示范教案(4.3.1 空间直角坐标系)

4.3.1 空间直角坐标系知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示提出问题(1)如图数轴上A点，B点.(2)如图在平面直角坐标系中，P，Q点的位置．(3)如图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？问题1：上述(1)中如何确定A，B两点的位置？问题2：上述(2)中如何确定P，Q两点的位置？问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？导入新知1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：，这样就建立了.(2)相关概念：叫做坐标原点，叫做坐标轴．通过的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向的正方向，如果中指指向的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用 来表示， 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ．其中 叫点M 的横坐标， 叫点M 的纵坐标， 叫点M 的竖坐标． 化解疑难1．空间直角坐标系的建立建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 2．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴、y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下提出问题(1)已知数轴上A 点的坐标2，B 点的坐标－2. (2)已知平面直角坐标系中P (a ，b )，Q (m ，n )． 问题1：如何求数轴上两点间的距离？问题2：如何求平面直角坐标系中P ，Q 两点间距离？问题3：若在空间中已知P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，如何求|P 1P 2|? 导入新知1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |＝ .2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离|P 1P 2|＝ . 化解疑难1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.常考题型题型一 空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．类题通法空间中点P 坐标的确定方法(1)由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y ，P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题． 活学活用1.如图所示，V ­ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．题型二 空间中点的对称例2 (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．类题通法1．求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．活学活用2-1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为()A．(－3,1,5)B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)2-2．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是_______，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．题型三空间中两点间的距离例3如图，已知正方体ABCD ­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．类题通法求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．活学活用3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A. 2aB.2 2aC．a D. 1 2a随堂即时演练1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．5．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．参考答案知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示问题1：【答案】利用A，B两点的坐标2和－2.问题2：【答案】利用P，Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．问题3：【答案】可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．导入新知1．(1) x 轴、y 轴、z 轴 空间直角坐标系Oxyz (2)点O x 轴、y 轴、z 轴 每两个坐标轴 2．x 轴 y 轴 z 轴3．有序实数组(x ，y ，z ) 有序实数组(x ，y ，z ) M (x ，y ，z ) x y z知识点二 空间两点间的距离公式 问题1：【答案】|AB |＝|x 1－x 2|＝|x 2－x 1|. 问题2：【答案】d ＝|PQ |＝(a －m )2＋(b －n )2.问题3：【答案】与平面直角坐标系中两点的距离求法类似． 导入新知 1．x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2 常考题型题型一 空间中点的坐标的确定例1 解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系， 如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4， 则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)． 活学活用1.解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1. ∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)，A (－1，－1，0)，D (－1,1,0)． ∵V 在z 轴上， ∴V (0,0,3)．题型二 空间中点的对称例2 【答案】 (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1) 活学活用 2-1．【答案】A2-2．【答案】(－3,2,1) (3,2，－1) (－3，－2,1) (3,2,1) 题型三 空间中两点间的距离例3 解：由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )． 由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′， 所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝⎛⎭⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点， 故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .活学活用 3.【答案】B随堂即时演练1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】(0,0,6) 4．【答案】23935．【答案】|DE |＝ 5 |EF |＝ 6。

