几何变换
变换与变换群
1． 基本概念：
1） 设A 、B 是两个非空集合，给出映射f ：A →B ，
如果B=A ，那么映射f 叫做集合A 上的变换。
2） 若变换f ：A →A 是一一映射，则f 叫一一变换。
3） 一一变换f ：A →A ，若,A a ∈?有f （a ）=a ，则
f 叫A 上的恒等变换或单位变换，通常记为I 。
4） A A f A A f →→:,:21是两个变换，变换1f 与2
f 的合成12f f ?叫做1f 与2f 的乘积。
5） 一一变换f ：A →A ，若存在变换g ：A →A ，使得
fg=gf=I ，则g=1-f 叫f 的逆变换。
6） 一一变换f ：A →A ，且I f ≠，若A a ∈?，使f
（a ）=a ，则a 叫f 下的二重点（不动点，不变点）；若存在直线l ，使得f （l ）=l ，则l 叫f 下的二重线（不变线）。
2． 一一变换的性质：
1）f 、g ：A →A 是一一变换，则gf 也是一一变换。
2）f 、g 、h ：A →A 是一一变换，则有h （gf ）=（hg ）f 。
3）f ：A →A 是一一变换，则1
-f 也是一一变换。
3． 变换群：
1） 将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一
个图形的过程叫几何变换。
2） A 是一个集合，如果G 是由集合A 上的某些一一
变换所组成的集合，且满足：
（1） 若G f G f ∈∈21,，则G f f ∈?12；
（2） 若G f ∈，则G f
∈-1； 那么集合G 就叫做集合A 上的变换群，简称为变换
群。
3） 若H 是变换群的一个子群，且H 自身也构成一个
变换群，那么H 叫做G 的子群。
4） 两变换群21,G G ，若它们的元素之间可以建立一
一对应关系f ，且有)()()(,,1212121g f g f g g f G g g =∈?，则称21,G G 同构。
平面几何变换
一、合同变换
1． 基本概念
1） 一个平面到其自身的变换W ，若对于平面上的任
意两点A 与B ，都有距离
W （A ）W （B ）=AB ，则称W 为平面上的合同变换（全等变换）。
2） 若平面上图形/
F 是图形F 在合同变换W 下的像，
则称/F 是F 的合同图形（全等图形）。 2． 合同变换的性质：
1） 合同变换是一一变换。
2） 合同变换的逆变换是合同变换。
3） 两合同变换的积是合同变换。
4） 合同变换把直线变成直线。
5） 在合同变换下的不变量：距离、角度。
6） 在合同变换下的不变性质：点的共线性与结合
性、直线上点的顺序性、线的共点性与平行性。
3． 合同变换的基本形式：平移变换、旋转变换、直
线反射变换。
（一） 平移变换：
定义：平面到自身的变换T 把平面上的任一点P 变换到/
P 点，使得（1）射线/PP 有给定的方向，（2）线
段/PP 有给定的长度。则称T 为平面上的平移变换。射线/
PP 的方向叫做平移方向。
性质：①平移变换是合同变换。
②平移变换的逆变换也是平移变换。
③两个平移变换的积是平移变换。
④在平移变换下，直线的像是它自己或者是与
它平行的直线；平行直线变换成平行直线。
在平移变换下的不动点：无。不动线：平行于平移方向的直线。
确定平移变换的条件：一对对应点。
例题：
1．在△ABC中，已知AB：AC=7：5，BC=18，在边AB、AC上分别取一点D、E，使AD=CE，且DE∥BC，求DE的长。
2．求证：两中线相等的三角形是等腰三角形。3．在平行四边形的内部有一点P，若∠PAD=∠PCD，则∠PBC=∠PDC。
第3题第4题
4．在线段BC上取两点M与N，使BM=CN，动点A在BC外移动，当∠BAM=∠NAC时，求证：△ABC为等腰三角形。
5．设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的
点，满足BD ：BC=CE ：CA=AF ：AB=1：n ，又S 与s 分别是△ABC 和线段AD 、BE 、CF 构成的三角形的面积，求S ：s 。
作业：
1． 已知ABCD 是正方形，EF 、GH 分别是边AB 与CD
和AD 与BC 间的线段，且EF ⊥GH ，求证：EF=GH 。
2． 设P 是正三角形ABC 的中线MN （M 在AB 上，N
在AC 上）上的任一点，BP 和CP 的延长线分别与边
AC 、AB 交于R 、S ，求证：BS CR 11+为定值。
（二） 旋转变换
定义：如果一个平面到自身的变换R （Ο,θ）,使原点Ο变换到它自身，其他任意点X 与它的对应点/X 满
足/OX OX =，=∠/XOX θ，则称R （Ο,θ）为平面
上的旋转变换，Ο叫做旋转中心,θ叫做旋转角（规定当逆时针旋转时θ>0，当顺时针旋转时，θ<0）。 性质：①旋转变换是合同变换。
②旋转变换的逆变换也是旋转变换。
③具有同一个旋转中心的两个旋转变换的积是旋转变换。
④在旋转变换下，直线的像是它自己或者是与
它成旋转角的直线。
在旋转变换下的不动点：旋转中心。不动线：当旋转角为π时，过旋转中心的所有直线。
确定旋转变换的条件：旋转中心与一对对应点。
例题：
1．在△ABC的三边上向外各做一个正三角形
/
/,
/
ABC?
