0}(2) 下列函数中；在区间(0,)+∞上为增函数的是A．y =； 1y x =C ； 1()2x y =D ； 12log y x =(3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -；以线段OA 为直径的圆的方程是A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y ++= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y ++= (4) 在ABC ∆中；3,2,3a c B π===；则b =A ．19B ．7C ．⑸ 某三棱锥的三视图如图所示；则该三 棱锥四个面的面积中最大的是 A ；B ； 3C ；2D；《6》已知函数f (x ) 的部分对应值如表所示； 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ；点1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上；则2016a的值为x1 2 3 4 ()f x3124俯视图侧（左）视图正（主）视图A ； 1B ；2C ； 3D ； 4⑺ 若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4；则k 的值为A ．32-B ． 32C ．23-D ．23《8》某大学进行自主招生时；需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试；学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名；其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：逻辑思维成绩排名总成绩排名200200O 甲乙下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中；甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前第Ⅱ卷《非选择题 共110分》二、填空题《本大题共6小题；每小题5分；共30分》《9》在261(2)x x -的展开式中；常数项是 《用数字作答》；《10》双曲线22:1916x y C -=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合；则此抛物线的标准方程为____________；逻辑思维成绩排名200200阅读表达成绩排名O 丙《11》执行如图所示的程序框图； 输出的S 值为_______；《12》将序号为1；2；3；4的四张电影票全部分给3人；每人至少一张； 要求分给同一人的两张电影票连号；那么不同的分法种数为________________；《用数字作答》 《13》如图；在矩形ABCD 中；3DP PC =；若,PB mAB nAD =+则m =______;n =_________；《14》已知函数2()|3|,.f x x x x =-∈R 若方程()|1|0f x a x -+=恰有4个互异的实数根；则实数a的取值范围是_____________________．三、解答题(本大题共6小题；共80分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．) 《15》《本小题满分13分》已知函数2()3sin(π)cos cos f x x x x --．《I 》 求函数()f x 的最小正周期； 《II 》求函数()f x 的单调递减区间．(16)《本小题满分13分》小王为了锻炼身体；每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计；小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图《图1》及相应的消耗能量数据表《表1》如下；频数（天）3PDCBA图1 表1《Ⅰ》求小王这8天 “健步走”步数的平均数；《Ⅱ》从步数为16千步；17千步；18千步的几天中任选2天；设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ；求X 的分布列；《17》《本小题满分14分》在四棱锥P ABCD -中；平面PAD ⊥平面ABCD ；PAD ∆为等边三角形,12AB AD CD==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．《I 》求证://MB 平面PAD ； 《II 》求二面角P BC D --的余弦值； 《III 》在线段PB 上是否存在点N ；使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由；《18》《本小题满分13分》已知函数()()2ln 1f x x =+；《Ⅰ》若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =；求切点P 的坐标； 《Ⅱ》求证：当[0,e 1]x ∈-时；()22f x x x ≥-；《其中e 2.71828=⋅⋅⋅》《Ⅲ》确定非负实数a 的取值范围；使得()()220,x f x x a x ∀≥≥-成立；P MD CBA《19》《本小题满分13分》已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为,点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)；且与椭圆C 交于A ；B 两点；线段AB 的中点为M ．《I 》求椭圆C 的方程；《Ⅱ》点O 为坐标原点；延长线段OM 与椭圆C 交于点P ；四边形OAPB 能否为平行四边形？若能；求出此时直线l 的方程；若不能；说明理由．《20》《本小题满分14分》对于任意的*n ∈N ；记集合{1,2,3,,}n E n =⋅⋅⋅；,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭；若集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈；且12x x ≠；不存在*k ∈N ；使212x x k+=；则称A 具有性质Ω；如当2n =时；2{1,2}E =；2{1,P =；122,x x P ∀∈；且12x x ≠；不存在*k ∈N ；使212x x k +=；所以2P 具有性质Ω；(Ⅰ) 写出集合35,P P 中的元素个数；并判断3P 是否具有性质Ω；《Ⅱ》证明：不存在,A B 具有性质Ω；且A B =∅；使15E A B =．《Ⅲ》若存在,A B 具有性质Ω；且A B =∅；使n P A B=；求n 的最大值；昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 《理科》 2016；1二、选择题(本大题共8小题；每小题5分；共40分．在每小题列出的四个选项中；选出符合题目要求的一项．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BA D D CB A C二、填空题《本大题共6小题；每小题5分；共30分》《9》60 《10》24;203y x y x=±= 《11》 52 《12》18 《13》1;14- 《14》 (0,1)(9,)+∞三、解答题(本大题共6小题；共80分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．)