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高中数学选修2-2：1.7.1定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)

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【人教B版】选修2-2数学：1.7.1《定积分在几何中的应用》ppt课件

【人教B版】选修2-2数学：1.7.1《定积分在几何中的应用》ppt课件


f x g x dx a .
b
例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形 的面积.
思考1：曲线y2=x与y=x2所围成的图形是什么？
思考2：用定积分求其面积时, 被积函数是上边界函数减去下边界函数 , 积分区间由公共 交点 位置确定
例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形 的面积. 作出y2=x,y=x2的图象如图所示: 解：
3 2
3
需分割的图形面积求解
问题 3 ：已知函数 y f ( x) ， y g ( x) 在区间
a, b 上的图象如图所示， 试用定积分表示阴影图
形的面积：
S S1 S2 g ( x ) f ( x ) d x
c a
f ( x ) g ( x ) d x c
b
(一)求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别 注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
（二）常见的曲边梯形面积的计算方法： 类型一：不必分割的图形面积求解：在公共的区 间上，用曲边梯形的上边界函数减去下边界函数 构造被积函数，求其定积分即可.
a
y
y＝f(x)
b xຫໍສະໝຸດ baf ( x) d x
O a
即： S a f ( x) d x
b
不必分割的图形面积求解 问题1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a, x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y
y f ( x)
o
a
b
x
(1)

2020版高中数学人教A版选修2-2课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

2020版高中数学人教A版选修2-2课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

【跟踪训练】 如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,由曲线y= sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩 形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是 等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.
4
【解析】选A.根据题意可知所投的点落在阴影部分的
S1=
t 0
(tx-x2)dx=1
6
t3,S2=
t2(x2-tx)dx=
8-2t+
3
1t3.
6
因为S1=S2,所以t=43
,点P的坐标为( 4，16).
39
(2)令S=S1+S2=16
t3+83
-2t+1 t3=1 t3-2t+ 8 ,
63
3
S′=t2-2,令S′=0得t2-2=0.
因为0<t<2,所以t= 2 ,因为0<t< 2时,S′<0; <t2<2 时,S′>0.
()
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
(2)求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点M(0,-3)和N(3,0) 处的两条切线所围成的图形的面积.
【解题指南】(1)一般情况下,定积分 fab(x)dx的几何
意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的 曲边梯形面积的代数和,其中在x轴上方的面积等于该 区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分 值的相反数,所以在用定积分求曲边梯形面积时,一定 要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.若是两个
解方程组
x x
y,

高中数学 1.7.1定积分在几何中应用 新人教A版选修2-2

高中数学 1.7.1定积分在几何中应用 新人教A版选修2-2

2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 pp t课4 件x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
三、小结
如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
yx36x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
b
a f2(x)dx
b
a f1(x)dx
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
ppt课件
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解
y y
x x2
x0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1.7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
a bf(x ) d x a b F '(x ) d x F (x )|b a F ( b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是

数学选修2-2人教新课标A版1-7-1定积分在几何中的应用课件(30张)

数学选修2-2人教新课标A版1-7-1定积分在几何中的应用课件(30张)

返回
达标检测
1 234
1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝ʃab[f(x)－g(x)]dx ①
S＝ʃ80(2 2x－2x＋8)dx ②
1 234
S＝ʃ41f(x)dx－ʃ74f(x)dx
③
A.x)－f(x)]dx＋ ʃba[f(x)－g(x)]dx
解析答案
类型二 分割型图形面积的求解 例 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 (1)如图，阴影部分由曲线 y＝1x，y2＝x 与直线 x＝2，y＝0 所围成，则其面积为________.
解析答案
(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
解析答案
1 234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为___3_____.
解析
解方程组yy＝ ＝2x2x，，
得xy＝ ＝00， ，
x＝2， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0). ∴S＝ʃ20(2x－x2)dx＝(x2－13x3)|20 ＝(4－83)－0＝43.
解析答案
1 234
4.设a>0，若曲线y＝ x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2， 4
则a＝___9_____.
解析 由题意可知ʃa0 xdx＝a2，
又∵(23x
3 2
)′＝
x，∴
2
3
x2
3
0a＝a2，
即23a
3 2
＝a2，∴a＝49.故填49.
解析答案
规律与方法
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区 别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或 为零；而平面图形的面积总是非负的.

