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自由粒子的薛定谔方程

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自由薛定谔方程

自由薛定谔方程

自由薛定谔方程
自由薛定谔方程是描述量子力学中自由粒子运动的基本方程。

它是由
奥地利物理学家薛定谔在1925年提出的，是量子力学的重要基础之一。

自由薛定谔方程的形式为：
iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²ψ
其中，i是虚数单位，ℏ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，t是时间，∇²是拉普拉斯算子，ψ是波函数。

这个方程的意义是，波函数的时间变化率与波函数的空间二阶导数成
反比。

这个方程可以用来描述自由粒子在空间中的运动，即没有受到
任何外力的作用。

自由薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数是一个复数函数，它
描述了粒子在空间中的位置和运动状态。

波函数的模的平方表示粒子
在某个位置的概率密度，即在这个位置找到粒子的概率大小。

自由薛定谔方程的解可以用量子力学中的态叠加原理来表示。

即，一
个粒子的波函数可以表示为多个不同能量的波函数的叠加。

这个原理
可以用来解释量子力学中的干涉现象和波粒二象性。

自由薛定谔方程在量子力学中有着重要的应用。

它可以用来描述自由粒子在空间中的运动，也可以用来描述粒子在势场中的运动。

在量子力学中，势场可以用势能函数来描述，势能函数与波函数的关系可以用薛定谔方程来表示。

总之，自由薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了自由粒子在空间中的运动，是量子力学中的重要基础。

通过解自由薛定谔方程，我们可以了解粒子在空间中的运动状态，进而研究量子力学中的各种现象和应用。

【大学物理】第二讲 薛定谔方程

【大学物理】第二讲 薛定谔方程

§3.2 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
3-4薛定谔波动方程jm

3-4薛定谔波动方程jm


2m
p
2
E Ek Ep 经典力学：H p
2
V (r )
2m
V (r )
称为哈密顿函数
2m
15
6、本征方程
• 算符 F:
Fu u
常数 λ 为本征值，u为本征函数（对应的本征值为λ） • 定态薛定谔方程
H
[
2 2
（哈密顿算符的本征方程）
2

2
V
V ( r )
2
2m
E
p
2
V (r )
2m
一般粒子的薛定谔方程(波动方程）
i t
2
V
2
2m
(1)、反映了微观粒子的运动规律，一切微观粒 子的运动都可以求解薛定谔方程而得以解决；
(2)、正确与否由实验验证。 (3)、给定势能函数 V，通过求解薛定谔方程，
因为： 对自由粒子波函数 0 e
t i
i

对 t求导
Eψ
t
7
E 0 e

( p r Et )

i
E
i t
i
t
E i
4、动量算符
p x i x
p y i
i
y
i
p z i
i f(t) f(t) t [ u （ r) 2m 1
2
u （ r) V ( r ) （ r)] E u
2
11
i f(t) f(t) t

[ u （ r) 2m
E
1

2
薛定谔方程

薛定谔方程


定态特点：定态波函数几率密度ρ 定态特点：定态波函数几率密度ρ ＝ ψ 无关， 与t无关，几率分布不随时间而变，因此 无关 几率分布不随时间而变， 称为定态。 称为定态。 （见P45(a), (b), (c)) v − h 2∇ 2 v •用哈密顿算符 用哈密顿算符 ˆ = T + V (r ) = ˆ H + V (r ) 简化方程。 ，简化方程。 2m
2
v 2 ＝ϕ(r )
∂ ˆ ˆ ˆ Ψ (r ,t) = H Ψ (r ,t) ∆ 薛定谔方程： i h 薛定谔方程： ∂t
∆ 定态薛定谔方程或 不含时薛定谔方程： 不含时薛定谔方程：
v v ˆ ϕ (r ) = Eϕ (r ) H
ˆ 能量）本征方程； 定态薛定谔方程， 定态薛定谔方程，数学上称为 H（能量）本征方程； v ϕ(r) ，称为 H（能量）本征函数； ˆ 能量）本征函数；
v ψ (r , t ) = 1 v v v 3 d r ′G (r , t ; r ′, t ′)ψ (r ′, t ′) 3 ∫ (2πh ) (t ≥ t ′)
G(r,t; r´,t´)称为传播子 ´ ´ 称为传播子 以自由粒子的时间演化为例， 以自由粒子的时间演化为例，见P42,43
2.3.3 不含时间的 不含时间的Schrodinger 方程，定态 方程， 介绍定态Schrodinger 方程形式与定态波函数特点 介绍定态 定态条件：势能 （ ） 无关。 定态条件：势能V（r,t）=V(r)， 与t无关。 ， 无关 用分离变量法, φ(r)f(t)， 用分离变量法 令Ψ=φ(r)f(t)，得两个方程： φ(r)f(t) 得两个方程：
∂2 ∂2 ∂2 定义算符：∇ 2 = 2 + 2 + 2 定义算符： ∂x ∂y ∂z
自由粒子的薛定谔方程

