高一数学教案[苏教版]空间直角坐标系

2.3.空间直角坐标系-苏教版必修2教案一、教学目标1.了解空间直角坐标系的概念和性质；2.掌握三维空间直角坐标系下点的坐标表示方法；3.了解空间直角坐标系中点到坐标轴的距离公式和两点之间的距离公式；4.能够应用空间直角坐标系的相关知识解决实际问题。

二、教学重难点重点1.空间直角坐标系的概念和性质；2.三维空间直角坐标系下点的坐标表示方法；3.空间直角坐标系中点到坐标轴的距离公式和两点之间的距离公式。

难点1.空间直角坐标系的三个坐标轴之间的关系；2.三维空间中坐标表示方法的具体应用。

三、教学过程1. 导入介绍本课时的主要学习内容，引导学生具体了解空间直角坐标系的相关知识。

2. 教学内容1：空间直角坐标系的概念和性质2.1 空间直角坐标系的定义通过P点和O点来定义空间直角坐标系，表示为Ort(P, O, x, y, z)。

2.2 空间直角坐标系的三个坐标轴之间的关系X轴、Y轴、Z轴两两垂直，形成三个坐标面，且坐标面两两垂直。

2.3 空间直角坐标系的性质（1）空间直角坐标系的三个坐标轴可以任选两个为坐标面，并以坐标面上的点作为原点建立二维直角坐标系。

（2）空间直角坐标系的三个坐标轴构成了三平面（xOy平面，xOz平面，yOz平面），任两平面垂直。

3. 教学内容2：三维空间直角坐标系下点的坐标表示方法3.1 点的坐标表示方法以点P为例，坐标表示为(x, y, z)，表示P点在x轴上的坐标为x，y轴上的坐标为y，z轴上的坐标为z。

4. 教学内容3：空间直角坐标系中点到坐标轴的距离公式和两点之间的距离公式4.1 点到坐标轴的距离公式点P到x轴的距离为|y|，点P到y轴的距离为|x|，点P到z轴的距离为|z|。

4.2 两点之间的距离公式设A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)是空间直角坐标系中两点，它们之间的距离公式为AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]。

2.3.1 空间直角坐标系教学目标：1．通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；2．了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程；3．感受类比思想在探究新知识过程中的作用．教材分析及教材内容的定位：该课是在学生学习了平面直角坐标系，利用平面直角坐标系解决平面几何图形问题有了一定的数形结合思想的基础上的进一步推广，有了以上的基础，学生学习空间直角坐标系就有了一定的知识基础，有了平面解析几何知识，学生的知识迁移就有了保障，学生又学习了空间几何知识，学习了空间直角坐标系后，学生经过知识迁移就能利用空间直角坐标系解决空间立体几何知识，把数形结合思想由平面推广到空间，为立体几何问题的解决提供了新的解题途径．教学重点：空间直角坐标系的理解．教学难点：是通过建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标．教学方法：采用启发式教学、合作探究等方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．教学过程：一、问题情境1．情境：通过前面学习直线与圆的方程，了解了解析几何的基本思想是什么？——建立坐标系，用代数方法解决几何问题！建立平面直角坐标系，确立了平面内的点与坐标之间的一一对应关系；2．问题：空间位置如何确定啊，如在日常生活中，如何表示一个房间中电灯的位置？二、学生活动1．根据老师提出的问题分小组进行讨论；2．在老师的引导下认识从感性化提升到理性化；3．在老师的引导下，以正方体为模型，构建空间直角坐标系，并搞清相关概念．4．阅读、动手画图、做例题、习题并总结本节课内容．三、建构数学1．空间直角坐标系．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空 ．点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴间直角坐标系O xyz中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．空间右手直角坐标系的画法．通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．3．空间点的坐标表示．对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴与z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R．点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．4．空间对称的点的特征：点P(x，y，z)是空间内任意一点，则（1）点P关于原点的对称点的坐标为(－x，－y，－z)；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件． 2．练习．（1）在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3)A B答案略．（2）已知长方体ABCD A B C D ''''-的边长为6,4,7AB AD AA '===．以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,BA BC BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．答案：(6,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,4,0)C ，(6,4,0)D ，(6,0,7)A '，(0,0,7)B '，(0,4,7)C '，(6,4,7)D '．（3）写出坐标平面yOz 内的点的坐标应满足的条件． 答案： yOz 平面上的点的x 坐标都为0． 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．右手坐标系的建立； 2．坐标轴、坐标面；3．根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标的方法．。