数学选修2-2人教新课标A版1-7-1定积分在几何中的应用课件(17张)

数学选修2-2人教新课标A版1-7-1定积分在几何中的应用课件(17张)

b
b
b
(2) S a f (x)dx | a g(x)dx | a [ f (x) - g(x)]dx
四、新课讲解
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或
x y
1 1
B
yy x
y2 x
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
y 定 -ax2 (a 0)
代抛物线上一点入方程
积 分 的 简 单 应 用
则有
- h -a(b)2 得 2
a
4h b2
所以抛物线方程为
y
-
4h b2
x2
于是，抛物线拱的面积为
2S
2s 2b2 h
b 2 0
(-
4h b2
x2
)dx
2
b 2
h
(-
S 8 2xdx - 8 (x - 4)dx 40 本题还有其他解法吗？
0
4
3
四、新课讲解
另解1：将所求平面图形的面
积分割成左右两个部分。
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx - (x - 4)dx] 4
22
4
3
22
8
3
1
8 40
x2
x 2 - (x - 4)
3
x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x

人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分的简单应用(27张PPT).pptx

人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分的简单应用(27张PPT).pptx

b
W a F (x)dx
F
y F (x)
Oa
x
b
例1： 如图1.7 - 4, 在弹性限
度内 , 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置 l m 处, 求弹
力所作的功.
解 在弹性限度内,拉伸(或
Q
l
压缩) 弹簧所需的力Fx与
图1.7 - 4 F
弹簧 拉伸或压 缩 的长 度 x
成正比,即Fx kx,其中常
思考
定 如图, 一桥拱的形状为抛
积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的
h
简 求证: 抛物线拱的面积 S 2 bh
b
单
3
应
用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
定
y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
C t/s o 10 20 30 40 50 60
图1.7 - 3
解 由速度 时间曲线可知: v/m/s
3t,
0 t 10 ; 30 A
B
vt 30,
10 t 40; 20
10
-1.5t 90,40 t 60.
C t/s
因此汽车在这1min 行驶的路 o 10 20 30 40 50 60
程是 :
图1.7 - 3
S
10
3tdt
40
30dt
60
-
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 2
10 0
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40

定积分在几何中的应用课件(共42张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用

定积分在几何中的应用课件(共42张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用

S=
1
(x
0
x2 )dx
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1. 6
答案: 1
6
【解题策略】 求不分割图形面积的一般方法
【补偿训练】 如图所示,f(x)=1+sin x,则阴影部分的面积是________.
【解析】所求面积为
0
(1 sin
x)dx
(x
cos
x)
0
2.
答案:π+2
类型二 分割型图形面积的求解(直观想象、数学运算) 【典例】计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的面积S. 【思路导引】根据已知方程画出所围图形,选择恰当的分割线,分别计算面积.
的面积为 S 2 1( 3 x x3)dx 0
2( 3 4
4
x3
1 4
x4)
1 0
1.
(4)√.利用定积分可得,阴影部分的面积S=
(ex
ex
)
1 0
e
1 e
2.
1(ex ex )dx 0
2.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这 个阴影区域的面积是 ( )
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
2.如图所示,求曲线y=x2和直线x=0,x=1及y= 1 所围成的图形(阴影部分)的面
4
积.
【解析】1.选D.由图形以及定积分的意义,得到所求阴影部分面积等价于
5
5
4
(sin
x
cos
x)dx
(cos
x
sin
x)
4
2
2.
4

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用

S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究

高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用 新人教A版选修2-2

高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用 新人教A版选修2-2
ppt课件
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割 图形是关键，方法一中的分割是解本题较好的一 种方法．若不能抓住图形的特征，进行合理分割， 则会出现错解．
ppt课件
1．7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
研题型 学方 法
ppt课件
题型一 不分割图形求面积
ppt课件
规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求 出直线与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3) 用定积分表示图形的面积；(4)求定积分进而得到图 形的面积．
ppt课件
ppt课件
题型二 分割图形求面积
ppt课件
ppt课件
规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步 骤是：①画图，确定图形范围；②求交点的横坐标， 确定积分上下限；③写出积分表达式；④用微积分 基本定理计算定积分．
ppt课件
对图形分割不合理致误

