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第七节离散型随机变量及其分布列[考纲] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进展简单的应用．1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来．这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i ＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)．或把上式列成表X＝a i a1a2…P(X＝a i)p1p2…称为离散型随机变量X的分布列．(4)离散型随机变量分布列的性质①p i>0(i＝1,2，…)；②p1＋p2＋…＋p i＝1.2．超几何分布如果一个随机变量的分布列由P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(其中k为非负整数，M≤N，n≤N)确定，那么称X服从参数为N，M，n的超几何分布．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的根本领件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.]3．设随机变量X的分布列如下：那么p等于(A.16 B.13C.14D．112C[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝14.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.【导学号：57962471】10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1 n ，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，那么随机变量X的概率分布列为________.X 012P[依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2.那么P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.故X的分布列为X 012P]离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X 01234P m[解]由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 4分列表X 01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3. 10分因此η＝|X－1|的分布列为η0123P12分[规律方法]“1〞可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．假设X是随机变量，那么η＝|X一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．[变式训练1]随机变量X的分布列如下：X －101P a b c其中a，b，c成等差数列，那么P(|X|＝1)＝________.2 3[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，所以2b＋b＝1，那么b＝13，因此a＋c＝23.所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝23.]离散型随机变量的分布列(2021 ·安徽高考)2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测完毕．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品〞为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310. 5分(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35. 8分故X的分布列为EX＝200×110＋300×310＋400×35＝350. 12分[规律方法] 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步．2．此题在计算中注意两点：(1)充分利用排列与组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2](2021·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动．参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4〞，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)由，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13. 5分(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415. 8分所以，随机变量X的分布列为X 012P 415715415随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 12分超几何分布(2021·衡水中学质检)为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加．现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名；乙协会的运发动5名，其中种子选手3名．从这8名运发动中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会〞，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列。
§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，x n，…，随机变量X取x i的概率为p i(i＝1,2，…，n，…)，记作P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…，n，…)．①①式也可以列成表，如表：x i x1x2…x n…P(X＝x i)p1p2…p n…表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．3．离散型随机变量分布列的性质(1)p i>0(i＝1,2，…，n，…)；(2)p1＋p2＋...＋p n＋ (1)4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量X取值的平均水平．(2)方差称DX＝E(X－EX)2＝错误!(x i－EX)2p i为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记作σX ，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．5．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2DX (a ，b 为常数)．常用结论1．Ek ＝k ，Dk ＝0，其中k 为常数．2．E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2.3．DX ＝EX 2－(EX )2.4．若X 1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝EX 1·EX 2.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(√)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(√)2．已知随机变量X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则EY 的值为()A.73B ．4C ．－1D ．1答案A解析EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，EY ＝E (2X ＋3)＝2EX ＋3＝－23＋3＝73.3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X 满足P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝0.4，P (X ＝4)＝0.2，则EX ＝________，DX ＝________.