福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)

福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)高三数学理试题 第2页⊂≠ 福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）高三数学理试题 第3页A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平面内对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 4．曲线23-+=x xy 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 0的坐标为（ ） A ．（1，0）或（0，－2） B ．（0，－2）或（2，8）C ．（2，8）或（－1，－4）D ．（1，0）或（－1，－4） 5．若函数bax f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f，则)(x f 的表达式是（ ）高三数学理试题 第4页A ．43)(+=xx f B ．34)(+=x x f C ．52)(+=xx fD ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为 （ ） A ．6 B ．12 C ．24D ．487．若1830,0=+>>yx y x 且，则xy 有（ ） A ．最大值96 B ．最小值961 C ．最小值48D ．最小值968．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10B ．24C ．48D ．60高三数学理试题 第5页9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那 么原来的函数解析式是 （ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．xy sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ） A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C -11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 等于（ ） A ．43 B ．41 C ．－41 D ．－43 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和高三数学理试题 第6页地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yx n =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y各种类型家庭分类如下表：王先生居住地2004年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2004年属于 （ ）A ．富裕B ．小康C ．温饱D ．贫困高三数学理试题 第7页第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．设随机变量ξ分布列为P （===k kk ,10)ξ1、2、3、4，则=≤≤)2521(ξP . 14．数列}{na 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a，则=⋅97a a .15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-0y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为 .16．在△ABC 中，有命题：（1）=- （2）=++（3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形，（4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形. 其中真命题的编号为（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A、B、C，（B、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A、B、C区域的概率分别为P（A）=0.4，P（B）=0.25，P（C）=0.2，没有中靶的概率为P（D）.（1）求P（D）；求击中A区或B区的概率；（3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A区的概率.高三数学理试题第8页高三数学理试题 第9页18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式1|232|≥---ax a x .高三数学理试题第10页19．（本小题满分12分）已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cos C C =， )2sin ,2(cos C C -=，且与的夹角为.3π （1）求角C 的值；（2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.20．（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}na ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}nb 的前n 项和.nT21．（本小题满分12分） 已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称. （1）求)(x f 的解析式； （2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若点G 满足21=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，是||||NG MG =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说明理由.福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．103；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---=C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′ （3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′18．解法1：由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x a x ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x 解得1+≤<a x a …………………………………………10′ ∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′ 解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x a x ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x a x ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x a x⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x a x …………………………6′⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x a x ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x a x 或……………………………………10′∴原不等式的解为ax <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cosπ=-+∴C C C C 即3c o s c o s π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由Cab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………①由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′ 由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′ 20．解：（1）当1=n 时，12112a a a +=111=∴>a a ……………………1′当2≥n 时，)(2212121---+-+=-n n n n n na a a a S S12122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………………………3′)())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a由已知得01≠+-n na a11=-∴-n na a（常数）∴数列}{na 是首项为1，公差为1的等差数列…………………………6′ （2）由（1）得nn nn b na 2⋅=∴=nn n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………………8′ 2143222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n nn n T两式相减得－13222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′112)21(2221)21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n22)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………………………12′21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'， 由已知点P '在)(x g y =的图象上……………………2′ 3342)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴即342)(x tx x f -=………………………………………………4′（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时2122)(x t x f -='，由)(='x f 得60t x ±=……………………6′当60t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，6t ）内单调递增；当6t x >时)(,0)(x f x f <'在（6t ，+∞）内单调递减；6t x =∴是)(x f 的极大点.…………………………8′ 若16<t，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个极值，即为最大值.8)6()(max ==∴tf x f 解得6=t此时不存在满足要求的t值.………………………………10′ 若16≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.842)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为：)0,0(12222>>=-b a b y a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c bc∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′（2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M（),(),,2211y x N y x)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且解得：3,322->±≠k m k 且……………………①2213k kmx x -=+…………………………9′又设MN 中点为F （),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得G （0，3），又kx y l GF 13,||||00-=-⊥∴=即消去0x 、0y 得4392k m -=……………………②把②代入①得（3)439222->-k k ………………………………12′ 解得034333343≠><<--<k k k k 但或或综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为),343()0,3()343,(+∞⋃-⋃--∞∈k…………………………………………14′。