?，求证：/
?
BCA
,CAB
/CC
/
AA=
=，
BB
60。
且每两条线的夹角均为0
2．如图，P是正△ABC内一点，且PA=2，PB=23，PC=4，则△ABC的边长为。（希望杯第7届初二第2题）
第2题 第3题 3． 如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 、F 分别在
BC 、CD 上，且0015,30=∠=∠DAF BAE ，求△AEF 的面积。（希望杯第11届初二第2题）
4． 在△ABC 中，0120≥∠A ，P 是△ABC 内不与A 重
合的任意点，求证：PA+PB+PC>AB+AC 。
5． 在△ABC 中，E 、F 是BC 边上的三等分点，BM 是
AC 中线，AE 、AF 分BM 为x,y,z(x>y>z)，试求x ：y ：z 的值。
作业：
1． 在△ABC 中，AB=AC ，P 为其外接圆BC 劣弧上的
任意点，则PC PB PA +为定值。
2． 设C 是线段AB 上任一点，正ΔABD 与正ΔBCE 在
AB 两侧，求证：AE=CD 。
3． 设ΔABC 为正三角形，P 是它所在平面上的任一
点，求证PA ≤PB+PC ，当且仅当P 在ΔABC 的外接圆上时取等号。
4． 设P 是正△ABC 内一点，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，
试用a ，b ，c 表示△ABC 的面积。
（三） 直线反射变换
定义：如果一个平面到自身的变换S （l ）,使对于平面上的任意点X 与它的对应点/X 的连线/
XX 被直线l 垂直平分，则称S （l ）为平面上的直线反射变换，直线l 叫做反射轴。
性质：①直线反射变换是合同变换。
②直线反射的逆变换就是它自身。
③具有同一个反射轴的两个直线反射变换的积是恒等变换。
④在直线反射变换下，直线的像或者是它自己，或者与对应直线相交于反射轴上，或者与对应直线同时平行于反射轴。
在直线反射变换下的不动点：反射轴上点。不动线：反射轴、与反射轴垂直的直线。
确定直线反射变换的条件：反射轴。
例题：
1． 如图，△ABC 中，090=∠C ，∠BAC 的平分线交
BC 于D ，且CD=15，AC=30，则AB 的长为 。（希望杯第8届初二第1题）
2． 正ΔABC 的边长为a ，D 是BC 中点，P 是AC 边上
的动点，连接PB 和PD 得ΔPBD ，问（1）P 点运动到什么位置时，ΔPBD 的周长最短？（2）求ΔPBD 的周长。（希望杯第16届）
第1题 第2题 第3题
3． 如图，△ABC 为等腰直角三角形，C 为直角顶点，
121,-n D D D 是CB 边n 等分点，过C 作1AD 的垂线，分别交AB AD AD AD n ,,121- 于n P P P 21,，连接1-n n D P ，求证：n n P BD C AD 11-∠=∠。（希望杯第14届初二培训）
4． 已知CD 为直角△ABC 斜边AB 上高，AE 平分∠
BAC ，交CD 于F ，FG ∥AB ，交BC 于G ，求证：CF=GB 。
5． 在等腰△ABC 中，顶角080=∠ACB ，过A 、B 引
两直线在△ABC
内交于一点O ，若,20,1000=∠=∠OBA OAB 求证：060=∠ACO 。
作业：
1．梯形ABCD中，AB∥CD，∠C的平分线CE⊥AD于E，且DE=2AE，求CE把梯形所分成的两部分的面积比。
2．设AB是⊙O的直径，在AB的一侧任作两弦AP、BQ，与任一半径OM分别交于C、D，求证：∠APD=∠BQC。
3．设M是等腰直角△ABC一腰AC的中点，过直角顶点A作BM的垂线交BC于D，垂足为E，求证：∠AMB=∠CMD。
4．P是锐角△ABC的BC边上一定点，M、N分别是AB、AC上任意变动点，△PMN的周长何时最小，试证之。
（四）平移变换、旋转变换、直线反射变换的关系
定理1：任意两个直线反射变换的积或者是恒等变换，或者是旋转变换，或者是平移变换。
定理2：任意两个中心不同的旋转变换的积或者是旋转变换，或者是平移变换。
定理3：任意一个合同变换都可以表示为不多于3个直线反射变换的积。
例题：
1．已知△ABC外有一点P，过P作直线分别与△ABC
的边AB、AC及中线AE垂直，这些垂线分别与高线AD相交于L、M、N，求证LN=MN。
第1题第2题
2．以△ABC的B、C为直角顶点在外侧分别以AB、AC为腰作等腰直角ΔABD、ΔACE，以BC为斜边作等腰直角ΔBCF，使得F与A在BC同侧，证明F是ED的中点。
二、相似变换
1．基本概念
3）一个平面到其自身的变换M，若对于平面上的任意两点A与B，都有距离
(
)
(
)
(
≠
=k
k
AB
B
M
A
M
，k为常数）
则称M为平面上的相似变换，常数k叫做相似比或者相似系数。
4） 若平面上图形/
F 是图形F 在相似变换M 下的像，
则称/F 是F 的相似图形。 2． 相似变换的性质：
7） 相似变换是一一变换。
8） 相似变换的逆变换也是相似变换。
9） 两相似变换的积是相似变换。
10） 相似变换把直线变成直线。
11） 在相似变换下的不变量：角度。
12） 在相似变换下的不变性质：点的共线性与结合
性、直线上点的顺序性、线的共点性与平行性。
3． 相似变换的基本形式：位似变换、位似旋转变换。
（一） 位似变换
定义：一个平面到自身的变换H （o,k ）叫做位似变换，满足：
①/
p p →，定点/pp o ∈ ②0,/≠=k kop op 常数
③k>0，p 与/p 在o 同侧；k<0，p 与/p 在o 异
侧。
O 叫做位似中心；k 叫做位似比。
性质：①位似变换是相似变换。
②位似变换的逆变换也是位似变换。
③位似中心相同的两个位似变换的积是位似变
换，中心不变，位似比是二者的积。
④位似中心不同的两个位似变换的积也是位似变换，三个位似中心共线。
