2015-2016年河南郑州市一中高一(上)数学期末试卷及答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

高一上期期末数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,2{=A ，则=A C UA ．∅B ．}5,1{C ．}6,3,1{D ．}5,3,1{2．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是A ．2x y = B ．xy 2= C ．x y lg = D ．3x y =3．函数x x x f ln 1)(+-=的定义域为A ．]1,(-∞B ．)1,0(C ．]1,0(D ．),1()1,0(+∞4．已知倾斜角为045的直线经过)4,2(A ，),1(m B 两点，则=mA ．3B ．3-C ．5D ．1-5．函数x x x f 28log )(3+-=的零点所在的区间是A ．)6,5(B ．)4,3(C ．)3,2(D ．)2,1(6．已知空间直角坐标系中一点)4,1,3(A ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为A ．)4,1,3(-B ．)4,1,3(-C ．)4,1,3(-D ．)4,1,3(--7．已知6log 3.0=a ，63.0=b ，3.06=c ，则这三个数的大小关系是A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b << 8．已知γβα,,是三个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，下列命题中正确的是A ．若αα//,//n m ，则n m //B ．若βα//,//m m ，则βα//C ．若γβγα⊥⊥,，则βα//D ．若αββα⊄⊥⊥m m ,,，则α//m9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面面积的比是A ．ππ421+ B ．ππ221+ D ．ππ241+ 10．若0,0><bc ac ，则直线+by ax正视图侧视图俯视图A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．某多面体的三视图如图所示，则这个多面体最长的一条棱的长是A ．41B ．5C ．24D ．4 12．过原点的直线与函数xy 2=的图象交于B A ,两点，过B 作x 轴的平行线交函数xy 4=的图象于点C ，若直线AC 垂 直于x 轴，则点A 的坐标是A ．)1,0(B ．)2,21( C ．)2,1( D ．)4,2(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13．幂函数)(x f y =的图象过点)3,3(，则=)16(f ． 14．圆心在)1,2(-且与x 轴相切的圆的标准方程为 ． 15．计算=⋅⋅++-9log 4log 25log 8log 932log 4log 532333 ． 16．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数]2,1[,2∈=x x y 与函数]1,2[,2--∈=x x y 即为“同族函数”．请你找出下面哪些函数解析式也能被用来构造“同族函数”，答： （请填写序号）①|2|-=x y ；②x y =；③)1(log 221x y -=；④xy 5=；⑤222x y xx +=-． 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合}71|{<≤=x x A ，}3log 1|{2<<=x x B ，}|{a x x C <=，全集为实数 集R ．（I ）求B A ；（II ）如果∅≠C A ，且∅=C B ，求实数a 的取值范围．设直线1l ：x y 2=与直线2l ：6=+y x 交于P 点．（I ）当直线m 过P 点，且与直线0l ：02=-y x 垂直时，求直线m 的方程； （II ）当直线m 过P 点，且坐标原点O 到直线m 的距离为2时，求直线m 的方程．19．（本小题满分12分）某医药研究所开发一种抗流感新药，据监测：如果成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如右图所示的曲线．右图中：线段MN 所在直线的斜率为21-，当3≥t 时，y 与t 之间满足：at y -⎪⎭⎫⎝⎛=31（其中a 为常数）．（I ）集合图象，写出服药后y 与t 之间的函数关系式)(t f y =； （II ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于31微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围．如图所示，四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，AD CD ⊥AB CD 2=，E 为PC 的中点，1===AB AD PA ．（I ）证明：//BE 平面PAD ； （II ）证明：⊥BE 平面PDC ； （III ）求三棱锥PBD C -的体积．21．（本小题满分12分）已知以点)0()2,(>a aa C 为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． （I ）求证：AOB ∆的面积为定值；（II ）设直线042=-+y x 与圆C 交于点M 、N ，若ON OM =，求圆C 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数)(1222)(R a aa x f x x ∈++-⋅=． （I ）判断并证明函数的单调性；（II ）若函数)(x f 为奇函数，试求实数a 的值；（III ）在（II ）成立的条件下，若对任意的),1(+∞-∈x ，不等式0)1()4(<+++kx f k x f 恒成立，求实数k 的取值范围．2012—2013学年上期期末考试高中一年级 数学 参考答案1-12 CDCA BDAD BBAC13. 4；14.(x -2)2+(y +1)2=1；15.10；16.①③⑤ . 17. 解：（1）由21log 3x <<，得28x <<， …………2分∴{|28}B x x =<<. ∴{|18}AB x x =≤<.………………………4分（2）∅≠C A ，∴1a >. ……………………………6分 又∵B C =∅，∴2a ≤， …………8分 ∴12a <≤，即实数a 的取值范围是(]1,2. ……10分18．解：由26y xx y =⎧⎨+=⎩，解得点()24P ，.……………………2分（1）因为m ⊥0l ，所以直线m 的斜率221110-=-=-=l m k k ， ………… ………4分又直线m 过点()24P ，，故直线m 的方程为：()422y x -=--， 即280x y +-=. …………………………6分（2）因为直线m 过点()P 2，4，当直线m 的斜率存在时，可设直线m 的方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=.所以坐标原点O 到直线m 的距离22421k d k -+==+，解得34k =， …………8分因此直线m 的方程为：3324044x y --⨯+=，即34100x y -+=. ……9分当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为2x =，验证可知符合题意． …11分综上所述，所求直线m 的方程为2x =或34100x y -+=.……12分 19. 解：(1) 当01t ≤≤时，设y kt=，将 M (1,4)代入可得4k =； (2)分由12MN k =-可知线段MN 所在的直线方程为14(1)2y t -=-- 即：290t y +-=，∴N （3,3）.…………………4分 将点N代入13t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得a =4， …………6分所以：44,01,19,13,221(),3,3t t t y t t t -⎧⎪≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ …………………8分(2) 当01t ≤≤时，由13y =得112t =，…………………9分当13t <≤时，3y ≥；…………………10分 当3t >时，由13y =得5t =.…………………11分故满足条件的t 的范围是1512t ≤≤. ………12分20．（1）证明：取PD 中点Q ,连结AQ 、EQ E 为PC 的中点，CD EQ //∴且CD EQ 21=又CD AB // 且CD AB 21=，AB EQ //∴且AB EQ =∴四边形ABED 是平行四边形，AQ BE //∴.又⊄BE 平面PAD ，⊂AQ 平面， ∴//BE 平面PAD .…………………4分（2）证明：⊥PA 底面ABCD ，CD PA ⊥∴.又AD CD ⊥ ，且PAAD A =, ⊥∴CD 平面PAD ，AQ CD ⊥∴.AD PA = ，Q 为PD 的中点， PD AQ ⊥∴，,CD PD D =⊥∴AQ 平面PDC .AQ BE // ，∴⊥BE 平面PDC . ………9分（3）由已知可得1DBC S ∆=又⊥PA 底面ABCD ，∴ 1133C PBD P BCD BCD V V PA S --∆==⨯⨯=…………12分21． (1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －a )2＋22()y a -＝a 2＋24a，………2分当y ＝0时，x ＝0或2a ，则A (2a,0)；QEDCA BP当x ＝0时，y ＝0或4a，则B(0,4a)，………4分∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×2a ·4a ＝4为定值．……………5分(2)解 ∵OM ＝ON ，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，………………7分则直线OC 的斜率k ＝22a＝12，∴a ＝2或a ＝－2. ……………………………9分 a ＞0，∴圆心为C (2,1)，………11分∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，……………12分 22． （1）函数()f x 为R 上的增函数．证明如下：证明：函数()f x 的定义域为R ，对任意1x ，R x ∈2，设21x x <，则121222()()()()2121x x f x f x aa122121222(22)2121(21)(21)x x x x x x . (2)分因为2x y 是R 上的增函数，且12xx ，所以1222xx ＜０，所以12()()f x f x ＜０即12()()f x f x ，函数()f x 在R 上单调递增. ……………4分（2）解：∵函数()f x 为奇函数，且R,x ∈∴()()f x f x -=-，∴222121x x a a --=-+++.即2222121x x x a a ⨯-=-+++222221x x a ⨯+=+=2，所以1a =．…………7分（3）不等式(4)(1)0f x k f kx +++<在1x >-恒成立等价于不等式(4)(1)f x k f kx +<-+在1x >-上恒成立，不等式(4)(1)f x k f kx +<--在1x >-上恒成立，又因为()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，所以等价于不等式41x k kx +<--在1x >-上恒成立， 即不等式(1)410k x k +++<在1x >-上恒成立．………10分 设()(1)41g x k x k =+++， （1x >-）当1k >-时，函数()g x 的图象在1x >-时必有在x 轴上方的点，不符合题意；当1k =-时，30-<显然成立， 当1k <-时，必须10,1410,k k k +<⎧⎨--++≤⎩，解得1k <-.综上，实数k 的取值范围{}1k k ≤-． ………12分。

