高二数学12月月考试题 理(无答案2

高二下学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则 （ ）A ．12-=n a nB ．12+=n a nC ．12--=n a nD ．12+-=n a n21=2=，且，夹角0120，则=+2 （ ）A. 2B. 4C. 12D. 323．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （ ）A ．1,1a b == B.1,1a b =-=C ．1,1a b ==- D.1,1a b =-=-4．已知0,0,2x y x >>与y 的等差中项为1,2且1a x y +的最小值是9,则正数a 的值是 （ ）A ．1B ．2C ．8D ．2或85．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1206．在OAB ∆中，=，=，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON 与AM 交于点P ，则= （ ） A.b a 3132- B.b a 3132+- C.b a 3231- D.b a 3231+- 7．若{}n a 为等比数列，公比为q ，且1≠q ，0>n a ，则41a a +与32a a +的大小关系是 （ ）A.3241a a a a +<+B.3241a a a a +=+C.3241a a a a +>+D.无法判断8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA =200a OC +且C B A ,,三点共线(该直线不过点O )，则200S = （ ）A.100B.101C.200D.2019．设c b a ,,是单位向量，且0=∙b a ，则)()(c b c a -∙-的最小值为 （ ）A.2-B.22-C.1-D.21-10．在数列{}n a 中，设00=S ，n n a a a a S +++=321，其中,,,,11k S k S k k a k k k ≥<⎩⎨⎧-=-- n k ≤≤1，*∈N n k ,，当14≤n 时，使0=n S 的n 的最大值为 （ ）A.11B.12C.13D.14二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.)11．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a =12．已知向量(1sin )a θ=，，(1cos )b θ=，，则a b -的最大值为 _________13．等差数列}{n a 中，21=a ，公差不为零，且1131,,a a a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_______________.14．已知函数x ax x f -=3)(在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围__________15．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝16．若平面向量βα,1=1≤，且以向量βα,为邻边的平行四边形的面积为21，则α与β的夹角θ的取值范围是 ____17．若不存在整数x 满足不等式0)4)(4(2<---x k kx ，则实数k 的取值范围是___三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18．(本小题满分14分)等差数列{}n a 中，前n 项和用n S 表示，已知355=S ，12010=S求：（1）n S ；（2）n a19．(本小题满分14分)已知||1a =，||4b =，且向量与不共线，（1）若与b 的夹角为60o ，求)()2(b a b a +⋅-；（2）若向量ka b +与ka b -互相垂直，求k 的值。

广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()12b c a+-B ．125．在棱长为a 的正方体ABCD A ．60°C ．90°6．已知命题p ：方程25x m m +-不必要条件是（）A ．35m <<B ．4<7．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中二、多选题三、单选题11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A ．9B ．10C ．11D ．12四、多选题12．已知3log ,a e =2log 3b =，ln 3c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．a c b+>D ．a c b+<五、填空题六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．(1)证明：EF //平面PCD ；(2)求三棱锥E ABF -的体积．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-．(1)求角A 的大小；(2)若2,sin 2sin a C B ==，求△ABC 的面积．19．已知直线:20,R l x ay a --=∈．(1)求证：直线l 与圆224x y +=恒有公共点；(2)若直线l 与圆心为C 的圆22()(1)4x a y -+-=相交于A B 、两点，且ABC 为直角三角形，求a 的值．20．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．21．如图，已知点()11,0F -，圆222:(1)16F x y -+=，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N ､两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程及1F MN △的面积.22．如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AB 的中点．(1)证明：AC PD ⊥；(2)若二面角P AC D --为150︒，求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．。

2022-2023学年辽宁省本溪市本溪满族自治县高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题 1．复数13i3iz +=-（i 为虚数单位）的共轭复数=z （ ） A ．i B ．i - C ．3i D ．3i -【答案】B【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为13i (13i)(3i)i 3i (3i)(3i)z +++===--+，所以i z =-. 故选：B.2．以点(3,2)-为圆心，且与直线310x y -+=相切的圆的方程是（ ） A ．22(3)(2)10x y -++= B ．22(3)(2)1x y ++-= C ．22(3)(2)10x y ++-= D ．22(3)(2)1x y -++=【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果.【详解】因为点(3,2)-到直线310x y -+=的距离是d ==，所以圆的方程为22(3)(2)10x y ++-=. 故选：C.3．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是13，连续两次遇到红灯的概率是14，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A ．23B ．34C ．14D ．13【答案】B【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A ， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B ， 则由题意可得()()11,34P A P AB ==，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为()()()34P AB P B A P A ==∣. 故选：B .4．以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =- B ．210x y =-或28y x = C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.5．若角θ的终边经过点()1,2-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65B ．65-C ．25D ．25-【答案】C【分析】根据题意可求得tan 2θ=-，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简sin (1sin 2)sin cos θθθθ++，代入求值，可得答案.【详解】根据角θ的终边经过点()1,2-，得tan 2θ=-， 又2sin (1sin 2)sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222sin sin cos sin sin cos sin sin c o os sin c s θθθθθθθθθθθ+=+=+=+22tan tan 422tan 1415θθθ+-===++, 故选:C.另解：根据三角函数的定义，得sin θ=cos θ=，所以4sin 22sin cos 25θθθ⎛===- ⎝⎭，所以41sin (1sin 2)2sin cos 5θθθθ⎛⎫- ⎪+==+， 故选：C.6．已知双曲线2222:1x y C a b-=C过点)1-，直线():2l y k x =-与C 的右支有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()1,1- C．( D．((),2,-∞+∞【答案】A【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解.【详解】的双曲线是等轴双曲线，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，将点)1-的坐标代入得1λ=，所以C 的方程是221x y -=，将()2y k x =-代入上式并消去y 整理得()222214410k xk x k -+--=，则24222122212210Δ164(1)(41)04014101k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪=---->⎪⎪⎨+=->-⎪⎪+⎪=->-⎩解得1k <-或1k >.故选:A.7．中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“T "字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ） A ．360种 B ．180种C ．720种D ．450种【答案】D【分析】根据分组分配问题的处理步骤，先将6人分成三组，再将三组分到三个舱内即可.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有2223642333C C C A 90A ⋅=（种）不同的方案； 方案二：分别安排3人，2人，1人，共有32136313C C C A 360=（种）不同的方案.所以共有90360450+=（种）不同的安排方案. 故选：D .8．香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所示，在“相似椭圆”12,C C 中，由外层椭圆1C 的下顶点A 和右顶点C 分别向内层椭圆2C 引切线,AB CD ，且两切线斜率之积等于34，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ）A ．34B ．14C 3D ．12【答案】D【分析】分别写出切线,AB CD 的方程，与内层椭圆联立方程，根据判别式为零分别表示出12,k k ，再根据斜率之积等于34解出离心率.【详解】设内层椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆1C 可设成22221(1)()()x y m ma mb +=>， 设切线AB 的方程为1y k x mb =-，与22221x y a b+=联立，得()()2222222211210b a k x mk a bx m a b +-+-=，又Δ0=，所以()222121b k m a=-.设切线CD 的方程为()2y k x ma =-，与22221x y a b+=联立，得()2222232242222220ba k x mk a x k m a ab +-+-=，又Δ0=，所以2222211b k a m =⋅-.又1234k k ⋅=，所以2234b a =，因此12c e a ====.故选：D.二、多选题9．已知圆221:66140C x y x y +-++=和圆222:230C x y y +--=，则（ ） A ．125C C = B ．两圆半径都是4 C ．两圆相交 D ．两圆外离【答案】AD【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的关系可判断两圆的位置. 【详解】圆1C 的标准方程为22(3)(3)4x y -++=，圆心为()13,3C -，半径为12r =，圆2C 的标准方程为22(1)4x y +-=，圆心为()20,1C ，半径为22r =，所以125C C =，故A 正确，B 错误；因为1212C C r r >+，所以两圆外离，故C 错误，D 正确. 故选:AD .10．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到1m n >+，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】()f x 的定义域为R ，()()e e x xf x f x --=-=-，所以()f x 是奇函数．因为1e e xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，e x y =-在R 上都单调递减，所以()f x 在R 上是减函数．又()()3220f n m f n -+->，则()()322f n m f n ->--，即()()322f n m f n ->-，所以322n m n -<-，即1m n >+．因为e x y =在R 上是增函数，所以1e e 2e m n n +>>，故A 正确； 因为1n >-，所以110m m n +>>+>，所以()()()()1110111m n n m n n m nm m m m m m +-++--==>+++，故B 正确； 因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以()ln ln1m n ->，即()ln 0m n ->，故C 正确； 取1m =，3n =-，满足1m n >+， 但20222022m n >不成立，故D 错误． 故选:ABC ．11．已知2nx⎛ ⎝的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ） A ．9n =B ．2nx⎛⎝的展开式中有理项有5项C ．2nx⎛⎝的展开式中偶数项的二项式系数和为512D ．