2004—2005学年度阶段考试高三数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合P={x| x=2m+1，m ∈Z}，Q={x| x=4n ±1，n ∈Z}，则P 、Q 之间的关系是 A 、PQ B 、PQ C 、P=Q D 、P ≠Q2、a ∈R ，| a |<3成立的一个必要不充分条件是A 、a<3B 、| a |<2C 、a 2<9D 、0<a<2 3、已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则为f ：x →y=x 2+2x+3，若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是A 、(－∞，0)B 、(－∞，2)C 、(2，+∞)D 、(3，+∞) 4、已知函数11)(-=x x f ，则函数f[f(x)]的定义域为 A 、{x| x ≠1} B 、{x| x ≠2} C 、{x| x ≠1且x ≠2} D 、{x| x ≠1或x ≠2}5、已知35)(-=x xx f 且f[g(x)]=4－x ，则g(1)= A 、3 B 、25- C 、29=x D 、29-=x6、下列函数中，值域为[0，)1的函数是 A 、||2x y -= B 、122+=x x y C 、22x x y -= D 、y=log 2(x 2+1)7、若命题p ：x ∈A ∩B ，则p 是A 、B A x ⋃∉ B 、A x ∉或B x ∉C 、A x ∉且B x ∉D 、B A x ⋃∈ 8、图象通过平移或翻折后，不能与函数y=－log 2x 的图象重合的函数是A 、y=2－xB 、y=2log 4xC 、y=222xD 、y=log 2x1+19、函数21)(++=x ax x f 在区间(－2，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是A 、0<a<21 B 、a<－1或a>1 C 、a>21D 、a>－2 10、已知)1lg()(22+++=x x x x f ，若f(a)=M ，则f(－a)=A 、2a 2－MB 、M －2a 2C 、2M －a 2D 、a 2－2M 11、已知二次函数f(x)=x 2+x+a （a>0），若f(m)<0，则f(m+1)的值是A 、正数B 、负数C 、零D 、符号与a 有关 12、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)=－f(x+2)，当0≤x ≤1时，2)(xx f =，那么使21)(-=x f 成立的x 的值为 A 、2n （n ∈Z ） B 、2n －1（n ∈Z ） C 、4n+1（n ∈Z ） D 、4n －1（n ∈Z ） 一、选择题答题表二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)=10001000)],5([,3<≥⎩⎨⎧+-x x x f f x ，则f(999)=________14、定义在R 上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x 2－4x+5，则当x<0时，f(x)=x 2－4x+5，则当x ≥0时，f(x)=________________15、已知f(x)是R 上的增函数，则函数f[log 2(x 2－2x －3)]的递减区间为___________ 16、设函数f(x)=lg(x 2+ax －a －1)，给出下列命题： ①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R ； ③当a>0时，f(x)在区间[2，)∞+上有反函数；④若f(x)在区间[2，)∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥－4， 则其中正确的命题是_____________________（把正确命题的序号都填上）。

福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)高三数学理试题 第3页⊂≠ 福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）高三数学理试题 第4页A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平面内对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 4．曲线23-+=x xy 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 0的坐标为（ ） A ．（1，0）或（0，－2） B ．（0，－2）或（2，8）C ．（2，8）或（－1，－4）D ．（1，0）或（－1，－4） 5．若函数bax f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f，则)(x f 的表达式是（ ）高三数学理试题 第5页A ．43)(+=xx f B ．34)(+=x x f C ．52)(+=xx fD ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为 （ ） A ．6 B ．12 C ．24D ．487．若1830,0=+>>yx y x 且，则xy 有（ ） A ．最大值96 B ．最小值961 C ．最小值48D ．最小值968．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10B ．24C ．48D ．60高三数学理试题 第6页9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那 么原来的函数解析式是 （ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．xy sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ） A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C -11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 等于（ ） A ．43 B ．41 C ．－41 D ．－43 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和高三数学理试题 第7页地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yx n =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y各种类型家庭分类如下表： 家庭类型富裕 小康 温饱 贫困 n30%≤n<40% 40%≤n<50% 50%≤n<59%n≥59%王先生居住地2004年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2004年属于 （ ）A ．富裕B ．小康C ．温饱D ．贫困高三数学理试题 第8页第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．设随机变量ξ分布列为P （===k kk ,10)ξ1、2、3、4，则=≤≤)2521(ξP . 14．数列}{na 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a，则=⋅97a a .15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-0y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为 .16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB（3）若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形，（4）若0>⋅AB AC ，则△ABC 为锐角三角形. 其中真命题的编号为（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A、B、C，（B、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A、B、C区域的概率分别为P（A）=0.4，P（B）=0.25，P（C）=0.2，没有中靶的概率为P（D）.（1）求P（D）；（2）该射手一次射击中，求击中A区或B区的概率；（3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A区的概率.高三数学理试题第9页高三数学理试题 第10页18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式1|232|≥---ax a x .19．（本小题满分12分）已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cos C C m =， )2sin ,2(cos C C n -=，且n m 与的夹角为.3π （1）求角C 的值；（2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.20．（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}na ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}nb 的前n 项和.nT21．（本小题满分12分） 已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称. （1）求)(x f 的解析式； （2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若点G 满足AB GC 21=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，是||||NG MG =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说明理由.福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．