一、单选题1．已知集合,集合,则=( ){}2|4A x x =>{}23|B y y x ==-+A B ⋂A ．B ．()2,3(]2,3C ． D ．()(],22,3-∞- ()(),22,3-∞-⋃【答案】C【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可.,A B 【详解】因为或,,{}{242A x x x x ==<-}2x >{}{}2|33B y y x y y ==-+=≤所以或. {2A B x x ⋂=<-}23x <≤故选:C.2．命题“，”的否定为（ ） 0x ∃≥210x -≥A ．， B ．， 0x ∀<210x -<0x ∃≥210x -≥C ．， D ．，0x ∃≥210x -<0x ∀≥210x -<【答案】D【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 0x ∃≥210x -≥所以其否定是全称量词命题，即为，， 0x ∀≥210x -<故选：D3．函数，若，则（ ） 3()tan 2f x ax bx x =--+()1f m =()f m -=A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】C【分析】先求出，再整体代入即得解.3tan 1am bm m --=-【详解】由题得，()3tan 21f m am bm m =--+=3tan 1am bm m ∴--=-所以.()33tan 2(tan )2123f m am bm m am bm m +-=-++=---+=+=故选：C4．若函数在上不单调，则实数取值范围是（ ） 231y x mx m =-+-[3,4]-m A ． B ．C ．D ．[6,8]-(6,8)-(,6][8,)-∞-⋃+∞(,6)(8,)-∞-⋃+∞【答案】B【分析】利用二次函数的对称轴与所给区间的关系即可得解. 【详解】因为二次函数的对称轴方程为，且在上不单调， 231y x mx m =-+-2mx =[3,4]-所以，解得， 342m-<<68m -<<故选：B5．已知函数，若，则不等式的解集为（ ）()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =()28(2)f x f x -<A ． B ． C ． D ．(2,4)-(2,)-+∞(4,2)-(1,4)-【答案】A【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求()1f a =()f x ()28(2)f x f x -<解.【详解】解：因为函数，且，()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =当时，，解得， 1a ≥3log 1a a +=1a =当时，，解得（舍去）， 1a <22313a -+=1a =所以，32log 1,1()23,13x x x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩当时，单调递增；1x ≥3()log 1f x x =+当时，，单调递增，且， 1x <22()33x f x -=+1232log 1133-+=+所以在R 上递增，()f x 因为，()28(2)f x f x -<所以，即， 282x x -<2280x x --<解得， 24-<<x 故选：A6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的Logistic 模型：，其中为最大()(I t t ()()0.24531e t K I t --=+K 确诊病例数．当时，则t 约为（ ） ()0.8I t K =()ln 4 1.39≈A ．48B ．72C ．63D ．59【答案】D【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可.0.24(53)()0.81e t K I t K --==+【详解】由题意得：，0.24(53)()0.81e t KI t K --==+即， 0.24(53)e41t --=两边取对数得， 10.24(53)ln ln 4 1.394t --==-≈-即， 0.24(53) 1.39t -≈解得， 59t ≈故选：D.7．锐角三角形的内角A ，B ，C 满足：，则有（ ） cos sin 2cos sin A B B C =A ． B ． sin 2cos 0B C -=sin 2cos 0B C +=C ． D ．sin 2sin 0B C -=sin 2sin 0B C +=【答案】C【分析】由三角恒等变换化简可得，得出，再由诱导公式即可得解. A B =π2C B =-【详解】因为， cos sin 2cos sin A B B C =所以， 2cos sin cos cos sin A B B B C =又，所以， π02B <<cos 0B ≠所以， 2cos sin sin sin()sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+即，又为锐角， in 0()s A B -=,A B 所以，故，A B =π2C B =-所以，， sin sin(π2)sin 2C B B =-=cos cos(π2)cos 2C B B =-=-故， sin 2sin 0B C -=故选：C 8．已知，则等于（ ） 1124m m+=+2log m m A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，再根据求解即128mm ⋅=()2222log log 2log log 2m m m m m m +=+=⋅可.【详解】因为，所以，即.1124m m+=128m m =128mm ⋅=所以. ()222221log log 2log log 2log 38m mm m m m +=+=⋅==-故选：C二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合 {}1,2A =(){}1,2B =B ．函数的单调增区间为()f x [3,1]--C ．若，则用a ，b 表示2log 3a =2log 5b =303log 401b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >21()1f x x x=+-0x < 21()1f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{1,2}A ={(1,2)}B =所以A 选项错误；对于B ，根据解得函数的定义域为， 2320x x --≥()f x =[3,1]-令则，232t x x =--y =为二次函数，开口向下，对称轴为，232t x x =--()2121x -=-=-⨯-所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，232t x x =--[]3,1--[]1,1-函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y =()f x =[]3,1--所以B 选项正确；对于C ，因为，，根据对数的换底公式可得2log 3a =2log 5b =，所以C 选项正确；22223022222log 40log (58)log log 83log 40log 30log (352155)log 3log log 2b a b ⨯++==+==⨯⨯+++对于D ，因为当时，，可令，则，所以 0x >21()1f x x x=+-0x <0x ->， 2211()()11()f x x x x x-=-+-=---又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不()f x (,0)(0,)-∞+∞ 21()()1f x f x x x=--=-++符，所以D 选项错误； 故选：BC.10．下列函数中，最小正周期为的是（ ） πA ． B ．|sin |y x =πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ． D ．cos ||y x =πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】依次判断选项中的函数周期即可得到答案。

2015—2016学年上期中考 18届 高一数学试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟。

2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。

第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}06,N U x x x =≤≤∈， {}2,3,6A =，{}2,4,5B =，则()U AC B =（ ）A. {}2,3,4,5,6B. {}3,6C. {}2D. {}4,5 2．函数2()lg(3)f x x =++的定义域为（ ） A. (]3,2-B. []3,2-C. ()3,2-D. (),3-∞-3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）A. xy 1=B. 2x y =-C. 23log y x =D. 2y x x =- 4．已知幂函数()y f x =的图像过点(，则2log (2)f 的值为（ ）A.12 B. 12- C. 1 D. 1- 5．函数3()log 28f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6) 6.已知1)f x =-()8f a =且，则实数a 的值是（ ）A. 3±B. 16C. 3-D. 37. 设()()1523,2log 34,2x x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()3f f 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 53 8. 函数3()4c f x ax bx x=+++，满足(lg2015)3f =，则1(lg)2015f 的值为（ ） A. 3- B. 3 C. 5 D. 8 9．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ）A. >>a c bB. >>a b cC. >>c a bD. >>c b a10．若4log 15a <，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(0,)5B. 4(,)5+∞ C. 4(,1)5 D. 4(0,)5),1(+∞11．已知函数27,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 4-≤a ＜0B. a ≤2-C. 4-≤a ≤2-D. a ＜012．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞为减函数，若(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为（ ）A. ()3,1--B. ()(3,1)2,-⋃+∞C. ()3,0(1,3)-⋃D. ()()1,11,3-⋃ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．集合{}0,2,4的真子集个数为__________个．14．函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________． 15．若2log 3a =，52b=，试用,a b 表示2log 45= ．16．已知当(1,3)x ∈时，关于x 的不等式221log a x x x --<恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2015—2016学年上期中考 18届 高一数学答题卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13． ______________________ 14．_______________________ 15．_______________________ 16．_______________________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知集合A = 1{|01}3x x -<≤，B =1{|(),1}2x y y x =<-且.（1）若集合{},C x x AB x A B =∈∉且，求集合C ；（2）设集合D = {|321}x a x a -<<-，满足A D A =，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分12分）计算下列各式：（1）2224lg2lg5lg20log (log 16)log 3+⋅-+⋅（）（2）31120221647(9201549--++---（）（）19．（本小题满分12分）已知函数2()2x x af x b-=+为定义在R 上的奇函数.（1）求,a b 的值及)(x f 的表达式；（2）判断()f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明.20. （本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时x x x f 2)(2+=．（1）写出函数R x x f ∈),(的解析式，并作出函数的图像；（2）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值()h a .21. （本小题满分12分）某厂生产一种机器的固定成本投入为0.5万元，每生产一台机器，需要另增加可变成本投入0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的年收入函数为2()5(05)2x R x x x =-≤≤（单位：万元），其中x 是产品售出数量（x Z ∈,单位：百台）.（1）把年利润表示为年产量的函数；并求出年产量是多少时，工厂所得年利润最大？ （2）计算年产量是多少时，工厂才不亏本？22．（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：（1）对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-，（2）当0x >时， ()1f x >. （1）求(0)f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数； （3）若(6)7f =，3a ≤-，关于x 的不等式2(2)()3f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．。

