2019-2020年高中数学《4.3.1空间直角坐标系》教案新人教版必修2

实用文案标准文档4.3 空间直角坐标系教案 A教学目标一、知识与技能1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间中点的坐标表示；2. 掌握空间两点间的距离公式.二、过程与方法1. 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示；2. 经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程.三、情感、态度与价值观1. 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，体会类比和数形结合的思想.2. 通过空间两点间距离公式的推导，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点教学重点：空间直角坐标系中点的坐标表示，空间两点间的距离公式.教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.教学关键：用类比的方法写出空间的点的坐标，记忆并应用空间两点间的距离公式求空间的两点间距离，提高学生的空间想象能力.教学突破方法：借助正方体，发挥学生的空间想象能力，写出空间点的坐标.教法与学法导航教学方法：问题教学法，类比教学法.学习方法：探究讨论、练习法.教学准备教师准备：多媒体课件，正方体模型.学生准备：平面直角坐标系中点的坐标的写法.教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数（x，y）表示.那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组（x，y，z）表示出来呢？师：启发学生联想思考.生：感觉可以.师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化.让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.教师备课系统──多媒体教案2续上表概念形成2.空间直角坐标系该如何建立呢？图1师：引导学生看图1，单位正方体OABC – D ′A ′B ′C ′，让学生认识该空间直角系O –xyz 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.体会空间直角坐标系的建立过程.3．建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？ 图 2 师：引导学生观察图2. 生：点M 对应着唯一确定的有序实数组（x ，y ，z ），x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标. 师：如果给定了有序实数组（x ，y ，z ），它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢？生：（思考）是的．师：由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M （x ，y ，z ），x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.师：大家观察一下图1，你能说出点O ，A ，B ，C 的坐标吗？ 学生从（1）中感性向理性过渡.实用文案标准文档续上表应用 举例 4. 例1 如图，在长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 2.写出D ′、C 、A ′、B ′四点的坐标. 【解析】D ′在z 轴上，且O D ′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D ′的坐标是（0，0，2）. 点C 在y 轴上，且O C = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是（0，4， 0）. 同理，点A ′的坐标是（3，0，0）. 点B ′在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同.在xOy 平面上，点B 横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B ′在z 轴上的射影是D ′，它的竖坐标与点D ′的竖坐标相同，点D ′ 的竖坐标z = 2. 所点B ′的坐标是（3，4，2）． 例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直师：让学生思考例1一会，学生作答，师讲评. 师：对于例2的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法.生：思考例1、例2的一些特点.总结如何求出空间中的点坐标的方法.例2【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），11(,,0)22； 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是 1111(,0,),(1,,)2222，1111(,1,),(0,,)2222；学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性.教师备课系统──多媒体教案4 角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.续上表实用文案标准文档上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），11(,,1)22.5. 练习 2 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| =4，|OD′| = 3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标.师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解.生：完成.【解析】C、B′、P各点的坐标分别是（0，4，0），（3，4，3），3(,2,3)2.学生在原有小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才．提出新概念6. 在平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离的公式为|AB|=221212()()x x y y-+-，那么对于空间中任意两点A（x1，y1，z1），B （x2，y2，z2）之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要.生：踊跃回答.通过类比，充分发挥学生的联想能力.概念形成7. 空间中任间一点P （x，y，z）到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成.学生：在教师的指导下作答得出|OP|=222x y z++.从特殊的情况入手，化解难度.续上表教师备课系统──多媒体教案6 概念深化8. 如果|OP| 是定长r，那么x2+ y2+ z2 = r2表示什么图形？师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2+ y2=r2表示的图形中，方程x2+y2 = r2表示图形，让学生有种回归感.生：猜想说出理由.学会类比.9.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导.得出结论：|P1P2|=222121212()()()x x y y z z-+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的.10. 巩固练习（1）先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：A（2，3，5），B（3，1，4）；A（6，0，1），B（3，5，7）.（2）在z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点B（1，–3，1）的距离相等.教师引导学生作答（1）【解析】6，图略；70，图略（2）【解析】设点M的坐标是（0，0，z）.依题意，得22(01)0(2)z-++-=222(01)(03)(1)z-+++-培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解.续上表实用文案标准文档（3）求证：以A（10，–1，6），B（4，1，9），C（2，4，3）三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.解得z = –3.所求点M的坐标是（0，0，–3）.（3）【证明】根据空间两点间距离公式，得，︱AB︱=222(104)(11)(69)-+--+-=7，︱BC︱=222(42)(14)(93)-+-+-=7，︱AC︱=222(102)(14)(63)-+--+-=98.因为7+7＞98，且|AB| =|BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．【解析】由已知，得点N的坐标为2(,,0)33a a，点M的坐标为2(,,)33a aa，于是22222||()()(0)33335.3a a a aMN aa=-+-+-=小结今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？（1）空间点的坐标表示，（2）空间两点间的距离公式及应用.生：谈收获.师：总结.知识整理.课堂作业1.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为 ______.【解析】分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy教师备课系统──多媒体教案8平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(1，1，1)或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与yOz 平面，xOz 平面，xOy 平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(-1，-1，-1).答案：(1，1，1)或(-1，-1，-1)2. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，求点E 、F 的坐标和B 1关于原点D 的对称点坐标.【解析】由B （1，1，0），B 1（1，1，1），则中点E 为1(1,1,)2，由B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），则中点11(,,1)22F . 设B 1关于点D 的对称点M （x 0，y 0，z 0）， 即D 为B 1M 的中点，因为D （0，0，0），所以，000000102110121102x x y y z z +==--==-=-+=⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，，，得，．， 所以M （–1，–1，–1 ）.3. 已知点A 在y 轴 ，点B （0，1，2）且||5AB =，则点A 的坐标为 .【解析】由题意设A （0，y ，0），则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是（0，0，0）或（0，2，0） 4. 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A （3，2，5），B （3，5，2）的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P （0，y ，z ），则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩，， 解得：11.y z =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为（0，1，1）．实用文案标准文档教案 B第1课时教学内容：4.3.1 空间直角坐标系 教学目标1. 