2.2.1函数的定义域和值域课件 新人教A版

2－x>0， 解析：函数有意义需满足 x－1>0，
即 1<x<2，所以，函数的定义域为(1,2)．
答案：B
【训练1】
(2012· 天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为
1 1 1 2 － ， ，求函数y＝fx －x－ 的定义域； 2 2 2
(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域． 1 解 (1)令x －x－2＝t，
2
4ac－b 4ac－b ；当a＜0时，值域为 {y|y≥ 4a } ． {y|y≥ 4a }
k (3)y＝x(k≠0)的值域是 {y|y≠0} ． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域为 {y|y>0} ． (5)y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R . (6)y＝sinx，y＝cosx 的值域是 [－1,1] ． (7)y＝tan x 的值域是 R .
xx－1≥0 解析： x≥0
(
)
B．{x|x≥1} D．{x|0≤x≤1}
⇒x≥1 或 x＝0.
答案：C
2x－x2 2．求函数 y＝ 的定义域． ln2x－1
2x－x ≥0， 解：由ln2x－1≠0， 2x－1＞0，
2
0≤x≤2， x≠1， 得 1 x＞2.
函数值域或最值的常用求解方法
反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关 系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．
cx＋d (a≠0)的函数的值域，均可使 形如y＝ ax＋b
2
若 x有意义，则函数 y＝x2＋3x－5 的值域 是__________________．
解析：∵ x有意义，∴x≥0. 32 9 2 ∴y＝x ＋3x－5＝x＋2 －4－5 ∴当 x＝0 时，ymin＝－5.
答案： [－5，＋∞)
函数值域或最值的常用求解方法 基本不等式法
具有可用基本不等式求解形状特征的函数，常利用基 本不等式 a＋b≥2 ab求函数值域，应用基本不等式求值域 时，要注意条件“一正、二定、三相等”．即：①a>0，b>0； ②a＋b(或 ab)为定值；③取等号条件 a＝b.
答案：D
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}， 那么其值域为 A．{－1,0,3} C．{y|－1≤y≤3} ( B．{0,1,2,3} D．{y|0≤y≤3} )
答案： A
3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是 ( B ) 1 1－ x A．y＝lgx B．y＝(3) x－1 x C．y＝| x | D．y＝ 1－2
1－x≠0， 解析：由 1＋x＞0
)
B．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
得 x＞－1 且 x≠1，即函数 f(x)的定义域
为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：C
x－4 4．(教材习题改编)函数f(x)＝ 的定义域为________． |x|－5
x－4≥0， 解析：由 |x|－5≠0
集合
二、函数的值域
1．函数f(x)的值域是函数值y 的集合，记为 {y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．在 函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应 关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既 要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域 对值域的制约作用．
2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
换元法
主要有三角代换、二元代换、整体代换等．用 换元法时一定要注意新变元的范围；
1 1 若函数 y＝f(x)的值域是[ ， 则 F(x)＝f(x)＋ 的 3]， 2 fx 值域是 ( B ) 1 10 A．[ ，3] B．[2， ] 2 3 5 10 10 C．[ ， ] D．[3， ] 2 3 3
[归纳领悟]
1．函数有解析式时，其定义域是使解析式有
意义的自变量的取值构成的集合．
2．实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式
的意义，还要看其实际意义． 3．抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何 关系，进而求解．
1 2．(2011· 广东高考)函数 f(x)＝ ＋lg(1＋x)的定义域是( 1－x A．(－∞，－1) C．(－1,1)∪(1，＋∞)
第二节 函数的定义域和值域
[备考方义域和值域.
怎 么 考 1.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、 值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数 值域是高考的难点． 2.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为 主，属于中、低档题目.
一、常见基本初等函数的定义域 1．分式函数中分母 不等于零 ． 2．偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . 3．一次函数、二次函数的定义域均为 R . 4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为 R .
法二：(单调性法)容易判断 f(x)为增函数，而其定义域 1 1 1 应满足 1－2x≥0，即 x≤2，所以 y≤f(2)＝2， 1 即函数的值域是(－∞，2]．
函数值域或最值的常用求解方法
单调性法
单调性求值域关键是熟悉基本初等函数的单调性，及 熟练利用导数讨论函数的单调性，如 y＝ax＋b＋ dx＋e (a、b、d、e 均为常数，且 ad≠0)，看 a、d 的符号，若同 号用单调性求值域，否则用换元法求值域；
∴x≥4且x≠5.