§空间直角坐标系江苏省奔牛高级中学蒋亦〖教学目标〗知识与技能：（1）了解空间直角坐标系相关概念；（2）理解空间直角坐标的含义，能写出空间直角坐标系内一点的坐标过程与方法：（1）通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；（2）感受类比和特殊到一般的思想在探索新知识过程中的作用情感与态度：在具体情境中，经历类比思想探索新知识过程，让学生感悟到数学知识生成的自然、合理，培养学生科学精神和创新意识，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养〖教学重点〗理解空间直角坐标的含义，能写出空间直角坐标系内一点的坐标〖教学难点〗理解空间直角坐标的含义〖教学过程〗问题情境：问题1：有一位家长（在校门口）来找老师（在教学楼下），老师给家长指路：向东走2021再向北走50米老师给家长指路的本质是给告诉家长一个二维有序数组（20210），即一个点坐标请问对应的平面直角坐标系是什么？问题2：又有一位家长（在校门口）要给孩子送点东西（孩子的教室在教学楼三楼），此时在平面直角坐标系中用二维有序数组（20210）刻画教室位置已经不够了，要用几个数描述教室的位置？对应的坐标系应该称为什么？生：在空间直角坐标系中，用三维有序数组（20210,10）刻画平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。

问题：什么叫空间直角坐标系？生：从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，点称为坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，这三个坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为O平面、O平面、O平面师：请你根据定义在草稿纸上画一个合理、美观的空间直角坐标系（在三轴上标出单位长度）生：…（展示学生作品，追问作图原理和依据）师提示：1.教室内有没有三线两两垂直的实物模型？2.含三条线两两垂直的简单几何体是什么？学生总结空间直角坐标系的画法：1.轴与轴、轴与轴均成135 ,而轴垂直于轴；2.轴和轴的单位长度相同，轴上的单位长度为轴（或轴）的单位长度的一半问题：如果老师把空间直角坐标系的轴与轴交换位置，教室所在位置的坐标有何变化？生：（20210,10）变为（50,20210）师：轴一般都是竖直向上的，轴和轴位置不同坐标就不同，有必要规定一下轴和轴的位置，统一坐标右手直角坐标系：在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向的坐标系说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系这样，在空间直角坐标系中，教室的位置（从校门口向东走2021再向北走50米，再向上走10米）可以用（20210,10）来刻画这也是有序数组（20210,10）的含义数学运用：例1在空间直角坐标系中，作出点5,4,6小结：一般的，在空间直角坐标系中给定一个有序数组()000,,x y z ，都对应空间内唯一一个点吗？例2．如图，长方体''''ABCD A B C D -的边长AB=12,AD=8,'5AA =以这个长方体的顶点Ａ为坐标原点，射线AB,AD,'AA 分别为轴、轴和轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求点'C 的坐标．小结：空间点的坐标表示：射影法（也称垂面法）——对于空间任意一点P ，过P 点分别做三个平面分别垂直于,,轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为,,，那么,,就叫做点P 的空间直角坐标，简称为坐标，记作P ,,，三个数值叫做P 点的横坐标、纵坐标、竖坐标。

高一数学《空间直角坐标系空间直角坐标系》教案3.1空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。

教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.复习准备：提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、讲授新课：空间直角坐标系：如图，oBcD D,A,B,c,是单位正方体.以A为原点，分别以oD,oA,,oB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z 轴。

这时建立了一个空间直角坐标系oxyz.）叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。

大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

3.有序实数组）.间一点的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作.例题1：在长方体oBcD D,A,B,c,oA3,oc4,oD, 2.写出D,,c,A,,B,四点坐标.讨论：若以c点为原点，以射线Bc、cD、cc1方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？练习：V-ABcD为正四棱锥，o为底面中心，若AB=2，Vo=3，试建立空空间直角坐标系空间直角坐标系教案间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。

