第16章几何变换
§16.1对称和平移
16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点，求PA PM +的最小值．
C
A'
M'P
A M B
解析 作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点，故M 是A B '的中 点．PM PM '=，如图所示，则 PA PM PA PM AM ''+=+≥.
连结CM '，易知90ACM '∠=︒，所以AM '==．
所以，PA PM +
16．1．2★★已知ABC △中，60A ∠<︒．试在ABC △的边AB 、AC 上分别找出一点P 、Q ，使BQ QP PC ++最小．
解析 作B 关于直线AC 的对称点B '，C 关于直线AB 的对称点C '，连B C ''与AB 、AC 分别交于点P 、Q ，则P 、Q 即为所求，如图所示．
C
A'
M'P
A M B
事实上，对于AB 、AC 上的任意点P '，Q '， BQ Q P P C B Q Q P P C ''''''''''++=++ B C B Q QP PC ''''=++≥ BQ QP PC =++．
评注 因为60A ∠<︒，所以所作线段B C ''必与线段AB 、AC 相交．
16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．
解析 如图所示，设在直角三角形ABC 中，CD 是斜边上的高，PQR △是它的任一内接三角形．
B
D
P A
R
C Q S V
E
T G F
U
将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △，此时PQR △反射为SQV △，再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △，此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ．
易知FF AB ∥，所以CG CD =，即2GD CD =，且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离． 所以
2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥.
16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=︒，30MBA ∠=︒．设80ACB ∠=︒， AC BC =．求AMC ∠.
C
H
B
M
E
解析 本题中ABC △为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知， 30EAB EBA ∠=∠=︒， 所以20EAM ∠=︒， 从而20CAE ∠=︒，
因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=︒，又
1
402
ACE ACB ∠=∠︒=，
所以CAF △≌MAE △， 于是AC AM =，
所以()1
18040702
AMC ∠=
︒-︒=︒． 16．1．5★★在ABC △中，AH 是高，H 在边BC 上，已知45BAC ∠=︒，2BH =，3CH =，求ABC △的面积．
解析 作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △，作H A B △的关于AB 的对称图形NAB △．分别延长MC 和NB ，它们相交于L ，如图所示．
A
N
M
B
H C
L
易知90M N ∠=∠=︒，且 290NAM BAC ∠=∠=︒， AM AH AN ==．
所以，四边形LMAN 是正方形． 设正方形LMAN 的边长为a ，则 3CL a =-，2BL a =-．
在直角三角形BCL 中，由勾股定理知 222BL CL BC +=．
()
()2
2
2325a a -+-=．
解方程，得6a =，即6AH =．所以
1
152
ABC S BC AH =⋅=△．
16．1．6★★★如图，凸四边形PQRS 的四个顶点分别在边长为a 的正方形ABCD 的四条边上，求证：PQRS
的周长不小于．
解析 作正方形ABCD 关于BC 的轴对称图形，得到正方形11A BCD ，再作正方形11A BCD 关于1CD 的轴对称图形，得到正方形221A B CD ，再作正方形221A B CD 关于21A D 的轴对称图形，得到正方形2331A B C D ，而P 、Q 、R 、S 四点的对应点如图所示．
A S D
P B P 1
A 1S 1D 1
R 3C 3Q 3B 3
P 3
A 2P 2
B 2Q 2
R C R 1S 2Q
显然，2AA =，23AP A P ∥，故 32PP AA ∥，
所以四边形PQRS 的周长 PQ QR RS SP +++ 11223PQ QR R S S P =+++
32PP AA ==≥．
即四边形PQRS
的周长不小于．
16．1．7★★★如图，ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形，
90ABC ADE ∠=∠=︒，
现固定ABC △而将ADE △绕点A 在平面上旋转，试证：不论ADE △旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M 使BMD △力等腰直角三角形．
B
A
D E
C
M
A'
解析 如图，设BMD △为等腰直角三角形，下面证明点M 在线段EC 上． 作A 关于BD 的对称点A '，则A DB ADB '∠=∠． 因为902ADE BDM ∠=︒=∠，
所以45EDM A DM A DB ''∠=∠=︒-∠ 45ADB =︒-∠， 又DA DA DE '==．
所以A '又是E 关于DM 的对称点． 同理A '也是C 关于BM 的对称点，因此 EMD A MD '∠=∠，CMB A MD '∠=∠， 又因90BMD ∠=︒， 所以180CME ∠=︒．
即M 在EC 上（且为EC 的中点）．
16．1．8★★★如图，矩形ABCD 中，20AB =，10BC =，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM MN +的值最小，试求出这个最小值．
D
E
C G
F A
N
P M
B
Q
解析 作AB 关于直线AC 的对称线段AE ，即B 、E 关于AC 对称，作N 关于AC 的对称点F ，则F 在AE 上，且有BE AC ⊥于Q ，NF AC ⊥于P ．
由对称变换可知，MN BM MF MB +=+.
欲使MF BM +最小，必须BMF 共线，所以BM MN +最小值为点B 到AE 的距离BG .