答案21.2解析EX ＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2，DX ＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2.4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X ，Y ，其分布列分别为X 0123P0.40.30.20.1Y 012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案乙解析EX ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，EY ＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵EY <EX ，∴乙技术较好.题型一分布列的性质例1(1)(多选)已知随机变量X 的分布列如表(其中a 为常数)：X 01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A ．a ＝0.1B ．P (X ≤2)＝0.7C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3答案ABD解析因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a ＝1，解得a ＝0.1，故A 正确；由分布列知P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B 正确；P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C 错误；P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D 正确．(2)离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P X ()A.23B.34C.45D.56答案D解析因为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，即a ＝54，所以X P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1(1)若随机变量X 的分布列为X －101Pa13c则P (|X |＝1)等于()A.12B.13C.23D.16答案C解析由随机变量X 的分布列得P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝1－13＝23.(2)设随机变量X 满足P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则k ＝________；P (X ≥2)＝________.答案8737解析由已知得随机变量X 的分布列为X 123Pk 2k 4k 8∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87.∴随机变量X 的分布列为X 123P472717∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝27＋17＝37.题型二离散型随机变量的分布列及数字特征命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征例2(1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率0.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X 表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X 的均值和方差分别是()A ．EX ＝1.5，DX ＝0.36B ．EX ＝1.4，DX ＝0.36C ．EX ＝1.5，DX ＝0.34D ．EX ＝1.4，DX ＝0.34答案D解析设事件A 表示甲在规定的时间内到达，B 表示乙在规定的时间内到达，P (A )＝0.5，P (B )＝0.9，A ，B 相互独立，∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，P (X ＝1)＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.5×0.9＝0.45，∴EX ＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，DX ＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X 的分布列如表：X －1012Pabc13若EX ＝34，P (X ≥1)＝712，则DX 等于()A.1516B.98C.1916D.54答案C解析由题意，得a ＋b ＋c ＋13＝1，所以a ＋b ＋c ＝23.①因为EX ＝(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＋2×13＝34，所以－a ＋c ＝112.②由P (X ≥1)＝c ＋13＝712，得c ＝14，代入①②解得a ＝16，b ＝14.所以DX1×16＋×14＋×14＋×13＝1916.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．典例(1)设随机变量X 的分布列如下(其中0<p <1)，DX 表示X 的方差，则当p 从0增大到1时()X 012P1－p212p 2A ．DX 增大B ．DX 减小C ．DX 先减后增D ．DX 先增后减答案D解析由分布列可得EX ＝0×1－p 2＋1×12＋2×p2＝12＋p ，则DXp －p －＝－p2＋p ＋14＝－＋12，因为0<p <1，所以DX 先增后减．(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X ＝0，a ,2，根据以往销售经验可得0<a <2，随机变量X 的分布列为X 0a 2P12b16下列结论正确的是()A ．b ＝13B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C ．(DX )min ＝12D ．当(DX )min 最小时，EX ＝13答案ABC解析由题意12＋b ＋16＝1，∴b ＝13，故选项A 正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C 35＝516，故选项B 正确；随机变量X 的均值EX ＝0×12＋a ×13＋2×16＝13(a ＋1)，可知方差DX ＝0－13(a ＋1)2×12＋a －13(a ＋1)2×13＋2－13(a ＋1)2×16＝154×(12a 2－12a ＋30)＝154×12＋27，当a ＝12时，(DX )min ＝12，故选项C 正确；当(DX )min ＝12时，EX ＝13×＝12，故选项D 错误．命题点2均值(数学期望)与方差的性质应用例3设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ak ＋1(k ＝1,2,5)，a ∈R ，EX ，DX 分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是()A ．P (0<X <3.5)＝23B ．E (3X ＋2)＝7C ．DX ＝2D ．D (3X ＋1)＝6答案C解析因为随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ak ＋1(k ＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝5)＝a 2＋a 3＋a6＝1，解得a ＝1.P (0<X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12＋13＝56，故A 不正确；因为EX ＝1×12＋2×13＋5×16＝2，所以E (3X ＋2)＝3EX ＋2＝3×2＋2＝8，故B 不正确；由DX ＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2，故C 正确；因为DX ＝2，所以D (3X ＋1)＝9DX ＝18，故D 不正确．思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求Eξ，Dξ．跟踪训练2(1)(多选)已知随机变量X 的分布列为X －101P13m3m下列结论正确的有()A ．m ＝16B ．EX ＝16C ．E (2X －1)＝13D ．DX ＝2936答案ABD解析由分布列的性质得13＋4m ＝1，解得m ＝16，故A 正确；EX ＝－1×13＋0×16＋1×12＝16，故B 正确；E (2X －1)＝2EX －1＝－23，故C 不正确；DX ＝13×1＋16×＋12×＝2936，故D 正确．(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则Dξ＝________.答案1516解析由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，P (ξ＝5)＝14×14＝116，P (ξ＝4)＝14×＝316，P (ξ＝3)×14＝316，P (ξ＝2)＝916，则Eξ＝5×116＋4×316＋3×316＋2×916＝114，Dξ×116＋×316＋×316＋×916＝1516.