三、巩固练习：教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系．练习：P1481,2已知，画出它在空间的位置。

思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标。

四．小结：．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.．有序实数组；五．作业。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————空间直角坐标系二、重难点提示重点：空间直角坐标系的有关概念、空间点的坐标的确定方法。

难点：空间直角坐标系的产生过程。

考点一：空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的概念从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O －xyz ，点O 叫作坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面。

2. 右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

【要点诠释】通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°角，而z 轴垂直于y 轴。

y 轴和z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的单位长度的一半。

3. 空间一点的坐标对于空间任意一点A ，作点A 在三条坐标轴上的射影，即经过点A 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴分别交于P 、Q 、R 。

点P 、Q 、R 在相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ，y ，z ）叫作点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。

【重要提示】特殊位置的点的坐标：① 原点坐标(0,0,0)；② x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ，其中x 为任意实数；③ y 轴上的点的坐标为(0,,0)y ，其中y 为任意实数； ④ z 轴上的点的坐标为(0,0,)z ，其中z 为任意实数；⑤ xOy 平面（通过x 轴和y 轴的平面）上的点的坐标为(,,0)x y ，其中x 、y 为任意实数；⑥ yOz 平面（通过x 轴和y 轴的平面）上的点的坐标为(0,,)y z ，其中y 、z 为任意实数；⑦ xOz 平面（通过x 轴和y 轴的平面）上的点的坐标为(,0,)x z ，其中x 、z 为任意实数。

第二章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系第16课时空间直角坐标系【学习导航】知识网络学习要求1．感受建立空间直角坐标系的必要性；2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．【课堂互动】自学评价1．空间直角坐标系从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系.点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面、平面和平面．2．空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，轴与轴、轴与轴均成，而轴垂直于轴．轴和轴的单位长度相同，轴上的单位长度为轴（或轴）的单位长度的一半．3. 空间点的坐标表示对于空间任意一点，作点在三条坐标轴上的射影，即经过点作三个平面分别垂直于轴与轴与轴，它们与轴与轴和轴分别交与．点在相应数轴上的坐标依次为，，，我们把有序实数对叫做点的坐标，记为．【精典范例】例1：在空间直角坐标系中，作出点．分析：可按下列步骤作出点，【解】所作图如下左图所示：例2：如上右图，已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．【解】因为，点在坐标原点，即，且分别在轴、轴、轴上，所以它们的坐标分别为．点分别在平面、平面和平面内，坐标分别为，．点在三条坐标轴上的射影分别是点，故点的坐标为．例3：（1）在空间直角坐标系中，画出不共线的3个点，使得这3个点的坐标都满足，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．【解】（1）取三个点．（2）三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在平面的同侧，且到平面的距离相等，所以平面平行于平面，而且平面内的每一个点在轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足．追踪训练一1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：答案略2.已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．答案：，，，，，，，．3．写出坐标平面内的点的坐标应满足的条件．答案：平面上的点的坐标都为．【选修延伸】一、对称点例4: 求点关于平面，平面及原点的对称点．【解】在平面上的射影为在平面上的射影为，关于平面的对称点为关于平面及原点的对称点分别为、点评:一般的，点关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点追踪训练二1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点的坐标所满足的条件．答案：若点在轴上，则；若点在轴上，则；若点在轴上，则；若点在平面上，则；若点在平面上，则；若点在平面上，则．第16课空间直角坐标系分层训练1．空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）2．空间直角坐标系中，两点的位置关系是（）关于轴对称关于平面对称关于坐标原点对称以上都不对3．动点的坐标始终满足，则动点的轨迹为（）轴上一点坐标平面与坐标平面平行的一个平面平行于轴的一条直线4．空间中过点，且与坐标平面垂直的直线上点的坐标满足（）或且5．点在轴、轴上的射影的坐标分别是、．6．在空间直角坐标系中，点的坐标是，过点向平面作垂线，则垂足的坐标是．7．空间到两点距离相等的点的坐标所满足的条件为．8．在空间直角坐标系中画出下列各点：、、．9．如图，正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．探究拓展10．试写出三个点的坐标，使它们分别满足下列条件（答案不惟一）：（1）三个点在一条平行于轴的直线上；（2）三点所在的平面平行于坐标平面．11．在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出它们所在直线方程．。