(15)《本小题满分13分》 解：《I 》2()3sin cos cos f x x x x-311sin 2cos 2222x x --π1sin(2)62x --所以 最小正周期2π2ππ.2Tω …………………………；；7分(II) 由ππ3π2π22π,,262k x k k ≤≤∈Z得π5πππ,.36k x k k ≤≤∈Z ………………………11分所以函数()f x 的单调递减区间是π5π[π,π],.36k k k ∈Z ……………13分(16)《本小题满分13分》解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=《千步》； …………………………；；4分《II 》X 的各种取值可能为800；840；880；920；23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C ===112312264(880),15C C C P X C +=== 1121262(920),15C C P X C ===X 的分布列为：X800 840880 920 P 1525 415 215…………………………；；13分 《17》《本小题满分14分》《Ⅰ》证明:取PD 中点H ,连结,MH AH ； 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD=；因为1//,2AB CD AB CD=；所以//AB HM 且AB HM =； 所以四边形ABMH 为平行四边形,所以 //BM AH ；因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD ； …………………………；；4分《Ⅱ》 取AD 中点O ,连结.PO因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥；因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面；取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB = 则(1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --(2,2,0),(1,2,BC PB =-=-； 平面BCD 的法向量(0,0,OP =,设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,20.x y xy -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1x =；则(1,1n =；C15cos ,5||||OP n OP n OP n ⋅<>==；由图可知；二面角P BC D --是锐二面角；所以二面角P BC D --的余弦值为5； …………………………；；9分《Ⅲ》 不存在；设点(,,)N x y z ,且 ,[0,1]PNPB λλ=∈ ,则,PN PB λ=所以(,,(1,2,x y z λ-=；则,2,.x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,2)N λλ, (1,2)DN λλ=+；若DN PBC ⊥平面,则//DN n ,即12λλ+==；此方程无解,所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面； …………………………；；14分《18》《本小题满分13分》 《Ⅰ》解：定义域为(1,)-+∞；()2'1f x x =+；由题意；()0'2f x =；所以()00,00x f ==；即切点P 的坐标为(0,0)； ………3分《Ⅱ》证明：当[0,e 1]x ∈-时；()22f x x x ≥-；可转化为当[0,e 1]x ∈-时；()220f x x x -+≥恒成立；设()2()2g x f x x x =-+；所以原问题转化为当[0,e 1]x ∈-时；()min 0g x ≥恒成立；所以2242'()2211xg x xx x -=-+=++；令'()0g x =；则1x =《舍》；2x= 所以()gx ；'()g x 变化如下：x1)-e 1-'()g x + 0 - ()g x(0)g↗极大值↘(e 1)g -因为()(0)000g f =-=；2(e 1)2(e 1)2(e 1)2(e 1)(3e)0g -=--+-=+-->； 所以min ()0g x =；当[0,e 1]x ∈-时；()22f x x x ≥-成立； ………………；；8分 《Ⅲ》解：()()20,2x f x a x x ∀≥≥-；可转化为当0x ≥时；()()220f x a x x --≥恒成立；设()()2()2h x f x a x x =--； 所以222(1)'()2211ax a h x a ax x x +-=-+=++； ⑴当0a =时；对于任意的0x ≥；2'()01h x x =>+；所以()h x 在[0,)+∞上为增函数；所以()min ()00h x h ==；所以命题成立；当0a >时；令'()0h x =；则210ax a +-=；⑵当10a -≥；即01a <≤时；对于任意的0x ≥；'()0h x >；所以()h x 在[0,)+∞上为增函数；所以()min ()00h x h ==； 所以命题成立；⑶当10a -<；即1a >时；则1x =《舍》；20x =>； 所以()h x ；'()h x 变化如下：x0 2(0,)x 2x 2(,)x +∞'()h x- 0 + ()h x↘ 极小值↗因为()min2()()00h x h x h =<=；所以；当0x ≥时；命题不成立；综上；非负实数a 的取值范围为[0,1]； …………………………；；13分《19》《本小题满分13分》解：《I》由题意得22222311,4.c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 解得224,1a b ==；所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………；；5分《Ⅱ》四边形OAPB 能为平行四边形． 法一：《1》当直线l 与x 轴垂直时；直线l 的方程为1x = 满足题意；《2》当直线l 与x 轴不垂直时；设直线:l y kx m =+；显然0,0k m ≠≠；11(,)A x y ；22(,)B x y ；(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=； 2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故1224241M x x kmx k +==-+；241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OM M y k x k ==-；即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠；过点(1,1)；得1m k =-；因此24(1)41M k k x k -=+．OM 的方程为14y xk =-．设点P 的横坐标为P x ．由221,41,4y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221641Pk x k =+；即P x =． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分；即2P Mx x =24(1)241k k k -=⨯+．由0k ≠；得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时；四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = ； …………………………；13分 法二：《1》当直线l 与x 轴垂直时；直线l 的方程为1x = 满足题意；《2》当直线l 与x 轴不垂直时；设直线:l y kx m =+；显然0,0k m ≠≠；11(,)A x y ；22(,)B x y ；(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=； 2221228(8)4(41)(44)0,.41km km k m x x k -=-+->+=+ 故1224241M x x km x k +==-+；241M M my kx m k =+=+； 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分；即2,2.P M P M x x y y =⎧⎨=⎩． 