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2. 掌握空间直角坐标系、右手直角坐标系的概念，会画空间直角坐标系，会求空间直角坐标；3. 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；4. 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性.教学重点、难点教学重点：求一个几何图形的空间直角坐标. 教学难点：空间直角坐标系的理解. 教学过程一、情景设计1. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？2.空间直角坐标系该如何建立呢？ 二、新课教学如图，OABC －D ′A ′B ′C ′是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD ′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，∠xpy ＝135°，∠yoz ＝45°，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.在空间坐标系中，让右手拇指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.空间直角坐标系有序实数组（x ，y ，z ）一一对应.（x ，y ，z ）称为空间直角坐标系的坐标，x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 为竖坐标.O 、A 、B 、C 四点坐标分别为：O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）．教师备课系统──多媒体教案10例1 在长方体OABC －D ’A ’B ’C ’中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD ′∣＝2，写出D ′、C 、 A ′、B ′四点的坐标.【解析】因为D ′在z 轴上，且∣OD ′∣＝2，它的竖坐标为2，它的横坐标与纵坐标都是零，所以D ′点的坐标是（0，0，2）；点C 在y 轴上，且∣OC ∣＝4，所以点C 的坐标为（0，4，0）；点A ′的坐标为（3，0，2），B ′的坐标为（3，4，2）.例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），（21，21，0）；中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为：（21，0，21），（1，21，21），（21，1， 21），（0，21， 21）；上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（21，21，1）.三、典型例题解析例3 在空间直角坐标系中，作出点M （6，－2， 4）.点拨：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M .答案：M 点的位置如图所示.总结：对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力.变式题演练1M2M M （6，-2,4） Oxyz624实用文案标准文档在空间直角坐标系中，作出下列各点：A （-2，3，3）；B （3，-4，2）；C （4，0，-3）.答案：略.例4 已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.点拨：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.【解析】 正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为232.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A （2，-2，0）、B （2，2，0）、C （-2，2，0）、D （-2，-2，0）、P （0，0，223）.总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.变式题演练 在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，AA 1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.【解析】以A 为原点，射线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0）、B （12，0，0）、C （12，8，0）、D （0，8，0）、A 1（0，0，5）、B 1（12，0，5）、C 1（12，8，5）、D 1（0，8，5）.例5 在空间直角坐标系中，求出经过A （2，3，1）且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程.点拨：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.【解析】 坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行， ∴平面α也与x 轴垂直，∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等. 平面α过点A （2，3，1），∴平面α内的所有点的横坐标都是2， ∴平面α的方程为x =2.总结：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题.本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴（或y 轴）平行的直线的方程.OA B CDPx yz教师备课系统──多媒体教案12变式题演练在空间直角坐标系中，求出经过B （2，3，0）且垂直于坐标平面xOy 的直线方程. 答案：所求直线的方程为x =2，y =3. 四、课堂小结（1）空间直角坐标系的建立. （2）空间中点的坐标的确定. 五、布置作业P138习题4.3 A 组：1，2.第2课时教学内容：4.3.2 空间两点间的距离公式 教学目标1. 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；2. 通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力；3. 通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想. 教学重点、难点探索和推导空间两点间的距离公式. 教学过程一、问题引入问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度. 解决方案： ①直接测量取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度.②公式计算量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算.一般地，如果长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，那么对角线长222c b ad ++=.实用文案标准文档③坐标计算建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算.一般地，空间任意一点),,(z y x P 与原点间的距离222z y x OP ++=.探究：如果OP 是定长r ，那么2222r z y x =++表示什么图形？思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式.用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导. 由此可得空间中任意两点),,(),,,(22221111z y x P z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.二、例题精讲例1 已知A （x ，2，3）、B （5，4，7），且|AB |=6，求x 的值. 【解析】|AB |=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x ，即（x -5）2=16，解得x =1或x =9.例2 求点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.【解析】设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ′，连 P P ′交坐标平面xOy 于Q ， 则P P ′⊥坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ′Q|，∴P ′在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合，P ′在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称，∴P ′与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴ 点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为（1，2，-3）.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 三、课堂小结1. 空间中两点间距离的坐标计算.2. 类比思想：维度的升高，距离公式如何改变？ 四、布置作业P138 习题4.3A 组：3.P139习题4.3B 组:1，2，3.教师备课系统──多媒体教案14第四章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点(1,4,2)M -，那么点M 关于y 轴对称点的坐标是（ ）． A ．(1,4,2)-- B ．(1,4,2)- C ．(1,4,2)- D ．(1,4,2)2.若直线3x +4y +c =0与圆（x +1）2+y 2=4相切，则c 的值为（ ）． A ．17或-23 B ．23或-17 C ．7或-13 D ．-7或133.过圆x 2+y 2-2x +4y -4=0内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ）.A ．x +y -3=0B ．x -y -3=0C ．x +4y -3=0D ．x -4y -3=04.经过(1,1),(2,2),(3,1)A B C --三点的圆的标准方程是（ ）. A ．22(1)4x y ++= B.22(1)5x y ++= C ．22(1)4x y -+=D.22(1)5x y -+=5.一束光线从点A （－1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程是（ ）.A ．32－1B ．26C ．5D ．46.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则(a -2)2+(b -2)2的最小值为（ ）.A ．5B ．5C ．25D ．107.已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，若点P 是圆22(1)1x y -+=上的动点，则ABP ∆面积的最大值和最小值分别为（ ）.A ．11(45),(51)22+- B ．11(45),(45)22+- C ．11(35),(35)22+-D ．11(25),(52)22+-8.已知圆224x y +=与圆2266140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）.实用文案标准文档A. 210x y -+=B. 210x y --=C. 30x y -+=D. 30x y --=9.直角坐标平面内，过点(2,1)P 且与圆224x y +=相切的直线（ ）. A.有两条 B.有且仅有一条C.不存在D. 不能确定10.若曲线222610x y x y ++-+=上相异两点P 、Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值为（ ）.A. 1B. -1C.12D. 2 11.