103；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---=C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′ （3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′18．解法1：由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x a x ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x 解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为ax <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x a x ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x a x ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x a x …………………………6′⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x a x⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x a x 或……………………………………10′∴原不等式的解为ax <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cosπ=-+∴C C C C 即3coscos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由Cab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………①由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′ 由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′ 20．解：（1）当1=n 时，12112a a a +=111=∴>a a ……………………1′当2≥n 时，)(2212121---+-+=-n n n n n na a a a S S12122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………………………3′)())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a由已知得01≠+-n na a11=-∴-n na a（常数）∴数列}{na 是首项为1，公差为1的等差数列…………………………6′ （2）由（1）得nn nn b na 2⋅=∴=nn n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………………8′ 2143222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n nn n T两式相减得－13222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′112)21(2221)21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n22)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………………………12′21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'， 由已知点P '在)(x g y =的图象上……………………2′ 3342)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴即342)(x tx x f -=………………………………………………4′（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时2122)(x t x f -='，由)(='x f 得60t x ±=……………………6′当60t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，6t ）内单调递增；当6t x >时)(,0)(x f x f <'在（6t ，+∞）内单调递减；6t x =∴是)(x f 的极大点.…………………………8′ 若16<t，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个极值，即为最大值.8)6()(max ==∴tf x f 解得6=t此时不存在满足要求的t值.………………………………10′ 若16≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.842)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为：)0,0(12222>>=-b a by a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴CB CA a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c bc∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′（2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M（),(),,2211y x N y x)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且解得：3,322->±≠k m k 且……………………①2213k kmx x -=+…………………………9′又设MN 中点为F （),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得G （0，3），又kx y l GF NG MG 13,||||00-=-⊥∴=即消去0x 、0y 得4392k m -=……………………②把②代入①得（3)439222->-k k ………………………………12′ 解得034333343≠><<--<k k k k 但或或综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为),343()0,3()343,(+∞⋃-⋃--∞∈k…………………………………………14′。

2004年福建省达标中学高中毕业班质量检查数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生了概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn kkn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式334R V π=球，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数=-=||,13z i z 则 （ ）A ．2B ．2C ．22D ．83．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①;//,//,//ααa b b a 则②a 、;//,//,//,βαββα则b a b ⊂ ③;,//,βαβα⊥⊥则a a ④b a b a ⊥⊥则,//,αα.其中正确命题的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知等差数列==16884,31,}{S S S S S n a n n 那么且项和为的前 （ ）A ．81B ．31 C ．91 D ．103 5．定义在R 上的偶函数0)(log ,0)21(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合为（ ）A ．),2()21,(+∞⋃-∞B ．)2,1()1,21(⋃C ．),2()1,21(+∞⋃D ．),2()21,0(+∞⋃6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ．31 B ．1 C ．6D ．37．已知函数)41(,2),3(log ,2,43)(1162-⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-=-f x x x x x f 则的值等于 （ ）A ．2116B ．25-C ．4D ．－48．若半径为R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为 （ ）A ．π2734B ．π2732C ．π33 D ．π63 9．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3D ．210．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于（ ） A ．43 B ．47 C ．773 D ．34 11．若函数)(x f y =的图象如右图所示，则函数)1(x f y -=的图象大致为（ ）A B C D12．已知函数,]1,0[)(),)(()1()(上是减函数在且满足x f R x x f x f x f y ∈-=+=有以下四个函数：①x y πsin =②x y πcos =③Z k k x k k x y ∈+≤<---=,1212,)2(12④Z k k x k k x y ∈+≤<--+=,1212,)2(12其中满足f (x )所有条件的函数序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．1023)21(xx -展开式中的常数项为 . 14．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是 n mile/h.15．若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+- . 16．如图，从点)2,(0x M 发出的光线沿平行于抛物线x y 42=的轴的方向射向此抛物线上的点P ，反射后经焦点F 又射向抛物线上的点Q ，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线,072:N y x l 上的点=--再反射后又射回点M ，则x 0= .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）.,3)(),(2cos sin 4)(的值求实数的最大值为若已知m x f R x x x m x f ∈-=18．（本小题满分12分）抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功.（Ⅰ）求一次试验中成功的概率；（Ⅱ）求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小.20．（本小题满分12分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）.21．（本小题满分12分）如图，已知在坐标平面内，M 、N 是x 轴上关于原点O 对称的两点，P 是上半平面内一点，△PMN 的面积为),(),23,31(,23为常数坐标为点m m A ⋅=+.||=⋅ （Ⅰ）求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程；（Ⅱ）过点B （－1，0）的直线l 交椭圆于C 、D 两点，交直线x =－4于点E ，点B 、E 分1λ比分别为、2λ，求证：021=+λλ.22．