(7)n a -除以9余8 【答案】ABD【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A ；由二项式的通向结合有理项的概念判断B ；由偶数项的二项式系数和判断C ；由二项式定理判断D【详解】对于A ，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以36C C n n =，由组合数的性质知9n =，故A 正确；对于B ，在92x⎛ ⎝的展开式中，令1x =，得9(1)0a +=，所以1a =-，所以92x⎛ ⎝的二项式通项为518219(1)C kk k k T x -+=-⋅.由5182k -为整数，得0,2,4,6,8k =，所以展开式中有理项有5项，故B 正确；对于C ，展开式中偶数项的二项式系数和为1398999C C C 2256+++==，故C 错误；对于D ，由B 知1a =-，则()()99909188081789999997(71)8(91)C 9C 9C 919C 9C 9C 18na -=+==-=-++-=-++-+，所以()7na -除以9余8，故D 正确. 故选：ABD.12．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列结论正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切B ．221212,4p x x y y p ==-C ．112||||AF BF p+= D ．若直线l 的倾斜角为π6，且12x x <，则||1||3AF BF = 【答案】ACD【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可.【详解】抛物线22x py =的焦点坐标为(0,)2P F ，准线方程是2py =-，由题意知，直线l 的斜率一定存在，设其方程为2p y kx =+，联立22,,2x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得2220x pkx p --=， 设线段AB 的中点00(,)M x y ， 所以121200,22x x y y x y ++==， 所以点M 到准线2py =-的距离120||222p y y p AB d y ++=+==， 所以以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故A 正确；由韦达定理，得2222121212,224x x p x x p y y p p =-=⨯=，故B 错误；()212122y y k x x p pk p +=++=+， 所以()1221212121111||||2224y y p p p p p AF BF y y y y y y +++=+==+++++()()()22222222122212424p k pk p p p p p p k pk p ++==++++，故C 正确；若直线l 的倾斜角为π6，且12x x <，则点A 在点B 左侧，如图，直线l 与准线交于点D ，,AA BB ''分别表示点,A B 到准线2py =-的距离，则1sin ||2AA ADA AD ='='∠，设||AF t =，则,||2AA t AD t '==， 又sin ||BB BDB BD ∠=''=||1||||||2||2BB BF AD AF BF t t BF ==++++'， 所以||3BF t =，所以||1||33AF t BF t ==，故D 正确. 故选:ACD.三、填空题13．张勇同学在上学期的8次物理测试中的成绩（单位：分）分别是：78，82，76，85，88，94，95，86，则这8次成绩的75%分位数为______. 【答案】91【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.【详解】解：先将这8次成绩从小到大排列为76，78，82，85，86，88，94，95， 因为875%6⨯=， 所以75%分位数为8894912+=. 故答案为：9114．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且DF FC =，2CE EB =，若120ABC ∠=︒，8AB =，6AD =，则DE BF ⋅=______.【答案】24-【分析】由题知23DE AB BC =-，12BF BC AB =-，再根据数量积的运算律运算求解即可.【详解】解：因为DF FC =，2CE EB =，所以，23DE DC CE AB BC =+=-，12BF BC CF BC AB =+=-，因为120ABC ∠=︒，8AB =，6AD =， 所以222141232323DE BF AB BC BC AB AB BC AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2241128686243223=⨯⨯⨯-⨯-⨯=-.故答案为：24-15．已知椭圆C 的方程为22142x y +=，其左､右顶点分别为,A B ，一条垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于,E F 两点，直线AE 与直线BF 相交于点M ，则点M 的轨迹方程为___________.【答案】()221242x y x -=≠±【分析】设直线l 为()()00002,,x x x E x y =≠±，()()00,,,F x y M x y -，由,,A E M 三点共线及,,B F M 三点共线，可得22022044y y x x =---，又2200142x y +=，代入即可求解 【详解】由题意知()()2,0,2,0A B -，设直线l 为()()00002,,x x x E x y =≠±，()()00,,,F x y M x y -， 由,,A E M 三点共线及,,B F M 三点共线， 得0000,2222y y y y x x x x -==++--， 两式相乘化简，得22022044y y x x =---， 又2200142x y +=， 所以2202201442y y x x =-=--，即22142x y -=， 又240x -≠，即2x ≠±，所以点M 的轨迹方程为()221242x y x -=≠±.故答案为：()221242x y x -=≠±16．在菱形ABCD 中，=4AB ，120BAD ∠=︒，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，如图所示，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的体积是______.【答案】642π3##642π3 【分析】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，利用长方体外接球，求出球的半径，即可求解【详解】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大， 由题意知BM AM ⊥，故1B M AM ⊥，当平面1AB M ⊥平面AMD 时，1B M ⊥平面AMD ， 因为90DAM DAB BAM ∠=∠-∠=︒， 所以AM AD ⊥.如图所示，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积， 由已知得长方体的长、宽、高分别为4，23，2，则长方体外接球半径()2224232222r ++==，则球的体积是34642ππ33r =.故答案为：642π3四、解答题17．已知直线l 经过直线350x y ++=和3270x y --=的交点，且与直线50x y -+=垂直.(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点()2,0-，且圆心C 在y 轴的负半轴上，直线l 被圆C 所截得的弦长为211，求圆C 的标准方程.【答案】(1)10x y ++=； (2)22(3)13x y ++=.【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线l 的斜率，代入点斜式可得直线方程；（2）设出圆的圆心和半径，圆过点()2,0-和弦长公式可联立方程解方程可得.【详解】（1）由已知，得350,3270,x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得两直线交点为1,2，设直线l 的斜率为k ，因为直线l 与50x y -+=垂直，所以11k ⨯=-，解得1k =-， 所以直线l 的方程为()21y x +=--，即10x y ++=. （2）设圆C 的标准方程为222()(0)x y b r b +-=<， 则由题意，得()()()2222222,111,2b r b r ⎧-+-=⎪⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得3b =-或5b =（舍去），所以13r =，所以圆C 的标准方程为：22(3)13x y ++=.18．已知四棱锥M ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90ADC ︒∠=，MD ⊥底面ABCD ，且22MD DC AD AB ====，P 是MC 的中点.(1)证明：//BP 平面MAD ；(2)求直线MB 与平面DBP 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)49【分析】（1）取MD 的中点为Q ，连接PQ 、AQ ，即可证明四边形ABPQ 是平行四边形，从而得到//BP AQ ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）证明：取MD 的中点为Q ，连接PQ 、AQ ， 因为P 、Q 分别是MC 、MD 的中点，所以//PQ DC 且12PQ DC =， 又//AB DC 且12AB DC =，所以//PQ AB 且PQ AB =，所以四边形ABPQ 是平行四边形，所以//BP AQ ， 又BP ⊄平面MAD ，AQ ⊂平面MAD ，所以//BP 平面MAD .（2）解：因为90ADC ∠=，MD ⊥底面ABCD ，所以,,DA DC DM 两两互相垂直，以D 为坐标原点， 以,,DA DC DM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1D A C B M P ， 则()()()2,1,2,2,1,0,0,1,1MB DB DP =-==，设平面DBP 的一个法向量为(),,m x y z =，所以=0=0m DB m DP ⎧⋅⎨⋅⎩，即200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x=，则()1,2,2m =-，设直线MB 与平面DBP 所成角为θ，则44sin 339MB m MB mθ⋅-===⨯⋅， 即直线MB 与平面DBP 所成角的正弦值为49.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,2,F P y 是抛物线C 上一点，且4PF =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.【答案】(1)28y x =； (2)216=-y x .【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得p ，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得. 【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线为2p x =-，所以242pPF =+=， 解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立28y x =与2y x m =+，消去x 得2440,Δ16160y y m m -+==->，即1m <；由韦达定理有：12124,4y y y y m +==，因为以MN 为直径的圆过原点O ，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 即1212022y m y m y y --⋅+=，化简可得：()2121250444m m y y y y -++=， 代入韦达定理得：()25440444m m m ⨯-⨯+=，解得16m =-或0m =（舍去）， 所以直线l 的方程为216=-y x .20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2,AD AB M =为BC 中点，平面11AA D D ⊥平面11,ABCD AA A D AD ==．(1)证明：1A D ⊥平面11ABB A ；(2)求二面角1B A A M --的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由面面垂直的性质可得AB ⊥平面11AA D D ，再由线面垂直的性质可得1AB A D ⊥，由勾股定理的逆定理可得11AA A D ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）取AD 的中点O ，连接1A O ，由已知可证得1,,OM AD OA 两两互相垂直，所以以O 为坐标原点，1,,OM OD OA 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是矩形， 所以AB AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面,ABCD AD AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面11AA D D ，又1A D ⊂平面11AA D D ， 所以1AB A D ⊥， 因为112AA A D AD ==，所以22211AA A D AD +=， 所以11AA A D ⊥，又11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11ABB A ， 所以1A D ⊥平面11ABB A ；（2）取AD 的中点O ，连接1A O ，因为11A A A D =， 所以1A O AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面1,ABCD AD AO =⊂平面11AA D D ， 所以1A O ⊥平面ABCD ，连接OM ，又底面ABCD 为矩形，所以OM AD ⊥， 所以1,,OM AD OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，1,,OM OD OA 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB =， 则()()()()10,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A D A M -， 所以()()()110,1,1,0,1,1,1,1,0AA A D AM ==-=．由（1）知1A D ⊥平面11ABB A ，所以1A D 是平面11ABB A 的一个法向量． 设平面1A AM 的一个法向量为(),,n x y z =，则 10n AA y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n =-． 设二面角1B A A M --的平面角为θ，则1126cos 323A D n A D nθ⋅===⨯⋅ 由图可知二面角1B A A M --的平面角为锐角， 所以二面角1B A A M --的平面角的余弦值为63．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为8，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别是双曲线C 的左､右顶点，P 为双曲线C 上任意一点（P 不与,A B 重合），线段BP 的垂直平分线交直线BP 于点M ，交直线AP 于点N ，设点,M N 的横坐标分别为,M N x x ，求证：M N x x -为定值.