2015—2016学年上期中考 18届 高一数学试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟。

2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。

第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}06,N U x x x =≤≤∈， {}2,3,6A =，{}2,4,5B =，则()U AC B =（ ）A. {}2,3,4,5,6B. {}3,6C. {}2D. {}4,5 2．函数2()lg(3)2f x x x=++-的定义域为（ ） A. (]3,2-B. []3,2-C. ()3,2-D. (),3-∞-3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）A. xy 1=B. 2x y =-C. 23log y x =D. 2y x x =- 4．已知幂函数()y f x =的图像过点(3，则2log (2)f 的值为（ ）A.12 B. 12- C. 1 D. 1- 5．函数3()log 28f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6) 6. 已知1)f x x x =-()8f a =且，则实数a 的值是（ ）A. 3±B. 16C. 3-D. 37. 设()()1523,2log 34,2x x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()3f f 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 53 8. 函数3()4c f x ax bx x=+++，满足(lg 2015)3f =，则1(lg)2015f 的值为（ ） A. 3- B. 3 C. 5 D. 8 9．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ）A. >>a c bB. >>a b cC. >>c a bD. >>c b a10．若4log 15a <，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(0,)5B. 4(,)5+∞ C. 4(,1)5 D. 4(0,)5),1(+∞11．已知函数27,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 4-≤a ＜0B. a ≤2-C. 4-≤a ≤2-D. a ＜012．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞为减函数，若(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为（ ）A. ()3,1--B. ()(3,1)2,-⋃+∞C. ()3,0(1,3)-⋃D. ()()1,11,3-⋃ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．集合{}0,2,4的真子集个数为__________个．14．函数()63f x x x =-在区间[]2,4上的最大值为_____________． 15．若2log 3a =，52b=，试用,a b 表示2log 45= ．16．已知当(1,3)x ∈时，关于x 的不等式221log a x x x --<恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2015—2016学年上期中考 18届 高一数学答题卷题号一二三总分1718 19 20 21 22 得分一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 123456789101112答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13． ______________________ 14．_______________________ 15．_______________________ 16．_______________________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知集合A = 1{|01}3x x -<≤，B =1{|(),1}2x y y x =<-且.（1）若集合{},C x x AB x A B =∈∉且，求集合C ；（2）设集合D = {|321}x a x a -<<-，满足A D A =，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分12分）计算下列各式：（1）22243lg2lg5lg20log (log 16)log 3log+⋅-+⋅（）（2）3113log 20221647(942)3201549--++---（）（）19．（本小题满分12分）已知函数2()2x x af x b-=+为定义在R 上的奇函数.（1）求,a b 的值及)(x f 的表达式；（2）判断()f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明.20. （本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时x x x f 2)(2+=．（1）写出函数R x x f ∈),(的解析式，并作出函数的图像；（2）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值()h a .21. （本小题满分12分）某厂生产一种机器的固定成本投入为万元，每生产一台机器，需要另增加可变成本投入万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的年收入函数为2()5(05)2x R x x x =-≤≤（单位：万元），其中x 是产品售出数量（x Z ∈,单位：百台）. 座号Oxy（1）把年利润表示为年产量的函数；并求出年产量是多少时，工厂所得年利润最大？ （2）计算年产量是多少时，工厂才不亏本？22．（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：（1）对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-，（2）当0x >时， ()1f x >. （1）求(0)f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数； （3）若(6)7f =，3a ≤-，关于x 的不等式2(2)()3f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．。

2015-2016学年河南省郑州市一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（）A．y=1﹣x3B．y=x2+x C．y=D．y=3．已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b4．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．[0，1）5．下列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π9．函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=011．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]12．设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．14．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4= ．15．当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．16．圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．18．分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．19．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？20．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．21．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．22．已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．2015-2016学年河南省郑州市一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（）A．y=1﹣x3B．y=x2+x C．y=D．y=【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】逐一判断函数的单调性，推出正确结果即可．【解答】解：y=1﹣x3函数在（﹣∞，1）内是减函数．y=x2+x对称轴为x=﹣，在（﹣∞，1）内不是增函数．y==﹣1，在（﹣∞，1）内是增函数，满足题意．y=，函数在（﹣∞，1）内是减函数．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，是基础题．3．已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数、指数数的性质求解．【解答】解：∵a=log5＜=﹣2，b=log23＞log22=1，c=1，0＜d=3﹣0.6＜30=1，∴a＜d＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数数的性质的合理运用．4．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．[0，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据函数零点存在性定理，若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）＜0，可得关于a的不等式，解不等式，即可求出a的范围．【解答】解：当△=0时，a=﹣，此时有一个零点x=﹣2，不在（0，1）上，故不成立．∵函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，∴f（0）f（1）＜0，即﹣1×（2a﹣1）＜0，解得，a＞1，故选A【点评】本题考查了函数零点存在性定理，属基础题，必须掌握．5．下列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征，即可得出结论．【解答】解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，故A错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故B错误；由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故C不正确；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故棱台各侧棱的延长线交于一点，即D正确．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解答的关键．6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力．8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．9．函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得，由此解得a的范围．【解答】解：函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，可得，解得a＞2，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，属于基础题．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=0【考点】待定系数法求直线方程．【专题】直线与圆．【分析】由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．【解答】解：线段AB的中点为M（1，2），k AB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：C．