则2222()()82114441km m k k -++=+；由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠；过点(1,1)；得1m k =-； 则2222(164)(1))1(41k k k +-+=；则2(41)(83)0k k +-= ； 则35,.88k m == 满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时；四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = ； …………………………；；13分《20》《本小题满分14分》(Ⅰ) 解：集合35,P P 中的元素个数分别为9；23；3P 不具有性质Ω； ……………；；6分 《Ⅱ》证明：假设存在,A B 具有性质Ω；且AB =∅；使15E A B =．其中15{1,2,3,,15}E =⋅⋅⋅； 因为151E ∈；所以1A B ∈；不妨设1A ∈．因为2132+=；所以3A ∉；3B ∈．同理6A ∈；10B ∈；15A ∈．因为21154+=；这与A 具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立；即不存在,A B 具有性质Ω；且AB =∅；使15E A B =；…；；10分《Ⅲ》因为当15n ≥时；15n E P ⊆；由《Ⅱ》知；不存在,A B 具有性质Ω；且A B =∅；使n P A B =．若14,n =当1b =时；1414x x a E E ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭；取{}11,2,4,6,9,11,13A =；{}13,5,7,8,10,12,14B =；则11,A B 具有性质Ω；且11A B =∅；使1411E A B =．当4b =时；集合14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外；其余的数组成集合为13513{,,,,}2222⋅⋅⋅；令215911{,,,}2222A =；23713{,,}222B =；则22,A B 具有性质Ω；且22A B =∅；使2213513{,,,,}2222A B ⋅⋅⋅=．当9b =时；集14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外；其余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333；令31451013{,,,,}33333A =；32781114{,,,,}33333B =．则33,A B 具有性质Ω；且33A B =∅；使3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333A B =．集合1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫==∈∈≠⎨⎬⎩⎭中的数均为无理数；它与14P 中的任何其他数之和都不是整数；因此；令123A A A A C =；123B B B B =；则A B =∅；且14P A B =．综上；所求n 的最大值为14； ……………；；14分。

铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,222.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.173.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC 满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.86.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]- B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是348.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5B.6C.7D.89.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.91611.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A .2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μx （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,22【答案】C 【解析】【分析】由集合相等元素对应相同解方程组.【详解】由集合相等的定义，有296x x y =⎧⎨+=⎩，解得9232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意舍去，或269x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，满足题意．故选：C ．2.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.17【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果.【详解】因为|||(512i)(cos isin )||512i ||cos isin |z θθθθ=-+=-⋅+=13=，所以||||13z z ==．故选：C ．3.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥ ，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件推出0AC AB ⋅>，得CAB ∠为锐角．同理可得,ABC BCA ∠∠也为锐角．由此可得答案.【详解】因为,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，所以0,0,0OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅==，()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 22||0OB OC OA OB OC OA OA OA =⋅-⋅-⋅+=> ，所以cos 0||||AB ACCAB AB AC ⋅∠=>⋅，即知CAB ∠为锐角．同理可知,ABC BCA ∠∠也为锐角．故ABC 是锐角三角形．故选：A ．4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【答案】A 【解析】【详解】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+=故选：D ．6.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]-B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式取等号的条件，将|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥转化为11x -≤≤且22y -≤≤，再根据不等式的性质可求出结果.