第二章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系第16课时空间直角坐标系【学习导航】知识网络学习要求1．感受建立空间直角坐标系的必要性；2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．【课堂互动】自学评价1．空间直角坐标系从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyzO-.点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．3. 空间点的坐标表示对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴与y轴与z轴，它们与x轴与y轴和z轴分别交与RQP,,．点RQP,,在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对(,,)x y z叫做点A的坐标，记为(,,)A x y z．【精典范例】例1：在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P．分析：可按下列步骤作出点P，541x yO P−−−−−−→−−−−−−→从原点出发沿轴正沿与轴平行的方向方向移动个单位向右移动个单位62zP P−−−−−−→沿与轴平行的方向向上移动个单位【解】所作图如下左图所示：例2：如上右图，已知长方体DCBAABCD''''-的边长为5,8,12='==AAADAB．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AAADAB',,分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．【解】因为5,8,12='==AAADAB，点A在坐标原点，即)0,0,0(A，且ADB',,分别在x轴、y轴、z轴上，所以它们的坐标分别为)5,0,0(),0,8,0(),0,0,12(ADB'．听课随笔空间直角坐坐标轴坐标平面点的坐标坐标原点右手直角坐点D B C '',,分别在xOy 平面、zOx 平面和yOz 平面内，坐标分别为)0,8,12(C ，)5,8,0(),5,0,12(D B ''．点C '在三条坐标轴上的射影分别是点A D B ',,，故点C '的坐标为)5,8,12(．例3：（1）在空间直角坐标系xyz O -中，画出不共线的3个点R Q P ,,，使得这3个点的坐标都满足3=z ，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．【解】（1）取三个点(0,0,3),P (4,0,3),Q (0,4,3)R ．（2）R Q P ,,三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在xOy 平面的同侧，且到xOy 平面的距离相等，所以平面PQR 平行于xOy 平面，而且平面PQR 内的每一个点在z 轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足3=z ． 追踪训练一 1.在空间直角坐标系中，画出下列各点： (0,0,3),(1,2,3)A B 答案略 2. 已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为6,4,7AB AD AA '===．以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,BA BC BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标． 答案：(6,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,4,0)C ，(6,4,0)D ，(6,0,7)A '，(0,0,7)B '，(0,4,7)C '，(6,4,7)D '． 3．写出坐标平面yOz 内的点的坐标应满足的条件． 答案：yOz 平面上的点的x 坐标都为0． 【选修延伸】 一、对称点例4: 求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点的对称点．【解】(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影为(2,3,0),C -在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，∴(2,3,1)A --关于xOy 平面的对称点为(2,3,1),C -关于zOx 平面及原点的对称点分别为(2,3,1)B '-、(2,3,1)A '-点评:一般的，点(,,)x y z 关于xOy 平面的对称点为(,,)x y z -，关于yOz 平面的对称点为(,,)x y z -，关于zOx 平面的对称点为(,,)x y z -，关于原点的对称点(,,)x y z ---追踪训练二1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点(,,)A x y z 的坐标所满足的条件． 答案：若点A 在x 轴上，则0y z ==； 若点A 在y 轴上，则0x z ==； 若点A 在z 轴上，则0x y ==； 若点A 在xOy 平面上，则0z =； 若点A 在yOz 平面上，则0x =； 若点A 在zOx 平面上，则0y =．。