【答案】(1)221124x y -=； (2)证明见解析【分析】（1）根据焦距为8，可得c ，再用点到直线的距离公式可解；（2）先写出,,A B P 的坐标，进而求出BP 的斜率，可得线段BP 的垂直平分线方程，分别求出其与,AP BP 的交点横坐标，代入M N x x -可证.【详解】（1）双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为0bx ay ±=，左焦点为(),0c -，所以d b ==，所以2b =.又焦距为8，所以4c =，所以a =C 的方程为221124x y -=.（2）证明：设()()000,0P x y y ≠，由（1）得()(),A B -，又点M 是线段BP的中点，则点02y M ⎫⎪⎪⎝⎭， 直线BPAP又BP MN ⊥，则直线MN的方程为002y y x -=⎝⎭，即200001222x y y y -++ 又直线AP的方程为y x =+，联立方程2000012,22,x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()2220001222x y x x x -+++， 又22004112x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入消去20y，得()()(2000212133x x x x x -+=-+， 因为00y ≠，所以00x -≠.所以((02133x x x +-+=+，解得x =即点N，则M N x x -==，所以M N x x -为定值. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8,O 是坐标原点，12,F F 分别为椭圆C 的左､右焦点，点()0,2M x 在椭圆C 上，且12MF F △的内切圆半径为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于,E F 两点，且直线,OE OF 的斜率之和为2k -. ①求直线l 经过的定点的坐标； ②求OEF 的面积的最大值. 【答案】(1)2211612x y +=； (2)①()0,26；②43.【分析】（1）根据长轴长为8可求出a ，再根据12MF F △的面积公式可求出c ，进而确定椭圆的方程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为2-的表达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出OEF 的面积，求此表达式的最大值即可.【详解】（1）由题意可知121228,2MF MF a F F c +===，又12MF F △的内切圆半径为23，所以()()12121212182233MF F SMF MF F F c =++⨯=+， 又12121122222MF F M SF F y c c =⨯=⨯⨯=，所以()18223c c +=，解得2c =.因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）①设()()1122,,,E x y F x y ，联立22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得()2223484480k x kmx m +++-=，所以()()2222Δ644344480k m k m =-+->，可得221216m k <+，21212228448,3434km m x x x x k k-+=-=++， 设直线,OE OF 的斜率分别为12,k k ，因为直线,OE OF 的斜率之和为2k -，所以122k k k +=-，即()()2121212221212122242224401212k m m x x y y kx m kx m km k k k k m x x x x x x m m -+++-++=++=+=+⋅==--，所以224m =，又0m >，所以m =l经过的定点的坐标为(0,. ②设直线l经过的定点为(N，则1212OEF OEN OFNSSSx=-=⨯-==，设0t ，则21242662OEFt St t t==⨯=++6t t=时，即t =294k =时取等号，此时0∆>，所以43OEFS ，即OEF 的面积的最大值为【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高二上学期第
二次月考（12月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．111,,22⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭C ．111,,266⎛⎫ ⎪
⎝⎭4．过抛物线2:4C y x =差中项为2，则||AB =（A ．8
B 5．某家庭打算为子女储备款，便这笔款到2027年底连本带息共有利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息）71.02 1.149≈，81.02 1.172≈A ．5.3B 6．设点(
)1,0A ，(2,3N -
二、多选题
三、填空题
(1)证明：平面SAB ⊥平面(2)若BC SC =，SC SA ⊥成的角为60°，若存在，请求出21．已知数列{}n a 为等差数列，84a b =，(*326N a b n =∈(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
(2)设2
n n n c a b =⋅，数列{22．椭圆22
221x y a b
+=的左、右顶点分别为1F ，2F ，且1AF ，1F F (1)求椭圆的方程；
(2)过1F 的直线l 与椭圆交于CMN CPQ S S =△△，求直线。

长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷（答案在最后）出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.243.已知函数()2xf x x =+，()f x 一定有零点的区间为（）A.()23，B.()12，C.()10-，D.()32--，4.已知0.5log 0.4a =，0.60.4b =，0.50.4c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=，，动圆P 与圆12C C ，都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点，()0A ，4，()11B -，，则MA MB +的最小值为（）A.B.3C.8D.57.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.2C.34D.458.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若//m α，m β⊂，则//αβD.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,111.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是C.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C 的离心率的取值范围是20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时，1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.14.已知向量a ，b 满足1a b == ，π,3a b = ，则2a b -= ______.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线y =为渐近线，焦点是(4,0)-，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为8的椭圆.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()34f x x x=+-.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）用单调性定义证明函数()f x 在区间)3,+∞上是增函数.20.已知双曲线22:12x C y -=.（1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且过点(2,2)-的双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.21.已知函数()3)2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M与直线2B N的交点T 恒在一条定直线上.长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于A ，1y x ===-，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B ，函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-，函数1y x =-的定义域为R ，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C ，两函数的定义域都是R ，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D ，1y x ==--，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.24【答案】A 【解析】【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】A ，B ，C 三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从C 学校中应抽取的人数为609010540⨯=人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.3.已知函数()2xf x x =+，()f x 一定有零点的区间为（）A.()23，B.()12，C.()10-， D.()32--，【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.【详解】由题知函数()2xf x x =+在R 上单调递增，因为()()002110,1f f =->=<-，所以在区间()10-，上()f x 一定有零点.故选：C4.已知0.5log 0.4a =，0.60.4b =，0.50.4c =，则（）A.a b c << B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【详解】因为0.50.5log 0.4log 0.51a =>=，0.60.500.40.40.41b c =<=<=，所以b c a <<，故选：C.5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=，，动圆P 与圆12C C ，都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<【答案】A 【解析】【分析】由图结合两圆相外切性质可得122PC PC -=，后由双曲线定义可得答案.【详解】由题可得圆1C 圆心()2,0-，半径为52；圆2C 圆心()2,0，半径为12由图设动圆P 与圆1C ，圆2C 外切切点分别为A ，B .则1,,C A P 共线，2,,C B P 共线.则()1212PC PC PA AC PB BC -=+-+，注意到PA PB =，则12122PC PC AC BC -=-=，又1242C C =>，则点P 轨迹为以12C C ，为焦点双曲线的右支.设双曲线方程为：()222210x y x a b-=>，由题可得222123a c b c a ==⇒=-=，.故相应轨迹方程为：221(0)3y x x -=>.故选：A6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点，()0A ，4，()11B -，，则MA MB +的最小值为（）A. B.3 C.8 D.5【答案】D 【解析】【分析】作MC l ⊥，利用定义将MA MB +转化为MC MB +，然后结合图形可得.【详解】易知，抛物线216x y =的焦点为()0A ，4，准线为:4l y =-，作MC l ⊥，垂足为C ，由抛物线定义可知，MA MB MC MB +=+，则由图可知，MC MB +的最小值为点B 到准线l 的距离，即()145--=.故选：D7.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.2C.34D.45【答案】B 【解析】【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30 的等腰三角形，260PF M ∠= ，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠= ，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，2c e a ∴==．故选：B ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】可得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，由已知可得当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，可得答案.【详解】解：易得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时PM PN -=21(2)(1)PF PF +--=6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大是解题的关键.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若//m α，m β⊂，则//αβD.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,1【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线C ：24y x =，可得()1,0F ，故D 错误；由抛物线的定义可得014MF x =+=，所以03x =，故A 正确；因为点()00,Mxy 在抛物线C 上，所以204312y =⨯=，所以0y =±，故B 错误；则OM ===C 正确.故选：AC.11.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C是圆，其半径为C.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD 【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时，1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】根据点)P在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ，根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ，设上顶点A ，得到120AF AF <，即可判断C ，利用基本不等式判断D.