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函数的概念与性质教案一、概念介绍函数是数学中一种非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在数学中，函数描述了两个数集之间的对应关系，其中一个数集中的每个元素都与另一个数集中唯一确定的元素相对应。
函数通常用符号f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数输出的值，也称为因变量或函数值。
二、函数的定义函数的定义包括定义域、值域和对应关系三个要素。
1. 定义域：函数的定义域指的是自变量的取值范围。
函数的定义域决定了函数可以接受的输入值。
2. 值域：函数的值域指的是函数输出值的范围。
函数的值域决定了函数可以输出的结果。
3. 对应关系：函数的对应关系就是自变量与函数值之间的一一对应关系。
通过对应关系，我们可以得到输入值与输出值之间的对应关系表达式。
三、函数的性质1. 单调性：函数的单调性表明函数值的增减规律。
函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于原点（坐标轴的交点）的对称性。
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数；如果函数满足f(-x)= f(x)，则为偶函数。
3. 周期性：函数的周期性表示函数的性质在一定范围内反复出现。
函数的周期是指函数在某一特定域内，以一定规律重复出现的最小长度。
4. 连续性：函数的连续性代表函数在定义域内没有跳跃或间断。
连续函数可以用一条连续的曲线来表示。
5. 极值：函数的极值是函数在一定范围内的最大值或最小值。
极大值对应函数的局部最大值，极小值对应函数的局部最小值。
四、教学活动设计1. 简介与讲解：首先，向学生介绍函数的概念与性质。
通过实际生活中的例子，比如温度与时间的关系、速度与时间的关系等，帮助学生理解函数的概念。
2. 案例分析：让学生分别观察和分析一些函数的特征，比如单调性、奇偶性等。
引导学生发现函数的性质，并讨论函数图像的特点。
3. 问题练习：设计一些与函数相关的问题，让学生运用所学的函数概念和性质进行解答。
可以包括函数的定义域、值域、单调性等方面的问题。
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学必修1函数的定义域和值域
教学目的
知识与技能
（1）继续理解函数的概念和记号以及域函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念。
（2）掌握两个函数是同一函数的条件。
（3）会求简单函数的定义域和值域。
过程与方法
（1）通过对函数的概念的学习，初步探究客观世界中各种运动域数量间的互相依赖关系。
（2）使学生掌握求函数是=式的值得方法。
（3）培养批判思维才能、自我调控才能、交流与才能。
情感、态度与价值观
（1）懂得变化、联络、制约的辩证唯物主意观点。
（2）学会全面的观察、分析、研究问题。
重点难点
重点：符号“y=f(x)〞的含义。
难点：符号“y=f(x)〞的含义。
教法学法：讨论研究
教学用具：多媒体教学过程
板书设计
教学反思。
课程名称：函数的定义域及其值域 教学内容和地位： 内容： 1.求函数的定义域 2.求函数的值域 1、教材分 地位： 在函数的三要素中， 定义域和值域起决定作用， 而值域是由定义域和对应法则共同 析 确定。
教学重点：求函数的定义域和值域 教学难点：求函数的定义域和值域 2、课时规 课时：3课时 划 3、教学目 通过本节课的学习，掌握求解函数定义域和值域的一般方法，会求简 标分析 单函数的定义域和值域。
1．导入 2.集合部分知识点串讲 4、教学思 3.例题精讲 路 4.易错点，考点，综合应用，典型图形 5.小结必讲知识点 一、复习引入 二、知识串讲： 5、教学过 程设计 （一）求函数的定义域 1.显函数的定义域 求此类函数定义域的方法是： 函数解析式 1、整式 2、分式 3、偶次根式 R 分母≠0 被开方数≥0 定义域4、奇次根式 5、指数式 6、对数式 7、y = x0R R 真数>0 底数 x≠0 另行讨论 2、 y x 2 x 12 4、 y lg 6、y=x 1 x 18、三角函数 求下列函数的定义域 1、 y log2 (3x 1) 3、 y 5、y=1 2 1x2 x 10 x31 ( x 2) 0 + 1 | x |2.抽象函数 （1） 、已知 解法是： 若 的定义域为 ，则 的定义域。
中 ，从中解 的定义域，求 的定义域，得 的取值范围即为例 1. 已知 f(x)的定义域为[1,3],求 f(x-1)的定义域. 练习：1、已知函数 f ( x ) 的定义域为（0，1） ，则函数 f ( x 1) 的定义 域是________。
2． （江西卷 3） 若函数 y f ( x) 的定义域是 [0, 2] ， 则函数 g ( x ) 的定义域是 A ． [0,1] D． (0,1) B ． [0,1) C ． [0,1) (1,4]f (2 x) x 11 2（2） 、已知 解法是： 若 即为的定义域，求的定义域。
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。
三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。
（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。
比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。
2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。
（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。
（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。
- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。
3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。
请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。
（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。
函数的定义域，值域教学目的：1、理解函数的定义域、值域的概念。
2、能够掌握求函数求函数的定义的基本方法 教学重点：函数定义域的求法教学难点：用函数的定义域和值域解题教学方法：复习法教学用具：投影仪教学过程：一、 基本函数的定义域（一）定义域求法的依据：1、分式的分母-------2、偶次方根的被开方数------------，3、对数的真数必须-------4、指数函数与对数函数的底数必须-------且-----------，5、正切函数y=tanx 的定义域为---------，6余切函数y=cotx 的定义域为------------。
7、实际问题的定义域要--------的实际意义而定。