高中数学选修2-2课件1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件

高中数学选修2-2课件1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
y
yf (x)
Oa
bx
b
c
b
a f (x)dx -aS f (x)dxc f
b
(-
4h b2
x2
)dx
b
(b ,-h)
2
2
b 2
h
(-
4h 3b2
x3)
b
2 0
2 bh 3
我们已经看到,定积分可以用来计算曲边 梯形的面积,求变速运动物体的位移.事实 上,定积分有着广泛的应用.下面我们介绍 定积分的一些简单应用.
1.7.1 定积分在几何中的应用
例1 计算由曲线y2
x, y x2所围图形 的面积S. 分析 首先画草图
简 单
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积
应 用
（3）确定被积函数及积分区间
（4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
例2．计算由曲线 y 2x 直线 y x - 4 以及x轴
定
所围图形的面积Ｓ
积
y
分
的 简 单 应
4
2
S2 S1
O
A 2 4
8
y
4 y 2x
y x-4
2
S1S2
O
B 2 4
由上面例题可以发现,在利用定积分求 平面图形的面积时,一般要先画出它的 草 图, 再 借 助 图 形 直 观 确 定 出被 积 函 数 以及积分的上、下限.

人教A版高中数学选修2-2课件1.7.1定积分在几何中的应用

人教A版高中数学选修2-2课件1.7.1定积分在几何中的应用

解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组

y y
2x x2
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
O

2 3
3
x2
|10

x3 3
|10

2 3

1 3

1. 3
y
及方法.（重点、难点）
探究点1定积分在几何中的应用 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) S a f (x)dx
b
(2) S a f (x)dx
y y2 x x B y x2
C
o
y

x
x
2
D
A
【总结提升】 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
.
y 2x
S S2
1
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边
的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取
y为积分变量
还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数变y 形 为2x

2018版高中数学人教A版选修2-2课件：1-7-1 定积分在几何中的应用

2018版高中数学人教A版选修2-2课件：1-7-1 定积分在几何中的应用

反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:
同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积: 定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴 所围成的图形的面积为( )
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2
解析:根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象经过(0,1)点, 所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. 1 1 所以 S= -1 (1 − ������2)d������ = 2 0 (1 − ������2)d������ =2 ������- ������ 3 |1 = 2 × 10
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
解:画出草图,如图所示. ������ + ������ = 2, ������ = ������, ������ = ������, 解方程组 1 1 及 ������ = - ������, ������ + ������ = 2, ������ = - ������ 3 3 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S=
设所求图形的面积为 S,根据图形可得 S=
2 -3
(������2 − 4)d������ = 2������- ������ 2 |2 − -3
1 2
1 3 ������ -4������ 3
2 -3 |2 -3
(−������ + 2)d������ −
=
25 − 2
-