必修2 第四章 圆与方程14.3.1 空间直角坐标系【教学目标】1.了解空间直角坐标系；2.会用空间直角坐标系表示点的位置．【重点】在空间直角坐标系中，确定点的坐标. 【难点】通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标.【学习探究】【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第134页～第136 页）1..以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴 、 、 ，则称建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中O 叫做坐标原点， 、 、 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为 、 、 .【感悟】2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，其中=∠xOy ，=∠yOz .【感悟】3.空间一点M 的坐标可以用有序实数组),,(z y x 来表示，有序实数组),,(z y x 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作),,(z y x M .其中 叫做M 的横坐标， 叫做M 的纵坐标， 叫做M 的竖坐标.【感悟】【基础练习】1.有下叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定可记为),,0(c b ；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为),,0(c b ； ③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标一定可记为),0,0(c ； ④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为),0,(c a . 其中正确叙述的个数是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2.点)4,0,1(-P 位于（ ）(A)y 轴上 (B) x 轴上 (C) xOz 平面内 (D) yOz 平面内 3.已知点)4,1,3(-A ，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ） (A) )4,3,1(-- (B) )3,1,4(-- (C) )4,1,3(-- (D) )3,1,4(- 4.点)6,4,2(A 关于y 轴对称的点的坐标为 .必修2 第四章 圆与方程2【典型例题】例1如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,5,31===AA AB AD ，建立适当的坐标系写出长方体各顶点的坐标.【方法总结】例2求点)1,2,1(-A 关于坐标平面xoy 及x 轴对称的点的坐标.【方法总结】3【自我检测】1.z 轴上点的坐标的特点是（ ）（A ）竖坐标为0 （B ）横坐标和纵坐标都是0（C ）横坐标是0 （D ）横，纵，竖坐标不可能都是02.在空间直角坐标系中，)4,3,2(),4,3,2(-Q P 两点的位置关系是（ ） （A ）关于x 轴对称 （B ）关于yOz 平面对称 （C ）关于坐标原点对称 （D ）以上都不对3.点)1,3,2(-M 关于坐标原点对称点是（ ）（A ）)1,3,2(--（B ）)1,3,2(---（C ）)1,3,2(--（D ）)1,3,2(-4.点)1,2,1(-A 在x 轴上的射影和在xOy 平面上的射影点分别是（ ）（A ）)0,2,1(),1,0,1(-- （B ）)0,2,1(),0,0,1(--（C ）)0,0,1(),0,0,1(-- （D ）)0,2,1(),0,2,1(--5.空间中两点)3,0,2(A 和)1,0,2(--B 的中点坐标为 .6.如图，棱长为a 的正方体////C B A D OABC -中，对角线/OB 于/BD 相交于点Q .顶点O 为坐标原点，OC OA ,分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 则点Q7.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、11B D 的中点，棱长为1，求E 、F 的坐标.48.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -,0190,2=∠===BAC AC AB AA ，M 是1CC 的中点，Q 是BC 中点，写出Q M C C B ,,,,1的坐标.9.在棱长为a 2的正四棱锥ABCD P -中，建立恰当的空间直角坐标系. （1）写出正四棱锥ABCD P -各顶点的坐标； （2）写出棱PB 的中点M 的坐标.教后反思。

《4.3.1空间直角坐标系》教案一、学习目标1、在空间直角坐标系中确定点的坐标；2、给出点的坐标能在空间直角坐标系中找出点的位置.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生对课堂整体的把握二、教学过程同学们都看过2009年国庆大阅兵吧？在阅兵的时候，天上的战机风驰电掣，速度如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，撞机的可能性为零.这是为什么呢？这是因为战机的航线都是统一规定的，而划定航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线在地面的高度.为此，我们要学习空间直角坐标系.阅读教材134页内容，回答问题（空间直角坐标系）<1>通过自学教材，回答一下我们怎么建立空间直角坐标系？<2>空间直角坐标系是怎样确定点的位置的？<3>请同学们学习右手直角坐标系的内容，并理解之.结论：<1>如图所示，''''C B A D OABC 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线'OD OC OA 、、的长为单位长，建立三条数轴：z y x 、、轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，z y x 、、轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为zox yoz xoy 、、平面；<2>如图所示，设点M 为空间一定点，过点M 分别作垂直于z y x 、、轴的平面，交点依次为R Q P 、、，设点R Q P 、、在z y x 、、轴上的坐标分别为z y x 、、，那么点M 就对应唯一确定的有序实数组（z y x ,,）.反过来，给定有序实数组（z y x ,,），我们可以在z y x 、、轴上分别取坐标为实数z y x 、、的点R Q P 、、，分别过这三点各做一个平面，分别垂直于z y x 、、轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（z y x ,,）确定的点M.这样，空间一点M 的坐标可以用有序实数组（z y x ,,）表示，有序实数组（z y x ,,）叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M （z y x ,,）.其中z y x ,,分别叫做点M 的横坐标、纵坐标、竖坐标.<3>在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.【教学效果】：关键是让学生能找出空间中点的坐标.三、练习与巩固 练习一：自学教材例1、2，检查一下自己能否顺利的写出空间中直角坐标系中点的坐标.同学们，这是我们这节课必须掌握的内容，一定要认真的完成，达到非常熟练的程度. 练习二：完成教材136页练习1、2、3，检验是否完成了今天的学习目标.【教学效果】：通过巩固与练习，让学生能更好的把握课堂内容和重点.四、小结这节课主要学习了空间直角坐标系，要求学生能建立恰当的直角坐标系，能准确的找到点的坐标，并能够根据坐标确定点的位置.。