【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0 的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的范围为（，1]，故选：D．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题．12．设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π【考点】圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．【解答】解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=，则三角形OAC的面积S==，圆的面积为×=π，则一个弓弧的面积S=π﹣，则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，则整个区域的面积S=4×（+）=2+π，故选：C【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2为正方形，他们的高均为则V=（+4）•=故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键．14．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4= ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=﹣4+1+4=．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．【解答】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m≤﹣5．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16．圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣43）2+y2=4与直线y=kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C′（3，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即5k2﹣12k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先通过解一元二次不等式化简集合A和B，再求集合B的补集，最后求出A∩（C R B）即可；（Ⅱ）由于一元二次方程x2﹣4ax+3a2=0的两个根是：a，3a．欲表示出集合C，须对a进行分类讨论：①若a=0，②若a＞0，③若a＜0，再结合C⊇（A∩B），列出不等关系求得a的取值范围，最后综合得出实数a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|x＜﹣4或x＞2}，（C R B）={x|﹣4≤x≤2}∴A∩（C R B）=（﹣3，2]（Ⅱ）∴A∩B={x|2＜x＜4}①若a=0，则C={x|x2＜0}=∅不满足C⊇（A∩B）∴a≠0②若a＞0，则C={x|a＜x＜3a}，由C⊇（A∩B）得③若a＜0，则C={x|3a＜x＜a}，由C⊇（A∩B）得综上，实数a的取值范围为【点评】本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算=补集及其运算不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．18．分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可．【解答】解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0．当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（Ⅱ）有解得交点坐标为（1，），当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，由A、B两点到直线l的距离相等得，解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…【点评】本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．19．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）设经过m年剩余面积为原来的．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的．可列出关于m的等式，解之即可；（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．【解答】解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x （ 0＜x＜1）．则，即，解得（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，即，，解得m=5故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为令≥，即（1﹣x）n≥，≥，≤，解得n≤15故今后最多还能砍伐15年．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．20．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．（III）由=，能求出点C到平面A1BD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，∴A1D⊥平面A1BC，又∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD．解：（III）设C到平面A1BD的距离为h，∵=，∴=，又∵=S△DBC，，∴．∴点C到平面A1BD的距离为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．【解答】解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即得r=3，则OC=，则⊙N的方程为；（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质，属于直线与圆的方程中综合性较强的题型，题后注意题设中条件转化的技巧．22．已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求得g（x）=，由定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，即可得到所求最小值；（III）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，可得h（n）=m2，h（m）=n2，两式相减，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）由函数，可得其反函数为y=，因为定义域为R，即有mx2+2x+1＞0恒成立，所以，解得m∈（1，+∞）；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，当a＞2，区间[，2]为减区间，t=2时，y min=7﹣4a；当≤a≤2，t=a时，y min=3﹣a2；当a＜，区间[，2]为增区间，t=时，y min=﹣a．则；（III）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减．所以，两式相减得，m+n=4，与m＞n＞2矛盾，所以不存在m，n满足条件．【点评】本题考查函数的定义域和值域的求法，考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

2015-2016学年河南省郑州外国语学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={﹣1，0，1，2，4}，集合∁U M={﹣1，1}，则集合M等于（）A．{0，2} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lgx D．y=x33．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．4．函数，若f（x）=2，则x的值是（）A．B．C．0或1 D．5．在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有（）A．平面SAC⊥平面SCB B．平面SAB⊥平面ABCC．平面SCB⊥平面ABC D．平面SAC⊥平面SAB6．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．107．设A在x轴上，它到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，那么A点的坐标是（）A．（1，0，0）和（﹣1，0，0）B．（2，0，0）和（﹣2，0，0）C．（，0，0）和（，0，0）D．（，0，0）和（，0，0）8．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=09．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④10．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能11．已知定义在实数集上的偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，那么，和之间的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y112．已知函数f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f （x）≤1，则c的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线x﹣2y+1=0，则l的方程是．14．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，，，则该三棱锥的外接球表面积为．15．若，，则log2（a+b）=．16．函数的零点的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在（﹣1，1）上是减函数，解不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．19．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．21．已知点P（2，1）．（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？22．已知圆O：x2+y2=5和定点A（4，3），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．2015-2016学年河南省郑州外国语学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={﹣1，0，1，2，4}，集合∁U M={﹣1，1}，则集合M等于（）A．{0，2} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}【考点】补集及其运算．【分析】由C U M={﹣1，1}，可知﹣1∉M，1∉M，可求出M【解答】解：∵C U M={﹣1，1}，故M={0，2，4}，故选D【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lgx D．y=x3【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A．的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，所以不满足条件．B．y=3x为非奇非偶函数，在定义域上单调递增，所以不满足条件．C．y=lgx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，所以不满足条件．D．y=x3为奇函数，在定义域R上单调递增，所以满足条件．故选D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的基本性质，比较基础．3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，且底面圆的半径以及圆柱的高已知，故可以求出底面圆的周长与圆柱的高，计算出其侧面积．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是故侧面积为1×π=π故选C【点评】本题考点是由三视图求表面积，考查由三视图还原实物图的能力，及几何体的空间感知能力，是立体几何题中的基础题．4．函数，若f（x）=2，则x的值是（）A．B．C．0或1 D．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式进行求解即可．