（本小题满分14分）已知一列非零向).2)(,(21),(),,(:1111111≥+-===----n y x y x y x a y x a a n n n n n n n n 满足量（Ⅰ）证明：|}{|n a 是等比数列； （Ⅱ）求向量);2(1≥-n n n 的夹角与（Ⅲ）设序排成共线的向量按原来的顺中所有与把1211,,,,),2,1(a a a a n =一列，记为0,,,,,,2121n n n b b b OB b b b +++= 令为坐标原点，求点列{B n }的极限点B 的坐标.（注：若点B n 坐标为}{),(,lim ,lim ),,(n n n n n n n B s t B s s t t s t 为点列则称点且==∞→∞→的极限点.）2004年福建省达标中学高中毕业班质量检查数 学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A 11．A 12．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．3210514．32 15．16 16．6 三、解答题：17．本小题主要考查三角函数的基础知识，以及换元配方法，分类讨论思想方法和运算能力，满分12分.)2(1sin 4sin 22cos sin 4)(:2分解 -+=-=x m x x x m x f分则令4).11()12()(2)(,sin ),12()(sin 22222 ≤≤-+-+==+-+=t m m t x f x t m m x①,41)(,1,0m x f t m +=≤-取最大值处则在时当;210341=⎩⎨⎧≤-=+m m m 得由……7分②,41)(,1,0m x f t m --=>-取最大值处则在时当分得由10,210341 -=⎩⎨⎧>-=+m m m综上,.21±=m ……12分18．本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力，满分12分.解（Ⅰ）一次实验中，设事件A 表示“试验成功”，则.95)(1)(,946464)(=-==⨯=A P A P A P ……4分 （Ⅱ）依题意得：:),5,4(~其概率分布列为B ξ.818094954,920954=⨯⨯==⨯=∴ξξD E ………………12分 19．本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分.解法一：（Ⅰ）（证法一）分三垂线定理三垂线定理又分为正方形4.),(),(2,,.//,, CD EF CD PA CD PD DC AD ABCD AP EF FB PF EB AE ⊥∴⊥∴⊥⊥∴∴∴==（证法二）取BD 的中点O ，连结FO 、OE.分三垂线定理底面底面分又4).(,,2.//,.,.//, CD EF ABCD FO ABCD PD PD FO FB FP CD OE CD AD AD OE EB AE ⊥∴⊥∴⊥∴∴=⊥∴⊥=（Ⅱ）答：G 是AD 的中点.…………5分（方法一）取PC 的中点H ，连结DH.分平面为平行四边形四边形连结中点取平面平面又8.,//,,//21//.,,.,,., PCB GF GF DH DGFH DG BC HF FH GF G DA PCB DH DH BC PDC BC PC DH DC PD ⊥∴∴∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴===（方法二）取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF. PGD ∆ ≌.BGA ∆分平面底面连结中点为又8.,,,,..,.PBC FG BC FG AD FG AD OG ABCD FO GO PB GF PB F GB PG ⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥⊥=∴ （Ⅲ）设B 到平面DEF 的距离为d.分所成角为与平面则所成角为与平面设分则设底面边长为分12.63arcsin ,63sin ,.61214186,861090,454342.254,32121,2221,41,21,9.3131,222222222222 DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a S DFE DE a a a DF EF a a a DE a PB DF aAP EF a S a FO a FO S d S V V DEF DEB DEB DEF DEB F DEF B ∴===⇒⋅=⋅∴=∴=∠∴==+=+=+=======⋅=⋅∴=∆∆∆∆--θθ解法二：以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a ，则D （0，0，0）、A （a ,0,0）、B(a ,a ,0)、C(0,a ,0))0,2,(a a E 、)2,2,2(aa a F 、).,0,0(a P ……2分（Ⅰ）,0)0,,0()2,0,2(=⋅-=⋅a aa DC EF.DC EF ⊥∴……4分（Ⅱ）.),,0,(PAD G z x G 平面则设∈分的中点点为即点坐标为8.),0,0,2(.0,0)2(2),,0()2,2,2(;2,0)2()0,0,()2,2,2(),2,2,2(2AD G aG z az a a a a a z a a x ax a x a a a z a a x az a a x FG ∴==-+=-⋅---=⋅==-=⋅---=⋅---= （Ⅲ）设平面DEF 的法向量为).,,(z y x =分即所成角大小为与平面分则取即得由12).63arcsin (63arccos 2,6362,cos 10).1,2,1(,1,2,1.02,0)(2,0)0,2,(),,(,0)2,2,2(),,(0,0 -∴=⋅=>=<-=∴=-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅πDEF DB a a z y x y a ax z y x aa a z y x a a a z y x DF n20．本小题主要考查运用数学知识解决实际问题的能力，并在建立数学模型和解题过程中，考查导数知识和运算能力,满分12分.解法一：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为).2,4(),0(22C p px y 且>=21,4222=⋅=p p ， 故曲线段OC 的方程为).40(2≤≤=x x y ………………3分 设)40)(,(<≤x x x P 是曲线段OC 上的任意一点， 则在矩形PQBN 中，x PN x PQ -=+=4||,2||，………………5分工业区面积842)4)(2(||||2123++--=-+=⋅=x x x x x PN PQ S ，…………6分0443:0,222321212121=-+='+--='∴--x x S x x S 得令即：.94,0)2)(23(,0443212121=∴=+-=-+x x x x x ………………7分 当x S S x 是时,0,)94,0(>'∈的增函数；………………8分当x S S x 是时,0,)4,94(<'∈的减函数；………………9分94=∴x 时，S 取到极大值，此时,382||=+=x PQ5.92725693238.9324||≈=⨯==-=S x PN ……………………10分).(5.9,8,02m ax km S S x ≈∴==时 ……………………11分答：把工业园区规划成长为km 932，宽为km 38的矩形时，工业园区的面积最大， 最大面积约为9.5km 2.…………………………12分 解法二：由解法一得：曲线段OC 的方程为).40(≤≤=x x y …………3分设)20)(,(2<≤y y y P 是曲线段OC 上的任意一点，则在矩形PQBN 中，,4||,2||2y PN y PQ -=+=………………5分∴工业区面积,842)4)(2(||||232++--=-+=⋅=y y y y y PN PQ S …………6分2,320,443212-==='+--='y y S y y S 得令. .32,20=∴<<y y ……………………7分当y S S y 是时,0)32,0(>'∈的增函灵敏；……………………8分当)2,32(∈y 时，y S S 是,0<'的减函数，………………9分32=∴y 时，S 取到极大值，此时382||=+=y PQ ，.5.92725693238.9324||2≈=⨯==-=S y PN ………………10分).(5.9,8,02km S S y mzx ≈∴==时 ……………………11分答：把工业园区规划成长为km km 38,932宽为的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为25.9km .…………………………12分21．本小题主要考查平面向量的概念、直线与椭圆的方程性质以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力. 满分12分.解：（1）设),,(),0)(0,(),0,(00y x P c c N c M >- 则,2),()0,2(000cx y x c OP MN =⋅=⋅.1,2200==x c cx 故 ① 又.23,23||)2(2100cy y c S PMN ===∆ ②…………2分 ),23,31(),,(00+=+=OA y c x MP 由已知),23,31(),(00+=+m y c x 即.)31()(23,23310000y c x y m c x +=+==++故③ 将①②代入③，,23)31()1(23cc ⋅+=+ ,0)33(2=+-+c c,0)13)(3(=++-c c .23,30==∴y c …………………………4分 设椭圆方程为)23,1(,3).0(1222222P b a b a by a x +=>>=+ 在椭圆上， ,4,1,143312222===++∴a b bb 故 ∴椭圆方程为：.1422=+y x ……………………6分（2）①当l 的斜率不存在时，4-=x l 与无交点， 不合题意.②当l 的斜率存在时，设l 方程为)1(+=x k y ，代入椭圆方程1422=+y x化简得：.0448)14(2222=-+++k x k x k ……8分 设点),(11y x C 、),(22y x D ，则：222112112221222114,11.1444,148,0λλλλ++=-++=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+>∆x x x x k k x x k k x x ，,44,11212211+--=+--=∴x x x x λλ………10分]8)(52[)4)(1(1)4411(212122212121+++++-=+++++-=+x x x x x x x x x x λλ 而81485144428)(5222222121++-⋅++-⋅=+++k k k k x x x x0)8324088(1412222=++--+=k k k k ， 021=+∴λλ…………12分22．本小题主要考查数列、平面向量、极限等基础知识，考查综合应用数学知识，直觉猜想，归纳推理及运算能力. 满分14分.解：（1）211211)()(21||----++-=n n n n n y x y x a ),2(||222212121≥=+⋅=---n y x n n n ………………2分首项22||0||121211=≠+=-n n a y x a 为常数， |}{|n a ∴是等比数列.………3分 （2）),(21),(1111111-------+-⋅=⋅n n n n n n n n y x y x y x 212121||21)(21---=+=n n n a y x ，…………………………5分222||1,cos 21111==>=<----n n n n n n n a a ， n n 与1-∴的夹角为.4π………………7分 （3）),,(21),,(11112111y x y x a y x a +-==),,(41),,(21)2,2(411111411113x y x y a x y x y a +---=-=-=),,(41)2,2(8111115y x y x a -=--= //////951a a a ∴… ……8分一般地， ,,,,345211-===n n b a b a b用数学归纳法易证34-=n n 成立.………………10分).,()41(111y x n n --=∴……………………11分设112])41()41()41(1[),(x t s t OB n n n n n --++-+-+== 则;54lim ],)41(1[54)41(1)41(1=--=----=∞→nn n nt 112])41()41()41(1[y s n n --++-+-+= ,58lim ],)41(1[582)41(1)41(1=--=⋅----=∞→n n n ns∴极限点B 的坐标为).58,54(………………………………14分。

