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§7-7-1 两个全同粒子波函数)()(222q V q V ++∇−∇h==)()()ˆ)()()ˆ22201110q q q H q q q H i i i φεφφεφ（（粒子1 在i 态，粒子2 在j 态，则体系能量和波函数为则体系能量和波函数为：：=Φ+=)()(),(2121q q q q E j i ji φφεε验证验证：：),(),(ˆ2121q q E q q HΦ=Φ),()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q HΦ+=)]()(ˆ)[()()]()(ˆ[22012110q q H q q q q Hj i j i φφφφ+=)()()()(2121q q q q j i j j i i φφεφφε+=)()()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q Hj i φφ+=左端)()()(21q q j i j i φφεε+=),(21q q E Φ=交换简并=Eε)],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（Φ())],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（ΦΦΦ设粒子间无互作用设粒子间无互作用，，单粒子H 0不显含时间不显含时间，∑N其对称化波函数是：：2 个Bose 子体系，其对称化波函数是2 个Bose 子体系，其对称化波函数是其对称化波函数是：：Nkφ∏归一化因子!n该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数元素可重复选取）（元素可重复选取个元素（从m 个不同元素中每次取n 个元素其反对称化波函数是：：体系，，其反对称化波函数是2 个Fermi 子体系每一项都是单粒子波函数乘积形式，行列式展开后，，每一项都是单粒子波函数乘积形式●行列式展开后2 个Fermi 子体系(,()(()(11i i q q q q φφ们分别可能处于单粒态、、，1φ2φ3φ1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成若全同粒子系统由费密子组成，，由于费密子系统的波函数是反对称函数是反对称函数，，如果有两个粒子的状态相同如果有两个粒子的状态相同，，则系统的波函数为零为零，，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态——泡利不相容原理泡利不相容原理。
第六章全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有一个粒子。
全同粒子的波函数特点
全同粒子是指具有完全相同量子态的一组粒子。
全同粒子的波函数具有以下特点：
1. 交换相干性
全同粒子的波函数具有交换相干性，即任意两个粒子交换后，波函数的幅度和相位不会发生改变。
这种特性也称为“交换不变性”。
交换相干性是全同粒子波函数最基本的特性之一，也是量子力学中对称性的体现之一。
2. 占据相同空间
全同粒子的波函数具有占据相同空间的特性。
在量子力学中，波函数是一种概率幅，描述了粒子的概率分布。
对于全同粒子，它们的波函数会占据相同的空间位置，即它们的位置概率分布是相同的。
3. 反对称性
全同粒子的波函数具有反对称性。
如果我们将全同粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数将发生符号反转。
具体来说，如果我们将两个粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数的符号将会发生改变。
这种特性也称为“反对称性”。
4. 球对称性
全同粒子的波函数具有球对称性。
在量子力学中，粒子的自旋和轨道运动是相互耦合的。
对于全同粒子，它们的自旋和轨道运动是相互独立的，因此它们的波函数可以具有球对称性。
具体来说，全同粒子的波函数可以表示为球谐函数的形式。
5. 唯一性
全同粒子的波函数具有唯一性，即对于一组全同粒子，它们的波函数是唯一的，不会因为不同的测量或不同的初始条件而发生改变。
这种唯一性也是量子力学中不可观察量的一个重要特性之一。
总之，全同粒子的波函数具有交换相干性、占据相同空间、反对称性、球对称性和唯一性等特点。
这些特性是量子力学中对称性和不可观察量的体现之一。
一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。
【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。
【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。
【答案】二、选择题7．__________。
【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。
【答案】9．（1）_____；（2）_____。
【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第 4 页，共 47 页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。
量子力学复习 一、选择1．能量为100ev 的自由电子的 De Broglie 波长是 （ A ） A.1.2 Å. B. 1.5 Å. C. 2.1 Å. D. 2.5 ÅV25.12≈λ Å 2.设粒子的波函数为()z y x ,,ψ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为(C) A()dxdydzz y x 2,,ψB()dx z y x 2,,ψC()()dx dydz z y x ⎰⎰2,,ψD()⎰⎰⎰2,,z y x dz dy dx ψ3．设()x 1ψ和()x 2ψ分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们的线性迭加态()()x c x c 2211ψψ+ 的几率分布为 （D ）4．粒子在一维无限深势阱()⎩⎨⎧≥≥∞<<=ax x ax x U ,000中运动，设粒子的状态由()axc x πψsin=描写，其归一化常数C 为 （ B ）A.a1. B. a 2. C.a 21. D.a4. 5．两个粒子的薛定谔方程是 （D ） A.