【解答】解：若x≤﹣1，由f（x）=2得x+1=2，得x=1，此时不成立，若﹣1＜x＜2，由f（x）=2得x2=2，得x=或x=﹣（舍），此时x=，若x≥2，由f（x）=2得2x=2，得x=1，此时不成立，综上x=，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式分别进行求解即可．5．在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有（）A．平面SAC⊥平面SCB B．平面SAB⊥平面ABCC．平面SCB⊥平面ABC D．平面SAC⊥平面SAB【考点】平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线线垂直得到线面垂直，再根据线在面内，得出面面垂直．【解答】解：∵SC⊥AB，AC⊥SC，AC∩AB=A∴SC⊥平面ABC，又SC⊂平面SCB，SC⊂平面SAC∴平面SCB⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC故选：C．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理，关键是找线面的关系，属于基础题．6．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．7．设A在x轴上，它到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，那么A点的坐标是（）A．（1，0，0）和（﹣1，0，0）B．（2，0，0）和（﹣2，0，0）C．（，0，0）和（，0，0）D．（，0，0）和（，0，0）【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【专题】计算题．【分析】根据A在x轴上，设A点的坐标是（x，0，0），根据A到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，写出关于x的关系式，求出点的坐标．【解答】解：∵A在x轴上，∴设A点的坐标是（x，0，0）∵A到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，∴|AP|=2|AQ|∴∴x=±1，故选A．【点评】本题考查空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据点的位置，设出点的坐标，设出简单的坐标形式是解题的捷径．8．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C【点评】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，求出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，然后再根据点与圆心的距离与半径比较即可得到P的位置．【解答】解：由圆x2+y2=1得到圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜1，即a2+b2＞1即P点到原点的距离大于半径，所以P在圆外．故选B【点评】考查学生掌握直线与圆的各种位置关系所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题的那里．以及会判断点与圆的位置关系．11．已知定义在实数集上的偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，那么，和之间的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先由函数的奇偶性和单调性判断函数的图象特征，再通过比较自变量的大小比较函数值的大小即可【解答】解：∵偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数∴|x|越大，函数值就越大∵≥3，∴＞＞∴y1＜y3＜y2故选A【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合运用，解题时要综合分析函数的图象特征，利用图象的对称性和单调性提高解题速度12．已知函数f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f （x）≤1，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求．【解答】解：由f（x）≤1，得：log2x﹣2log2（x+c）≤1，整理得：，所以x+c≥，即c≥（x＞0）．令（t＞0）．则．令g（t）=，其对称轴为．所以．则c．所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是．故选D．【点评】本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线x﹣2y+1=0，则l的方程是2x+y﹣2=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．【解答】解：垂直于直线x﹣2y+1=0的直线的斜率为：﹣2．直线l在x轴上的截距为1，可知所求直线方程为：y=﹣2（x﹣1）．即：2x+y﹣2=0．故答案为：2x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线方程的求法，直线与直线的垂直关系的应用，是基础题．14．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，，，则该三棱锥的外接球表面积为6π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π，故答案为：6π．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．15．若，，则log2（a+b）=2．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】利用分母有理化以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：若，，可得a+b==2=4．log2（a+b）=log24=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．16．函数的零点的个数为3．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】方法1：由f（x）=0，得x2=|x﹣|，转化为2个函数的交点个数问题进行求解即可．方法2：直接由定义解方程f（x）=0即可．【解答】解：方法1：∵函数，∴由f（x）=0，得x2=|x﹣|，作出函数y=x2和y=|x﹣|的图象如图：则两个函数有3个交点，即函数的零点个数为3个．法2：当x≥时，f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2，由f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2=0得x=，当x＜时，f（x）=x2+x﹣=（x+）2﹣由f（x）=（x+）2﹣=0得x+=±=，则x=﹣，即函数有3个零点，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合或定义法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在（﹣1，1）上是减函数，解不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数是奇函数，且单调递减将不等式进行转化即可．【解答】解∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0得f（1﹣x）＜﹣f（1﹣x2）．∴f（1﹣x）＜f（x2﹣1）．又∵f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴，解得0＜x＜1．∴原不等式的解集为：（0，1）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（1）在正方体中AD1⊥A1D，又可得AD1⊥A1B1，由线面垂直的判定定理可得；（2）连接B1D1，AB1，可得∠AD1B1即为所求的角，解三角形可得．【解答】解：（1）∵在正方体中AD1⊥A1D，A1B1⊥面ADD1A1，且AD1⊂面ADD1A1，∴AD1⊥A1B1，而A1D，A1B1在平面CDA1B1内，且相交∴AD1⊥平面CDA1B1；（2）连接B1D1，AB1，∵BD∥B1D1，∴∠AD1B1即为所求的角，而三角形AB1D1为正三角形，故∠AD1B1=60°，∴直线AD1与直线BD所成的角为60°【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定，属中档题．19．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO，先利用三角形中位线定理证明BC1∥DO，从而利用线面平行的判定定理证明所证结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可【解答】解：如图，（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO在△ABC1中，点D是AB的中点，点O是A1C的中点∴BC1∥DO，BC1⊈平面CA1D，DO⊆平面CA1D∴BC1∥平面CA1D（2）∵AC=BC，D是AB的中点∴CD⊥AB∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB∴CD⊥平面AA1B1B，又CD⊂平面CA1D∴平面CA1D⊥平面AA1B1B【点评】本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性21．已知点P（2，1）．（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【考点】点到直线的距离公式．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可．【解答】解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），故过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0．由已知，过P点与原点距离为2，得=2，解之得k=．此时l的方程为3x﹣4y﹣2=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣2=0．（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k l•k OP=﹣1，所以k l=﹣=2．由直线方程的点斜式得y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0，即直线2x﹣y﹣3=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=．【点评】本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于中档题．22．已知圆O：x2+y2=5和定点A（4，3），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P点的轨迹方程；（2）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，即可求出半径最小的圆的方程．【解答】解（1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|=|PA|，所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=5+|PA|2，所以a2+b2=5+（a﹣4）2+（b﹣3）2，故4a+3b﹣15=0．（2）由|PQ|2=|OP|2﹣5=a2+b2﹣5=（a﹣）2+4，得|PQ|min=4．（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r=3﹣，又l′：3x﹣4y=0，联立l：4x+3y﹣15=0得P0（，）．所以所求圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=（3﹣）2．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2015-2016学年河南省郑州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={x|0≤x≤6，x∈N}，A={2，3，6}，B={2，4，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2，3，4，5，6} B．{3，6} C．{2} D．{4，5}2．函数的定义域为（）A．（﹣3，2]B．[﹣3，2]C．（﹣3，2）D．（﹣∞，﹣3）3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． B．