【详解】解：由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率22c e a==>，即椭圆C的离心率的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故A 不正确；当2e =时，c =1b ==，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即22⎡+⎣，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<，所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当122QF QF ==时，等号成立，又124QF QF +=，所以12111QF QF +≥，故D 正确．故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵tan 2α=，∴tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅，故答案为：-3.14.已知向量a ，b 满足1a b == ，π,3a b = ，则2a b -= ______.【解析】【分析】由向量模、数量积公式先求出2211,2a b a b ==⋅= ，再由公式2a b -=即可得解.【详解】由题意22222211,11a a b b ====== ，π1cos ,11cos 32a b a b a b ⋅==⨯⨯=，所以2a b -====.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．【答案】32##1.5【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为)，代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为)，所以右焦点到直线y =的距离是32d ==．故答案为：3216.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________【答案】163【解析】【详解】设过抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF 的直线交抛物线于点1122(,),(,)A x y B x y ，交其准线:2p l x =-于3(,)2p C y -，因为F 是AC 的中点，且4AF =,所以1122242pp x p x ⎧-+=⨯⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123p x =⎧⎨=⎩，即(1,0),(3,F A ，则AF的方程为1)y x =-，联立241)y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，解得213x =，所以1164133AB AF BF =+=++=.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线y =为渐近线，焦点是(4,0)-，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为8的椭圆.【答案】（1）221412x y -=；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.【解析】【分析】（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可；（2）分椭圆的焦点在x 轴时和y 轴时讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由焦点可得4c =，双曲线的渐近线方程为y =，可得ba=，又222+=a b c ，解得2a =，b =，所以双曲线的方程为221412x y -=.（2）当焦点在x 轴时，设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b >>，由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，所以椭圆方程为2212516x y +=；当焦点在y 轴时，设椭圆方程为22221y xa b+=(0)a b >>，由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，所以椭圆方程为2212516y x +=；所以综上可得椭圆方程为2212516x y +=或2212516y x +=.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面PBD ⊥平面PAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接BD ，根据线面平行的判定定理只需证明EF ∥PD 即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥面PAC ，再利用面面垂直的判定定理即证．【小问1详解】如图，连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴//EF PD ，又∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂面PCD ，∴//EF 平面PCD ；【小问2详解】∵底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又PA AC A = ，∴BD ⊥面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，故平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()34f x x x=+-.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）用单调性定义证明函数()f x在区间)+∞上是增函数.【答案】（1）()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设0x <时，则0x ->，根据已知解析式和奇偶性可得0x <时的解析式，再由奇函数性质可知()00f =，然后可得在R 上的解析式；（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.【小问1详解】设0x <时，则0x ->，所以()34f x x x-=---，因为()f x 为奇函数，所以()()34f x f x x x=--=++，又()00f =，所以函数()f x 在R 上的解析式为()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩.【小问2详解】)12,x x ∞∀∈+，且12x x <，则()()()211212*********44x x f x f x x x x x x x x x -⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪⎝⎭()()1212123x x x x x x --=，因为21x x >>1212120,0,30x x x x x x -->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x在)+∞上单调递增.20.已知双曲线22:12x C y -=.（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(的双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y -=；（2）12.【解析】【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入点坐标，求得k ，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法，代入A 、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入(，得1k =-，所以所求双曲线方程为2212x y -=；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A 、B 在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（1）-（2）得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+，因为A 、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2x x y y +=+=，所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+.21.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）T π=，最大值1，最小值-1；（2）在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可.【详解】（1）())2sin cos sin(2)33f x x x x x ππ=--=+，∴2||T ππω==，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当222232k x k πππππ-≤+≤+时，()f x 单调递增，∴51212k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递增；当3222232k x k πππππ+≤+≤+时，()f x 单调递减，∴71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递减；综上，当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】(1)2212x y +=;(2)9;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由122B B =可得1b =，结合离心率和222c a b =-可求出1,c a ==，进而可得椭圆的方程.(2)写出l 的方程为22y x -=与椭圆进行联立，设()()1122,,,M x y N x y ，结合韦达定理可得1212162,93x x x x +=-=，即可求出MN ，由点到直线的距离公式可求出原点到l 的距离d ，从而可求出三角形的面积.(3)设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得12122286,2121k x x x x k k +=-=++，设(),T m n ，由1,,B T M 在同一条直线上，得113n k m x +=+，同理211n k m x -=+，从而可得()1212311340x x n n k m m x x ++-+⋅=+=，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，则22c a =，设c =，则2,0a k k =>，又222c a b =-，即22241k k =-，解得2k =或2-（舍去），所以1,c a ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ，由直线的点斜式方程可知，直线l 的方程为22y x -=，即22y x =+，与椭圆方程联立，222212y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得291660x x ++=，则1212162,93x x x x +=-=，所以MN ==1029，原点到l的距离d ==，则OMN的面积112299S d MN ===.(3)由题意知，直线l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，则12122286,2121k x x x x k k +=-=++，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，则232k >，设(),T m n ，因为1,,B T M 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2,,B T N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，所以()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =，则交点T 恒在一条直线12y =上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点(),T m n ，由三点共线结合斜率公式得111111313y kx n k m x x x +++===+和222221111y kx n k m x x x -+-===+，两式进行整理后可求出12n =，即可证明交点在定直线上.。

2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线22y x =的方程为212x y =，所以焦点在y 轴 由122p =， 所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知311a =，1060S =，则5a =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意建立方程，即可求出1a ，d ，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知11211?104560a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115a =，2d =-，所以5141587a a d =+=-=． 故选：A3．设点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，则||=AB （ ） A ．10 BC ．38D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B 坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得||AB .【详解】解：因为点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，所以(2,3,5)B -所以10AB AB ==.故选：A.4．已知向量()()1,1,0,1,0,=-=a b m ，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)ka b k k m +=-，2(3,1,2)a b m -=--， 因为ka b +与2a b -平行， 若0m =，则131k k -=-，12k =-， 若0m ≠，则1312k k mm-==--，k 无解． 综上，12k =-，故选：D ．5．设向量OA ，OB ，OC 不共面，空间一点P 满足OP xOA yOB zOC =++，则A ，B ，C ，P 四点共面的一组数对(,,)x y z 是（ ）A ．111(,,)432B ．131(,,)442-C ．(1,2,3)-D ．