数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

高中平面几何

叶中豪

学习要点

几何问题的转化

圆幂与根轴

P’tolemy定理及应用

几何变换及相似理论

位似及其应用

完全四边形与Miquel点

垂足三角形与等角共轭

反演与配极，调和四边形

射影几何

复数法及重心坐标方法

例题和习题

1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且sin1tansin2。求证：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）

γθFEBCAD

2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。（10092401-1. gsp）

QBOO'AP

3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（10082602.gsp）

FEDRABC

4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP//BC。（10092102.gsp）

PGFEDABC

5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp）

EFDCBO1AO2P

6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC=∠PQD。（10081601-26.gsp）

QPMABDC

7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）

EFMCABD

8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（2010年女子竞赛）（10081601-4.gsp）

FMEDABC

9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF交于P点。求证：AP平分底边BC。（10082001-8.gsp）

MPFEDI1ABC

10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一

点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。（09031302.gsp）

NMDCOAB

11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB于P。求P点的轨迹。（10081601-4.gsp）

PMOBAC

12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。（10081601-3.gsp）

SMNTOABCP

13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得

C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。

求证 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp）

LDEOFCAB

14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）

FEDABCP

15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证：AD⊥EF。（10080302.gsp）

FEDMOABC

16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp）

PTECABD

17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）

PI'SMIABC

18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。

求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）

EFABCD

19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。

求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）

KIHGFELABCO 20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（10082001-1.gsp）

B1PQCAKMNB

21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO）（10082001-12.gsp）

BADCURQPOSTO1O2

22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗竞赛）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp）

QPKONLM

23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC延长线于G。过G作圆O的切线GT，T为切点。求证：TF⊥GE。（10092104.gsp）

TGFEOABC

24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。求证：AC//PEF的充要条件是M为EF中

点。（10092401-6.gsp）

MCEAOBPF

25．过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦DE//PQ，BE交PQ延长线于M。求证：OM⊥PQ。（10092103-1.gsp）

MEQCAOBPD

26．如图，设⊙O1与⊙O2交于AB两点。AC是⊙O2的切线，交⊙O1于C点。AD是⊙O1的切线，交⊙O2于D点。过A任作直线，交⊙O1、⊙O2及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NP。（10091002-6.gsp）

PNDCBO1AO2M

27．两圆圆O1和圆O2相交于M、P，过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过M作圆O1的切线交圆O2于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形MAHB内接于圆。（10091002-1.gsp）

HBAPO1MO2

28．已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点，且圆O1和圆O2分别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp）

NMOSO1TO2

29．设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别交于K和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：∠OMB=90°。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp）

OMNBACK

30．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ。（09022301.gsp）

QPOACBD

31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证：OM⊥MP。（10091001.gsp）

MCOPBD

32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）

NHGFEOABCDM

33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS

共点，求证：点D在⊙O上。（10090801.gsp）（10092103-8.gsp）

RSDABCPEF

34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△ABC外心。求证：A、E、O、F四点共圆。（09033102.gsp）

OFEABCD

35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）

NIMABC

36．设T为△ABC的内切圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心。求证：T I1⊥T I2。（10081701-9.gsp）

I1I2TCBAD

37．矩形ABCD中，AB＝2AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp）

EFDCABP

38． AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（10081001-4.gsp）

FECOABPD

39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（10081001-5.gsp）