福州市2005年高考模拟试卷（A ）数学试卷（理科）（考试时间：120分钟；满分：150分）参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 、B 互相独立，那么P(B A ⋅)=P(A)P ⋅(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）=kn kkn )p 1(p c --；正棱锥、圆锥的侧面积公式S 棱锥=cl 21，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长； 球的体积公式V 球=3R 34π，其中R 表示球的半径。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集是（ ）A . （－∞，2）B . （1，2）C . （2，+∞）D . （－∞，1）2.设1(,2sin )3a α=，)23,cos 21(α=，且//a b ，则锐角α的值为 （ ）A .12πB .6π C . 4π D . 3π 3.关于x 的不等式1x m ->的解集为R 的充要条件是 （ ） A .m<0 B .1m ≤- C . 0m ≤ D .1m ≤4.下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ） A .212sin y x π=- B .sin 23y x ππ=+（）C .tan2y x π= D .sin cos y x x ππ=5.函数32()f x x ax bx c =+++,其中a,b,c ∈R,则230a b -<时，()f x 是（ ）A .增函数B .减函数C .常数D .既有单调增区间也有单调减区间的函数 6.若1)nx展开式中的第五项为常数项，则展开式中系数最大的项是（ ） A .10或11 B .8或9 C .8 D .9 7.已知||6a =，||5b =，,120a b <>=，则||a b +=（ ） A . 91 B . 31 C .D .8.将大小不同的两种钢板截成A 、B 两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如下表所示：若现在需要A 、B 两种规格的成品分别为12块和11块，则至少需要这两种钢板共（ ）A . 5张B . 6张C . 7张D . 8张9.观察地球仪上的中国地图版图，了解到福建福州位于北纬26°、东经118°，江苏南京位于北纬32°、东经118°，如果地球的半径为6370km ，则这两地的球面距离约是 （ ）A . 38220kmB . 21200kmC . 667kmD . 212km10.设2(0)()(0)x x b x f x ex +≤⎧=⎨>⎩，若0lim ()x f x →存在，则常数b 的值是 （ ）A . 0B . －1C . eD . 1 11.台风中心从A 地以20 km / h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，城市B 处于危险区内的时间为 （ ）A . 0.5 hB .1 hC .1.5 hD .2 h12.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上的数字选0，千位、百位上都能取0，这样设计出来的密码共有 （ ）A . 90个B . 99个C . 100个D . 112个 二、填空题：（本大题共4题，每小题4分，共16分）。

福州市度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（ ）． A ．1ZBC ．3ZD ．4Z2．已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）． A ．2B ．12C ．1-D ．3-3．已知A ⊂≠B，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29 D ．365．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图第1题图第4题图中阴影部分的概率为（ ）． A ．1πB ．2πC ．3πD ．126．已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（ ）． A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658．ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos A b Ba=C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9．若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为，则双曲线Γ的离心率为（ ）． A．BC ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（ ）．AC 11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）．A．4-B1 C1 D12．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （ ）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为★★★ ． 14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ． 15． 已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ．16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲k y x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着第19题图时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ． （Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos x x f x x x g x x x =-=，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．福州市第一学期高三质量检查 理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 13．2- 14．32 15．316．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ······ 1分 依题意得11a =，22a =． ················ 2分 所以2q =， ····················· 3分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ·········· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ············ 5分 所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，······· ① 23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ··· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ·············· 8分即 1222212n n n S n +-⋅-=-⨯-， ···············11分所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ················ 12分18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等． 解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ········· 2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． ···················· 3分 根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ··· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··············· 9分故X10分 所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 故所求的期望为3． ················· 12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的， 所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． 1分 （Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ············ 4分（Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭． ·················· 5分 所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··············· 9分故X10分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为3． ················· 12分19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·········· 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4， 所以4OQ =． ···················· 2分又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =， ········· 4分 又因为Q 坐标为(4,0)，所以4PQ ==，所以OPQ ∆为等边三角形． ·············· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,，7分 代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且16sin cos 8sin2k ααα==， ··············· 9分 所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=， ··················· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ········· 12分 