2.3 空间直角坐标系学习目标1.掌握空间直角坐标系的建立方法，理解空间直角坐标系中点与坐标的对应关系.2.理解空间中两点间的距离公式，并会用公式解决有关问题.3.了解类比思想，类比平面解析几何知识建立空间直角坐标系，从而使我们进一步认识数学知识之间的紧密联系.知识点一空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间有什么关系？梳理(1)空间直角坐标系及相关概念①定义：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了_______________.②相关概念：______叫做坐标原点，________叫做坐标轴，这____________确定一个坐标平面，分别称为________平面、______平面、________平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，若中指指向________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点的坐标对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x 轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组________叫做点A的坐标(如图)，记为____________.知识点二空间两点间的距离公式思考如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其对角线AC 1的长等于多少？梳理(1)在空间直角坐标系O —xyz 中，任意一点P (x ，y ，z )与原点间的距离OP ＝x 2＋y 2＋z 2.(2)一般地，空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离为P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.知识点三空间中中点的坐标公式思考平面上，过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么空间中P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标是什么？梳理已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则线段P 1P 2的中点M 的坐标是__________________.类型一确定空间中点的坐标例1已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.引申探究若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直于平面xOy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0).yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z).xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z).(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0).y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0). z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z ).跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，点G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，点H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出点E 、F 、G 、H 的坐标.类型二求对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，已知点P (－2,1,4). (1)求点P 关于x 轴对称的点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面对称的点的坐标； (3)求点P 关于点M (2，－1，－4)对称的点的坐标.反思与感悟类比平面直角坐标系中，点的对称性可归纳在空间直角坐标系中，点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点的坐标(1)关于原点的对称点是P 1(－x ，－y ，－z ). (2)关于横轴(x 轴)的对称点是P 2(x ，－y ，－z ). (3)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(－x ，y ，－z ). (4)关于竖轴(z 轴)的对称点是P 4(－x ，－y ，z ). (5)关于xOy 坐标平面的对称点是P 5(x ，y ，－z ). (6)关于yOz 坐标平面的对称点是P 6(－x ，y ，z ). (7)关于zOx 坐标平面的对称点是P 7(x ，－y ，z ).跟踪训练2写出点P (1,2,3)关于y 轴，z 轴，yOz 平面，xOz 平面的对称点的坐标.类型三空间中两点间的距离例3已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5).(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度.反思与感悟(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.跟踪训练3如果点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________.1.点P(－1,0,4)的位置是________.(填序号)①在y轴上；②在xOy平面内；③在xOz平面内；④在yOz平面内.2.点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.3.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________.4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则AB的最小值为________.5.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为____________.1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.答案精析问题导学 知识点一 思考1三个．思考2空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．梳理(1)①空间直角坐标系O —xyz ②点Ox 轴、y 轴和z 轴三条坐标轴中每两条xOyyOzzOx (2)x 轴y 轴z 轴 (3)(x ，y ，z )A (x ，y ，z ) 知识点二 思考a 2＋b 2＋c 2. 知识点三 思考M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.梳理(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)题型探究例1解因为PO ＝PB 2－OB 2＝169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为P (0,0,12)， A ⎝⎛⎭⎪⎫522，－522，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫522，522，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522，522，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522，－522，0.引申探究解各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A (5，0,0)，B (0,5,0)，C (－5,0,0)，D (0，－5,0)． 跟踪训练1解建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标x 、纵坐标y 均为0，而点E 为DD 1的中点，故E 点坐标为(0,0，12)．过点F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知识，得FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为(12，12，0)．点G 在y 轴上，其横坐标x 、竖坐标z 均为0， 又GD ＝34，故G 点坐标为(0，34，0)．过H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故K 为CG 的中点，故H 点坐标为(0，78，12)．例2解(1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P 2(－2，1，－4)． (3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点， 由中点坐标公式， 可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3的坐标为(6，－3，－12)．跟踪训练2解(1)点P 关于y 轴的对称点坐标为P 1(－1,2，－3)． (2)点P 关于z 轴的对称点坐标为P 2(－1，－2,3)．(3)点P 关于yOz 平面的对称点坐标为P 3(－1,2,3)． (4)点P 关于xOz 平面的对称点坐标为P 4(1，－2,3)． 例3解(1)由空间两点间的距离公式，得AB ＝1－22＋5－32＋2－42＝3， BC ＝2－32＋3－12＋4－52＝6， AC ＝1－32＋5－12＋2－52＝29，∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6.(2)由中点坐标公式，得AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为2－22＋3－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12. 跟踪训练32或 6解析由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以PA ＝0－12＋0－12＋1－12＝ 2或PA ＝0－12＋0－12＋－1－12＝ 6.当堂训练1．③2.13.(1,1，－1)(－1，－1，－1) 4．365.22a。