已知圆221:460C x y x y +-+=和圆222:60C x y x +-=相交于A 、B 两点， 则AB 的垂直平分线方程为（ ）.A.30x y ++=B.250x y --=C.390x y --=D. 4370x y -+= 12. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若︱MN ︱≥23，则k 的取值范围是（ ）.A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)3,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离d = ．14.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= . 15.过点A （4，1）的圆C 与直线10x y --=相切于点 B （2，1），则圆C 的方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x -5y +c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分） 已知圆经过(3,0)A ，18(,)55B -两点，且截x 轴所得的弦长为2，求教师备课系统──多媒体教案16此圆的方程.18.（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标为 （1，3），端点A 在圆C:4)1(22=++y x 上运动.（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过B 点的直线L 与圆C 有两个交点P ，Q .当CP ⊥CQ 时，求L 的斜率.19.（12分）设定点M （-2，2），动点N 在圆222=+y x 上运动，以OM 、0N 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.20.（12分）已知圆C 的半径为10，圆心在直线2y x =上，且被直线0x y -=截得的弦长为42，求圆C 的方程.21.（12分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若不经过坐标原点的直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值．22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它实用文案标准文档们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.教师备课系统──多媒体教案18参考答案一、选择题1. 选B.纵坐标不变，其他的变为相反数．2. 选D.圆心到切线的距离等于半径.3. 选 A.直线l 为过点M ， 且垂直于过点M 的直径的直线.4. 选D.把三点的坐标代入四个选项验证即可.5. 选D.因为点A （-1， 1）关于x 轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点.A （-1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程为22(12)(13)1 4.--+---=6.选B.由题意知，圆心坐标为（-2，-1），210.a b ∴--+=22(2)(2)a b -+-表示点（a,b ）与（2，2）的距离，2242122541a b +--+-=+所以（）（）的最小值为，所以22(2)(2)a b -++的最小值为5.7.选B.过圆心C 作CM AB ⊥于点M ，设CM 交圆于P 、Q 两点，分析可知ABP ∆和ABQ ∆分别为最大值和最小值，可以求得||5AB =，45d =，所以最大值和最小值分别为1415(1)(45)225±=±． 8.选D.两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线.9.选A.可以判断点P 在圆外，因此，过点P 与圆相切的直线有两条. 10.选D.曲线方程可化为22(1)(3)9x y ++-=，由题设知直线过圆心，即(1)2340,2k k ⨯-+⨯-=∴=.故选D.11.选C.由平面几何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆心，分别为C 1（2，-3）、C 2（3，0），因为C 1C 2斜率为3，所以直 线方程为y-0=3（x-3），化为一般式可得3x-y-9=0.12.选A ．（方法1）由题意，若使︱MN ︱≥23，则圆心到直线的距离d ≤1，即实用文案标准文档113232≤++-k k ≤1，解得34-≤k ≤0.故选A. （方法2）设点M ，N 的坐标分别为),(),,2211y x y x （，将直线方程和圆的方程联立得方程组223(3)(2)4y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩，，消去y ，得06)3(2)1(22=+-++x k x k ，由根与系数的关系，得16,1)3(2221221+=⋅+--=+k x x k k x x ， 由弦长公式知2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+⋅+=-⋅+==1122420164]1)3(2[1222222++--=+⋅-+--⋅+k k k k k k k ，︱MN ︱≥23，∴222024121k k k --++≥23，即8(43k k +）≤0，∴34-≤k ≤0，故选A.二、填空题13. 3. 由圆的方程可知圆心坐标为C （1，2），由点到直线的距离公式，可得3434241322=++⨯+⨯=d ．14. 23（方法1） 设11,)A x y （，22(,)B x y ，由22250,8.x y x y -+=⎧⎨+=⎩消去y 得251070x x +-=，由根与系数的关系得121272,,5x x x x +=-=-2121212415()45x x x x x x -=+-=， ∴ 21215415123225ABx x ∣∣=+-=⨯=（）.教师备课系统──多媒体教案20（方法2）因为圆心到直线的距离555d ==， 所以22228523AB r d =-=-=.15. 22(3)2x y -+=. 由题意知，圆心既在过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程30,3,x y x +-==⎧⎨⎩，解得3,0,x y ==⎧⎨⎩，即圆心(3,0)C ，半径2r CA ==，所以，圆的方程为22(3)2x y -+=.16. 1313c -<<. 如图，圆422=+y x 的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于 1.221,13,1313.125c c c <<∴-<<+即三、解答题17.【解析】根据条件设标准方程222()()x a y b r -+-=，截x 轴所得的弦长为2，可以运用半径、半弦长、圆心到直线的距离构成的直角三角形；则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-+--=+-,1,)58()51(,)3(222222222b r r b a r b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===5,2,2r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===.37,6,4r b a∴所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22(4)(6)37x y -+-=.实用文案标准文档18.【解析】（1）设()()11,,,A x y M x y ，由中点公式得111112123232x x x x y y y y +==-⇔+=-=⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩，， 因为A 在圆C 上，所以()()222232234,12x y x y ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭即 . 点M 的轨迹是以30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆.（2）设L 的斜率为k ，则L 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k --+=， 因为CP ⊥CQ ，△CPQ 为等腰直角三角形，圆心C （-1，0）到L 的距离为12CP =2， 由点到直线的距离公式得222324129221k k k k k k --+=∴-+=++， ∴2k 2-12k +7=0，解得k =3±112. 故直线PQ 必过定点 1003⎛⎫ ⎪⎝⎭，.19.【解析】 设P （x ，y ），N （x 0，y 0），∴22020=+y x ， （*）∵平行四边形MONP ， ∴ 00222222x x y y -=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，有00+22x x y y ==-⎧⎨⎩，，教师备课系统──多媒体教案22代入（*）有2)2()2(22=-++y x ，又∵M 、O 、N 不能共线，∴将y 0=-x 0代入（*）有x 0≠±1，∴x ≠-1或x ≠-3，∴点P 的轨迹方程为2)2()2(22=-++y x （3x 1-≠-≠且x ）.20.【解析】因为所求圆的圆心C 在直线2y x =上，所以设圆心为(),2C a a ， 所以可设圆的方程为()()22210x a y a -+-=，因为圆被直线0x y -=截得的弦长为42，则圆心(),2C a a 到直线0x y -=的距离()22224210211a ad ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭+-，即22a d ==，解得2a =±. 所以圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.21.【解析】（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-=，即圆心的坐标为（-1，2），半径为2 ，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l 的方程为 0x y m ++=； 于是有|12|112m -+++=，得1m =或3m =-，因此直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）因为圆心（-1，2）到直线50x y --=的距离为|125|1142---+=，所以点P到直线50x y --=距离的最大值与最小值依次分别为52和32．22.【解析】（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=， 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离22232()12d =-=， 结合点到直线距离公式，得：2|314|11k k k ---=+，实用文案标准文档 化简得：272470024k k k k +===-，解得或， 求直线l 的方程为：0y =或7(4)24y x =--， 即0y =或724280x y +-=. （2） 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：1(),()y n k x m y n x m k-=--=--，即：110,0kx y n km x y n m k k-+-=--++=， 因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等. 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等. 故有：2241|5||31|111n m k n km k k k k --++--+-=++， 化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或，关于k 的方程有无穷多解，有：2030m n m n m n m n --=⎧⎧⎨⎨--=⎩⎩，-+8=0，或，+-5=0， 解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(.。

