高中奥林匹克数学竞赛-几何变换

竞赛专题――几何变换

【竞赛知识点拨】 一、 平移变换

1． 定义 设PQ 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得PQ XX ='，则T 叫做沿有向线段PQ 的平移变换。记为

')(X X PQ T −−→−，图形')

(F F PQ T −−→− 。

2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、 轴对称变换

1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得X 与'X 关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。记为

')(X X l S −−→−，图形')

(F F l S −−→− 。

2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 三、 旋转变换

1． 定义 设α是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O （不动点），而把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得OX OX ='，且α=∠'XOX ，

则R 叫做绕中心O ，旋转角为α的旋转变换。记为'),(X X O R −−→−α，图形'),(F F O R −−→−α 。

其中0<α时，表示'XOX ∠的始边OX 到终边X O '的旋转方向为顺时针方向；0>α时，

为逆时针方向。

2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。 四、 位似变换

1． 定义 设O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到'X ，使得OX k OX ⋅='，则H 叫做以O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。记为

'),(X X k O H −−→−，图形')

,(F F k O H −−→− 。

其中0>k 时，'X 在射线OX 上，此时的位似变换叫做外位似；0

2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。 【竞赛例题剖析】

【例1】P 是平行四边形ABCD 内一点，且PCB PAB ∠=∠。 求证：PDA PBA ∠=∠

【例2】“风平三角形”中，︒=∠=∠===60'',2'''BOC AOB CC BB AA

4376';85,21;74,82'',';63,51,)

(∠∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠==∠=∠∠=∠∆≅∆∆−−→−∆＝，即＝四点共圆。故、、、得由已知知都是平行四边形，、由则【分析】作变换C P D P CB PP ADPP BC AD PP DCP ABP DCP

ABP AD T

求证：

【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。

形时，周长最小；

故当四边形为平行四边同理可得的中点；、分别为、，的中点且是；

交于、平行四边形；延长是一个符合条件的

，则，令、的中点、【分析】取DC

B A D

C AB BC

D A BC BC BG BC AD CG AG C F EC FC CC EF AC

E G CC A

F D BC A C A AC F E BD AC EF T +≥++=≥+=+∴∴−−→−''''2',//''//''''')(

【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

3

'''<++∆∆∆COA BOC AOB S S S 三角形为等边共线，、、共线，、、共线，、、记为重合，

和，则【分析】作变换OPQ P B O Q A O Q R P R R R R R PR B BOC AQR OC A BB T A A T ∆==∆−−→−∆∆−−→−∆';'''''''''','')'()'( 3

'''<++∆∆∆COA BOC AOB S S S 。

；求证于交，连接于交，连接、的两弦点引圆的中点，过的弦圆】【例NP MP N AB CF M AB DE EF CD o P AB o P =:4

PM

PN M PF PFN PEN PDE M PF F D M P EDF EFF EDF FPN MDF PM F AB FF GH AB GH FF PF PF PM F FPN PB PA PF PF PF PF GH P o F F F P GH GH S GH S GH S =⇒∆≅∆∴∠=∠=∠∴∴︒=+∠∠=∠+∠=∠+∠∴∴⊥⊥=∠=∠∴−−→−−−→−=∴∈∈−−→−'''180'''''//',''

'''',')()()

(四点共圆

、、、；

，又，，，，；又圆显然的直径，为过【分析】设

)(,2|11|

,2

2曲线系知识解析法证明：利用二次则中点的距离为到，，已知、于交、，连接、作两条相交弦，过上的一点内一弦的圆已知半径【评注】一般结论为：r

R a

PN PM a AB P r OP N M AB ED CF EF CD P P AB o R -=-=