解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ········· 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ·2分因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =，所以OP OQ=． ··· 4分又因为直线OP的斜率k ==，所以60POQ ∠=︒，所以OPQ ∆为等边三角形． ·············· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,， 7分 因为点P ',Q '在函数(0)k y x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ············· 8分所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα,················· 9分消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos2sin π33ααα=+，所以3sin 222αα=，所以tan 2α=， (10)分 又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， (11)分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ········· 12分解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)k y x x=>的图象关于直线y x =对称， ······ 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)k y x x=>的图象上．10分 此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ··········· 11分所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4． · 12分20． 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ······ 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ··· 3分当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． · 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．6分（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2m y x m x x x =⨯-+=-++--， · 8分因为10822m x x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8．··········· 9分 令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数，10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ····· 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ········ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一； （Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， · 8分注意到18y x =-及2102m y x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，则1082m y x x =-+-关于x 在[6,8]上单调递减， ········ 10分故10588823m m y -+=-≥，由523m ≥，得65m ≥， (11)分 所以所求的m 的最小值为65． (12)分21． 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意可设抛物线Γ的方程为：22x py =（0p >）． 1分 由焦点为(0,1)F 可知12p =，所以2p =． ·········· 2分所以所求的抛物线方程为24x y =． ··········· 3分 （Ⅱ）方法一：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知，12y x '=．则切线PA PB 、的斜率分别为12112211,22x x x x k y x k y x ==''====，故切线PA PB 、的方程分别为211111()42y x x x x -=-，222211()42y x x x x -=-，4分联立以上两个方程，得1212,214x x x y x x+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故P 的坐标为12121(,)24x x x x +， 5分因为点P 在抛物线Γ的准线上，所以12114x x =-，即124x x =-． · 6分设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =，得2440x kx m --=， 所以124x x m =-，即44m -=-，所以1m =． ········· 7分 故AB 的方程为1y kx =+，故直线AB 恒过定点(0,1)． ···· 8分方法二：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),1P m -，易知直线PA PB 、斜率必存在，可设过点P 的切线方程为()1y k x m +=-．由()21,4,y k x m x y ⎧+=-⎨=⎩，消去y 并整理得()24410x kx km -++=． · ①因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以()2416(1)0k km ∆=-+=，整理得210k mk --=， ···· ② 所以直线PA PB 、斜率12k k ,为方程②的两个根，故121k k ⋅=-， · 4分 另一方面，由0∆=可得方程①的解为2x k =，所以11222,2x k x k ==． ················· 5分假设存在一定点，使得直线AB 恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在y 轴上，设该定点为(0,)C c ， ··············· 6分 则221212(,),(,)44x x CA x c CB x c =-=-． 所以//CA CB ， 所以222112()()044x x x c c x ---=，整理得121221()()4x x c x x x x -=- 所以12x x ≠， 所以12124144x x k k c =-=-= ················ 7分所以直线AB 过定点()0,1． ··············· 8分（Ⅲ）结论一：若点P 为直线:l y t =（0t <）上的任意一点，过点P 作抛物线:Γ22x py =（0p >）的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 恒过定点(0,)t -． 12分 结论二：过点()0,Q m （0m >）任作一条直线交抛物线()2:20x py p Γ=>于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作该抛物线的切线，两切线交于点P ，则点P 必在定直线y m =-上． ·····················12分 结论三：已知点P 为直线:l y kx b =+上的一点，若过点P 可以作两条直线与抛物线:Γ22x py =（0p >）相切，切点分别为,A B ，则直线AB 恒过定点(),pk b -． 12分 说明：①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论； ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．解：（Ⅰ）函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ··· 1分 理由如下：因为()e sin cos x f x x x =-，所以()e sin e cos sin x x f x x x x '=++． ··· 2分 因为π02x <<，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在π(0,)2上是单调递增函数． ········ 3分 因为(0)10f =-<，π2π()e 02f =>， 根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ········ 4分 （Ⅱ）因为不等式12()()f x g x m +≥等价于12()()f x m g x -≥， 所以 12ππ[0,],[0,]22x x ∀∈∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，等价于 ()1min 2min ()()f x m g x -≥，即1min 2max ()()f x m g x -≥． ······· 6分 当π[0,]2x ∈时，()e sin e cos sin 0x x f x x x x '=++>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最小值1-． ··············· 7分 又()cos sin x g x x x x '=--，由于0cos 1,sin x x x x ≤≤≥ 所以()g x '0<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减， 因此，0x =时，()g x 取得最大值 ········· 8分 所以(1m --≥，所以1m ≤-． 所以实数m 的取值范围是(,1-∞-． ········· 9分 （Ⅲ）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >， 只要证e sin cos cos x x x x x x ->， 只要证(()e sin 1cos x x x x >+， 由于sin 0,10x x +>，只要证e1x x >+． ······ 10分下面证明1x >-时，不等式e1x x >+成立． 令()()e 11x h x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x x x x h x x x +-'==++，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1． 令k =，其可看作点()sin ,cos A x x 与点()B 连线的斜率， 所以直线AB 的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时， 直线AB 取得斜率k 的最大值为1． ··········· 12分故0x =时，()10k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥． ······ 13分 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······· 14分。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +1 2．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 3．在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-4．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a6．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==7．已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中 点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．515arccos B ．4πC ．510arccosD ．2π9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+11．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