§4.3.1 空间直角坐标系（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.（二）教学重点和难点 ：空间直角坐标系中点的坐标表示.知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O －xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出M 点在三条坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，则把有序实数组(x ， y ， z )叫做M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ， y ， z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.4. 在xOy 平面上的点的竖坐标都是零，在yOz 平面上的点的横坐标都是零，在zOx 平面上的点的纵坐标都是零；在Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点M (6，－2， 4).解：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M .M 点的位置如图所示.【例2】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.解：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)、B (12，0，0)、C (12，8，0)、D (0，8，0)、1A (0，0，5)、1B (12，0，5)、1C (12，8，5)、1D (0，8，5).【例3】已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系. 解：正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2，0)、B (2，2，0)、C (－2，2，0)、D (－2，－2，0)、P (0，0，点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.【例4】在空间直角坐标系中，求出经过A (2，3，1)且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程. 分析：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.解：坐标平面yOz⊥x轴，而平面α与坐标平面yOz平行，∴平面α也与x轴垂直，∴平面α内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面α与x轴的交点，∴平面α内的所有点的横坐标都相等。

人教高一数学教学设计之《4.3.1空间直角坐标系》一. 教材分析《4.3.1空间直角坐标系》这一节主要介绍空间直角坐标系的定义、构成及基本性质。

通过本节的学习，使学生了解空间直角坐标系在几何中的应用，为后续学习立体几何奠定基础。

二. 学情分析高一学生已具备了一定的函数、几何基础知识，但空间想象能力相对较弱。

在教学过程中，教师需要注重引导学生建立空间直角坐标系的直观印象，提高他们的空间想象力。

三. 教学目标1.了解空间直角坐标系的定义、构成及基本性质。

2.学会在空间直角坐标系中确定点的位置。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.空间直角坐标系的定义和构成。

2.如何在空间直角坐标系中确定点的位置。

3.空间直角坐标系在几何中的应用。

五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生直观地了解空间直角坐标系的构成。

2.采用讲解法，讲解空间直角坐标系的基本性质和点的坐标确定方法。

3.采用练习法，让学生通过实际操作，巩固所学知识。

4.采用讨论法，引导学生探讨空间直角坐标系在几何中的应用。

六. 教学准备1.准备多媒体课件，展示空间直角坐标系的图像。

2.准备示例题目，用于讲解和练习。

3.准备黑板，用于板书关键知识点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示空间直角坐标系的图像，引导学生直观地了解空间直角坐标系的构成。