4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。

课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。

本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。

结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。

课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。

教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。

难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。

知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。

能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。

教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。

自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。

考试点：空间中点的确定及坐标表示。

易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。

拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。

教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。

一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。

空间直角坐标系复习课教学设计1．教学内容解析《空间直角坐标系》是人教A版必修2第四章《圆与方程》中第三节的内容．是“坐标法”在空间中的推广，又是学生以后学习“空间向量”的基础．重点：进一步学习建立空间直角坐标系的方法，深化建系的关键：垂直关系；进一步探究复杂空间几何体中点的坐标表示；使学生形成系统的知识结构．难点：复杂空间几何体中点的坐标表示；“坐标法”的应用．2．教学目标设置（1）知识与技能：掌握各种常用空间几何体的建系方法，能解决较复杂空间图形的建系问题；能写出某些复杂空间几何体中点的坐标；能用空间中两点间的距离公式，解决某些具体问题．（2）过程与方法：运用类比与转化，建立空间直角坐标系与平面直角坐标系之间的联系；运用归纳，从特殊到一般，总结出建系的方法与表示点坐标的方法．（3）情感、态度与价值观：体会二维空间到三维空间的推广；体会“坐标法”在空间图形中的应用，数与形的统一，用代数方法解决几何问题的思想．3．学生学情分析学生刚刚学习了“空间直角坐标系”与“空间中两点间的距离公式”这两个内容，对建系、点的坐标表示有一定的基础．同时也学习了“空间几何体”与“直线、圆的方程”，对柱、锥、球体有一定的认识与了解，对“坐标法”解决几何问题的思想也有一定的了解．但学生在前两节课中，更多地是在立方体、长方体等较简单的空间几何体中建立直角坐标系，在坐标系概念、点与坐标的对应上研究得更多．对各种空间几何体建系方法尚未总结．对具体的空间图形中的点（如斜棱柱的某些顶点、几何图形翻折后的点）的坐标，认识不够清晰．4．教学策略分析本节课运用探究式教学．第一环节是知识回顾，由教师引导，对前两节课的知识点进行简单的梳理．第二环节通过变式教学，对各种空间几何体进行分类：直棱柱、有线面垂直的棱锥、有面面垂直的棱锥或棱柱、正棱锥……由易到难，层层递进，使学生对建立空间直角坐标系的方法有一个更深的认识．同时，通过对具体问题（斜四棱柱）的探究，使学生对点的表示形成一个更清晰的认识．第三环节通过对几个不同的实例：确定外接球球心问题、翻折问题的探究，深化用代数方法解决几何问题的思想．本节课采用PPT 教学．同时，教师把要研究的几何体图形印成讲义，课前发给学生，免去了学生作图的环节，节约上课时间．5．教学过程第一环节：知识点的回顾．（结合课件，教师引导，学生回答．） 建立空间直角坐标系的意义：用代数方法解决几何问题．①空间直角坐标系的构成，三要素：原点、坐标轴、单位长度；与平面直角坐标系的联系；右手系建系；②空间中点的坐标名称及表示方法：找到空间中点在平面xOy 上的射影，求出射影点的横、纵坐标，即为该点的横、纵坐标，该点在z 轴上的投影，即为竖坐标；③空间中两点的距离公式．第二环节：深化并归纳较复杂空间图形的建系方法；探究空间图形中某些特定的点的坐标表示． 例1．为下列空间几何体建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． （1）直四棱柱 ①正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1；②长方体111112,3ABCD A B C D AB AA BC -===,；（学生较熟悉，课件直接展示建系结果，使仅量多的顶点在坐标轴上，轴上点的坐标表示更简单．）③所有棱长都为1，底面是菱形，60ABC ∠=o；zx yz x yACBP（让学生探究不同的建系方式，体会直棱柱中侧棱垂直底面的作用．）（2）棱锥，①侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，1,60PA AB ABC ==∠=o；②侧棱PA ⊥底面ABC ，1,PA AB ABC ==∆是正三角形； ③正四棱锥,P ABCD PO -⊥面,1ABCD PO AB ==；，（四棱柱变为四棱锥，四棱锥变为三棱锥；侧棱PA 垂直底面变为高PO 垂直底面，建系类型与（1）相同，关键是“线面垂直”．