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y= (x - 0)2 (0 - 1)2 (x - 2)2 (0 2)2 ,
可视为动点M(x,0)与定点A(0,1),B(2,-2)距离之和,连
结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值
点.
ymin=|AB|= (0 - 2)2 (1 2)2 13,
可求得x=
2 3
时,ymin=
∴f(x)min=f(1)=a-
若函数f(2x)的定义域是［-1,1］，求函数f(log2x)的定 义域为_______________.
【解析】 ∵y=f(2x)的定义域是［-1,1］,
∴ 1≤2x≤2.
2
∴y=f(x)的定义域是
由
1 2
≤log2x≤2得
1 log2x）的定义域是［ 2,4］.
lg(4x 3)
【分析】求函数定义域,应使函数的解析式有意义,其 主要依据是:①分式函数，分母不等于零;②偶次根式函数， 被开方式≥0;③一次函数、二次函数的定义域为R.x0中的 底数x≠0;④y=ax，定义域为R;⑤y=logax，定义域为 {x|x>0}.
【解析】 (1)由由x-2>0得x>2, ∴函数的定义域为(2,+∞).
的单调性法(6)数形结合法(7)函数的有界性法(8)导数法
求下列函数的最值与值域:
(1) y=4- 3 2x - x2 ;
(2) y= 2x 1; x-3
(3) y= x2 1 (2 - x)2 4
【解析】(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1,3］,
又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
2
≤2,
1 x2
∴-1<y= 2 -1≤1, 1 x2
即y∈(-1,1］.
1- x2
1-y
解法二:由y= 1 x2 ,得x2= 1 y .
1-y
∵x2≥0,∴ ≥0,解得-1<y≤1.
1y
∴y∈(-1,1］.
(2)解法一:设
1 2x =t(t≥0),得x=
1-t2 ,
2
∴y=
1-t2 -t=-
∴当x1<x2≤-2或2≤x1<x2时,f(x)递增;
当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.
故当x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4; 当x=2时,f(x)极小=f(2)=4. ∴所求函数的值域为(-∞,-4］∪［4,+∞).
(4)函数的定义域为［-1,1］.
当x∈［-1,1］时,f′(x)=
学案2 函数的定义域与值域
函数的定义 域与值域
会求一些简单函数的定义域和值域.
凡是涉及到函数问题时,均要考虑函数的定义域,因此 求定义域是必考内容,可独立考查,也可渗透到大题中;对值 域的考查主要与求变量的取值范围融合在一起,常和方程 与不等式、最值问题及应用性问题等结合起来.
1.定义：在函数y=f(x),x∈A中，自变量x的取值范 围A叫做函数的 定义域 ；对应的函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 .
考点2 求函数的值域
求下列函数的值域:
(1)
y
1- x2 1 x2
;
(2)y=x- 1 2x ;
(3)y=x+ 4 ; x
(4)y=x+ 1 x2 .
【分析】上述各题在求解之前,先观察其特点,选择 最优解法.
【解析】 (1)解法一:
y
1- x2 1 x2
2 1 x2
1
,
∵1+x2≥1,∴0<
13
.
显然无最大值,故值域为［ 13 ,+∞).
考点3 定义域、值域综合应用 若函数f(x)= x1 2-x+a的定义域和值域均为［1,b］
2
(b>1)，则a,b的值分别为 .
【分析】利用对称轴确定函数的单调区间.
【解析】 ∵f(x)= 1(x-1)2+a- 1 ,
2
2
∴其对称轴为x=1,即［1,b］为f(x)的单调递增区间.
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果存在实 数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(≥m); (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(m). 那么,我们称M(m)是函数y=f(x)的 最大(小)值 .
考点1 求函数的定义域
求下列函数的定义域: (1) 函数f(x)=lg(x-2)的定义域是 ； (2) y x2 (5x - 4)0;
4x+3>0
(2)由 4x+3≠1 5x-4≠0
x> 3 4
得 x≠ 1
2
x≠ 4
5
∴函数的定义域为 3 , 1 1 , 4 4 ,
4 2 2 5 5
【评析】若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的， 则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的 解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.
1 (t+1)2+1≤
1(t≥0),
2
2
2
∴y∈
-
,
1 2
.
解法二：∵1-2x≥0,∴x≤ , 1
2
∴定义域为
-
,
1 2
.
∵函数y=x,y=-
12x 在
-
,
1 2
上均为单调递增,
∴y≤
1 1 2 1 1,∴y∈
2
22
-
,
12.
(3)解法一:当x>0时,y=x+ 4≥2
x
取等号;
x 4 =4,当且仅当x=2时,
x
当x<0时,
y
-
(-x)
4 x
-
2
(-x) 4 x
=-4,当且仅当x=-2时,取等号.
综上,所求函数的值域为(-∞,-4］∪［4,+∞).
解法二:先证此函数的单调性.
任取x1,x2且x1<x2.
∵f(x1)-f(x2)=x1+
x41-(x2+
4)
x2
=
(x1 - x2 )(x1x2 - 4) , x1x2
1
1 1- x2
1- x2 - x 1- x2 .
由f′(x)=0,得 1 - x-x2 =0,
解得x= 2 ,x=- 2 (舍去),∴f( 2)=
2
2
2
2,
又f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(x)max=f(
2)=
2
2 ,f(x)min=f(-1)=-1.
∴值域为［-1, ］2 .
【评析】 求函数值域(或最值)的常用方法: (1)基本函数法 (2)配方法(3)换元法(4)不等式法(5)函数
∴t∈［0,4］, t∈［0,2］,
从而,当x=1时,ymin=2;
当x=-1或x=3时,ymax=4.
故值域为［2,4］.
(2)∵ y 2x 1 2(x - 3) 7 2 7 , 其中 7 ≠0,
x-3 x-3
x-3
x-3
∴y= 2x 1 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
x-3
(3)将函数变形为