题型三均值与方差中的决策问题例4(2023·上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A ，B 两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A 旅游景点的问卷100份，关于B 旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：非常满意满意一般不满意A 景点5030515B 景点353078假设用频率估计概率，且游客对A ，B 两个旅游景点的满意度评价相互独立．(1)从所有(人数足够多)在A 旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B 旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A ，B 哪个旅游景点？说明理由．解(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C ，由表中数据可知，游客在A 景点给出“非常满意”评价的概率为50100＝12，游客在B 景点给出“非常满意”评价的概率为3580＝716，则P (C )＋C 1212＝191512.(2)设一位游客对A 景点的满意度评分为X ，一位游客对B 景点的满意度评分为Y ，由数表中数据得X 的分布列为X 4321P12310120320Y 的分布列为Y 4321P71638780110则EX ＝4×12＋3×310＋2×120＋1×320＝3.15，DX ＝0.852×12＋(－0.15)2×310＋(－1.15)2×120＋(－2.15)2×320＝1.1275，EY ＝4×716＋3×38＋2×780＋1×110＝3.15，DY ＝0.852×716＋(－0.15)2×38＋(－1.15)2×780＋(－2.15)2×110＝0.9025，显然EX ＝EY ，DX >DY ，所以选择B 景点．思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)由题意得，X 的所有可能取值为0,20,100，P (X ＝0)＝1－0.8＝0.2，P (X ＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P (X ＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X 的分布列为X 020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A 类问题时，由(1)可得EX ＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B 类问题时，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0,80,100，P (Y ＝0)＝1－0.6＝0.4，P (Y ＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P (Y ＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y 的分布列为Y 080100P0.40.120.48EY ＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即EY >EX ，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B 类问题．课时精练一、单项选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35a110则X 的均值EX 等于()A.32B ．2 C.52D ．3答案A解析由题意得35＋a ＋110＝1，解得a ＝310，故EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X /亿元－12概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y /亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是()A ．甲产业收益的期望大，风险高B ．甲产业收益的期望小，风险小C ．乙产业收益的期望大，风险小D ．乙产业收益的期望小，风险高答案A解析由题意可得EX ＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，DX ＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；EY ＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，DY ＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故EX >EY ，DX >DY ，即甲产业收益的期望大，风险高．3．(2023·南宁模拟)已知随机变量X 的分布列为X －101P121316且Y ＝aX ＋3，EY ＝73，则a 为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，由Y ＝aX ＋3得EY ＝aEX ＋3，∴73＝a 3，解得a ＝2.4．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为45，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为14，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()A.9310B.374C.394D.21120答案B解析记李明这3道题的得分为随机变量X ，则X 的所有可能取值为0,5,10,15，P (X ＝0)×34＝3100，P (X ＝5)＝C 12×45×15×34＋×14＝14，P (X ＝10)＝C 12×45×15×14＋×34＝1425，P (X ＝15)×14＝425，所以EX ＝0×3100＋5×14＋10×1425＋15×425＝374.5．(2023·洛阳模拟)随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck 2＋k ，k ＝1,2,3，其中c 是常数，则D (9ξ－3)的值为()A ．10B ．117C ．38D ．35答案C解析∵P (ξ＝k )＝ck 2＋k，k ＝1,2,3，∴c 2＋c 6＋c12＝1，解得c ＝43，∴Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139，∴Dξ×23＋×29＋×19＝3881，∴D (9ξ－3)＝92Dξ＝81Dξ＝38.6．(2024·桂林模拟)设0<a <1.随机变量X 的分布列为X 0a 1P131313当a 在(0,1)上增大时，则()A ．E (X 不变B ．E (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大答案D解析EX ＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，∴当a 在(0,1)上增大时，EX 增大，DX ×13＋×13＋×13＝127[(a ＋1)2＋(2a －1)2＋(2－a )2]＝29(a 2－a ＋1)＋16，∴当a 在(0,1)上增大时，DX 先减小后增大．二、多项选择题7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且EY ＝34，若X 的分布列如表：X 1234P14mn112则下列正确的是()A ．EX ＝12B ．EX ＝94C ．m ＝13D ．n ＝13答案BCD解析根据分布列可知m ＋n ＝1－14－112＝23，①因为Y ＝12X ＋7，所以EY ＝12EX ＋7＝34，解得EX ＝94，又由分布列可得EX ＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，整理得2m ＋3n ＝53，②联立①②解得m ＝13，n ＝13.8．某校欲举办运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有()A ．设事件A ：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P (A )＝67B ．设事件A ：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B ：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P (B |A )＝217C ．用X 表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E (X )＝127D ．