底面还可以变为其它形状，如直角三角形、梯形等等．在②中可能会有学生取AC 中点或BC 中点做为坐标原点，可以引导学生比较几种不同建系方式的特点，如以A 点为坐标原点，可使其余各点的坐标为正数；若以线段BC 中点为坐标原点，可使,B C 点的坐标体现出对称性；若以AC 中点做为坐标原点，则可以自然过渡到下一类型：“面面垂直”……这部分对学生来说不难，因此只要提炼出方法，PPT 演示，不需要每个题都详细解答．）例2．（1）四棱锥P ABCD -，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， PAB ∆是正三角形，30,3,23ABC AB BC ∠===o ，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标；（2）四棱柱1111ABCD A B C D -，面11AA D D ⊥面ABCD ．底面ABCD 是等腰梯形，O zxyz xy//,22,60AD BC AD BC BAD ==∠=o ．侧面11AA D D 是菱形，160A AD ∠=o ，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标．（利用转化思想，引导学生把面面垂直转化为线面垂直，建立空间直角坐标系．有面面垂直的柱及棱锥的建系都是同一类型．提醒学生，xOy 平面上点坐标的表示，可单独把该面画成平面直角坐标系，就能更清楚地体现各点的坐标．其它坐标平面内的点可类似得到，（2）中的1D 点的坐标就容易表示了．而对（2）中11,B C 点的坐标表示，部分学生会略感困难．引导学生利用面面垂直，找出这几点在平面xOy 上的射影就在直线BC 上，进而求出它们的坐标．通过该题使学生在具体实例中进一步体会复杂图形中点的坐标表示方法，关键点为：找射影．）通过以上图形的变化，引导学生归纳出建立空间直角坐标系的方法： 1． 利用线面垂直建立空间直角坐标系；2． 把面面垂直转化为线面垂直，进而建立空间直角坐标系．第三环节：用空间中两点间的距离公式解决实际问题．例3．正三棱锥,2P ABC AB -=，高3PO =．（1）建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点对应的坐标； （2）试确定其外接球球心O '的位置．（类比正四棱锥的建系方式，学生容易想到利用高OP 来建立z 轴，这样坐标原点就确定下来了．那么学生也会自然地利用底面三角形的高，来建立x 轴或y 轴．当然也可能有学生会利用A 点或底面棱中点来作为坐标原点，可引导学生比较各种建系方式的不同．）（对第（2）小题，学生容易想到球心就在高OP 上，这样确定了球心的横、纵坐标．接下来只要设一个竖坐标．只有一个未知数，再找一个条件即可求解．如上图建立空间直角坐标系，设(0,0,)O h '，由O P O B ''=，得224(3)3h h -=+，解之，得2318h =．即O '坐标为23(0,0,)18．举一反三，教师引导学生推广求其它几何体的外接球球心的方法：设球心(,,)x y z ，三个未知数，只要找到三个条件，即球心到球面上三个点的距离都相等，列出三元一次方程组，解方程既可．）O zy x例4．如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将AEF V 翻折成1A EF ∆1A EF C --是直二面角.（1）建立恰当的空间直角坐标系，求1A 点的坐标；（2）点N 在线段BC 上，沿直线DN 将CDN ∆翻折成1C DN ∆，当二面角1C DN C --为120o时，1C 到底面ABCD 的距离恰为1A 与1C 之间的距离；（可引导学生比较不同的建系方式，如坐标原点在A 点时，各点的坐标较简单．对于1A 点和1C 点的坐标表示，学生会直接过1A 点和1C 点作底面的垂线，1A 点射影的具体位置可以确定，但1C 点的则不能．教师引导学生从翻折图形的重要特征，即翻折前与翻折后哪些量保持不变入手．不妨让学生拿一张纸，实际翻折一下，学生会更直观地体验到，1C 的射影位置，其实是在过C 点，且垂直于DN 的直线上，这条垂直于DN 的直线经翻折后，恰构成了二面角1C DN C --的平面角，问题迎刃而解．同时，教师提醒学生注意翻折前的CD 与翻折后的1C D 为同一线段，或者翻折前后的CDN ∆与1C DN ∆全等，因此CD 与1C D 长度相同，为接下来的计算，以及下一小题的解决做个铺垫．） （3）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与1A 重合，求线段FM 长．（本题是2020年浙江省的高考题．本题的难点在直线MN 的位 置不确定，需要学生有一定的空间想象能力，画出翻折后的空间 图形，并牢牢抓住翻折前后不变的量这一关键．利用线段相等， 来求出点M 的坐标．如图建立空间直角坐标系，则M 点的坐标可设为(4,0,0)x +，这里只有一个未知量，因此只要再找一个条件即可．注意到1A M CM =，而C 与1A 坐标已知，1(10,8,0)A C ，可列出方程22(42)48(410)64x x +-++=+-+，解出214x =，即FM 长．）第四环节：小结．本节课继续学习了空间直角坐标系在各种空间图形中的建法；复杂空间图形中点坐标的表示方法；特殊问题，如翻折问题中点坐标的表示法；空间两点间距离公式在解决实际问题中的应用……以上可让学生各抒己见． 作业：略．。