【详解】因为|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤，即11x -≤≤时，等号成立，|2||2||(2)(2)|4y y y y ++-≥+--=，当且仅当(2)(2)0y y +-≤，即22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥，当且仅当11x -≤≤且22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=等价于11x -≤≤且22y -≤≤，所以222x -≤≤，所以424x y -≤+≤.故选：C7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是34【答案】D 【解析】【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC A C C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111A C B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C,正方体1111ABCD A B C D -，所以外接球的表面积为234π3π2⎛⨯= ⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △是正三角形，其边长为，所以它的面积为213sin 6022⨯⨯︒=，即D 错误．故选：D ．8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5 B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，根据{}n a 为递增数列，推出1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，再推出11T <，21T <，31T <，41T <，51T <，61T <，71T =，81T >可得结果.【详解】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，因为1n n n a a q a +=>，所以{}n a 为递增数列，所以1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，所以111T a =<，2121T a a =<，31231T a a a =<，412343431T a a a a T a T ==⋅=<，512345T a a a a a =121a a =<，6123456T a a a a a a =21261411a a a a a a ===<，71234567T a a a a a a a =717263544()()()1a a a a a a a a ===，8123456787881T a a a a a a a a T a a ==⋅=>，所以n 的最小为8.故选：D ．9.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.【答案】D 【解析】【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.【详解】由题意知，ABD △和BCD 为等边三角形，如图所示，取BD 中点为E ，连接,AE CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故⊥AE 平面CBD ，AE ===，球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得11,OH O E OO HE ∥∥，则在Rt OHA △中，OH AH ==，所以外接球半径R ==OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以23MH CE OM MH OH ===-=，当M 为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，此时，截面圆半径r ==，所以截面圆周长的最小值为2C r π==，故选:D ．10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.916【答案】D 【解析】【分析】求出方程的解集，得出p ，q 的所有取值，再得到所求事件所需条件的p ，q 取值，即可得到所求事件的概率.【详解】因为方程()()2254560t t t t -+-+=的根的集合为{1,2,3,4}，所以有{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈．记事件A 为“函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数”．对函数32()1g x px qx x =++-求导，得2()321g x px qx +'=+．由题意，知2()3210g x px qx '=++≥在(,)-∞+∞上恒成立，有0p >，且()2221(2)434303q p q p p q ∆=-⨯=-≤⇒≥．当1q =时，有13p ≥，所以p 可以取到1，2，3，4这4个值；当2q =时，有43p ≥，所以p 可以取到2，3，4这3个值；当3q =时，有3p ≥，所以p 可以取到3，4这2个值；当4q =时，有163p ≥，所以p 的值不存在．综合以上，事件A 包含的基本事件共有4329++=种．因为{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈，所以所有的基本事件共有4416⨯=种．则所求事件的概率为9()16P A =．故选：D ．11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A.2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =【答案】B 【解析】【分析】由已知条件和双曲线的定义可得12AF a =，24AF a =，12F F =，2BF AB =，由122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，化简可得2AB AF =【详解】由双曲线定义和题设条件，得212AF AF a -=，c =，12F F =．如图所示，因为12AF a =，所以24AF a =．又由双曲线定义，得122BF BF a -=,因为112BF AF AB a AB =+=+，所以212BF BF a AB =-=．在12AF F △和2ABF △中，122πF AF BAF ∠+∠=，有122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，得222222121222122022AF AF F F AB AF BF AF AF AB AF +-+-+=，得222222224162802242AB AF AB a a a a a AB AF +-+-+=⋅⋅，化简得2122AF AB =，所以2AB AF =．故选：B ．12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】构函数函数()()f x F x x=，根据()f x 为奇函数，得()F x 为偶函数.求导并利用已知得到()F x 在(0,)+∞上单调递增，再根据()F x 为偶函数得到()F x 在(,0)-∞上单调递减，利用()F x 的单调性可求出结果.