x Asinx
a
求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？
解：(1)由归一化条件
2 dx A2 a sin2 x dx 1
0
a
a/2
2 dx
2
a/ 2 sin2 x dx
1
0
a0
a
2
(3)概率最大的位置应该满足
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称
为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可 微，且一阶导数也连续可微。
2）归一化条件
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任
意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以
应有：
| |2 dV 1
V
5
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只 有一种符合标准条件
解得
a A2 1 2
A 2 a
d 2 2 sin 2x 0
dx
aa
(2)粒子的概率密度为
2 2 sin2 x
aa
即当 2x k , k 0,1,2,
a
时，粒子出现的概率最大。因 为0<x<a，故得x=a/2，此处粒
粒子在0到a/2区域内出现的概率 子出现的概率最大。
的概率为： dW 2 dV *dV
由此可见，| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出
现的几率，称为几率密度。即： | |2
3
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来 说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的， 物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计 规律。
必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
10
1.自由粒子的薛定谔方程
动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为：
i 2 ( Et px )
( x, t ) Ae h
对时间求微商，得到：
( x, t) t
i
2
i ( Et px )
E0e
i
E( x, t)
①
11
( x, t) t
i
E0e
i
(
Et
px )
i E( x, t)
①
对 x 求二阶偏导：
( x, t) x
i
p0e
i
(
Et
px
)
i
(x,t)
p( x, t)
Ae
i
(
Et
px
)
2(x, t) x 2
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于 波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统 计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
4
４、波函数应满足的条件
1）标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几
率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、 有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变， 所以波函数还必须是连续的。
波函数为：
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
2
３、波函数的统计解释 与光波类比，物质波的强度：
I | |2 正实数 *是 的共轭复数。
由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是 与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。
W | |2 某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子
因此，将波函数在空间各
波强的绝对值。
点的振幅同时增大 C倍，则
因此，将波函数在空间各
该处的能流密度增大 C2 倍， 变为另一种能流密度分布状
点的振幅同时增大 C倍，不影 响粒子的概率密度分布，即
态。
和C 所描述德布罗意波的状
态相同。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
7
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 的范围内，已知其波函数为：
21.5 波函数 薛定谔方程
一 、波函数
1、经典的波与波函数
机械波
y(x,t) Acos2π (t x )
电磁波
E(x,t)
E0
cos
2π
(t
x
)
H
经典波为实函数
( x, t )
H
0
cos2π (t
i 2π(t x
)
x
)
y(x,t) Re[ Ae
]
1
2、量子力学波函数（复函数）
符合
不符合
不符合
不符合
6
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代 表通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空间
概率密度分布取决于空间各
各点的波强的绝对值。
点波强的比例，并非取决于
自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动
过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和
动量保持不变。
对应的德布罗意波的频率和波长： E , h
h
P
结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
i 2 ( Et Px)
( x, t ) Ae h
r 对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的
2.薛定谔方程的一般形式
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为：
p2 E U(x,t)
2m
此时的薛定谔方程为：
i
( x, t
t)
2 2m
2( x, t) x 2
U( x, t)( x, t)
⑤
13
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场
中运动，则其薛定谔方程为：
i
(r ,
t
t)
2 2m
[
2
(r ,
x 2
t
)
2(r, y 2
( ip )2 0e i ( Et px)
p2
2
( x, t )
②
p2
E 2m
③
比较以上三式，可得：i ( x, t ) t
2 2m
2( x, t ) x 2
④
12
i
( x, t) t
2 2m
2( x, t ) x 2
④
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
8
二、薛定谔方程
9
经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
一、薛定谔方程 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它