y=﹣2|x|C．D．y=x﹣x24．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B． C．1 D．﹣15．函数f（x）=log3x+2x﹣8的零点位于区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）6．已知，且f（a）=8，则实数a的值是（）A．±3 B．16 C．﹣3 D．37．设f（x）=，则f（f（3））的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．8．函数，满足f（lg2015）=3，则的值为（）A．﹣3 B．3 C．5 D．89．已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a10．若，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．∪（1，+∞）11．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣4≤a≤﹣2 D．a＜012．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，则不等式（x ﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（1，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．集合{0，2，4}的真子集个数为个．14．已知函数f（x）=﹣3x在区间[2，4]上的最大值为．15．若1og23=a，5b=2，试用a，b表示log245=．16．当x∈（1，3）时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|0＜≤1}，B={y|y=（）x，且x＜﹣1}（1）若集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合C；（2）设集合D={x|3﹣a＜x＜2a﹣1}，满足A∪D=A，求实数a的取值范围．18．计算下列各式：（1）（lg2）2+lg5•lg20﹣log2（log216）+log43•log2；（2）4（）+7（9+4）﹣﹣（﹣2015）0．19．已知函数f（x）=为定义在R上的奇函数．（1）求a，b的值及f（x）的表达式；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．21．某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数R（x）=（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？22．已知定义为R的函数f（x）满足下列条件：（1）对任意的实数x，y都有：f（x+y）=f（x）+f （y）﹣1，（2）当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）在R上为增函数；（3）若f（6）=7，a≤﹣3，关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省郑州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={x|0≤x≤6，x∈N}，A={2，3，6}，B={2，4，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2，3，4，5，6} B．{3，6} C．{2} D．{4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先把集合U利用列举法表示出来，确定出全集U，根据全集U和集合B，求出集合B的补集，最后求出集合B补集与集合A的交集即可．【解答】解：∵U={x|0≤x≤6，x∈N}={0，1，2，3，4，5，6}，B={2，4，5}，∴C U B={0，1，3，6}，A={2，3，6}，则A∩C U B={3，6}．故选B．【点评】此题考查了交集、补集及并集的混合运算，利用列举法表示出集合U，确定出全集U是本题的突破点，学生在求补集时注意全集的范围．2．函数的定义域为（）A．（﹣3，2]B．[﹣3，2]C．（﹣3，2）D．（﹣∞，﹣3）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0，联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得﹣3＜x＜2．∴函数的定义域为（﹣3，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． B．y=﹣2|x|C．D．y=x﹣x2【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别偶读函数的奇偶性和单调性是否满足即可．【解答】解：是奇函数，不满足条件．y=﹣2|x|为偶函数，当x＞0时，y=﹣2|x|=y=﹣2x，为减函数，满足条件．是偶函数，当x＞0时，为增函数，不满足条件．y=x﹣x2的对称轴为x=，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．4．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B． C．1 D．﹣1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；方程思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．【解答】解：设f（x）=xα，则f（3）=3α=，解得α=，则f（x）=，f（2）=，则log2f（2）=log2=，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．5．函数f（x）=log3x+2x﹣8的零点位于区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x+2x﹣8若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）•f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．【解答】解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=3时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）•f（4）＜0又∵函数f（x）=log3x+2x﹣8为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）．故选C．【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：①解方程；②利用零点存在定理；③利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理．6．已知，且f（a）=8，则实数a的值是（）A．±3 B．16 C．﹣3 D．3【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简可得f（a）=a2﹣1=8，从而解得．【解答】解：∵=（﹣1）2﹣1=8，∴f（a）=a2﹣1=8，解得a=﹣3（舍去）或a=3；故选D．【点评】本题考查了复合函数的应用，注意复合函数的定义域的转化．7．设f（x）=，则f（f（3））的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（3）=1，则f（f（3））=f（1），代入数据即可得答案．【解答】解：根据题意，对于f（x）=，f（3）=log5（3×3﹣4）=log55=1，f（f（3））=f（1）=2﹣30=1；故选：B．【点评】本题考查函数的值的计算，属于基础题，注意准确计算即可．8．函数，满足f（lg2015）=3，则的值为（）A．﹣3 B．3 C．5 D．8【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣1，判断函数的奇偶性，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx++4，∴f（x）﹣4=ax3+bx+是奇函数，设g（x）=f（x）﹣4，则g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）﹣4=﹣（f（x）﹣4）=4﹣f（x），即f（﹣x）=8﹣f（x），则=f（﹣2015）若f（2015）=3，则f（﹣2015）=8﹣f（2015）=8﹣3=5，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性是解决本题的关键．9．已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．10．若，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．∪（1，+∞）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式化为等价的log a＜log a a，讨论a的取值，利用函数y=log a x的单调性，求出a的取值范围．【解答】解：不等式等价于log a＜log a a，当a＞1时，函数y=log a x是增函数，解得a＞，应取a＞1；当0＜a＜1时，函数y=log a x是减函数，解得a＞，应取0＜a＜；综上，实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．11．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣4≤a≤﹣2 D．a＜0【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意根据函数的单调性的性质可得，由此求得a的范围．【解答】解：函数是R上的增函数，则，求得﹣4≤a≤﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，则不等式（x ﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（1，3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性与奇偶性做出函数图象，然后按x﹣1得符号进行分类讨论．【解答】解：由做出函数的大致图象如图：（1）当x﹣1＞0时，即x＞1时，f（x﹣1）＞0，∴0＜x﹣1＜2或x﹣1＜﹣2，解得1＜x＜3．（2）当x﹣1＜0时，即x＜1时，f（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x﹣1＜0或x﹣1＞2，解得﹣1＜x＜1．综上所述：x的取值范围是（﹣1，1）∪（1，3）．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性，是基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．集合{0，2，4}的真子集个数为7个．【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据题意，集合{0，2，4}中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．【解答】解：集合{0，2，4}中有3个元素，有23=8个子集，有23﹣1=7个真子集；故答案为：7．【点评】本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集．14．已知函数f（x）=﹣3x在区间[2，4]上的最大值为﹣4．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】观察可知函数f（x）=﹣3x在区间[2，4]上是减函数；从而求值．【解答】解：∵在区间[2，4]上是减函数，﹣3x在区间[2，4]上是减函数；∴函数f（x）=﹣3x在区间[2，4]上是减函数；∴f（x）max=f（2）=﹣3×2=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了函数的最值的求法，观察可知函数为减函数，从而得解，是解最值的一般方法，属于基础题．15．若1og23=a，5b=2，试用a，b表示log245=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用对数定义和换底公式先把5b=2转化为log25=，再利用对数的运算法则能用a，b表示log245．【解答】解：∵1og23=a，5b=2，∴log52=b，∴log25=，∴log245=log25+2log23=2a+．故答案为：．【点评】本题考查对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、换底公式和运算法则的合理运用．16．当x∈（1，3）时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是1＜a≤．．