121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于1x y z ++=，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量OA ，OB ，OC 不共面，OP xOA yOB zOC =++， 所以当且仅当1x y z ++=时，A ，B ，C ，P 四点共面， 对于A ，1111432++≠，故A 错误；对于B ，1311442-++=，故B 正确；对于C ，1231-+≠，故C 错误；对于D ，1211332-++≠，故D 错误.故选：B.6．已知数列{}n a 中，11a =且()133nn n a a n a *+=∈+N ，则16a 为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到n a ，代入16n =即可.【详解】由133n n n a a a +=+得：1311133n n n n a a a a ++==+，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133n n n a +∴=+-=，32n a n ∴=+，1616a ∴=. 故选：A.7．已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A 3B 5C 510D 310 【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212x y a +=的离心率解决即可． 【解答】因为三个数1，a ，9成等比数列， 所以29a =，则3a =±．当3a =时，曲线方程为22132x y +=，表示椭圆， 31， 3 当3a =-时，曲线方程为22123y x -=，表示双曲线，255102． 故选：D8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2020201920200,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列， 因为()2020201920200a a a +<，所以201920200,0a a ><，且20192020a a >，201920200a a +>， ()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 【答案】AC【分析】对于A ，tan AB k α=即可解决；对于B ，由题意得231a -=即可解决；对于C ，平行线间距离公式解决即可；对于D ，数形结合即可. 【详解】对于A ，131tan 312AB k α-===--，即30α≠︒，故A 错误； 对于B ，直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，所以123a =-，解得23a =-，故B 正确；对于C ，直线240x y +-=与直线2410x y ++=（即1202x y ++=）之间的距离为d =故C 错误；对于D ，已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，如图取()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1B '--，连接AB '交x 轴于点P ，此时22(21)(31)5PA PB PA PB AB ''+=+≥=+++，所以PA PB +的最小值是5，故D 正确； 故选：AC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，25n S n n =-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为254- D ．{}n a 为单调递增数列【答案】BC【分析】根据n S 求出n a ，并确定{}n a 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n 项和分析求解.【详解】对于A ，当2n ≥时，()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-， 1n =时114a S ==-满足上式，所以26,N n a n n *=-∈,所以()()1216262n n a a n n +-=+---=， 所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知26,N n a n n *=-∈，12340,20,0a a a =-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52=， 又因为N n *∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误； 对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2， 所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 故选:BC.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为BC ，11CC BB ，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 C ．1//A G 平面AEFD ．异面直线1A G 与EF 5【答案】BC【分析】对于选项A ：由11//DD CC 以及1CC 与AF 不垂直，可知A 错误；对于选项B ：利用等体积法,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==，可求得结果，进而判断选项B 正确；对于选项C ：取11B C 的中点M ，根据面面平行的性质即可得出1//A G 平面AEF ，可知选项C 正确； 对于选项D ：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D 错误；【详解】对于选项A ：因为1AC AC ≠，所以1ACC △不是等腰三角形，所以1CC 与AF 不垂直，因为11//DD CC ，所以1DD 与AF 不垂直，故选项A 错误；对于选项B ：设正方体的棱长为2，设点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，则11133A GEF GEFG AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，21133A CEF CEFC AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，所以12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△，故选项B 正确； 对于选项C ：取11B C 的中点M ，连接11,,GM A M BC ，由题意可知：1//GM BC ，因为1//BC EF ，所以//GM EF ，GM ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，因为1A M AE ∥，1A M 平面AEF ， AE ⊂平面AEF ，所以1//A M 平面AEF ，因为11,,A MGM M A M GM =⊂平面1AGM ，所以平面AEF //平面1AGM ， 因为1AG ⊂平面1AGM ，所以1//A G 平面AEF ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为111//,//AD EF AG D F ，所以异面直线1A G 与EF 所成的角为1AD F ∠（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253AD D F AF AC CF ===+=，，， 在1AD F △中，由余弦定理可得：2221111110cos 22225AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅⨯⨯D 错误，故选：BC .12．下列命题中，正确的命题有（ ） A ．a b a b +=-是a ，b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】CD【分析】对A ，向量a 、b 同向时a b a b +=-不成立； 对B ， b 为零向量时不成立； 对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量a 、b 同向时，a b a b +≠-，∴只满足充分性，不满足必要性，∴A 错误； 对B ，b 应该为非零向量，故B 错误； 对C ，由于243OP OA OB OC =-+得，1324PB PA PC =+， 若,PA PC 共线，则,,PA PC PB 三向量共线，故A ，B ，C 三点共线，与已知矛盾，故,PA PC 不共线，由向量共面的充要条件知,PB PA PC ,共面，而,PB PA PC ,过同一点P ，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若{},,a b c 为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面， 假设a b +，2b c +，3c a +共面，设()()23a b x b c y c a +=+++，所以13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，无解，故a b +，2b c +，3c a +不共面， 则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选： CD ．三、填空题13．等比数列{}n a 中，39a =-，114a =-，则7a =______． 【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2731136a a a ==，又{}n a 的所有奇数项同号，所以76a =-．故答案为：6-．14．直线230x y +-=被圆()()22214x y-++=截得的弦长____________【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()22214x y -++=的圆心为2,1，半径2r =， 圆心2,1到直线的距离d ==所以直线被圆截得弦长为22223525522255r d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2555. 15．已知数列{}n a .的前n 项和为n S ，且()*2120N n n n a a a n +++-=∈.若11151912a a a ++=，则29S =______.【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴为等差数列，111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴=129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=. 故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 的中点，则AM 与D B ''所成角的余弦值为___________；C 到平面DA C ''的距离为___________.【答案】103【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角. 第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD ，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A ，1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B '，()1,0,0D '1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0D B ''=-10cos ,10AM D B AM D B AM D B ''''==''⋅ AM 与D B ''所成角的余弦值为1010如图所示设C 到平面DA C ''的距离为d 因为C A DC A DCC V V '''--=1111322sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=103五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）12n n b -=；（2）当5q =-时，321S =.当4q =时，36S =-.【分析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（1）由条件可得3d q +=和226d q +=，解方程得12d q =⎧⎨=⎩，进而可得通项公式； （2）由条件得2200q q +-=，解得5,4q q =-=，分类讨论即可得解.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由222a b +=得3d q +=.①（1）由335a b +=得226d q +=②联立①和②解得30d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩ 因此{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由131,21b T ==得2200q q +-=.解得5,4q q =-=.当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时，由①得1d =-，则36S =-.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．【答案】(1)122AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC ，平方即求得模长.(2) 求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =，CB b =，1CC c =，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+， 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b =++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++，1DC c a =-，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅=∴11CA DC ⊥∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==.(1)求{an }的通项公式；(2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n n T n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩ 解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-.故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+ 111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：{}n b 的前n 项和2(32)n n T n =+. