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18.0 薛定谔方程及其应用

18.0 薛定谔方程及其应用

一维运动粒子的含时薛定谔方程
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
2 2
− i 2 π Et / h
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 运动粒子的定态
d ψ 8π m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h
一. 物质波的波函数
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔 年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子的概率波
轴正方向运动，由于其能量、动量为常量， 例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量， 不随时间变化，其物质波是单色平面波， 所以 v 、 λ 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波 函数为
r 2 r * r dW =|Ψ(r,t)| dV =Ψ(r,t)Ψ (r,t)dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为 粒子在整个空间出现的概率为1) 粒子在整个空间出现的概率为
r 2 ∫∫∫|Ψ(r,t)| dxdydz =1
3. 波函数必须单值、有限、连续 波函数必须单值、有限、 概率密度在任一处都是唯一、有限的 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
2
归一化条件 归一化条件
2 a A sin 2 0
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
nπ xd x = 1 a
2 A= a
ψ ( x) =
2 nπ sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a
d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
2 2

薛定谔方程及其简单应用

薛定谔方程及其简单应用

75.5neV
当n>>1时，能量相对间隔
En En
21 nn
当
n 时
E E 量子化不显著。
n
n
经典物理可看成是
n 时量子物理的特殊情况。
H
26
a =102 m时：
E
n 2h 2 8ma 2
8n29(.61.61301310314)024
3.7 810 1n 52ev
显然电子在宏观尺度上运动时其能级差是很小的。
H
24
经典理论中，处于无限深方势阱中粒子
的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制， 各处概率相等。
| |2
n4
随着能级的升高，几率密度的峰值增多，
当
时，粒子在势阱内各处出现的概率
n 相等，量子力学的结果过渡到经典力学的情
况。
n3 n2
0
a/2
n1 a
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运 动。。
2 m 2d2d 32 (x x)E 3(x), xa
aa
n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典 力学各处概率相同。
H
3x
E3
2x
E2
1x E 1
o
n+1个
x a节点
稳定的驻波能级23
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
n4
| |2
4
16E1
3
n3
9E1
n2
n1 0
a/2
2
1 a0
a/2
4E1 E1 a Ep 0
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。
粒 r 处 子 的 在 2 （ 几 r ,t) （ *r ,t 率 )

薛定谔方程及其应用

薛定谔方程及其应用

x

y ( x, t ) Re[ Ae

]
1
2、量子力学波函数（复函数） 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动 过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和 动量保持不变。 E h , 对应的德布罗意波的频率和波长： h P 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
波函数为：
对三维空间，沿矢径 r 方向传播的自由粒子的
粒子在0到a/2区域内出现的概率
8
二、薛定谔方程
9
经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
2
方程（1）的解为： f ( t ) ce
i Et
Et
（c为任一常数） 将 f ( t ) ce 代入 ( r , t ) ( r ) f ( t ) ， 并把常数包含在 ( r ) 中，这样 就得到薛定谔方程的特解为：
定态薛定谔方程
( r , t ) ( r )e
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
U ( x )
d U E 2 2m dx
2 2
2 d 2 E 2 2m dx
须有

U(x)
0
( x) 0
0 a
边界条件：
(0) (a ) 0
13
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为：
2 2 2 2 ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) i [ ] 2 2 2 t 2m x y z U ( r , t ) ( r , t ) ⑥

B11_薛定谔方程

B11_薛定谔方程

U ( r , t )

2 2
引入拉普拉斯算符 引入哈密顿算符
(Hamiltonian operator)

2


2 2
2
x

y


2 2
薛定谔方程：
i t ˆ H
z
ˆ H

2 U (r , t )
2m
4、关于薛定谔方程的说明 是量子力学的一个基本原理；是量子力学的基本方程， 描述非相对论性粒子波函数的演化规律。 是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理 若 1 和 2 是方程的解，则它们的线性组合 （C11＋C22）也一定是方程的解。 方程中含有虚数 i 它的解 是复函数，复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度，可测量。 2 薛定谔方程关于时间是一阶的，这 2 2 u 2 不同于经典波动方程（时间二阶） t
U ( r , t )
若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量 (r , t ) (r ) T (t )
ˆ 代入薛定谔方程，得 i d T ( t ) ( r ) [ H ( r )]T ( t ) dt
dT(t ) 除以 ( r ) T ( t ) ，得 i
( x ) A sin kx ） 待定常数A、 由 应满足的物理条件决定。 （
以上的解已自然满足单值，有限的条件。 连续条件： 由于边界外 = 0，所以有：
x a 2 a , 0 A sin ( ka 2 ) 0
ka 2
l1
2 l1 l 2 ) l （ l
x
, 0 A sin (