高中数学选修2-2优质课件2：1.7.1定积分在几何中的应用

高中数学选修2-2优质课件2：1.7.1定积分在几何中的应用

a
c
a
c
a O
b x
yf (x)
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边
梯形位于 x 轴的下方，
一、复习引入
2.微积分基本定理：
b
a f (x)d x F (b) - F (a)
二、新课讲解 .几种典型的平面图形面积的计算：
y y f (x)
y y f (x)
oa
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x - x 4)dx
42 3
3
x2
|02
( 2 2 3
3
x2
-
1 2
x2
4x) |82
16 3
64 3
-
26 3
18
二、新课讲解
A
x y2 y 2x
解法2： 2
4
y2
B
S [( y 4) - ]dy
-2
2
y2
4 4y 4 - y3
4
18
2 -2
-2
6 -2
四、课堂小结
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式；
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
作业：
三、课堂练习
y
20
23
1
5 1 1
66
x
-
x3 3
)
|10
1. 3
二、新课讲解 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3) 写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
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1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题 重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或 难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
曲边梯形的面积等于 曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差 的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx
a
C.bf(x)dx＋cf(x)dx
[解析] 如图所示，由yy＝ ＝xx＋ 2－32，x＋3 得 x1＝0， x2＝3.
从而所求图形的面积为
S＝3(x＋3)dx－3(x2－2x＋3)dx
0
0
＝3[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx 0
＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230 ＝92.
求“不分割型”图形面积的一般步骤：
课时作业
[自主梳理]
一、利用定积分求曲边多边形的面积
1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地
确定出 被积函数及积分的上、下限 ．
2．若一平面图形是由 y＝f1(x)，y＝f2(x)及 x＝a，x＝b(a<b)所围成，并且在[a，b]上
f1(x)≤f2(x)，则该平面图形的面积 S＝
3．由 y＝x2，y＝14x2 及 x＝1 围成的图形的面积 S＝______.
解析：图形如图所示：
S＝1x2dx－114x2dx
0
0
＝134x2dx＝14x310 ＝14. 0
答案：14
探究一 求“不分割型”平面图形的面积 [典例 1] 计算由曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成图形的面积．
-1
-1
＝3x＋x2－13x33－1
＝3×3＋32－13×33－
－1×3＋－12－13×－13
＝9＋2－13＝332.
探究二 求“分割型”平面图形的面积 [典例 2] 求直线 y＝x，y＝2x，以及曲线 y＝x2 所围成的平面图形的面积． [解析] 解法一：作出 y＝x2，y＝x 及 y＝2x 的图形如图，
1．求直线 y＝2x 与抛物线 y＝x2－3 围成平面图形的面积． 解析：由yy＝ ＝2xx2－，3 消去 y，得 x2－2x－3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3，这是直线与抛物线交点的横坐标，如图，直线 y＝2x 与 抛物线 y＝x2－3 围成平面图形的面积是
S＝3 [2x－(x2－3)]dx＝3 (3＋2x－x2)dx
b[f2(x)－f1(x)]dx
a
.
二、曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系
a[f(x)－g(x)]dx
1．如图①，阴影部分的面积为 S＝－ag(x)dx＋af(x)dx＝
0
.
0
0
b[f(x)－g(x)]dx a[f(x)－c(x)]dx
2．如图②，阴影部分的面积为
S＝
0
＋
b
.所以，
＝2
1
22x 2 dx＝2
2×23x
3 2
20
＝136，
0
S2＝8[4－x－(－ 2x)]dx 2
＝(4x－12x2＋2
3
2 x
3 2
) 82
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
S＝abfxdx＝
－bf(x)dx a
；
图③中，当 a≤x≤c 时，f(x)<0，c≤x≤b 时，f(x)>0，因此面积 S＝b|f(x)|dx＝c[－f(x)]dx
a
a
＋bf(x)dx. c
2．求由两条曲线 f(x)和 g(x)，直线 x＝a，x＝b(a<b)所围成平面图形的面积 S.
b[f(x)－g(x)]dx
解法二：若选积分变量为 y，则由图知三个函数分别为 x＝ y，x＝y，x＝12y.
交点为(0,0)，(1,1)，(2,4)．
所以 S＝01y－12ydy＋14 y－12ydy
＝14y2 10
＋23y
3 2
－14y241
＝14＋23×4
3 2
－14×42－23＋14
＝14＋136－4－23＋14＝76.
2．求抛物线 y2＝2x 与直线 y＝4－x 围成的平面图形的面积． 解析：由方程组yy2＝＝42－x x 解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．
选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2， 由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
所以 S1＝2[ 2x－(－ 2x)]dx 0
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
解析：由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为cf(x)dx，x 轴下方阴影部分的面 b
积为－bf(x)dx，故 D 正确． a
答案：D
2．图中阴影部分的面积等于________．
解析：根据积分应用可知所求面积为13x2dx＝x3|10＝1. 0
答案：1
解方程组yy＝ ＝2xx2，，
得xy＝＝00，，
x＝2， y＝4，
解方程组yy＝ ＝xx， 2，
得xy＝＝00，，
x＝1， y＝1.
所以所求面积为 S＝1(2x－x)dx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝1xdx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝12x210 ＋x2－13x321 ＝76.
∴此平面图形的面积为76.