2021年高等数学课件-第二十次课 20机器人一本1、2班70(101)人

第十一次课 20机器人一本1、2班70（101）人 ① 微分中值定理之费马引理② 罗尔中值定理③ 拉格朗日中值定理及其应用④ 柯西中值定理⑤ 泰勒中值定理----------------+-费马引理：可导函数的极值点的导数为零.()()()()()()()()()()0000000000000()(),,:lim 00lim 0x x x x f x f x x x f x proof f x f x f x x x f x f x f x f x f x x x -→--++→+'≤∈∃⎫-'=≥⎪-⎪''⇒==⎬-⎪'=≤⎪-⎭------------罗尔中值定理：()[]()()()()()() 1.,..;2.,.;,0.3.f x on a b c t f x in a b diff a b f f a f b ξξ⎫⎪'⇒∃∈∍=⎬⎪=⎭最值点在区间的内部一定是极值点.思考：()()()()()()12342020f x x x x x x =----- ()()1000?0f x =的根有几个？ ()[]()()()()()() 54:1).51,0,1010,1300,1,02).550,..0,12)c t proof f x x x on f f f f x x x ξξ=-+=>=-<⇒∃∈∍='⎡⎤=-<∈⎣⎦----------------------'拉格朗日中值定理 ()[]()()()()()()()()()()1.,..;,.2.,.;f x on a b c t f b f a a b f b a f x in a b diff f b f a f b a ξξξ⎫-⎪'⇒∃∈∍=⎬'-=-⎪-⎭()[]()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()() 1.,..;,.2.,.;:sup 1.,..;2.,.;,03.0=f x on a b c t f b f a a b f b a f x in a b diff f b f a proof H x f x xb a H x on a bc t H x in a b diff a b H H a H b f b f a f b H f f b a ξξξξξξξ⎫-⎪'⇒∃∈∍=⎬-⎪⎭--------------------------=--⎫⎪'⇒∃∈∍=⎬⎪=⎭-'''=-=⇒-()()()()()()()()()()()()()()0f a b af b f a f b f a H a H b f a a f b b b ab a f b f a f a f b b a b a-----------------------------------=--+---=-+-=- ()()()()()()()()()()()()()()()(),0,1,0,1)..,2.=,.3).=011a b a a b a f b f a f a b b af b f a f b a a b f b f a f b a ab a θθξθξξξξξθθ-'=∈-'--<<'-+-∈=+--<=-<-∈⇒有限增量公式） 基本应用之一：如果函数在某区间上导函数恒等于零，则函数是常数函数. 证明恒等式的方法：()()() arcsin arccos 2:0,.2arcsin arccos 2222f x x x proof f x f x C f ππ=+≡'=-≡∴=⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭基本应用之二：利用拉格朗日中值定理证明不等式：基本原理：()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1.,..;.3.,2,;,,..f b f a f b a f x f f f f b a f b f a f b a f b a if f x f f f f b a f b f a f b f x on a b c t a b f x in a b diff a f a b a b a b a b b a ξξξξξξ'-=------------------''''<<'''-<⎫⎪⇒-=-<-''''>>'''->-=-∃∈∍⎬⎪⎭>-()()()()()()[]()()()()()()()111111111,0,1sup 11.,.,2.,.,,n n n n n n n n n n n n n n n n nb a b a b na a b a b n f x x n f x on b a c t b a f x in b a diff f x n a b n a b nb n na nb a b a b na a b x ξξξξ----------<-<->>>--------------=>⎫⎪⇒∃-=-<<-<-<<<∍⎬⎪⎭'=- 证明()()[][]()()()()()()()()() 2arctan arctan :arctan ,,.,,,,,.1arctan arctan 1a b a bproof f x xf x on a b b a c t a b b a f x in a b b a diff a b a b a b ξξ-≤-=⎫⎪⇒∃∈∍⎬⎪⎭-=-≤-+。

第二十四次课 20机器人工程1班机械类1班119（141--136）人① 定积分的几何应用计算面积② 定积分的几何应用计算体积③ 定积分的几何应用计算弧长----------------------+-一、什么问题可以用定积分解决 ? （元素法）1) 所求量 U 是与区间[a , b ]上的某分布 f (x ) 有关的一个整体量 ;2) U 对区间 [a , b ] 具有可加性 , 即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 01lim ()ni i i U f x λξ→==∆∑ 二 、如何应用定积分解决问题 ?