用Y 表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D (Y )＝2449答案ABD解析所有可能的情况有C 37＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有C 14C 23＋C 24C 13＝30(种)，故P (A )＝3035＝67，故A 正确；P (AB )＝C 34C 37＝435，P (A )＝C 14C 23＋C 24C 13＋C 34C 37＝3435，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝434＝217，故B 正确；X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以EX ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97，故C 错误；由C 知，DX ＝435×＋1835×＋1235×＋135×＝2449，因为Y ＝3－X ，所以DY ＝DX ＝2449，故D 正确．三、填空题9．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pab12若随机变量ξ的均值Eξ＝12，则D (2ξ＋1)＝________.答案11解析由表中数据得E (ξ)＝－2a ＋0×b ＋2×12＝12，解得a ＝14，又a ＋b ＋12＝1，所以b ＝14，所以Dξ2×14＋×14＋×12＝114，所以D (2ξ＋1)＝22Dξ＝11.10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量X X <300300≤X <700700≤X <900X ≥900工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y 的均值为________．答案3解析由题意可知P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y 的分布列为Y 02610P0.30.40.20.1所以EY ＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y 的均值为3.11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p (0<p <1)，发球次数为X ，若X 的均值EX >1.75，则p 的取值范围为________．答案0<p <12解析由题意知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝p (1－p )，P (X ＝3)＝(1－p )2，所以EX ＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2>1.75，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p 12．(2024·稽阳模拟)已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X ，则X 的均值为________．答案2315解析若从甲盒中随机取到的为红球且概率为35，则X 的可能取值为1,2，则P 1(X ＝1)＝C 15C 11C 26＝13，P 1(X ＝2)＝C 25C 26＝23，若从甲盒中随机取到的为白球且概率为25，则X 的可能取值为0,1,2，则P 2(X ＝0)＝C 22C 26＝115，P 2(X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P 2(X ＝2)＝C 24C 26＝25，综上，P (X ＝0)＝25×P 2(X ＝0)＝275，P (X ＝1)＝35×P 1(X ＝1)＋25×P 2(X ＝1)＝3175，P (X ＝2)＝35×P 1(X ＝2)＋25×P 2(X ＝2)＝1425，故EX ＝0×275＋1×3175＋2×1425＝2315.四、解答题13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求：(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率；(2)X 的均值与方差．解(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率P ＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 34C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45.(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X 表示所选3人中女生的人数，所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以X 的分布列为X 012P153515所以EX ＝0×15＋1×35＋2×15＝1.DX ＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.14．(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解(1)设员工所获得的奖励金额为X ，①P (X ＝1000)＝C 13C 24＝12，∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12.②X 所有可能的取值为400,1000，C 242∴X 的分布列为X 4001000P1212∴员工所获得的奖励金额的均值为EX ＝400×12＋1000×12＝700(元)．(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800,800,800,200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X 1，X 1可取400,1000,1600，P (X 1＝400)＝C 22C 24＝16，P (X 1＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，P (X 1＝1600)＝C 22C 24＝16，∴EX 1＝400×16＋1000×23＋1600×16＝1000，DX 1＝(400－1000)2×16＋(1000－1000)2×23＋(1600－1000)2×16＝120000；对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X 2，X 2可取800,1000,1200，P (X 2＝800)＝C 22C 24＝16，P (X 2＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，C 246∴EX 2＝800×16＋1000×23＋1200×16＝1000，DX 2＝16×(800－1000)2＋23×(1000－1000)2＋16×(1200－1000)2＝400003，由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2.15．(多选)(2023·武汉模拟)已知随机变量X 的取值为不大于n (n ∈N +)的非负整数，它的分布列为X 0123…n Pp 0p 1p 2p 3…p n定义由X 生成的函数f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，g (x )为函数f (x )的导函数，EX 为随机变量X 的均值．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为f 1(x )，则()A ．EX ＝g (2)B ．f 1(2)＝152C ．EX ＝g (1)D ．f 1(2)＝2254答案CD解析因为f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，则g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x 1＋3p 3x 2＋…＋ip i x i －1＋…＋np n x n －1，EX ＝p 1＋2p 2＋3p 3＋…＋ip i ＋…＋np n ，当x ＝1时，EX ＝g (1)，故A 错误，C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为X 2345678P116216316416316216116f 1(x )＝116x 2＋216x 3＋316x 4＋416x 5＋316x 6＋216x 7＋116x 8，f 1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254，故B 错误，D 正确．16．(多选)(2023·山东省实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如表，其中xy ≠0，下列说法正确的是()ξ012P x y32y3A．x＋y＝1B．Eξ＝5y3C．Dξ有最大值D．Dξ随y的增大而减小答案ABC解析由题意可知x＋y3＋2y3＝1，即x＋y＝1，故A正确；Eξ＝0×x＋1×y3＋2×2y3＝5y3，故B正确；Dξ＝＝(1－y＝－259y2＋3y，因为xy≠0，x＋y＝1，易得0<y<1，而函数f(y)＝－259y2＋3y的图象开口向下，对称轴为y＝2750，所以f(y)故f(y)在y＝2750处取得最大值，所以Dξ随着y的增大先增大后减小，当y＝2750时取得最大值，故C正确，D错误．。