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；15【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥,又AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥，又因为1BE AB ⊥， 1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C ；（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB =，()2,0,BE a =-，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =-，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-，又()12,2,2B D =--，设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则 11115sin cos ,512BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅⋅， 因此，直线1B D 与平面1AB C 1521．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)见解析 (2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明2113n n n na a a a +++--为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为2143n n n a a a ++=-，所以()2113n n n n a a a a +++-=-，即13n n b b +=， 又1213b a a -==，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）得11333n n n n a a +--=⋅=， 3n n n c nb n =⋅=，则23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减得()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭， 所以11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，1//122AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角B EF D --的余弦值；(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 (2)63(3)存在点Q ；17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA ，DB ，DE 两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF 和平面BEF 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，求得平面CDQ 的法向量为u ，若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，从而解得λ的值，找到Q 点的位置.【详解】（1）取DE 的中点M ，连结MF ，MC ，因为12AF DE =，所以AF DM =，且AF DM =， 所以四边形ADMF 是平行四边形，所以//MF AD ，且MF AD =,又因为//AD BD ,且AD BC =，所以//MF BC ,MF BC =,所以四边形BCMF 是平行四边形，所以//BF CM ,因为BF ⊄平面CDE ,CM ⊂平面CDE ，所以//BF 平面CDE ；（2）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，则DE DB ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，所以()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0n =为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1z =，得()1,2,1m →=. 所以26cos ,36m n m n m n →→→→→→⋅===. 如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63. （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . 证明如下：设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又因为()1,1,0DC =-， 所以0u DQ ⋅=，0u DC ⋅=，即(1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，即20a b c ++=， 解得[]10,17λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 且此时17BQ BE =.。

2022-2023学年青海省西宁市城西区青海湟川中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD ，则（ ）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题. 【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++ 1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+， 所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b >【答案】A【详解】由a b a b +=-平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅=，则a b ⊥，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为． A ．1415B ．115C ．29D ．【答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求()P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101()=15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选 A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力. 5．已知向量()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，则有（ ）． A ．23a cb =-B ．a b c +=C ．()b ac ⊥- D ．a b b c c a ⋅=⋅=⋅【答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解； 对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解； 对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以23a c b ≠-，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，所以2011,a =+230b =+，221c =+=，所以a b c +≠，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a =，()2,1,3c =-，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b =， 所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯=，即()b ac ⊥-，故C 正确. 对于D ，因为()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-=，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯=，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确. 故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0, π)，则tan α=A ．-1B ．C ．2D ．1【答案】A【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=- 故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ）A ．34πB ．4π C ．23π D ．3π 【答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π. 故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=【答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN 为（ ） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．112223a b c +-D ．221332a b c ++【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解. 【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．26⎡⎢⎣⎦ C ．6⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．23⎡⎢⎣⎦【答案】B【分析】确定四边形1AFBF 为矩形，得到1π24e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形， 则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=， 故11πsin cos 2sin 4e ααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π3sin ,142α⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，26,23e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（ ） A 72B 52C 5D 572【答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为7244==+故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22,0)2)-⋃ B ．(2,22)- C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,1)-【答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2221121a -<+<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-+，解得0a -<<或0a <<所以实数a的取值范围为(-⋃， 故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--， 即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立． 故答案为：220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______． 【答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ===，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2， 所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ， 此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， 因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =， 所以直线l 的方程为3450x y -+=. 综上：直线的方程为1x =或3450x y -+= 故答案为：1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【答案】16【解析】根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故答案为：16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________． 【答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d ==，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故答案为：3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离． 【答案】（1）32a =；（2）423． 【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =． （2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=， 则直线1l 与2l 之间的距离22|91|42333d -==+． 【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题. 18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB ． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值 【答案】（1）B =60°（2）3,23a c == 【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小. 【答案】(1)见解析 (2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可； （2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz - 则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D B E F (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+= 所以EF BD ⊥,即EF BD ⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =- 1111cos ,22222||BD CD BD CD BD CD ⋅===⨯设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC 的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离； (2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1． 