2019-2020学年高中数学《空间直角坐标系》学案 新人教A 版必修21.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标3.知道几何问题可通过空间直角坐标转化为代数问题求解。

【重点难点】教学重点：空间的点与空间坐标的转化.教学难点：空间直角坐标的建立过程，了解空间直角坐标系的作用.【使用说明及学法指导】1．先速读一遍教材P 134—P 136，再结合“预习案”进行二次阅读并回答，时间不超过10分钟．2．本课必须记住的内容：写出空间点的坐标，根据坐标在空间找点的方法。

预习案一、知识梳理1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系 ，点O 叫做坐标原点， 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面.2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，若中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出M 点在三条坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，则把有序实数组 叫做M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M 的横坐标， 叫做点M 的纵坐标， 叫做点M 的竖坐标.4. 在xOy 平面上的点的 坐标都是零，在yOz 平面上的点的 坐标都是零，在zOx 平面上的点的 坐标都是零；在Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是 ，在Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是 ，在Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是 。

二、问题导学1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.怎么样建立空间直角坐标系？什么是右手表示法？三、预习自测1. 坐标原点O 的坐标是什么？2. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同3. 在长方体OBCD D A B C ''''-中，3,4OA OC ==， 2.OD '=写出,,,D C A B '''四点坐标.4.已知(2,3,4)M -，描出它在空间的位置。

4.3 空间直角坐标系教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x 来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z 为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M 在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z 轴上,因此它的横纵坐标都为0,C 在y 轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx 面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z 轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz 平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy 平面上的射影是点B,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同,在xOy 平面上,点B 的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z 轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例 1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C。