()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i i ,,,,,,2,,212121212221ψψμψ∑=+∇=∂∂B. ()()()()t r r t r r U t r r t r rti i ,,,,,,2,,212121212221 ψψμψ∑=+∇=∂∂ C. ()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i ,,,,,,2,,212121212221ψψμψ∑=+∇-=∂∂ D. ()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i i ,,,,,,2,,212121212221 ψψμψ∑=+∇-=∂∂6. 几率流密度矢量的表达式为 (C) A ()**2ψψψψμ∇-∇=JB ()**2ψψψψμ∇-∇=i JC()ψψψψμ∇-∇=**2 i JD()ψψψψμ∇-∇=**2 J7．波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符Fˆ为厄密算符的定义是（ C ） A.⎰⎰=τϕφτφϕd F d F ˆˆ**B. ()⎰⎰=τϕφτφϕd F d F **ˆˆC.()⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ˆˆ**厄密算符的定义D.⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ***ˆˆ8 Fˆ和G ˆ是厄米算符，则 (D) A G Fˆˆ必为厄密算符. B F G G Fˆˆˆˆ-必为厄密算符. C ()F G G Fiˆˆˆˆ+必为厄密算符. D ()F G G Fi ˆˆˆˆ-必为厄密算符. [()⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ˆˆ**，将()F G G F i ˆˆˆˆ-作一个算符]9.设体系处于112110212321Y R Y R -=ψ状态, 则该体系的角动量的取值及相应几率分别为(A) A.2,1; B. ,1;C. 2,1;D 22 ,1N=2,l=1,m=0,110 设体系处于112110312321--=Y R Y R ψ 状态, 则该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为(A) A 43,41;,0 -B 43,41;,0 C 23,21;,0-- D 23,21;,0 - n=3,l=1,m=0 n=2,l=1,m=-111.设体系处于112110212321--=Y R Y R ψ 状态, 则该体系的角动量Z 分量的平均值为 （D ）A 41B 41- C 43 D 43- 12.对易关系[]y xp Lˆ,ˆ等于 （Ｃ）A zL i ˆ B z L i ˆ - C z p i ˆ D z p i ˆ -13．算符Fˆ 和G ˆ 的对易关系为[]k i G Fˆˆ,ˆ=,则Fˆ 、G ˆ的测不准关系是（C ） A.()()4ˆˆ222k GF ≥∆∆B. ()()4ˆˆ222k GF ≥∆⋅∆;C .()()4ˆˆ222k G F≥∆⋅∆; D.()()4ˆˆ222k GF≥∆∆14.已知[] i p xx =ˆ,ˆ， 则xˆ 和p ˆ的测不准关系是 (D) A.()()222ˆˆ ≥∆∆p xB. ()()2224ˆˆ ≥∆⋅∆p x ;C.()()222ˆˆ ≥∆⋅∆p x;D.()()4ˆˆ222≥∆⋅∆p x15.算符x L ˆ和y L ˆ的对易关系[]zy x L i L L ˆˆ,ˆ =， 则x L ˆ和yL ˆ的测不准关系 （Ａ）（A 里面的那个平均号要分开）16.幺正变换 （Ａ ）A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.既改变算符的本征值,也改变其本征矢. 17动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是()⎪⎭⎫ ⎝⎛'='x p i x p exp 21πψ,它在动量表象中的表示是 （A ） A()p p '-δ B.()p p '+δ;C.()p δ;D.()p 'δ18. 力学量算符xˆ对应于本征值为x ' 的本征函数在坐标表象中的表示是 (A) A()'x x -δ B ()'x x +δ C ()x δ D ()'x δ19．Stern-Gerlach 实验证实了 （D ） A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.原子的能级是分立的. D.电子具有自旋.20.Sˆ为自旋角动量算符,则[]y xS S ˆ,ˆ等于（ Ｄ）A. i 2.B. i .C. 0 .D.zS i ˆ - 21.σˆ为Pauli 算符，则[]z x σσˆ,ˆ等于 (D) Ay i σ - B y i σ C y i σ2 D y i σ2-22.一电子处于自旋态()()z z s b s a 2/12/1-+=χχχ中,则z s 的平均值为 (C)A 0 B()222b a - C ()()2222baba+-D二、填空题1．Compton 效应证实了 光具有粒子性。
曾量⼦⼒学题库（⽹⽤）（1）讲解⼀、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原⼦的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）3. （1）试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量⼦理论5. （1）简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。
问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某⼀⼒学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满⾜的条件11.（2）假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零，试解释是否存在某⼀激发态，该激发态在全空间范围内也都⼤于零。
12.（2）已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.（2）试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。
17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某⼀维体系，粒⼦的势能为222x µγ，其中µ为粒⼦质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