福州市2012-2013学年第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷(满分：150分；完卷时间：120分钟)参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．i 是虚数单位，复数21ii-+在复平面上所对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U 为整数集，集合{|18}A x N x =∈≤≤，{0,1,2}B =，则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为A ．3 B. 4 C.7 D.83.设命题p:函数cos 2y x =的最小正周期为2π；命题q:函数sin y x =的图象关于直线2x π=对称．则下列判断正确的是A ．p 为真 B. q ⌝为真 C. p q ∧为真 D. p q ∨为真 4．对具有线性相关关系的变量,x y ，测得一组数据如下表：x2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y x a =+，据此模型来预测当20x =时，y的估计值为（ ）．A ．210B ．210.5C ．211.5D ．212.55．“a ∥b ”是“存在唯一实数λ，使得a b λ=r r”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第2题图6．函数5log (1)y x =-的大致图象是7．在∆ABC 中，若sin B 既是sin ,sin A C 的等差中项，又是sin ,sin A C 的等比中项，则B ∠的值是 A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒90 8.在区间[0,]π上随机取一个数x,则事件“6sin cos x x +≥”发生的概率为 A ．14 B ．13 C ．12 D ．23 9．若运行如右图所示的程序，则输出S 的值是A ． 20122011B ．20112012C ．20122013D ．2013201210.已知函数()()sin (0,0,)2f x M x M πωϕωϕ=+>><半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin(2)6f x x π=-C ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2sin(2)6f x x π=+11. 若点A （m 、n ）在第一象限，且在直线235x y +=上，则23m n+的最小值为 A ．245B ．265C ．4D ．512.能够把圆22:16O x y +=的周长和面积同时分成相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列不是圆O 的“和谐函数”的是A. 3()f x x = B. ()tan2xf x = C. ()xx f x e e -=- D. ()ln[(4)(4)]f x x x =-+i=1 S=0WHILE i<=2012 S=S+1/(i*(i+1)) i=i+1 WEND PRINT S END 第9题程序第10题图第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．以椭圆2213x y +=的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为_____________．14．若函数2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨-+≤⎩，则函数()f x 的零点为 ．15．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点(,)N x y 为平面区域212x y x y x +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩上的一个动点，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的最大值是____________．16．已知点1212(2)(2)xxA xB x ，、，是函数2xy =的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图象上的不同两点，则类似地有 ________成立．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11=a ，且点1(,)n n a a +在函数32y x =+的图象上（*∈N n ），（Ⅰ）证明：数列{}1+n a 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和.18．（本小题满分12分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+⋅=x x x x f ωωω（其中0>ω）；且函数()f x 的周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. 求()g x 的单调区间.19. （本小题满分12分）某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团 泥塑 剪纸 年画 人数 320 240 200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学；（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．20．（本小题满分12分）设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，12PF F ∆的周长为16.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求过点()3,0且斜率为45的直线l 被椭圆C 所截线段的中点坐标.21．（本小题满分12分）如图，某小区有一片边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中部分AOC 是一个游泳池．计划在地块OABC 内修一条与池边AC 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系。

福建省福州市2007—2008学年第一学期高三期末质量检查数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），完卷时间120分钟，满分，150分. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2)1(1i i -+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知等差数列{a n }中，a 6+a 10=20，a 4=2，则a 12的值是（ ）A ．26B ．20C ．18D ．28 3．函数x )x (f 3= (x ≤2)的反函数的定义域是（ ）A ．(－∞，9]B ．[9，+∞）C ．(0，9]D ．(0，+∞) 4．设p ：log 2 x <0，q ：x1<l ，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知sin(α－4π)=31，则cos (α +4π)的值等于 （ ）A ．322B ．一322C ．一31D ．31 6．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是（ ）A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．若x ，y 满足y x z y x y x 2,0012+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+的最大值为L ，最小值为l ，则L 一l 的值为（ ） A ．21B ．1C ．23D ．28．把四个不同的小球全部随意放人三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为 （ ）A ．3413A AB ．3324A CC ．2234A CD ．223414C C C9．若定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)()2(+=+x f x f ，则)1(f 等于（ ）A ．0B ． 1C ．－12D ．1210．关于函数)x (f =2 sin(3x －34 π)，有下列命题①其最小正周期为23π；②其图像由y=2sin3x 向左平移34 个单位而得到；③在 [125,12ππ]上为单调递增函数，则其中真命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．已知双曲线122=-ny m x (mn ≠0)的离心率为2，且有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为 （ ）A ．316B ．38C ．163D ．8312．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a )(b f >b )(a fB ．a )(a f >b )(b fC ．a )(a f <b )(b fD ．a )(b f <b )(a f第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共l 6分.13．已知函数1)1()1(11)(2=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--=x x a x x x x x f 在处连续，则实数a 的值为_________.14．若直线l ：Ax +By +C=0与⊙M ：(x 一a )2+(y 一b )2 = l (M 为圆心)相交于P ，Q 两点且| PQ | = 3 ，则MP MQ ⋅=___________.15．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a l (x 一2)+a 2(x 一2)2+a 3(x 一2)3 ，则a 2=_________. 16．用n 个不同的实数a 1，a 2，…，a n 可得到n!个不同的排列，每个排列 为一行写成一个n!行的数阵. 对第i 行a i1，a i2，…，a in ，记 b 1= 一a i1+2a i2 —3a i3+…+(一1)n n a in ，i =l ，2，3，…，n!. 例如1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是l2，所以 b l +b 2+…+b 6=一l2 +2×12—3×12=一24，那么，在用l ，2，3，4，5形成的数阵中，b l +b 2 +…+b 120=______.