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】构造函数，作出函数图象，利用数学结合可得：f（3）≤2，g（3）=log a3≥2恒成立，得出a 的范围．【解答】解：令f（x）=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，g（x）=log a x，作出函数图象如图：由图象可知：x2﹣2x﹣1＜log a x恒成立，∴f（3）≤2，∴g（3）=log a3≥2恒成立，∴1＜a≤．故a的范围为1＜a≤．【点评】考查了数形结合的应用，利用图象，更直接，更形象．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|0＜≤1}，B={y|y=（）x，且x＜﹣1}（1）若集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合C；（2）设集合D={x|3﹣a＜x＜2a﹣1}，满足A∪D=A，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】（1）化简集合A，B，利用集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合C；（2）设集合D={x|3﹣a＜x＜2a﹣1}，满足A∪D=A，D⊆A，分类讨论求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|0＜≤1}=（1，4]，B={y|y=（）x，且x＜﹣1}=（2，+∞）；∴A∪B=（2，+∞）；A∩B=（2，4]，∴集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}=（4，+∞）；（2）∵A∪D=A，∴D⊆AD=∅，3﹣a≥2a﹣1，∴a≤，D≠∅，，∴＜a≤2．【点评】本题考查集合的运算与关系，考查集合的化简，正确计算是关键．18．计算下列各式：（1）（lg2）2+lg5•lg20﹣log2（log216）+log43•log2；（2）4（）+7（9+4）﹣﹣（﹣2015）0．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算性质和对数的运算性质，结合换底公式的推论，代入运算可得答案．【解答】解：（1）（lg2）2+lg5•lg20﹣log2（log216）+log43•log 2=（lg2）2+lg5•（1+lg2）﹣log2（4）+log23•2log32=lg5+lg2（lg2+lg5）﹣2+1=lg5+lg2﹣1=1﹣1=0；（2）4（）+7（9+4）﹣﹣（﹣2015）0=4×+﹣﹣1=7+7﹣﹣1=7+2﹣1﹣2﹣1=5．【点评】本题考查的知识点是指数的运算性质和对数的运算性质，换底公式的推论，难度中档．19．已知函数f（x）=为定义在R上的奇函数．（1）求a，b的值及f（x）的表达式；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1），代入数据，计算可得a、b的值；（2）首先对f（x）的表达式变形可得f（x）=1﹣，用作差法判断函数单调性即可．【解答】解：（1）∵f（x）=定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，即=0，解可得a=1；又f（1）=﹣f（﹣1），即=﹣，解可得b=1．∴f（x）=；（2）由（1）可得，f（x）=1﹣设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数的奇偶性，求出分段函数的解析式．（2）利用分类讨论思想，进一步求出函数的最值【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．当x＞0时，f（x）=x2﹣2x所以：（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）min=g（1）=1﹣2a②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1③当a+1≥2时，即a≥1g（x）min=g（2）=2﹣2a综上：．故答案为：（1）（2）【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性，利用奇偶性求函数的解析式，利用分类讨论思想求函数的最值21．某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数R（x）=（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意，分0≤x≤5和x＞5两种情况进行讨论，分别根据利润=销售收入﹣成本，列出函数关系，即可得到利润表示为年产量的函数；（2）根据（1）所得的分段函数，分类讨论，分别求出两段函数的最值，然后进行比较，即可得到答案；（3）工厂不亏本时，则利润大于等于0，从而根据利润的表达式，列出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，产品售出的数量为x百台，销售的收入函数R（x）=（万元）（0≤x≤5），设利润函数为L（x），∴当0≤x≤5时，L（x）=（）﹣（0.5+0.25x）=，当x＞5时，只能售出5百台，∴L（x）=（5×5﹣）﹣（0.5+0.25x）=12﹣0.25x，综上，L（x）=；（2）∵L（x）=，①当0≤x≤5时，L（x）=，∵抛物线开口向下，对称轴为x=4.75，∴当x=4.75时，L（x）max=L（4.75）=10.75；②当x＞5时，L（x）=12﹣0.25x为R上的减函数，∴L（x）＜L（5）=10.75．综合①②，当x=4.75时，L（x）取最大值，∴年产量为475台时，所利润最大．（3）∵工厂不亏本时，则L（x）≥0，当0≤x≤5时，令L（x）=≥0，解得0.11≤x≤48；当x＞5时，令L（x）=12﹣0.25x≥0，解得5＜x≤48，∴年产量是0≤x≤48时，工厂才不亏本．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型，本题建立的数学模型为二次函数和分段函数，应用相应的数学知识进行求解．属于中档题．22．已知定义为R的函数f（x）满足下列条件：（1）对任意的实数x，y都有：f（x+y）=f（x）+f （y）﹣1，（2）当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）在R上为增函数；（3）若f（6）=7，a≤﹣3，关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，（2）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）﹣f（x1）与0的大小即可；（3）由原不等式可化为：f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化为f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后构造函数g（x）=x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，解得f（0）=1，（2）任取x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x2﹣x1）＞1，∵f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，∴f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）]=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1），所以f（x）是R上增函数；（3）由已知条件有：f（ax﹣2）+f（x﹣x2）=f（ax﹣2+x﹣x2）+1故原不等式可化为：f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3即f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜2而当n∈N*时，f（n）=f（n﹣1）+f（1）﹣1=f（n﹣2）+2f（1）﹣2=f （n ﹣3）+3f （1）﹣3=…=nf （1）﹣（n ﹣1）所以f （6）=6f （1）﹣5，所以f （1）=2故不等式可化为f[﹣x 2+（a+1）x ﹣2]＜f （1）；由（2）可知f （x ）在R 上为增函数，所以﹣x 2+（a+1）x ﹣2＜1．即x 2﹣（a+1）x+3＞0在x ∈[﹣1，+∞）上恒成立，令g （x ）=x 2﹣（a+1）x+3，即g （x ）min ＞0成立即可（i ）当＜﹣1即a ＜﹣3时，g （x ）在x ∈[﹣1，+∞）上单调递增则g （x ）min =g （﹣1）=1+（a+1）+3＞0解得a ＞﹣5，所以﹣5＜a ＜﹣3，（ii ）当≥﹣1即a ≥﹣3时有g （x ）min=g （）=（）2﹣（a+1）+3＞0解得﹣2﹣1＜a ＜2﹣1而﹣3＞﹣2﹣1，所以﹣3≤a ＜2﹣1…综上所述：实数a 的取值范围是（﹣5，2﹣1）． 【点评】本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．。

2015—2016学年上期中考 18届 高一数学试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟。

2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。

第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}06,N U x x x =≤≤∈， {}2,3,6A =，{}2,4,5B =，则()U AC B =（ ）A. {}2,3,4,5,6B. {}3,6C. {}2D. {}4,52．函数()lg(3)f x x =++的定义域为（ ） A. (]3,2-B. []3,2-C. ()3,2-D. (),3-∞-3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A. xy 1=B. 2x y =-C. 23log y x =D. 2y x x =-4．已知幂函数()y f x =的图像过点(，则2log (2)f 的值为（ ）A.12 B. 12- C. 1 D. 1- 5．函数3()log 28f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6) 6.已知1)f x -=-，()8f a =且，则实数a 的值是（ ）A. 3±B. 16C. 3-D. 37. 设()()1523,2log 34,2x x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()3f f 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 538. 函数3()4c f x ax bx x =+++，满足(lg 2015)3f =，则1(lg )2015f 的值为（ ）A. 3-B. 3C. 5D. 8 9．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =，则（ ）A. >>a c bB. >>a b c C . >>c a b D. >>c b a 10．若4log 15a <，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(0,)5B. 4(,)5+∞C. 4(,1)5D. 4(0,)5),1(+∞11．已知函数27,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 4-≤a ＜0B. a ≤2-C. 4-≤a ≤2-D. a ＜012．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞为减函数，若(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为（ ）A. ()3,1--B. ()(3,1)2,-⋃+∞C. ()3,0(1,3)-⋃D. ()()1,11,3-⋃ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．集合{}0,2,4的真子集个数为__________个． 14．函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．15．若2log 3a =，52b =，试用,a b 表示2log 45= ．16．已知当(1,3)x ∈时，关于x 的不等式221log a x x x --<恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2015—2016学年上期中考 18届 高一数学答题卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13． ______________________ 14．_______________________ 15．_______________________16．