自由粒子的薛定谔方程

自由粒子的薛定谔方程引言自由粒子是量子力学中的一个基本概念，指的是不受外力或势场作用的粒子。

自由粒子的行为可以通过薛定谔方程来描述。

本文将介绍自由粒子的薛定谔方程及其物理意义，以及一些与自由粒子相关的重要性质和应用。

自由粒子的薛定谔方程推导自由粒子的薛定谔方程可以通过一些推导过程得到。

我们先从薛定谔方程的一般形式出发：−ℏ22m∇2ψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t)其中，ℏ为约化普朗克常数，m为粒子质量，ψ(r,t)为波函数，V(r)为势能。

对于自由粒子而言，V(r)=0，即没有势能作用。

在这种情况下，薛定谔方程可以简化为：−ℏ22m∇2ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t)对上式进行分离变量，可以得到：∇2ψ(r,t)ψ(r,t)=−2mℏ2∂2∂t2左边是一个关于坐标的二阶偏微分算子，右边是一个关于时间的二阶偏微分算子。

由此可得：∇2ψ(r,t)=−k2ψ(r,t)其中，k=√2mEℏ2，E为粒子的能量。

自由粒子的波函数和能级根据上面得到的薛定谔方程，可以得到自由粒子的波函数形式为：ψ(r,t)=A e i(k⋅r−ωt)其中，A为归一化常数，k为波矢量，ω为角频率。

代入薛定谔方程中，可以得到：k2=ω2 c2其中，c为光速。

从上式可以看出，自由粒子的能量和波矢量之间存在一种关系，即能量与动量成正比。

这也是著名的德布罗意关系的一个特例。

对于自由粒子而言，由于没有势能作用，其能量可以连续取值。

即存在一个连续的能级谱。

自由粒子的动量算符动量是量子力学中的一个基本物理量，可以通过动量算符来描述。

对于自由粒子而言，其动量算符可以通过偏微分形式来表示：p̂=−iℏ∇动量算符的本征态称为动量本征态，记作|p⟩。

自由粒子的波函数可以通过动量本征态展开，即：ψ(r,t)=∫c(p)e i(p⋅r−ωt)|p⟩dp其中，c(p)为展开系数，dp为动量的微元。

自由粒子的传播子自由粒子在空间中的传播可以通过传播子来描述。

薛定谔方程最简单的形式

薛定谔方程最简单的形式

薛定谔方程最简单的形式引言薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，描述了量子系统的演化和行为。

它的最简单形式可以用来描述自由粒子的运动，本文将对薛定谔方程最简单的形式进行介绍。

薛定谔方程薛定谔方程是用来描述量子系统的演化的方程。

对于一个自由粒子，它的薛定谔方程可以写作:$$i \\hbar \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2}$$其中，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数，$\\psi$是波函数，m是粒子的质量，t是时间，x是粒子的位置。