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分l2分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4cos 22C 一cos2C =72 ，a+b =5，c=7.（1）求角C 的大小； （2）求ΔABC 的面积.18．（本题满分12分）已知在等比数列{a n }中，a l +a 3=l0，a 2+a 4=20，设c n =11一log 2 a 2n . （I ）求数列{c n }的通项；（Ⅱ）求数列{c n }前n 项和S n 的最大值.19．（本题满分l2分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记ξ=|x 一2| +| y 一x |.（I ）求随机变量ξ 的最小值，并求事件“ξ 取得最小值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ 的分布列和数学期望.20．（本题满分12分）一群猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了23 ，还不过瘾，又吃了两个. 第二天早上又将剩下的桃子吃掉23 ，又吃了两个. 以后每天早上都吃掉前一天剩下的23 后还要吃两个. 到第七天早上想吃时，只剩下一个桃子了，求第一天共摘了多少个桃子?21．（本小题满分12分）如图，F 1，F 2分别是椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左右焦点，M 为椭圆上一点， MF 2垂直于x 轴，且OM 与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行，（I ）求椭圆的离心率；（II ）若G 为椭圆上不同于长轴端点任一点，求∠F 1GF 2的取值范围；（Ⅲ）过F 2且与OM 垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点. 若Q PF S 1∆=20 3 ，求椭圆的方程.22．（本小题满分14分）已知：三次函数)(x f =x 3+ax 2+bx+c ，在(－∞，－1)，(2，+∞)上单调递增，在(－l ，2)上单调递减，不等式)(x f >x 2—4x +5的解集为(4，+∞) （I ）求函数)(x f 的解析式； （II ）若函数)(x h =)2(3)(-'x x f － (m+1)ln(x +m)，求)x (h 的单调区间.1 2 31 3 22 13 2 3 13 1 23 21参考答案一、选择题1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.D8.B9.D 10.B 11.A 12.B 二、填空题 13．1 14．21- 15．6 16．－1080 三、解答题17．解：（1）由.27)1cos 2(2cos 14272cos 2cos422=--+⋅=-C C C C ，得 整理，得.01cos 4cos 42=+-C ………………4分 解得3,0,21cos ππ=∴<<=C C C ………………6分 （2）由余弦定理得c 2=a 2+b 2－2a bcocC ，C=3π∴ab b a c 3)(22-+= …………8分 又6,7,5=∴==+ab c b a ………………10分∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC …………12分 18．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010311211q a q a q a a ………………2分 解得⎩⎨⎧==221q a∴*)(2N n a nn ∈= ………………4分n a c n n 211log 1122-=-= …………6分（Ⅱ）{c n }是以9为首项，以－2为公差的等差数列 ∴2102)2119(n n nn S n -=-+=………………9分 25)5(2+--=n所以当n=5时，数列{c n }前n 项和S n 的最大值为25 …………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵x 、y 可能的取值为1、2、3，∴0||,0|2|>->-x y x ，∴.02,20===≥ξξ时，，当且仅当y x ………………3分 因此，随机变量ξ的最小值为0.∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种， ∴91)0(==ξP 答：随机变量ξ的最小值为0，事件“ξ取得最小值”的概率为91…………6分 （Ⅱ）ξ的所有取值为0，1，2，3∵ξ=0时，只有x =2，y=2这一种情况，ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况， ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况 ∴92)2(,94)1(,91)0(======ξξξP P P……………………………………………………10分 因此，数学期望 914923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………12分 20．（本小题满分12分）解：设从第一天开始顺次每天还没有吃的桃子数组成的数列为{a n }，由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧-==+231117n n a a a ………………4分 设3)31)(3(11-+==-n n x a x a ，求得 …………8分∴13)31)(3(67=-+=x a解得x=2913，即第一天猴子共摘了2913个桃子 …………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知AB OM K K ab c M = ),,(2∴22,,2===∴=a c e c b a b ac b …………2分 （Ⅱ）设GF 1=m ，GF 2=n ，∠F 1GF 2=θ，则m+n=2a01)2(212242)(24cos 22222222=-+≥-=--+=-+=n m b m nb m nc m n n m m n c n m θ当且仅当m=n 时，]2,0(,0)(cos min πθθ∈∴=，即∠F 1GF 2的取值范围为（]2,0π…6分（Ⅲ）由（Ⅰ）得c b c a ==,202225222)2()(22222222222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+--=c cy y c y x y c x ba y a xbc x y c y y y y y y 5344)(||2122121=-+=- …………9分320534221||||2121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S Q PF ∴50,25222===a b c ∴椭圆的方程为1255022=+y x …………12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵),2(),1,()(+∞--∞在x f 上单调递增，（－1，2）上单调递减∴2,1023)(2-=++='有两根b ax x x f∴c x x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-623)(623321322123 ……4分 令5225)54()()(232-+--=+--=c x x x x x x f x H )2)(13(253)(2-+=--='x x x x x H),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调递增，（)2,31-单调递减故 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=0)31(0)4(H H ∴c=－11 ∴11623)(23---=x x x x f …………6分 （Ⅱ）∵)2)(1(3633)(2-+=--=x x x x x f∴)2)(ln()1(1)(≠->++-+=x m x m x m x x h 且 …………8分 ∴mx x m x m x h +-=++-='111)( …………………10分 ①当)(22x h m m 时，，即-≤≥-的定义域为),(+∞-m ，0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单调递增；②当)(1221x h m m 时，，即≤<-<-≤的定义域为),2()2,(+∞⋃-m0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单调递增③当－m<1，即m>－1时，)(x h 的定义域为),2()2,(+∞⋃-m ，由10)(>>'x x h 得， 由.10)(<<'x x h 得故在（1，2），),2(+∞上单调递增；在（－m ，1）上单调递减 …………12分 所以当),()(2+∞--≤m x h m 在时，上单调递增； 当),2(),2,()(12+∞--≤<-m x h m 在时，上单调递增；当)>时，在m上单调递增；在（－m，1）单调递减……14分-2,1(,2(),1+∞。

北京市宣武区2003－2004学年度第一学期期末质量检测高三数学（理工农医类）第I卷（选择题共40分）参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式：其中c'、c分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长球体的体积公式：其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，则等于（）A. B.C. D.（2）当且时，在下面所给的四个图中，表示函数和的图像正确的是（）A. 仅①B. 仅②C. ①与④D. ②与③（3）给定函数的性质：①函数的最小正周期为；②函数图像关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的函数是（）A. B.C. D.（4）已知是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若⊥m，⊥n，，则⊥α②若∥α，则平行于α内所有直线③若，且⊥m，则α⊥β④若，且⊥α，则α⊥β⑤若，且α∥β，则m∥其中命题正确的是（）A. ①和④B. ①和②C. ①、③和⑤D. ③、④和⑤（5）若，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件（6）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C：（α为参数）的极坐标方程是（）A. B.C. D.（7）在复平面内，由复数所对应的点构成的三角形的最大内角等于（）A. B.C. D.（8）发行体育奖券，号码从000001－999999，购买时揭号对奖。

若规定：从个位数算起，奇数位为不同的奇数，偶数位为偶数的号为中奖号码，则中奖面约为（）A. 1.56%B. 1.5%C. 0.75%D. 0.6%第II卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）函数的反函数____________，不等式的解集是____________。

（10）中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线和直线垂直，则这条渐近线的方程是____________________；又若双曲线过点，则此双曲线的方程是____________________。