4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

难点：空间直角坐标系的理解。

【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

4.3.1空间直角坐标系一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间直角坐标系的概念、体会平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系,会用三元有序实数组表示空间中的点,在直观想象、数学抽象中感受点的几何意义.(二)学习目标1.了解平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系.2.理解空间直角坐标系的概念.3.掌握用三元有序实数组表示空间中的点的方法.(三)学习重点1.右手直角坐标系的特点.2.三元有序实数组的含义.3.空间中的点的表示方法.(四)学习难点1.左手系与右手系的差别.2.三元有序实数组各元素的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系确定空间中的点的坐标.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读：阅读教材第134页至第136页,填空：从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系.点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2)写一写：有序实数组的各元素名称是什么？空间一点M的坐标可以用三元有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.2.预习自测1.在空间过点M(1,2,3-)作z轴的垂线,交z轴于点N,则垂足N的坐标为( )A.(1,0,0)B.(0,2,0)C.(0,0,3)D.(0,0,－3)答案：D.2.点P(a,b,c)到坐标平面zOx的距离为( )B.aC.bD.c答案：C3.点P(1,2,3-)关于平面xOy的对称点的坐标为( )A.(1,2,3)B.(3-,2,1)C.(3-,1,2)D.(1-,2-,3)答案：A.(二)课堂设计1.问题探究探究一重温数轴与平面,认识空间●活动①数形结合,重温数轴在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.【设计意图】回忆数轴与实数之间的关系,体会数形结合的思想.●活动②数形结合,重温平面在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直；②原点重合；③通常取向右、向上为正方向；④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).【设计意图】回忆平面与实数对之间的关系,体会数形结合的思想.●活动③类比推广,认识空间在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性.探究二探究建系与点的表示方法●活动①认清方向、合理建系观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.图１图２观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意：在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.【设计意图】通过建系加深对空间几何性质的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫.●活动②认清投影、分析点的位置特性观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x 轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).【设计意图】通过有序数组加深对点的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫.探究三结合实例、探究空间中的点的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例１.如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求. 解：D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B 的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4；点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识.●活动②互动交流、初步实践例2.讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(12,12,0);中层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是12,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(12,0,12)、(1,12,12)、(12,1,12)、(0,12,12);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(12,12,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(12,0,0)、(1,12,0)、(12,1,0)、(0,12,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,12)、(0,1,12)、(1,0,12)、(1,1,12)、(12,12,12);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12-,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,12-)、(1,0,12-)、(1,1,12-)、(0,1,12-)、(12,12,12-). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.【设计意图】通过讨论认识列举法与描述法的异同与表示集合中优劣,培养规范表达的基本功.2.课堂总结知识梳理(1)空间直角坐标系的建立.(2)空间直角坐标系中点的坐标的确定.(3)空间直角坐标系中点的位置的确定.(4)中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). (5)空间直角坐标系中点的对称点的坐标.重难点归纳(1)题目若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内,并且充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.(三)课后作业基础型自主突破1.空间两点A,B的坐标分别为(x,－y,z),(－x,－y,－z),则A,B两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称答案：B解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】由A、B两点的坐标可知关于y轴对称.点拨：根据点的对称性进行判断.2.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是( )A.|a|B.|b|C.|c|D.以上都不对答案：C.解析：【知识点】点的坐标表示.【数学思想】几何投影.【解题过程】设点P在平面xOy上的射影为P′,则|PP′|＝|c|.点拨：根据点的坐标表示进行计算.3.在空间直角坐标系中,点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )A.(－2,1,－4)B.(－2,－1,－4)C.(2,－1,4)D.(2,1,－4)答案：A.解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点,又N(－2,1,0),所以对称点为P′(－2,1,－4),故选A.点拨：根据点的坐标表示进行判断.4.以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AD ,AA 1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如下图所示,则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12 答案：B.解析：【知识点】中点公式.【数学思想】几何中心.【解题过程】A (0,0,0),B 1(1,0,1),所以AB 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，0＋02，0＋12,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 0，12. 点拨：根据点的坐标表示进行计算.5.设z 为任一实数,则点(2,2,z )表示的图形是( )A.z 轴B.与平面xOy 平行的一直线C.平面xOyD.与平面xOy 垂直的一直线答案：D.解析：【知识点】点的坐标表示.【数学思想】点动成线.【解题过程】(2,2,z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线,即与平面xOy 垂直的直线. 点拨：根据几何意义进行判断.6.在空间直角坐标系中,点(4,－1,2)关于原点的对称点的坐标是________.答案：(－4,1,－2).解析：【知识点】中点公式.【数学思想】几何中心.【解题过程】空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数,故点(4,－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1,－2).点拨：根据中点公式进行计算.能力型师生共研7.点P (－3,2,1)关于Q (1,2,－3)的对称点M 的坐标是________.答案：(5,2,－7).解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】设M 坐标为(x ,y ,z ),则有1＝x －32,2＝2＋y 2,－3＝1＋z 2,解得x ＝5,y ＝2,z ＝－7,所以M (5,2,－7).点拨：根据中点公式进行计算.8.如下图,在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,棱长为1,BP ＝13BD ′,则P 点的坐标为________.【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】过P 作PP ′⊥xOy 平面,则PP ′＝13.过P ′作P ′M ∥AB ,P ′N ∥BC ,则MP ′＝23,NP ′＝23.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 点拨：根据点的对称性进行计算.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 探究型多维突破9.已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1,A 1关于xOz 平面的对称点为A 2,A 2关于z 轴的对称点为A3,求线段AA3的中点M的坐标.【知识点】点的对称性与中点公式.【数学思想】对称变换.【解题过程】因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4,－2,－3),点A1(4,－2,－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2,－3),点A2(4,2,－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4,－2,－3),所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0).点拨：根据中点公式进行计算.答案：(－4,0,0).10.如下图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长均为2,侧棱AA1⊥底面ABC,建立适当的坐标系写出各顶点的坐标.【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BO⊥AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为2,所以OA＝OC＝1,OB＝3,可得A(0,－1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,－1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).点拨：根据中点公式进行计算.答案：A(0,－1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,－1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).自助餐1.若点P(－4,－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( )A.7B.－7C.－1D.1答案：D.解析：【知识点】点的对称性与中点公式.【数学思想】对称变换.【解题过程】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4,－2,－3),关于y轴的对称点坐标是(4,－2,－3),从而知c＋e＝1.点拨：根据中点公式进行计算.2.在如图2-3-7所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的主视图和俯视图分别为( )图2-3-7A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案：D.解析：【知识点】三维视图.【数学思想】几何投影与仿射变换.【解题过程】由三视图及空间直角坐标系可知,该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线),故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形,故俯视图是②.故选D.点拨：根据几何意义进行判断.3.已知点M到三个坐标平面的距离都是1,且点M的三个坐标同号,则点M的坐标为________.答案：(1,1,1)或(－1,－1,－1).解析：【知识点】点的坐标表示.【数学思想】对称变换.【解题过程】分别过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作与yOz 平面,xOz 平面,xOy 平面平行的平面,三个平面的交点即为M 点,其坐标为(1,1,1)；或过点(－1,0,0),(0,－1,0),(0,0,－1)作与yOz 平面,xOz 平面,xOy 平面平行的平面,三个平面的交点即为M 点,其坐标为(－1,－1,－1).点拨：根据几何意义进行判断.4.已知点P ′在x 轴正半轴上,|OP ′|=2,PP ′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP ′|=1,求点P 的坐标为_________.答案：(2,0,1)或(2,0,-1).解析：【知识点】几何投影.【数学思想】坐标表示.【解题过程】点P 在xOy 平面的两侧都有可能,它的坐标为(2,0,1)或(2,0,-1).点拨：根据几何意义进行计算.5.如下图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E ,F 点的坐标.答案：(1,1,21),(21,21,1). 解析：【知识点】几何投影.【数学思想】坐标表示.【解题过程】方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B ,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G ,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B (1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点拨：根据几何意义进行计算.6.如下图所示,AF ,DE 分别是⊙O ,⊙O 1的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ＝8,BC 是⊙O 的直径,AB ＝AC ＝6,OE ∥AD ,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A ,B ,C ,D ,E ,F 的坐标.答案：(1,1,21),(21,21,1). 解析：【知识点】几何投影.【数学思想】坐标表示.【解题过程】因为AD 与两圆所在的平面均垂直,OE ∥AD ,所以OE ⊥平面ABC ,又AF 平面ABC ,BC 平面ABC ,所以OE ⊥AF ,OE ⊥BC ,又BC 是圆O 的直径,所以OB ＝OC ,又AB ＝AC ＝6,所以OA ⊥BC ,BC ＝62,所以OA ＝OB ＝OC ＝OF ＝3 2.如图所示,以O 为原点,以OB ,OF ,OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,所以A (0,－32,0),B (32,0,0),C (－32,0,0),D (0,－32,8),E (0,0,8),F (0,32,0).点拨：根据几何意义进行计算.。