_______________________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知集合A = 1{|01}3xx -<≤，B=1{|(),1}2x y y x =<-且. （1）若集合{},C x x AB x A B =∈∉且，求集合C ；（2）设集合D = {|321}x a x a -<<-，满足A D A =，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分12分）计算下列各式：（1）2224lg 2lg5lg 20log (log 16)log 32+⋅-+⋅（）（2）31120221647(9201549--++---（）（）19．（本小题满分12分）已知函数2()2x x af x b-=+为定义在R 上的奇函数.（1）求,a b 的值及)(x f 的表达式；（2）判断()f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明.20. （本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时x x x f 2)(2+=． （1）写出函数R x x f ∈),(的解析式，并作出函数的图像；（2）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值()h a .21. （本小题满分12分）某厂生产一种机器的固定成本投入为0.5万元，每生产一台机器，需要另增加可变成本投入0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的年收入函数为2()5(05)2x R x x x =-≤≤（单位：万元），其中x 是产品售出数量（x Z ∈,单位：百台）. （1）把年利润表示为年产量的函数；并求出年产量是多少时，工厂所得年利润最大？ （2）计算年产量是多少时，工厂才不亏本？22．（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：（1）对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-，（2）当0x >时， ()1f x >. （1）求(0)f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若(6)7f =，3a ≤-，关于x 的不等式2(2)()3f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．。

郑州一中2015—2016学年上期期末考试17届 高二理科数学试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟．2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意R x ∈，使得20x < B ．存在0R x ∈，使得200x < C ．存在0R x ∈，都有200x ≥ D ．不存在R x ∈，使得20x <245．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．7330b c C ＝，＝，＝ B ．203030a b C ＝，＝，＝C ．460b c C ＝，＝＝D ．5445b c C ＝，＝，＝6．下列命题正确的是（ ）①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,OA OB OC ，不构成空间的一组基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一组基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一组基底． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③7．已知F 是双曲线C ：223(0)y mx m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）ABC．2 D．38．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，则2212a a ++223n a a ++=（ ）A ．()221n- B ． ()1213n- C ．()1413n-D ．()41n - 9．已知ABC ∆，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin ac A <BA BC ⋅, 则( ) A ．ABC ∆是钝角三角形 B ．ABC ∆是锐角三角C ．ABC ∆是直角三角形 D ．无法判断10．设y x ,满足223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若224x y a +≥ 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5 A ．B ．2C ．D ． 120，则第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知O 是空间中任意一点，,,,A B C D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++，则234x y z ++=________．14．已知F 是抛物线2y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF ＋＝，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．15．若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C ︒＝，则a b +的最小值为________．16．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015,n a =则n = ．123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536124579101214161719212325262830323436图甲 图乙三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数2()f x ax c =-，且4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤，求(3)f 的取值范围 18．（本小题满分12分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >．命题:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知4A π=，sin()sin().44b Cc B a ππ+-+= （Ⅰ）求证：2B C π-=；（Ⅱ）若a =ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和414S =，3a 是17a a ，的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若11n n T a λ+≤对一切*N n ∈恒成立，求实数λ的最大值．21．（本小题满分12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且21AD AB ==，，PA ABCD E F ⊥平面，、分别是线段AB BC 、的中点．（Ⅰ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的平面角的余弦值．22． （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率2e =，点Q 在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点(1,1)M ，求ABM S ∆的最大值．郑州一中2015—2016学年上期期末考试17届 高二理科数学答案卷二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13． _________________． 14．___________________．15．__________________． 16．___________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 解：18．（本小题满分12分）解：19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分12分）解：21．（本小题满分12分）解：22．（本小题满分12分）解：郑州一中2015—2016学年上期期末考试17届高二理科数学答案二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．_____-1_________________． 14．_______54____________．15．____3______________． 16．______1030_____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） 解：120x -≤≤18.（本小题满分12分） . (1)23x <<(2)12a <≤ 19. （本小题满分12分）解： (1)证明 由b si n ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c si n ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ， 应用正弦定理，得si n B si n ⎝⎛⎭⎫π4＋C －si n C si n ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝si n A ， si n B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －si n C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 sin B ＋22cos B ＝22， 整理得si n B cos C －cos B si n C ＝1，即si n (B －C )＝1，由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2si n 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2si n π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc si n A ＝2si n 5π8si n π8＝2cos π8·si n π8＝12. 20. （本小题满分12分）解：解 (1)设公差为d ，由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d2＝a 1a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)∵1a n a n ＋1＝111(1)(2)12n n n n =-++++，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝2(2)n n +，∵T n ≤1λa n ＋1，∴2(2)nn +≤1λ(n ＋2)，即λ≤2（n ＋4n ＋4），又2（n ＋4n ＋4）≥2×(4＋4)＝16，∴λ的最大值为16. 21. （本小题满分12分）解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0). 不妨令P(0，0，t)，存在.设平面PFD 的一个法向量为n =(x,y,z),结合(1),由n PF 0n DF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，得x y tz 0x y 0+-=⎧⎨-=⎩,令z=1,解得：x=y=t 2.∴t tn (,,1)22=.设G 点坐标为(0,0,m),E(12,0,0),则EG =(12-，0，m)，要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n =0，即1t t t()01m m 02224-⨯+⨯+⨯=-=,得1m t 4=，从而满足1AG AP 4=的点G 即为所求.(2)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得AB =(1，0，0)， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角， 得∠PBA=45°,PA=1，结合(2)得平面PFD 的法向量为n =(11122，，)，∴1AB ncos<ABn>6|AB ||n |1===，，由题意知二面角A-PD-F 为锐二面角. 故所求二面角A-PD-F 22. （本小题满分12分）解：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，由题意知222112a b+= ①又2c e a a ===② 联立①②解得，224,1a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=。