⑤在位似变换下，直线的像是它自己或者是与它平行的直线。
在位似变换下的不动点：中心o。不动线：过中心o 的直线。
确定位似变换的条件：位似中心与一对对应点。
例题：
1．设M是ΔABC的BC边的中点，过C作一直线与AM、AB
分别交于E、F，求证：AE?FB=2AF?EM。
2．如图，四边形ABCD中，AD>BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线与EF的延长线
交于H、G，则（）
（A）∠AHE>∠BGE
(B)∠AHE=∠BGE
(C)∠AHE<∠BGE
(D)∠AHE与∠BGE的大小关系不确定。
（第10届初二第1题）
3．如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分边BC且AD⊥
AC ，则∠BAC= 。（希望杯第13届初二培训）
4． 自ΔABC 的顶点A 向∠ABC 、∠ACB 的内角及外角
平分线作垂线，证明四个垂足D 、E 、F 、G 共线。
第3题 第4题 第5题
5． 三个全等的圆（其圆心分别为321,,o o o ）有一个
公共点k ，并且都在ΔABC 内，每个圆与ΔABC 的两边相切，证明：ΔABC 的内心I 、外心o 与k 共线。（IMO 第22届第5题）
作业：
1． 在ΔABC 中，AB=AC ，延长AB 至D ，使BD=AB ，E
是AB 中点，求证：CD=2CE 。
2． 过梯形ABCD 的对角线交点M 作底AB 的平行线，
交两腰于P 、Q ，求证：PM=MQ 。
D 是ΔABC 的边AC 上一点，若有AD ：DC=2：1，0060,45=∠=∠ADB C ，求证：AB 是ΔBCD 外接圆切线。
（二） 位似旋转变换
定义：一个平面到自身的变换S （k o ,,θ）叫做位似旋转变换，满足：
①/p p →，θ=∠/pop （有向定角）
②
0,/≠=k kop op 常数 O 叫做位似中心；θ叫做旋转角（θ>0时，逆时针旋转，θ<0时，顺时针旋转）；k 叫做位似比。 性质：①位似旋转变换是相似变换。
②位似旋转变换的逆变换也是位似旋转变换。 ③位似中心相同的两个位似旋转变换的积是位似旋转变换，中心不变，旋转角是二者的和，位似比是二者的积。
④位似中心不同的两个位似旋转变换的积),,(),,(111222k o S k o S θθ或者是位似旋转变换（1,22121≠≠+k k n πθθ），或者是位似变换（1,22121≠=+k k n πθθ），或者是旋转变换（1,22121=≠+k k n πθθ），或者是平移变换（1,22121==+k k n πθθ）。
在位似变换下的不动点：中心o 。不动线：当πθ=时，过中心o 的直线。
确定位似旋转变换的条件：位似中心与一对对应点。 例题：
1． 在ΔABC 的边BC 、AC 、AB 上分别向外作正方形，
设它们的中心分别是P、Q、R，求证：CR⊥PQ，CR=PQ。2．在平面上放置着两个正ΔABC与ΔDEF（顶点均按顺时针排列），并且两边BC与EF的中点H重合，试求（1）AD与BE的夹角，（2）AD：BE的值。
第2题第3题
3．如果ΔABC与ΔADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ΔABC，而将ΔADE绕A点在平面上旋转，求证，不论ΔADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使ΔBMD为等腰直角三角形。
作业：
1．ΔABC是正三角形，MN与BC平行且交AB、AC分别于M、N，设D是ΔAMN的外心，E是BN的中点，求ΔDEC各角的度数。
2．在ΔABC外侧分别以AB、AC为斜边作两相似的直角三角形ΔABD、ΔACE，且使∠DAB=∠EAC=α，若M是BC的中点，求证：MD=ME，∠MDE=α。
合同变换与相似变换小结
1．设A、B为半圆上任意两点，O为圆心，AC、BD垂直直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC。
2．在ΔABC各边上作相似的ΔABF、ΔAEC、ΔDBC，在EF上作与上述三个相似三角形相似的ΔGEF，证明：A是GD的中点。
3．一直线交ΔABC 的BC 、CA 、AB 边或其延长线于D 、
E 、
F ，证明：1=??FB FA EA EC DC DB
三、反演变换
定义：一个平面到自身的变换I （o,k ）叫做反演变换，满足：
①/p p →，定点/pp o ∈
②
0,/≠=?k k op op 常数 ③k>0，p 与/p 在o 同侧；k<0，p 与
/
p 在o 异侧。 O 叫做反演极（反演中心）；k 叫做反演幂。 图形F 在反演变换下的像/F 叫做F 的反形，一般情况下，F 与/F 方向相反。
在中学数学中只研究k>0的情况。
令2
R k =，则2/R op op =?有 几何意义如右图：
P 在⊙O 外，/P 在⊙O 内；
P 在⊙O 内，/P 在⊙O 外；
P 在⊙O 上，/P 与P 重合。
P 趋向于O 点时，/P 点趋向于无穷远点，因此，在欧氏平面上，O 点没有反点，反演变换不是一一变换。
性质：①在反演变换),0(2R I 下，A ，B 的反点分别是//,B A 若O 、A 、B 不共线，则有（1）A ，B ，//,B A 四
点共圆；（2）ΔOAB 与Δ
//A OB 镜象相似。 ②在反演变换
),0(2R I 下，A ，B 的反点分别是//,B A ，则有OAOB AB R B A 2//=。
③在反演变换),0(2R I 下，以反演极为圆心的圆
的反形是与它同心的圆。
④在反演变换
),0(2R I 下，过反演极的圆的反形是不过反演极的直线。
⑤在反演变换),0(2R I 下，圆心不是反演极且不过反演极的圆⊙)(//r o 的反形是圆⊙//o (//