教师课时教案备课人授课时间课题4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课标要求在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离教学目标知识目标1、感受空间直角坐标系建立的背景2、掌握两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离。

技能目标掌握在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离情感态度价值观类比思想的运用重点1、空间直角坐标系中点的表示；2、空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。

难点两点间距离公式的推导。

教问题与情境及教师活动学生活动学 过 程 及 方 法一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立：如右图，OABC-D ’A ’B ’C ’为单位正方体，以_________为原点，以___________________为单位正方向，以______________为单位长，建立三条数轴______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中O 为________，x 轴、y 轴、z 轴为_______，__________为坐标平面，分别为__________。

2、右手直角坐标系本书中建立的空间直角坐标系均为___________，右手拇指指向________，食指指向 ________，中指指向____________3、空间直角坐标系中任意一点M的坐标表示如下图，设点M 为空间一定点，过点M 分别做垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面依次交x 轴、y 轴、z 轴于P 、Q 、R ，设P 、Q 、R 在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别为x 、y 、z ，则的坐标为（x ，y ，z ）。

1教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．O y zx A'C'B'B D'A COA B A'Cy' D'Az xB/COxyz学过程及方法反之，给定有序实数组（x，y，z），在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y、z的点P、Q、R，分别经过各做一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M。

课题： 2.4.3.1 空间直角坐标系（1）教材分析：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．课 型： 新授课教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.提出问题：1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）阅读课本134P - 135P 内容二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图４.3-1(课本), ,,,,OBCD D A B C 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA,OC,O 'D 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 'D 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等．2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．３．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系：1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．2）反过来，一个有序数组x ，y ，z ，我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴，y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．3）坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系4.例题1（课本例1）：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间直角坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论： 若以C 点为原点，以射线BC 、CO 、C 'C 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．）5．例题2（课本例2）题略说明： 学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系．三、巩固练习：1．练习：136P 1, 2，3.2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置．3. 思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标．四．小结：1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.3．空间直角坐标系中点的位置的确定．五．作业：1.课本138P 习题4.3 A 组 2课后记:。