答案：{x|x≥4且x≠5}
[精析考题] [例 1] 1 (2011· 江西高考)若 f(x)＝ ， log 1 2x＋1
2
则 f(x)的定义域为 1 A.－2，0 1 C.－2，0∪(0，＋∞)
[自主解答] 1 x>－ ， 2 ∴ 2x＋1≠1.
2
函数值域或最值的常用求解方法
直接法（观察法）
从自变量 x 的范围出发，通过观察和代 数运算推出 y＝f(x)的取值范围；
1 1．函数 y＝ 2 的值域为 x ＋2 A．R 1 C．{y|y≤2}
2
( 1 B．{y|y≥2}
)
1 D．{y|0<y≤2}
1 1 1 解析：∵x ＋2≥2，∴0< 2 ≤2，∴0<y≤2. x ＋2
2
1 知f(t)的定义域为t－2
1 ≤t≤2，
1 2 1 1 ∴－ ≤x －x－ ≤ ， 2 2 2
x2－x≥0， 整理得 2 x －x－1≤0
x≤0或x≥1， ⇒1－ 5 1＋ 5 2 ≤x≤ 2 ， 5 1＋ 5 ，0∪1， 2 .
求函数的值域： f(x)＝x－ 1－2x；
法一：容易判断 f(x)为增函数，而其定义域 1 1 1 应满足 1－2x≥0，即 x≤2，所以 y≤f(2)＝2， 1 即函数的值域是(－∞，2]．
1－t2 法二：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝ 2 ， 1－t2 1 于是 y＝ 2 －t＝－2(t＋1)2＋1， 1 1 由于 t≥0，所以 y≤2，故函数的值域是(－∞，2]．
11x 1 x x 1 【解析】y＝(3) ＝3 ＝3· >0， 3 11x ＋ 即 y＝(3) 的值域为 R ，其它都不符合．
－ － －
函数值域或最值的常用求解方法
配方法
主要适用于可化为二次函数的函数，形如F(x) ＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，此时要 特 别注意自变量的范围；
求函数的值域：f(x)＝log3x＋logx3－1.
解：函数定义域为{x|x∈R，x>0 且 x≠1}． 当 x>1 时，log3x>0， 1 于是 y＝log3x＋log x－1≥2 3 当 0<x<1 时，log3x<0， 1 于是 y＝log3x＋log x－1 3 1 ＝－[(－log3x)＋( )]－1≤－2－1＝－3. －log3x 故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 1 log3x· x－1＝1； log3
求函数的值域． y＝|x| 1－x2.
x2＋1－x2 1 2 2 解：y＝ x 1－x ≤ ＝ . 2 2 2 2 2, 当且仅当 x ＝1－x 即 x＝± 时，等号成立． 2 又当 x＝0 或 x＝± 时，ymin＝0. 1 1 故所求值域为[0， ](注意等号成立的条件)． 2
函数值域或最值的常用求解方法
求二次函数在闭区间上的值域问题，一般利用 配方法，并结合二次函数的图象，利用函数单调性 求解，若函数或区间中含参数，则按区间端点与对 称轴的相对位置分情况讨论．
求函数的值域． y＝x －2x＋5，x∈[－2，2]；
【解析】由于 y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4， 所以二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1. 当 x∈[－ 2，2]时， 函数在 x ＝ 1 时，取最小值 4， 在 x ＝－2 时，取最大值 13， 故所求值域为[4，13]．
1 ∴函数的定义域为( ，1)∪(1,2]． 2
1 3．求函数 f(x)＝ ＋ x2－1＋(x－4)0 的定义域． 2－|x|
解：要使 f(x)有意义， 2－|x|≠0， 2 则只需x －1≥0， x－4≠0， ∴函数的定义域为 {x|x<－2 或－2<x≤－1 或 1≤x<2 或 2<x<4 或 x>4}． 2， x≠± 即x≥1或x≤－1， x≠4，
求函数的值域． y＝x＋ x＋1；
解：由于 x≥－1， 又函数 y＝x＋ x＋1在[－1，＋∞)单调递增， 故所求的值域为[－1，＋∞)．
x2－4x＋5 5 求函数的值域． y＝ (x≥ )； 2 2x－4
x－22＋1 1 1 【解析】f(x)＝ ＝2[(x－2)＋ ]， 2x－2 x－2 5 1 1 ∵x≥2，∴f(x)≥2· x－2× 2 ＝1. x－2 1 当且仅当 x－2＝ 时，即 x＝3 时取到最小值， x－2 ∴值域为[1，＋∞)．