r )，该圆也不过反演极并且圆心也不是反演极，互为反形的两个圆的半径之间的关系是2/2//
2//oo r r R r -=。
⑥在反演变换),0(2R I 下，过反演极的直线的反
形是它自身；不过反演极的直线的反形是过反演极的圆。
⑦在反演变换),0(2R I 下，两曲线的交角等于它
们反形的交角。
确定反演变换的条件：反演极与一对对应点。
例题：
1．在ΔABC中，0
90
=
∠C，CD⊥AB于D，已知AC=3，BC=4，如果在)
,
(2R
A
I下，D与B是一对反点，则（1）R的值是多少？（2）)
,
(2R
A
I的反演圆是哪个圆？（3）BC的反形？（4）CD的反形？
第1题第2题
2．设O为反演极，A，B的反点分别是/
/,B
A，从O 向AB、/
/B
A引垂线，垂线长分别是/
,h
h，若O、A、B不共线，求证：/
/
/
h
B
A
h
AB
=。
3．求证：圆内接凸四边形两条对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和。
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
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初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2
新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变 换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22
) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532x y x y +=-=-?? ? ,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2, 观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n,32322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n,103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨： 例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()---
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 如图所示，若AM平分∠BAC，则AB AC =BM MC 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD DC =AB AC 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足BD DC =AB AC ，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则BD DC =AB AC =BE EC 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？ 解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利 用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ . 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 为了线段比的转化 ∥＝ A D B P Q 图1P E D G A B F C 图2 A N E B Q K G C D M F P 图3
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案） 1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=?，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心. 解析 如图，由条件45BAE ∠=?，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点. 另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 12EM MF BC ==，1 2 EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点. 从而命题获证. 2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ， 点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线. 解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=?，有 tan cot ASB ATB S SP AS BS P T S AT BT αβ'?===?'?△△ MS ST MS SP ST TE TE PT = ?== ， 即点P 与点P '重合. 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. 解析 连结OB 、OD . B M N A S P T F E D M C N O L A K B
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.