第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的近似值,微分表达式 ()dU f x dx =第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的精确值：积分表达式： ()ba U f x dx =⎰ 一、计算面积：1、直角坐标系下的平面面积：X-型区域()()(){}12:,|,D x y a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤21(()())(()())ba b a x x dx A x d A x x ϕϕϕϕ- =-=⎰⎰下上Y-型区域()d b a A f x x =⎰ 12()()d ba A f x fx x =-⎰Y-型区域()(){}(,),x y c y d y x y φφ≤≤≤≤21(()())d c y y dy A φφ=-⎰ (()())dc y y dy A φφ=-⎰右左2128024)A x dx A A + ++==⎰⎰28332220242x x ⎤⎤=+-+=⎥⎥⎦⎦4223422(4)4226y y y A y dy y --⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰[]()002022202c cos 0,2sin 44sin 4si i os n 4s n a d a x a t t y b t A ydx b t ba t ab t t abt dt d πππππ=⎧ ∈⎨=⎩===-==⎰⎰⎰⎰直角坐标下计算2202221444a b b a x y a b b A a a a ππ=+===⎰ 参数表示情况下的计算：[]()0022204cos 0,2sin 4sin cos 4sin a x a t t y b tydx d ab td b t t ab A t a ππππ== ⎧∈⎨=⎩===⎰⎰⎰2、参数方程表示的平面的面积： ()()x t y t φψ=⎧⎨=⎩ 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 21()()d t t A t t t ψφ'=⋅⎰220222022200220224220022422(sin ),(1cos ),0(1cos )((sin ))(1cos )(2sin )483134,22sin 16sin 162(si 2n )22a x a t t y a t a A ydx d dt adt at u dt du u d a u u t a t t t a dt a a t dua a t πππππππππ==-=->==--== ==⋅=-= = ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、极坐标下的平面面积：()[,],()0,C φθαβφθ∈≥[]21d ()d 2A φθθ= 21()d 2A βαφθθ=⎰()2202220242220121cos 22cos 2313,2288cos 4222A a d a d a udu a a u d du πππθθθθπθπθ=⨯+⎛⎫= = ⎪⎝==⋅⋅==⎭⎰⎰⎰ ()2202322301214233A a d a a ππθθθπ=⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰ ---------------------------------- 222442402220cos 2cos 12,222cos 2cos r a A a d a d u d du a udu a ππππθθθθθθθ-====== =⎰⎰⎰。

第十五次课 20机器人一本1、2班70（101）人① 曲线的弧微分概念、弧微分公式、弧微分计算弧微分的几何意义：② 平面曲线的曲率、曲率公式、曲率圆、曲率圆中心、曲率圆方程 --------------------------+③ 不定积分的概念：④ 不定积分的性质与公式-------------------------+-ds ds ds ===()()x x t y y t ds dt⎧=⎪⎨=⎪⎩===()()()cos sin ds x y ds d ρρθρθθρθθθθ==⎧=⎪ ⎨=⎪⎩==()()()()()()2x x t y y t y t x t y t x t K ⎧=⎪⎨=⎪⎩''''''-=曲率：单位长度内方向角度的变化量()()()3000222222lim lim lim 00??tan tan se 1=ar c 1tan 1ctan 1s x x d x dx K s ds s s dx xd ds s x d ds y y d y dx d y dxy d y y y y d dx y y d y dx αααααααααααααααα∆→∆→∆→∆∆∆∆====∆∆∆∆===∆→⇒∆→= ='=⇒'''''=⇒=⇒+=''''''+'''⇒='+=⇒''=+21dxy '+()()()()()()22tan arctan arctan 1arctan arctan 111f x y f x y f x x f x x f x x d dx f x αααθα''==''==''∆=+∆-=∆'++∆='+ ()()()22232222211111y y x y y y y y y y y X x Y y y y y αβ⎧''+⎪=-''⎪⎨'+⎪=+⎪''⎩⎛⎫'''++'⎛⎫+ ⎪-++--= ⎪ ⎪''''''⎝⎭⎝⎭不定积分的概念：原函数，如果()()F x f x '=，()F x 叫做(f x如果()f x 有原函数，则有无穷多个原函数.任意两个原函数之间相差一个常数. ，如果()F x 是(f x ()F x C +即表示()f x 的所有原函数. ()f x 的所有原函数叫做()f x 的不定积分.记作()()()()()()()()()()()()()()f x dx F x Cf x dx f x f x dx F x Cd f x dx f x dx f x dx f x Cd f x dxf x dx dF x =+'= ==+'= =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰不定积分的公式（13个）模板关系不定积分的性质：()()()()()()()()()():f xg x dx f x dx g x dxproof f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ⎡⎤±=±⎣⎦'''⎡⎤⎡⎤⎡⎤±=±=±⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()():kf x dx kf x dxproof k f x dx kf x ='⎡⎤=⎣⎦⎰⎰⎰23sin 3cos 55arctan 6arcsin 1xdx x Cdx xx C x =-+⎛⎫+=++ +⎝⎰⎰。