薛定谔方程可以解释的生活中的问题

薛定谔方程可以解释的生活中的问题

薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的运动和行为。

虽然其理论极其复杂，但薛定谔方程却可以被用来解释生活中许多奇妙的现象和问题。

本文将围绕薛定谔方程可以解释的生活中的问题展开讨论，以帮助读者更好地理解这一基础物理理论在日常生活中的应用。

一、量子隧穿效应薛定谔方程首次揭示了量子隧穿效应（quantum tunneling effect），即微观粒子可以在经典力学下无法穿越的势垒的情况下通过反常的方式穿越而无需克服这一势垒。

这一效应在生活中有很多应用，例如：1. 在隧道二极管中，量子隧穿效应使电子得以“穿越”势垒，从而帮助二极管正常工作；2. 核聚变反应中，负电子穿越核力垒，帮助实现核聚变；3. 化学反应中的“反常”速率，有时是由于量子隧穿效应引起的。

二、量子纠缠薛定谔方程还描述了量子纠缠现象，即使两个空间分隔较远的粒子，它们的状态仍然会同时发生变化，这种现象被爱因斯坦称为“一种鬼魅的行为”。

量子纠缠的出现在生活中也有许多实际应用：1. 量子计算机中，利用量子纠缠可以实现超越经典计算机的运算速度和处理能力；2. 量子密钥分发技术中的安全传输，依赖于量子纠缠的特性来保证信息的安全传输；3. 量子纠缠还被应用于实现远距离的量子通信，实现了远距离的量子纠缠态转移。

三、量子力学与生活除了上面提到的具体现象外，薛定谔方程的一些概念和原理也对我们日常生活产生了深远的影响：1. 不确定性原理：薛定谔方程提出了不确定性原理，即无法同时准确地确定微观粒子的位置和动量，这一概念改变了人们对于现实世界的理解，并且在科学研究和生活中也有很多应用；2. 双缝实验：薛定谔方程对光子和电子的双缝干涉实验提出了解释，这一实验揭示了微粒子的波粒二象性，为光学技术和电子技术的发展做出了重要贡献；3. 量子力学的数学形式和基本原理也为信息技术、纳米技术、光学技术等领域的发展提供了理论基础。

固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II

固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II

薛定谔方程应用举例II---原子系统¾ 氢原子 ¾ 电子自旋 ¾ 多电子原子1氢原子的定态薛定谔方程•原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。

多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。

•氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密 顿量可记作（绝热近似）：Hˆ=−h2 2me∇2+qeU(r)me为电子质量，qe是电子电荷。

U(r)为原子核静电场中的库 仑势，记作：U(r) = − Zqe = − Z h24πε0r a1meqerZ为核的电荷数，a1 = 4πε0ħ2/(meqe2) = 0.529Å，为氢原子的第一波尔轨道半径。

2⎡⎢− ⎣h2 2me∇2−Zh 2 a1meqer⎥⎤ψ⎦(r)=E⋅ψ(r)中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：⎡ ⎢− ⎢⎣h2 2me⋅⎝⎛⎜⎜1 r2∂ ∂rr2∂ ∂r−Lˆ2 r2⎟⎟⎠⎞ −Zh2⎤⎥ψ (r,ϕ,θ ) =a1mer ⎥⎦E ⋅ψ (r,ϕ,θ )用分离变量法求解，令：ψ (r,θ ,φ) = R(r) ⋅Y (ϕ,θ )分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(ϕ,θ)。

3氢原子电子能级•能量本征值： En=−Z2h2 2me a12 n2n=1, 2, 3,……，称为主量子数•电子能级量子化（仅通过数学求解薛定谔方程即可获得）。

•基态能量用E1表示，记作：E1=−Z2h2 2me a12氢原子的电离能Ei = −E1 = 13.6 eV，也称里德伯常 数。

•氢原子电子能级仅与主量子数n有关，多电子原子则不然。

4氢原子电子的径向密度分布函数•径向波函数：Rn,l(r)=N n,l(2Z na1r)l−eZ na0rL ( 2l+1 n−l −12Z na1r)l = 0, 1, 2, …, n−1，共n个取值，称为角量子数。

（n、l确定径向波 函数。

薛定谔方程一维情况

E
E只能取一系列分离值 2 E1 n
π2 2 式中 E1 2m a2
O 粒子不可能静止不动，满足不确定关系
n=4 n=3 n=2 n=1
最小能量E1即零点能,
a
x
第9页 共30页
大学物理
由
k 22 n 2 π 2 2 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
O
a
x
1 ( 0) 2 ( 0) d 1 d 2
dx dx 2 (a ) 3 (a ) ( 0)
可解得
( 0)
A2 , A3 B1 , B2
第20页 共30页
d 2 d 3 (a ) (a ) dx dx
大学物理
U
入射波+反射波
U0
透射波
O 经典
E U0
解：
1 2 5 | | dx c x ( L x) dx 30 c L 1 0 0
2 2 2 2
L
L
得
30 c 5 L
L 3 2
30 5 x( L x ) L
L 3
30 2 17 2 P | | dx 5 x ( L x ) dx 0.21 L 81 0 0
d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
O
a
x
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
第5页 共30页
2. 求解波函数 d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
2