【答案】(1)33; (2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案； （2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ， 设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z =， 则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m =，则点D 到平面AD 1E 的距离为()()1,0,01,1,133111DA m d m ⋅⋅===++；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB ==，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-=，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅=，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ， 所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2； (3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60 的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)2214x y +=33【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++， 计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点， 所以||2OA =， 即2a =.因为椭圆C 经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得 ()224230,0t y ty +--=∆>恒成立， 则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED = 又因为点B 到直线l 的距离d =，所以11||22S ED d =⨯⨯==令33m =，26611m m m m ==++， 因为1y m m=+，m ≥2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当mmin 1m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭max S =. 即S的最大值为 【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。

2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二上册12月月考数学试题一、单选题10y +=的倾斜角为（）A ．3πB ．6πC ．56πD ．23π【正确答案】D【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，0y +=得y =，所以tan k α==结合直线的倾斜角的范围即可求得α.【详解】设该直线的倾斜角为α，则tan α=，[)0,απ∈，解得23πα=.故选：D.2．已知圆C ：2286100x y x y +---=，则（）A ．圆C 的圆心坐标为()4,3--B ．圆C 的圆心坐标为()3,4C ．圆CD ．圆C 的半径为35【正确答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，得到圆心和半径，得到答案.【详解】因为圆C ：2286100x y x y +---=的标准方程为()()224335x y -+-=.所以其圆心坐标为()4,3ABD 错误，C 正确.故选：C3．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是（）A ．1027B ．1627C ．2027D ．2627【正确答案】C【分析】分前两局甲均赢，和前两局甲赢一场，输一场，第三局赢，分别求出概率相加得到答案.【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为23，若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为224339⨯=，前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为212122833333327⨯⨯+⨯⨯=，所以最后甲获胜的概率482092727P =+=.故选：C4．已知圆C ：2222420x y kx y k +-++-=和直线l ：()25130kx k y +--=，若圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，则k ＝（）A ．－2B ．12C ．2D ．12或2【正确答案】B【分析】根据圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，得到直线l 经过圆C 的圆心求解.【详解】解：因为圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，所以直线l 经过圆C 的圆心，圆C 的标准方程为()()221x k y -++243k k =-+，圆心(),1C k -，所以222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩，解得12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或，所以12k =.故选：B5．已知圆1C ：2224230x y x ay a +-+++=和圆2C ：22224410x y x ay a ++-+-=，则圆1C 与圆2C 的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距大于半径之和，得到两圆外切，故公切线条数为4.【详解】两圆的标准方程分别为()()2221x y a -++=和()()22122x y a ++-=，圆心分别为()12,C a -，()21,2C a -，半径分别为11r =，2r =圆心距123C C ==≥，故1212C C r r >+，所以圆1C 与圆2C 外离，所以圆1C 与圆2C 有4条公切线.故选：D6．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM = ，设OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．111444OP a b c=++ B ．1133AN a b c=++C ．311444AP a b c=-+- D ．1122OM b c=- 【正确答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-，所以选项B 错误；因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+311444a b c =-++.所以选项C 错误；因为()111222OM OB OC b c =+=+，所以选项D 错误.因为311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭ ，所以选项A 正确；故选.A7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，()1,1,0AB =-，()1,0,2AD = ，()1,1,1AP =- ，E 为线段AC 的中点，F 为线段PD 的中点，则（）A ．直线BP 与直线CDB ．AD 是平面PAB 的法向量C ．//EF PBD ．AC BD⊥ 【正确答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可，B 选项利用法向量性质判断即可，选项C 画出利用三角形的中位线判断即可，选项D ，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为()0,2,1BP AP AB =-=-，()1,1,0CD BA ==- ，所以cos ,5BP CDBP CD BP CD⋅<>==，故A 错误；因为AB ⊂平面PAB ，且10AD AB ⋅=≠ ，所以AD不是平面PAB 的法向量，故B 错误；连接BD ，如图所示：因为E 为线段AC 的中点，F 为线段PD 的中点，又BD 为平行四边形ABCD 的对角线，所以E 为线段BD 的中点所以EF 是PBD △的中位线，所以//EF PB ，即//EF PB，故C 正确；因为()2,1,2AC AB AD =+=-，()0,1,2BD AD AB =-= ，所1430AC BD ⋅=-+=≠，故AC BD ⊥不成立，故D 错误.故选：C.8．如图，已知()5,0A ，()0,5B ，从点()1,0P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程长为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出P 关于AB 的对称点1P 和它关于y 轴的对称点2P ,则12PP 就是所求的路程长.【详解】易知直线AB 的方程为5y x =-+，设点()1,0P 关于直线AB 的对称点为()1,P a b ，则1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩解得5,4,a b =⎧⎨=⎩即()15,4P ．又点()1,0P 关于y 轴的对称点为()21,0P -，由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长12PP ==故选.A 二、多选题9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（）A ．A 与B 相互独立B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 为互斥事件D ．C 与D 为互斥事件【正确答案】ABD【分析】先求出(),(),(),()P A P B P C P D ,再利用公式判断选项AB ，利用概念判断选项CD 得解.【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)．共36个．依题意，11(),()66P A P B ==，事件C 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共5个，5()36P C =，事件D 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，61()366P D ==．对于选项A ，事件AB 只有结果1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅，A 与B 相互独立，所以选项A 正确；对于选项B ，事件AD 只有结果1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅，A 与D 相互独立，所以选项B 正确；对于选项C ，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件B C ，不是互斥事件，所以选项C 不正确；对于选项D ，事件C D ，是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，所以选项D 正确．故选：ABD10．已知方程221124x y m m +=--表示椭圆，下列说法正确的是（）A ．m 的取值范围为()4,12B ．若该椭圆的焦点在y 轴上，则()8,12m ∈C ．若6m =，则该椭圆的焦距为4D ．若10m =，则该椭圆经过点(【正确答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程221124x y m m +=--表示椭圆，所以12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得412m <<，且8m ≠，故A 错误；B ：因为椭圆221124x y m m +=--的焦点在y 轴上，所以4120m m ->->，解得812m <<，故B 正确；C ：若6m =，则椭圆方程为22162x y +=，所以222624c a b =-=-=，从而24c =，故C 正确；D ：若10m =，则椭圆方程为22126x y +=，点(的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(，故D 错误.故选：BC.11．已知O 为坐标原点，圆M ：()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=，则（）A ．圆M 与圆2216x y +=内切B ．直线sin cos 0x y αα-=与圆M 相离C ．圆M上到直线0x y +=的距离等于1的点最多有三个D100y +-=上任意一点P 作圆M 的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAMB 面积的最小值为【正确答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ；根据点到直线的距离公式计算即可判断C ；根据点到直线的距离公式求出MP ，利用三角的恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A ：圆M 的圆心()2cos ,2sin M θθ，半径12r =，而圆2216x y +=的圆心()0,0O ，24r =，所以2OM ==21r r -，，所以圆M 与圆2216x y +=内切，A 正确；B ：圆心M 到直线sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ=-≤，故圆和直线相切或相交，B 错误；C ：因为圆心()2cos ,2sin M θθ到直线0x y +=的距离π2sin 14d θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为[]0,3d ∈，圆M 的半径为2，所以圆M上到直线0x y +=的距离等于1的点最多有四个，故C 错误；D ：四边形PAMB的面积2S MA PA PA =⋅==当MP100y +-=时，MP 有最小值，此时πsin 52sin 53MP θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为[]3,7MP ∈，所以min 3MP =，则四边形PAMB 面积的最小值min S ==，故D 正确.故选：AD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间中一点，1AP xAA y AB z AD =++，则（）A ．当12x z ==，0y =时，异面直线BP 与1C D B ．当1x y ==，[]0,1z ∈时，三棱锥1A PBC -的体积为43C ．当12x =，1y =，[]0,1z ∈时，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB P D ．当0y =，[]0,1x z =∈时，异面直线BP 和1C D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦【正确答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于A ，连接11B D ，1AD .由下图可知，P 为1AD 的中点，取11B D 的中点O .