【详解】设()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()f x f x F x F x x x---===--，所以()F x 为偶函数，对()F x 求导得2()()()xf x f x F x x''-=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '>，则()F x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()F x 为偶函数，则()F x 在(,0)-∞上单调递减，因为(1)(1)(1)(1)011f f F F ---====，所以当0x >时，()()00()0(1)1f x f x F x F x x>⇒>⇒>=⇒>，当0x <时，()()00f x f x x>⇒<()0(1)F x F ⇒<=-10⇒-<<x ，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女运动员的比例，从而求出答案.【详解】女运动员的人数为985642-=，故男女运动员的人数比例为56:424:3=，所以女生应抽取3421843⨯=+人．故答案为：1814.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．【答案】1【解析】【分析】转化为PM l ⊥可求出结果.【详解】劣弧所对的圆心角最小时，劣弧所对的弦长最短，此时，PM l ⊥，因为(2,0)M ，所以1111012PMk k =-=-=--．故答案为：1.15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．【答案】711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【解析】【分析】由割补法求出所围区域的面积得到ω，函数解析式化简后利用整体代入法求单调递减区间.【详解】如图所示，区域1S 与2S ，区域3S 与4S 组成的图形是中心对称图形，面积分别对应相等，故函数cos (0y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积等于矩形OABC 的面积，由2πOA =，1OC =，矩形OABC 的面积为2π，所以2πω=．于是πcos sin cos 2πsin 2π2π4y x x x x x ωω⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭．由()π2π2π2ππZ 4k x k k ≤+≤+∈，解得()13Z 88k x k k -≤≤+∈．函数cos sin y x x ωω=-的单调递减区间是()13,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令1k =，其中一个单调递减区间是711,88⎡⎤⎢⎣⎦.故答案为：711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(2,3]【解析】【分析】当01a <<时，不符合题意；当1a >时，根据方程()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，结合图象可知函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点，即可求解.【详解】由题意知，()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，即为函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点.当01a <<时，显然不成立；当1a >时，如图所示，只需log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤.故答案为：(]2,3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．【答案】（1）2π3C =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到1cos 2C =，再根据C 的范围可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可得3ab =，再根据余弦定理以及不等式知识可证不等式成立.【小问1详解】因为2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+，所以()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．【小问2详解】因为12πsin 323ab ab ==，由余弦定理，得2222π2cos3c a b ab =+-22a b ab =++23ab ab ab ≥+=，当且仅当a b =时等号成立，所以2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1A E ，根据题意得1A E AC ⊥，根据面面垂直的性质定理得1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，根据线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面1A EF ，再得到EF BC ⊥；（2）以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】连接1A E ，∵E 是AC 的中点，11A A A C AC ==，∴1A E AC ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，∴1A E ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，∴1A E BC ⊥，又1,A F AB AB BC ⊥//，∴1BC A F ⊥，因为1A E ⊂平面1A EF ，1A F ⊂平面1A EF ，111A E A F A ⋂=，∴BC ⊥平面1A EF ，因为EF ⊂平面1A EF ，∴EF BC ⊥．【小问2详解】以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,2,0),(0,2,0)A B A C -，∴1((BA BC =-=，易知平面11ACC A 的法向量为(1,0,0)m =，设平面1A CB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BA y n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令x =，∴3,y z ==，∴n =，5cos ,5||m n m n m n ⋅<>==⋅∣，所以25sin ,5m n <>== .∴二面角11C A C B --的正弦值为255.19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】()1根据数据算出1050x =，由Z服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186X B ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-.所以()20,0.8186X B ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.【答案】（1）22134x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立消去y 整理得：()2243690k xkx ++-=,检验判别式并利用弦长公式求得()2212143k MN k+=+，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得H 的坐标，得到()223143k FH k +=+,从而证得结论.