2.呈现（10分钟）讲解空间直角坐标系的定义、构成及基本性质，让学生初步掌握空间直角坐标系的基本概念。

3.操练（10分钟）示例题目：在空间直角坐标系中，确定点A(2,3,1)的位置。

引导学生动手操作，巩固空间直角坐标系中点的坐标确定方法。

4.巩固（5分钟）练习题目：在空间直角坐标系中，确定点B(-3,1,-2)的位置。

学生独立完成，教师巡回指导。

5.拓展（5分钟）引导学生探讨空间直角坐标系在几何中的应用，如：判断两个点是否垂直、平行等。

6.小结（5分钟）总结本节课的主要知识点，强调空间直角坐标系在几何中的重要性。

4.3.1 空间直角坐标系三点剖析一、空间任意一点的坐标例1 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1.求E 、F 点的坐标.温馨提示1.能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标的基础，因此一定要掌握好如下方法：过点M 分别作三个坐标平面的平行平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，确定x ，y ，z ，具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点（如落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点）的坐标表示的特征.2.平面上中点坐标公式可推广到空间，即A （x 1，y 1，z 1），B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P （2,2,2212121z z y y x x +++）. 3.熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征.各个击破类题演练1有下列叙述，其中正确叙述的个数是（ ）①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定可记为（0，b ，0）； ②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为（0，b ，c ）； ③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标一定可记为（0，0，c ）；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为（a ，0，c ）.A.1B.2C.3D.4变式提升1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，CC1=c，根据长方体在空间直角坐标系的位置（如图），说出长方体各个顶点的坐标.二、空间中点的对称问题例2 求P（1，1，1）点关于平面xOy对称点的坐标.温馨提示1.记忆方法：“关于谁谁不变，其余的相反”，如，关于x轴的对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反.2.在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标.(1)关于原点的对称点P1（-x，-y，-z）;(2)关于x轴的对称点P2（x，-y，-z）;(3)关于y轴的对称点P3（-x，y，-z）;(4)关于z轴的对称点P4（-x，-y，z）;(5)关于xOy坐标平面的对称点P5（x，y，-z）；(6)关于yOz坐标平面的对称点P6（-x，y，z）；(7)关于xOz坐标平面的对称点P7（x，-y，z）.类题演练2求点P（1，1，1）关于z轴的对称点的坐标.变式提升2在空间直角坐标系中，已知点M（a，b，c），关于下列叙述，其中正确叙述的个数是（）①点M关于x轴对称点的坐标是M1（a，-b，c）②点M关于yOz平面对称的点的坐标是M2（a，-b，-c）③点M关于y轴对称的点的坐标是M3（a，-b，-c）④点M关于原点对称的点的坐标是M4（-a，-b，-c）A.3B.2C.1D.0三、空间坐标系中点的坐标的灵活求解与应用例3 画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.（1）求各顶点的坐标；（2）求棱C1C中点的坐标；（3）求面AA1B1B对角线交点的坐标.温馨提示1.空间中的任意一个点P的坐标确立，是通过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P 为顶点的长方体，因此，在求点的坐标时，要多与长方体相联系，则不易出错.2.熟练掌握各坐标轴及坐标平面内点的坐标的特点，会求对称点的坐标.类题演练3在空间直角坐标系中，求点B（4，3，-5）到各坐标轴和各坐标平面的距离.变式提升3已知一个点P的坐标分别为（x，y，z）（x≥0，y≥0，z≥0），点P到x轴，y轴，z轴的距离分别为1，2，3.求点P的坐标.参考答案三点剖析一、空间任意一点的坐标例1 解：解法一：E 点在xOy 面上的射影为B ，B （1，1，0），竖坐标为21.E （1，1，21）. F 在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴F （21，21，1）. 解法二：B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），B （1，1，0），E 为B 1B 中点，F 为B 1D 1中点，故E 的坐标为（201,211,211+++）=(1，1，21)， F 的坐标为（211,201,201+++）=(21，21，1).各个击破类题演练1【答案】C【解析】②③④正确.Ox 轴上的点可记为（a ，0，0），故选C.变式提升1解：由图形可知，A 1为坐标原点，∴A 1（0，0，0），∵B 1，D 1，A 分别在x 轴，y 轴，z 轴的负半轴上，又AB =a ，BC =b ，CC 1=c .∴B 1(-a ，0，0)，D 1(0，-b ，0)，A (0，0，-c ).又B 在xOz 平面内，∴B （-a ，0，-c ），C 1点在xOy 平面内，∴C 1（-a ，-b ，0）.D 在yOz 平面内，∴D （0，-b ，-c ）.又CC 1⊥平面yOz ，∴C (-a ，-b ，-c ).故长方体各个顶点的坐标分别为A （0，0，-c ），B (-a ，0，-c )，C (-a ，-b ，-c )，D (0，-b ，-c )，A 1(0，0，0)，B 1(-a ，0，0)，C 1(-a ，-b ，0)，D 1(0，-b ，0).二、空间中点的对称问题例2 解：设P 点关于平面xOy 的对称点为Q （x 0，y 0，z 0），则点P 与点Q 的横，纵坐标分别相等，而竖坐标互为相反数，∴x 0=1，y 0=1，z 0=-1.故P 点关于平面xOy 的对称点Q 的坐标为（1，1，-1）.类题演练2求点P （1，1，1）关于z 轴的对称点的坐标.解：设点P 关于z 轴的对称点为Q （x 0，y 0，z 0），则点P 与Q 的竖坐标相等，而横，纵坐标互为相反数，所以，x 0=-1，y 0=-1，z 0=1.故对称点的坐标为（-1，-1，1）.变式提升2 【答案】C【解析】①②③错，④对.∴应选C.三、空间坐标系中点的坐标的灵活求解与应用例3 解：如图，由棱长为1，可得：（1）各顶点坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B 1（1，0，1），C 1（1，1，1），D 1（0，1，1）.（2）由中点坐标公式得CC 1中点坐标为（1，1，21）. （3）由条件知面AA 1B 1B 对角线的交点N 为A 1B 的中点，故N 点坐标为（21，0，21）. 类题演练3解：如图，构造一个长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，∵B (4，3，-5)，∴点B 到平面yOz 距离为4，到平面xOz 距离为3，到平面xOy 之距为5. 由图形知，A 1B 为B 到x 轴之距，即A 1B =34)5(322=-+；BC 1长为B 到y 轴之距即BC 1=41)5(422=-+；BD 长为B 到z 轴之距，即BD =2234+=5. 变式提升3 解：由上例知，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.3,2,1222222y x z x z y解得x 2=2，y 2=1，z 2=0.∵x ≥0，y ≥0，z ≥0，∴x =2，y =1，z =0， 故点P 的坐标为（2，1，0）.。

4.3 空间直角坐标系教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x 来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z 为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M 在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z 轴上,因此它的横纵坐标都为0,C 在y 轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx 面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z 轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz 平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy 平面上的射影是点B,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同,在xOy 平面上,点B 的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z 轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例 1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C。