连接PO ，BO ，则1//PO C D ，所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与1C D 所成的角，易得BP =PO =，BO =cos6BPO ∠=，故选项A 正确；对于B ，由条件可知1BP zBC BB =+（[]0,1z ∈），P 点的轨速为线段11B C ，因为11B C BC ∥，所以P 到平面1A BC ，且1A BC 的面积为122⨯=1P A BC -的体积为定值43，故选项B 正确；对于C ，如下图，由条件可知112BP zBC BB =+（[]0,1z ∈），所以点P 在线段EF 上（E ，F 分别为1BB ，1CC 的中点）.因为1A C ⊥平面11AB D ，所以平面1AB P 即平面11AB D ，点P 则平面11AB D 与直线EF 的交点，此交点在FE 的延长线上，故选项C 错误；对于D ，由条件可知()1AP x AA AD =+（[]0,1x ∈），可知点P 的轨速为线段1AD ，如下图，建立空间直角坐标系，得()12,0,2C D =- ，()2,0,2B ，设()0,,2P a a -，[]0,2a ∈，则()2,,BP a a =--，所以cos<1,>BP C D ==，令[]20,2a t -=∈，当2a =，即0=t 时，1cos ,0BP C D <>= ，此时直线BP 和1C D 所成的角是2π；当2a ≠，即(]0,2t ∈时，1cos ,BP C D <>=，令11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，1cos ,BP C D <>=所以112m t ==，即0a =时，1cos ,BP C D <>取得最大值2，直线BP 和1C D 所成角的最小值为π4，故选项D 正确.故选.ABD 三、填空题13．若直线()2110x a y ---=与直线()4230x a y -+-=平行，则a ＝______________.【正确答案】4【分析】根据直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行时的条件计算即可.【详解】因为直线()2110x a y ---=与直线()4230x a y -+-=平行，所以()()2241a a -+=--，解得4a =，经检验，当4a =时，两直线不重合，所以4a =.故4.14．已知椭圆221369x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2214AF BF +=，则AB =______________.【正确答案】10【分析】根据椭圆的定义可得22||4AF BF AB a ++=，结合题意即可求解.【详解】因为6a =，122AF AF a +=，122BF BF a +=，两式相加得22||424AF BF AB a ++==.又2AF +214BF =，所以10AB =.故10.15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p ＝______________.【正确答案】14##0.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =.故答案为.1416．已知圆22:2O x y +=，M 是直线l ：40x y -+=上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则MA MB ⋅的最小值为______.【正确答案】3【分析】画出图形，设2AMB θ∠=,利用数量积公式将MA MB ⋅ 转化为求2||cos 2MA θ的最小值，从而分析图形可知当OM l ⊥时,这时2||cos 2MA θ最小，即MA MB ⋅ 最小.【详解】设2AMB θ∠=,则2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ,可知当OM l ⊥时,||MA 最小且2θ最大,cos 2θ最小,这时MA MB ⋅ 最小.设点O 到直线l 的距离为d ,则d =因为圆O 的半径为所以当OM l ⊥时,1sin 2θ=,可得21cos 2,||2MA = θ226d =-=,所以MA MB ⋅ 的最小值为3.故3.四、解答题17．已知△ABC 的顶点()5,0A -，()2,2B -，BC 边上的高所在直线的方程为550++=x y .(1)求直线BC 的方程；(2)若，求直线AC 的方程.在①点C 在直线0x y -=上；②BC 边上的中线所在直线的方程为120x y +-=这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)5120x y --=(2)选①：38150x y -+=；选②：1811900x y -+=【分析】（1）由BC 边上的高所在直线的方程求出直线BC 的斜率，再由点斜式求方程即可；（2）若选①联立直线方程求出C 点坐标，再求出AC 斜率，点斜式得直线方程；若选②先求出BC 中点坐标，再由中点坐标公式求出C 点坐标，利用点斜式求方程即可.【详解】（1）因为BC 边上的高所在直线的方程为550++=x y ，所以直线BC 的斜率5k =.直线BC 的方程为()252y x +=-，即5120x y --=.（2）若选①.由05120x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3C ，所以38AC k =，直线AC 的方程为()3058y x -=+，即38150x y -+=.若选②.由1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩，即线段BC 的中点坐标为()4,8.设点()11,C x y ，则11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得11618x y =⎧⎨=⎩，即()6,18C ，所以1811AC k =，直线AC 的方程为()180511y x -=+，即1811900x y -+=.18．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线:50l x y ++=上．（1）求圆C 的方程；（2）若过点()1,1D --的直线m 被圆C截得的弦长为m 的方程．【正确答案】（1）()()223225x y +++=；（2）直线m 的方程为=1x -或3470x y ++=．【分析】（1）由圆的性质可得：AB 的垂直平分线方程与直线:50l x y ++=联立方程组求得圆心为()3,2--，用两点之间距离公式求得5r CA ===，即可求出圆的标准方差.（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距2d =，再利用圆心到直线的距离为2求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.【详解】（1）因为()1,1A ，()2,2B -，所以线段AB 的中点坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率21321AB k --==--，因此线段AB 的垂直平分线方程是：113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．圆心C 的坐标是方程组33050x y x y --=⎧⎨++=⎩的解．解此方程组得：32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是()3,2--．圆C 的半径长5r CA ==，所以圆心为C 的圆的标准方程是()()223225x y +++=．（2）因为()()22131225-++-+<，所以()1,1D --在圆内.又因为直线m 被圆C 截得的弦长为所以圆心C 到直线m 的距离2d =①当直线m 的斜率不存在时，:1m x =-，()3,2--到=1x -的距离为3(1)2---=，符合题意．②当直线m 的斜率存在时，设():11m y k x +=+，即10kx y k -+-=．2=2=⇒22(12)4(1)k k -=+，解得34k =-，直线m 为：31(1)4y x +=-+，即：3470x y ++=综上：直线m 的方程为=1x -或3470x y ++=．本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]．(1)求语文成绩在[]120,130内的学生人数．(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．(3)若语文成绩在[)80,90内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在[)80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【正确答案】(1)5(2)0.21(3)35．【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1求出a ，即可求出语文成绩在[]120,130内的学生人数；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）由频率分布直方图，知()20.020.030.04101a +++⨯=，解得0.005a =，语文成绩在[]120,130内的学生人数为0.005101005⨯⨯=．（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=．（3）由频率分布直方图，知语文成绩在[)80,90内的学生有0.005101005⨯⨯=人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c .样本空间为{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，其中抽到1名男生和1名女生的情况有,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc ，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为63105=．20．如图1，在△ABC 中，D 为AC 的中点，2BC =，5CD =25cos 5C =，将△ABD 沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P -BCD ，且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明：BC ⊥面PBD ；(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)6【分析】(1)根据余弦定理可得1BD =，利用勾股定理的逆定理可得BC BD ⊥，结合面面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB ，进而求得点P 的坐标，得平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】（1）在△BCD 中，2BC =，CD =cos 5C =，由余弦定理知22252215BD =+-⨯⨯=，即1BD =，所以222BD BC CD +=，即BC BD ⊥.因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面BCD 平面PBD BD =，所以BC ⊥平面PB D.（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D .在△ABC中，由余弦定理知(2222225AB =+-⨯⨯⨯，解得AB =，所以cos 2ABD ∠=，4ABD π∠=，可求得()0,2,2P ，从而()0,1,2DP = ，()2,1,0DC =- .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，由00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x y +=⎧⎨-=⎩，令2y =，可得()1,2,1n =- .因为BC ⊥平面PBD ，所以可取平面PBD 的一个法向量为()1,0,0m = ，所以cos ,m n 〈〉== ，即二面角C -PD -B21．已知圆224：+=C x y .(1)若圆C 与直线320：-+-=l x my m 相切，求m 的值；(2)已知点()10M ，，过点P 作圆C 的切线，切点为Q ，再过P 作圆()()221112：'-+-=C x y 的切线，切点为R ，若=PQ PR ，求MP 的最小值.【正确答案】(1)0m =或125m =(2)【分析】（1）利用圆C 的圆心到与直线l 等于半径可得答案；（2）设点(),P x y ，求出PQ ，PR ，利用=PQ PR ，可得点P 所在直线方程，MP 的最小值即为点P 到所求直线的距离可得答案.【详解】（1）圆224：+=C x y 的圆心为()00C ，半径为2，因为圆C 与直线320：-+-=l x my m 相切，2=，解得0m =或125m =；（2）圆224：+=C x y 的圆心为()00C ，半径为2，()()221112：'-+-=C x y 的圆心为()11，'C 半径为设点(),P x y ，由题意可得PQ ==PR ==，因为=PQ PR =，整理得30x y ++=，因为()00C ，到直线30x y ++=1>，所以直线30x y ++=与圆C 相离，因为()11，'C 到直线30x y ++=>30x y ++=与圆C '相离，即点P 在直线30x y ++=上，MP的最小值即为点P 到直线30x y ++==.22．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，33AD AB ===，点E在棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE 若存在，求出BE EC 的值；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由SA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD 得,SA AB SA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，以A 为原点，AB ，AD ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为()0,0,0A，(S ，()1,3,0C ，()0,3,0D ，31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,,2SE ⎛= ⎝ ，()1,0,0CD =-，(0,3,SD = .设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =，得(n = .设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ ，所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为310.（2）设()()1,,003E λλ≤≤，平面SDE 的法向量为()111,,m x y z = ，则00SD m SE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则11111300y x y λ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令1z(3m λ=- .又(AS = ，当点A 到平面SDE的距离为5，AS m m ⋅= 解得2λ=，所以存在点()1,2,0E ，使得点A 到平面SDE 的距离为5，此时2BE EC =.。