空间直角坐标系教材分析这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础．通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示．这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用．教学目标1 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．2通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性3 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示难点：空间直角坐标系中点的坐标表示教学设计一、设问研习问题1：我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数),(yx表示。

那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x,,表示出来呢？问题设计意图：让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系师生活动：师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。

问题2：如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．问题设计意图：体会空间直角坐标系的建立过程师生活动：师：在地面上建立直角坐标系O，则地面上任一点的位置只须利用，就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面O上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—，从而确定了空间点的位置．二、合作究疑1 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—，点O叫作坐标原点，轴、轴、轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为O平面，O平面，O平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—画在纸上时，轴与轴、轴与轴成135°，而轴垂直于轴，轴和轴的单位长度相等，但轴上的单位长度等于轴和轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2 空间直角坐标系O—中点的坐标．思考：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（，，）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于轴，轴，轴，它们与轴、轴、轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为，，，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（，，）．（2）反之，对任意一个有序数组（，，），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在轴、轴、轴上的坐标分别是，，，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（，，）之间就建立了一种一一对应关系：A（，，）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们与轴、轴、轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为，，，我们把有序数组（，，）叫作点A 的坐标，记为A（，，）．（如图26-4）三、点拨深化［例题］1 在空间直角坐标系O—中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．2 （1）在空间直角坐标系中，坐标平面O，O，O上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，轴、轴、轴上点的坐标有什么特点？解：（1）O平面、O平面、O平面内的点的坐标分别形如（，，0），（，0，），（0，，）．（2）轴、轴、轴上点的坐标分别形如（，0，0），（0，，0），（0，0，）．3 已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为轴、轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）．讨论：若以C点为原点，以射线CB，CD，CC′方向分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．［练习］1 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．2 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为轴、轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．3 写出坐标平面O上∠O平分线上的点的坐标满足的条件．四、评价巩固1 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标．2 设ｚ为任意实数，相应的所有点P（1，2，）的集合是什么图形？3 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去．案例主要采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．首先，为了使学生比较顺利地实现从线到平面、再从平面到空间的变化，即从一维到二维、再从二维到三维向量的变化，采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一变化，同时引起了学生的兴趣．在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦．这对增强学生的学习信心，起到了很好的作用．在研究过程中，充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养了学生的思想品质．在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，也锻炼了他们的空间思维能力．就整体而言，空间直角坐标系是空间向量的根基，这种课属于典型的起始课教学．这篇案例在体现坐标思想、概念教学等方面做了成功的探究．。

高一数学（文）圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆和圆的位置关系、空间直角坐标系二. 教学目标：1、理解并掌握圆与圆的五种位置关系，并能用圆心距和半径之间的大小关系来判断圆与圆的位置关系。

2、了解空间直角坐标系的定义、建立方程、会用空间直角坐标系刻画点的位置。

3、掌握空间两点间的距离公式及空间两点间中点坐标公式。

三. 知识要点：（一）圆和圆的位置关系1、外离2、外切3、内切4、相交5、内含判断方法：第一步 计算两圆的半径12,r r ；第二步 计算两圆的圆心距d ；第三步 根据d 与12,r r 之间的关系，判断两圆的位置关系。

12d r r >+⇔圆和圆外离 12d r r =+⇔圆和圆外切1212r r d r r -<<+⇔圆和圆相交 12d r r =-⇔圆和圆内切 12d r r <-⇔圆和圆内含二、空间点的直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义过定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴。

通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O 叫做坐标原点。

（如下图所示）说明：（1）三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。

过x 轴与y 轴，y 轴与z 轴及z 轴与x 轴的平面分别称为： xOy 面，yOz 面，zOx 面。

（2）三个坐标平面将空间分成八个卦限。

空间直角坐标系共有八个卦限2、空间点和坐标设点M 为空间一已知点。

我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x 、y 、z 。