第十五次课 20机械类2、3班112（141）人① 罗必塔法则：② 函数的单调性和凹凸性---------------------+---------lim x →∞3321221132lim 133lim 3216lim 6264x x x x x x x x x x x x x οοοο→→→-+⎛⎫ ⎪--+⎝⎭-⎛⎫= ⎪--⎝⎭=-= 212222arctan lim 11lim 12lim lim 112x xx x x x x xx x x x ποο→+∞→+∞→+∞→+∞-⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=-===+ ()()()()()()()() 221()()()()()lim lim lim lim lim 1()()()()()()()lim lim lim 1()()()1lim =()lim x a x a x ax a x a x a x a x a x a x a F x F x f x f x f x F x F x f x F x F x F x f x f x f x F x F x f x f x F x f x F x f x f x F F x →→→→→→→→→→'-'⎛⎫∞0⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''-∞0⎝⎭⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⇒== ⎪ ⎪''⎝⎭⇒'()()()=lim ()x a f x x F x f x →'''() 212ln 1lim(0).lim 0lim (0 ,0)01.1!lim lim lim 02.n n n x x nxx n n xx x x x x x n x nx x n e n N n n x nxn e e e n λλλλλλλλ→+∞→+∞→+∞+--→+∞→+∞→+∞∞⎛⎫>== ⎪∞⎝⎭>>=∈-=====∈[] 1lim 0n x x N n M e λλ+→+∞+== 对数、幂函数、指数函数三类函数趋近于无穷大速度最快的是指数、其次幂函数无穷、最慢的是对数无穷大.()() 00**21*1221000**0**000001100000exp 0ln 0exp 0ln 0exp ∞∞∞∞⋅∞∞∞∞∞∞⎛⎫⋅∞→ ⎪∞⎝⎭-∞∞→-=⋅∞→∞⎛⎫∞=⋅∞→⋅∞→ ⎪∞⎝⎭∞⎛⎫=⋅→⋅∞→ ⎪∞⎝⎭=∞⋅①②③0④-⑤⑥0⑦10③0①②0④-①⑤⑥0⑦1对数恒等公式0⑤③0①②0⑥00③0①②⑦1() **ln10∞⎛⎫→⋅∞→ ⎪∞⎝⎭0③0①② ()222222lim tan 212limlim lim sin 1cot csc x x x x x x x x x x πππππποο→→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭()020000011lim 11111lim lim lim 2211lim 1lim 12x x x x x x x x x x x xx xx x xx x e e x e x e x x x e e e xe e e e xe οο→→→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭-----⎛⎫==== ⎪-⎝⎭-=-+=++=()()()()()02000011lim ln 1ln 1ln 1lim lim ln 111111lim lim 2212x x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→→⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭+-+-==+--+===-+2102200200300sin lim 1sin lnsin ln limexp ln limexp cos 1lnsin ln sin exp lim exp lim 2cos sin cos sin sin exp lim exp lim 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪-⎛== ⎪ ⎪⎝⎭1620cos sin cos exp lim 6x x x x x e x -→⎫ ⎪⎝⎭--⎛⎫== ⎪⎝⎭()() 22110033330033232000sin sin lim lim 11sin 13!exp lim exp lim exp 61sin 3!1sin cos 12exp lim exp lim exp lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x οο→→→→→→→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+- ⎪-⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭=-+---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21exp 6⎛⎫ ⎪⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭1lim lim lim lim lim lim 1x x x x x x xx x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞======如何找函数的单调区间？（导函数的符号）操作1）求导、找出驻点、不可导点.2）分解定义域为若干子区间，考察子区间上的导函数的符号.分界单调性（导函数符号）的点={驻点、不可导点} y x y ==。