【小问1详解】设(),P x y142y =-,整理得：22134x y +=,此即为曲线C 的方程；【小问2详解】经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立得：221134y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()2243690k x kx ++-=,()()22236494314410k k k ∆=+⨯⨯+=+>恒成立,设()()1122,,,M x y N x y,则()212221214343k MN x k k+=-==++,122643kx x k +=-+，设线段MN 的中点为()00,T x y ,则12023243x x k x k +==-+，0024143y kx k =+=+，线段MN 的中垂线的斜率为1k-，方程为224134343ky x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,令0x =,解得2143y k =+，即为点H 的纵坐标，∴()22231114343k FH k k+=-=++,∴()()222231143412143k FHk MN k k ++==++（为定值）21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．【答案】（1）单调性及极值见解析，原方程有唯一实根（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；（2）不等式变形为4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>，换元后即证e 1≥+t t ，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.【小问1详解】()ln (R)f x x a x a =-∈，函数定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，有极小值()(1ln )f a a a =-．方程e 2ln 0x x x ---=可变形为e ln x x x x --=+，即e ln e ln x x x x --+=+，当1a =-时，()ln f x x x =+，有()e()xf f x -=，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有e xx -=，函数e x y -=和y x =的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以e x x -=在()0,∞+上有唯一实根，故原方程有唯一实根．【小问2详解】证明：由0x >知，所要证的不等式等价于44e ln 1(0)xx x x x+≥+>，等价于4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>．（*）令4ln t x x =-，则不等式（*）等价于e 1≥+t t （**）．构造函数()e 1()t f t t t =--∈R ，求导，得()e 1t f t =-'．当0t <时，()0f t '<，函数()f t 是减函数；当0t >时，()0f t '>，函数()f t 是增函数．所以min ()()(0)0f t f t f ≥==．即（**）成立．故原不等式成立．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】（1）230x y --=，221x y -=；（2.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则22cos sin cos 322θθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．【小问2详解】把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB ===所以直线l 被曲线C 截得弦AB.[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）|2||2|a b ab -<-，理由见解析【解析】【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三。

高三级上学期·期末考理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置．）1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}2．复数i（3﹣i）的共轭复数是（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．24．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y= B．y=x2C．y=x3D．y=sinx6．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位7．不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A． B．C． D．8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B． C．0 D．﹣9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B． C． D．10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱 C．钱D．钱11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C． D．12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题中的横线上． 13．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9=2a 52，则q= ．14．已知函数f （x ）=lnx ﹣ax 2，且函数f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率是，则a= ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线x 2﹣=1的渐近线的距离为 ．16．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；②等差数列{a n }中，a 1=2，a 1，a 3，a 4成等比数列，则公差为﹣； ③已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；④在△ABC 中，若sin 2A ＜sin 2B+sin 2C ，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 三.解答题（共6题，共70分） 17.（本题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n ﹣2n =（b ﹣1）S n （Ⅰ）证明：当b=2时，{a n ﹣n •2n ﹣1}是等比数列； （Ⅱ）求{a n }的通项公式．18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证： （1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE ．19.（本题满分12分）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．20.（本题满分12分）如图，已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足=．（1）求圆C的半径r；（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分22.