例题与练习1、函数y = ）A 、{}11x x -≤≤B 、{}1,1x x x ≥≤-或C 、{}01x x ≤≤D 、{}1,1-2、设函数()2lg 2y x x =--的定义域为A，函数y =B ，则A B =-------------3、函数y =[定义域为----------4、函数11y x =-的定义域为--------------5、函数()()(324)210log 1xx y -+=的定义域为-----------------（21）二、 复合函数的定义域例题与练习1、lgcos y x =的定义域为------------------2、设()0,1α∈，则函数y =------------3、设函数f(x)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为（ ） A ，（0，1） B 、（1，e ） C 、[0,1] D 、[1,e]4、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则()2f x 的定义域为------------5、若函数()2x f 的定义域为[-1，1]，求()2log x f 的定义域6、已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求()()()g x f x a f x a =++-，其中1(,0]2a ∈-的定义域7、已知函数f(x)的定义域为(0,3)x ∈，求()()()0x g x f ax f a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的定义域三、 两个容易混淆的问题1、函数2lg(43)y mx mx m =-++的定义域为R ，求实数m 的范围2、函数2lg(43)y mx mx m =-++的值域为R ，求实数m 的范围四、 实际问题的定义域例题与练习1、一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高为hcm ，现以S 3/cm s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度y 与注入时间x(s)的函数关系式，并写出其定义域2、某工厂建一座平面图为矩形且面积为2002m 的三级污水处理池，由于地形的限制，长和宽不能超过16m,如果池四壁建造的单价为400元/米，中间两面三刀道隔墙的单价为248元/米，池底的建造单价为80元/米，池壁的厚度忽略不计，试写出总造价Q （元）与水池长为x 的函数关系式，并写出其定义域。
函数的基本性质教案教案标题：函数的基本性质教案教案目标：1. 理解函数的定义及其基本性质；2. 掌握函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质；3. 能够运用函数的基本性质解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、白板、彩色笔等；2. 学生准备：教材、笔记本、作业本等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一道函数图像，引发学生对函数的认识和兴趣；2. 教师简要介绍函数的定义，并与学生一起回顾函数的概念和基本符号。
二、讲解函数的基本性质（20分钟）1. 函数的图像：a. 通过示意图展示不同函数图像的特点，如线性函数、二次函数、指数函数等；b. 引导学生观察函数图像的特点，并总结出函数图像的一般规律。
2. 函数的定义域和值域：a. 解释函数的定义域和值域的概念；b. 通过具体函数的例子，引导学生确定函数的定义域和值域。
3. 函数的单调性：a. 定义函数的单调性，并介绍增函数和减函数的概念；b. 通过函数图像和函数表达式，引导学生判断函数的单调性。
4. 函数的奇偶性：a. 解释函数的奇偶性的概念；b. 通过函数图像和函数表达式，引导学生判断函数的奇偶性。
5. 函数的周期性：a. 介绍周期函数的概念；b. 通过具体函数的例子，引导学生判断函数的周期性。
三、练习与巩固（15分钟）1. 学生个人完成练习题，巩固函数的基本性质的判断方法；2. 学生互相交流答案并讨论，教师及时纠正错误。
四、拓展与应用（10分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用函数的基本性质进行分析和解答；2. 学生个人或小组完成拓展应用题，提高对函数基本性质的应用能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起总结函数的基本性质，并强调其在数学和实际问题中的重要性；2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和建议。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解函数的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二 函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]． 解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。
函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。
函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。
了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。
【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。
函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。
在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。
1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。
在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。
2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。
二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。
换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。
2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。
【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。
函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。
2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。