初一数学竞赛讲座 第6讲 图形与面积 一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法, 数学竞赛中的面积问题不但具有直观性, 而且变换精巧, 妙趣横生, 对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质： 1．两个可以完全重合的图形的面积相等； 2．图形被分成若干部分时, 各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算, 一些主要的面积公式应当熟记。如： 正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 此外, 以下事实也非常有用, 它对提高解题速度非常有益。 1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有： 1．观察图形, 分析图形, 找出图形中所包含的基本图形； 2．对某些图形, 在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）； 3．作出适当的辅助线, 铺路搭桥, 沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。 例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？ 解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分, 如左下图构成4个小三角形, 面积都为原来的三 角形面积的41。 另外, 先将三角形△ABC 的面积2等分（如右 上图）, 即取BC 的中点D, 连接AD, 则S △ABD =S △ADC , 然后再将这两个小三角 形分别2等分, 分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的4 1。还 有许多方法, 如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2, 那么六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘米？ 分析：解决这类问题常用割补法, 把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形, 分别求出面积。 也可以求出六边形外空白处的面积, 从总面积中减去空 白处的面积, 就是六边形的面积。 解法1：把六边形分成6块： △ABC, △AGF, △PEF, △EKD, △CDH 和正方形GHKP 。用S 表示三角形面积, 如用S △ABC 表示△ABC 的面积。
小学数学竞赛几何图形集锦 第一部分基础题 1、（06年清华附中考题） 如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 2、（06年西城实验考题） 四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米. 3、（05年101中学考题） 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修 4、（05年三帆中学考题） 右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是平方厘米． 5、 (06年北大附中考题)
三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？ 6、（★★）如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ， 求三角形DEF 的面积。 7、（★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？ 8、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面 积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？ 9、（★★★）如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且ADG ?的 面积比EFG ?的面积大6平方厘米。?的面积是多少平方厘米 ABC ? A B C D E F G 10、（★★）长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 和角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(+=+ A B B A B A sin sin cos cos )cos(-=+ B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(-+=+ 差角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(-=- A B B A B A sin sin cos cos )cos(+=- B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(+-=-
常用角度的三角比
相关练习题： 1.已知ABC ?中，,75 =∠B ,60 =∠C ,10=BC 求AB 与AC 的长及三角形的面积 2.求证面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 3.求证海伦公式 ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 4. 已知ABC ?中，,7=AB ,8=BC ,9=AC 求sinA ， sinB ， sinC 5.在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 6.已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点是P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长． 7.在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。 A B C E F A B C P
学科：奥数 教学内容：一元一次方程 【内容综述】 一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。 只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。 解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。 【要点讲解】 §1 含参量的一元一次方程 含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。 因为未注明，所以它的解有下面三种情况： （1）当时，方程有唯一解； （2）当时，方程的解为任意数； （3）当，时，方程无解。
★例1解关于χ的方程。 思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。 解：把原方程变形为 即 当，即且时，方程有唯一解； 当且，即且时，方程无解； 当且，即时，方程的解为任意数。 ★★例2若a，b，c是正数，解方程。 解法一：原方程两边乘以abc，得到方程 , 移项合并同类项得 即 由，，知 , 即。 解法2：对原方程左端的每一项减去1，得
即 ∵由，，知 ∴ ∴ 说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。 ★★例3k为何正数时，方程的解是正数？ 思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定： （1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。 （2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。 （3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。 解：按未知数χ整理方程得 要使方程的解为正数，需要 不等式的左端 因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。 §2 含有绝对值符号的一次方程 解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。 ★★★例4若关于χ的方程无解，只有一个解，有两个解，则m，n，k的大小关系是（） （A）；（B）；