（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．23.（选修4-5.不等式选讲）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥．普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考理科数学参考答案1．B． 2．B． 3．D． 4．B . 5．C． 6．B． 7．C． 8．A． 9．C． 10．B． 11．B． 12．D．13．． 14． 15．． 16．①③．17.解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，且ba n﹣2n=（b﹣1）S nba n+1﹣2n+1=（b﹣1）S n+1两式相减得b（a n+1﹣a n）﹣2n=（b﹣1）a n+1即a n+1=ba n+2n①（3分）当b=2时，由①知a n+1=2a n+2n于是a n+1﹣（n+1）•2n=2a n+2n﹣（n+1）•2n=2（a n﹣n•2n﹣1）又a1﹣1•20=1≠0，所以{a n﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（6分）（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a n﹣n•2n﹣1=2n﹣1，即a n=（n+1）2n﹣1当b≠2时，由①得==因此=即（10分）所以．（12分）18.（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（6分）（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．（12分）19.（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（3分）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（6分）（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，（10分）∴所求概率为p=．（12分）20.（1）由椭圆+y2=1可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y），∵=，∴=，化为：x2﹣3x+y2+1=0，即=．又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3），∵圆C上有且只有一个点P满足=．∴上述两个圆外切，∴=r+，解得r=．（4分）（2）直线A2B2方程为：，化为=．设直线B1Q：y=kx﹣1，由圆心到直线的距离≤，可得：k∈．联立，解得E．（6分）联立，化为：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D．（7分）∴|DB1|==．|EB1|==，∴===|1+|，（9分）令f（k）=，f′（k）=≤0，因此函数f（k）在k∈上单调递减．（10分）∴k=时， =|1+|=取得最大值．（12分）21.（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，故k=f′（3）=0，又∵f（3）=9，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（3分）（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a，b）⊂（， +∞）使得f′（x）＞0，∴只需f′（）＞0即可，f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，由于m＞0，∴m＞．（6分）（Ⅲ）由题设可得，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）或，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，若 x1≤1＜x2，则，而f（x1）=0，不合题意．若1＜x1＜x2，对任意的x∈，有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，于是对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，解得；（10分）综上，m的取值范围是．（12分）22.（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（5分）（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l： =0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．（5分）23.（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（5分）（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，∴α+β=2．∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．（10分）。

2010-2023历年北京市东城区高三上学期期末理科数学卷第1卷一.参考题库(共20题)1.已知是第二象限角，那么=" "2.已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数，则称f(x)为F函数，给出下列函数：①；②；③；④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有其中是F函数的序号为A．②④B．①③C．③④D．①②3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为；渐近线方程为5.若集合，则（）A．B．C．D．6.函数的部分图象如图所示。

（I）求的最小正周期及解析式；（II）设求函数上的最大值和最小值7.若，则（）A．B．C．D．8.已知△ABD是等边三角形，且，那么四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．9.已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，且（I）求证：（II）求证：（III）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A。

10.已知数列满足且（I）求的通项公式；（II）设数列11.直线的位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切12.已知实数满足的最大值为（）A．—3B．—2C．1D．213.已知函数，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是14.在复平面内，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15.已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.已知函数那么不等式的解集为。

17.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点。

（I）求证：BM//平面ADEF；（II）求证：平面平面BEC；（III）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。

18.设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上。