15 量子物理学的诞生 薛定谔方程及应用

2 2
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U ( x , t ) 中运动粒子薛定谔方程
P E Ek U U 2m Ψ i EΨ t 2Ψ P2 2 Ψ 2 x
2
Ψ i P2 [ U ( x , t )]Ψ t 2m
Ψ ( x, t ) Ψ oe
x
E p0
A B
2 一维无限深势阱

0
0

a x
U (x)
0 0< x < a
x 0, x a
U 与t 无关，写出定态定谔方程

1
1= 0
d Φ UΦ EΦ 2 2m dx
2 2
0 2

3
3 = 0
1 势阱外
dΦ Φ EΦ 2 2m dx
2 2
x
0
a
x
讨论
1.能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。 按经典理论……粒子的“能量连续”； 但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续， 量子 经典。 3.最低能量不为零（称零点能） 2 2 E1 0 2 ———符合不确定关系。 2 ma
2 2 Φ UΦ EΦ 2m
定态薛定薛方程 一维定态薛定谔方程
2m Φ 2 ( E U )Φ 0
2
d 2Φ( x ) 2m 2 (E U)Φ( x ) 0 2 dx
势阱中的粒子 势垒 谐振子
一、 一维无限深势阱
1 势阱
U (x)
金属表面
金属中自 由电子的 势能曲线
推广到三维情况， 2 2Ψ Ψ U ( x , t )Ψ i 薛定谔方程可写为： 2

薛定谔方程及的应用


1 f (t ) 1 2 2 i [ (r ) V (r ) (r )] f (t ) t (r ) 2m
很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只 是时间t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于 某一个常数，设以E表示，则有： 11
r

f (t ) i Ef (t ) （ 1） t 2 2 (r ) V (r ) (r ) E (r ) （2） 2m
p E V ( x, t ) 2m
将上式作用于波函数上，此时的薛定谔方程为：
2
( x, t ) ( x, t ) i V ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
2 2
⑤
8
由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波 函数上的算符相当：
E i , t
方程（1）的解为： f 将 f (t ) ce 入 并把常数包含在 程的特解为：
( x, t ) i E0e t
上式两边都乘以
i ( Et px )
i E ( x, t ) ①
( x, t ) i E ( x, t ) t
对 x 求二阶偏导
i
得：
( x, t ) i i p0e p ( x, t ) x i 2 2 ( Et px ) ( x, t ) ip 2 p ( ) e 2 ( x, t ) 0 2 x 2
i ( Et px )
②
6
上式两边都乘以
2m
得：
2 2 ( x, t ) p 2 ( x, t ) 2 2m x 2m
把对t 求导的式子写在下面

波函数与薜定谔方程,薜定谔方程应用举例


5
例：限制在一维空间运动的粒子，其状态波函数可 表示为：
0
(
x,
t
)
A
cos(
x
a
)
e
iE
t
(x a / 2, x a / 2) (a / 2 x a / 2)
其中A 为待定常数；E 、a为确定常数。
求：1.归一化的波函数； 2.概率密度。
解：由归一化条件得
| |2 dx a/2 | |2 dx 1
2 sin2 a
n
a
x
E2 E1
2 1
x
0
a
16
讨论 1.粒子的能量
●量子化
最小值
E1
2 2
2ma2
基态能（零点能）不为零，这 是与经典理论的一个重大区别。 各能量本征值：
En n2E1 n 1, 2,3,
n>1:激发态能
基态能
E
E4
16E1
E3
9E1
E2
4E1
E1 0
x a
17
2.粒子在势阱中的概率分布
P
| 2 (a) |2 | 2 (0) |2
T T
exp(2k1a) exp(2k10)
U 隧道效应
U0
exp 2a
2m(U0
E)
I II III
oa x
当 U0 E 5eV 、势垒的宽度为50nm 以上时，贯穿
系数会小于10-6以上，隧道效应已无实际意义。从量 子化概念过渡到经典问题。
28
第二十六章
概率波
●在量子力学中，描述微观粒子运动状态的基本物 理量是波函数，反映微观粒子运动的基本方程是薜 定谔方程。 1924－1926年间，经德布罗意、薜定谔、海森伯、 玻恩、狄拉克等人的工作，建立了反映微观粒子属 性和运动规律的量子力学。
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