波函数与概率密度波函数是薛定谔方程的解，它包含了系统的全部信息。

但是，波函数本身并不直接描述粒子的物理性质，而是通过概率密度来给出具体的可观测结果。

概率密度$|\\psi|^2$表示在空间中找到粒子的几率。

根据波函数的性质，其概率密度要满足归一化条件，即在整个空间内的积分等于1。

这意味着粒子一定存在于某个位置。

在最简单的薛定谔方程中，波函数是一个平面波，可以写为$\\psi(x,t) = Ae^{i(kx - \\omega t)}$。

其中，A是振幅，k是波数，$\\omega$是频率。

根据平面波的性质，概率密度$|\\psi|^2$是恒定不变的，并且在整个空间范围内都有非零概率。

波函数的演化薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。

对于自由粒子，它的薛定谔方程是线性的，意味着波函数的形式在时间演化中保持不变，只是振幅发生变化。

这也说明了自由粒子的能量是守恒的。

根据薛定谔方程，波函数的时间导数与空间二阶导数之间存在简单的线性关系。

由此可得，波函数的形式在不同位置上的变化是类似的，只是相位和振幅的变化不同。

自由粒子的波函数演化可以用平面波的形式简洁地表示。

根据平面波的性质，波函数在空间中传播，形成波动。

15(4)15-8 自由粒子薛定额方程,一维定态问题.ppt

15(4)15-8 自由粒子薛定额方程,一维定态问题.ppt


2a
0
E
p2 2m
0
能量本征方程：
(
x)
2m 2
E
U(
x)
(
x)
0
解方程，求出能量本征值谱 En, n 1,2,3,、
本征波函数集合n, n 1,2,3,。
无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成
(x,t)
C
n
n
(
x
)e
i
Ent
n
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
(x,0) 为给定的初始时刻的状态。
t
)
n
(
x)e
i
Ent
,
n
1,2,3,
通解可写成定态解叠加的形式
(x,t)
Cnn( x, t)
C
n
n
(
x
)e
i
En
t
n
n
(x,t)
Cn
n
(
x
)e
i
Ent
n
式中Cn称为展开系数。
后面证明，给定初始时刻的状态Ψ(x,0)， Cn 可按下式计算
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解，
几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就 是著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 也只能靠实验来检验。
薛定谔方程

薛定谔方程


6.薛定谔方程的地位：
相当于经典力学中的牛顿二定律。 薛定谔方程经受住了所有近代实验的验证。
7.对薛定谔方程的讨论 定域几率守恒和流方程
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程， 而在低能非相对论时，粒子没有产生、湮灭， 所以粒子数是守恒量。
对于单粒子而言，几率之总和恒定，即
2 3 d | (r , t ) | d r 0 dt
薛定谔方程
ˆ r, t i r, t H t
(1887-1961)
引入薛定谔方程的基本思想：首先假 定自由粒子的波动是平面波，则微分方程 的最基本的形式可以由平面波引入，再由 有势能存在的情况下作相应的修正得出薛 定谔方程。它的正确性是由其结果能够解 释已知的实验事实，并且能够推断出尚未 发现的实验现象来验证的。
2
4.薛定谔方程的特点： 1)在薛定谔方程中h保留了下来，说明其描述 的是量子体系的波动方程。 2)对时间的一阶微分方程，而经典的波动方 程为时间的二阶微分方程。 3)在时间微商前有一个虚因子。 4)是一个线性方程，其解满足态叠加原理。 5)自由粒子波函数必须是复数形式。
5.薛定谔方程的意义：
给出了质量为m ,在力场 U(r, t) 中运动的微观粒子的 波函数所满足的动力学方程，也就是微观体系的 基本运动方程。 在求解过程中，自然得到粒子能量E等力学量是量子化 的。
A sin(t kx) Aei (t kx)
取：
( x, t ) Ae
i ( kxt )
光子：E hv 2 h p k p k 波函数反应出光子的性质： i k x i t


一般情况：
i k p i t ˆ i E ˆ i p t
8.7.2 薛定谔方程

8.7.2 薛定谔方程

薛定谔方程
一、一维自由粒子薛定谔方程
由于微观粒子具有波粒二象性，因此对于微观粒子 的动力学问题，牛顿方程已不再适用，因此，必须另新 建一套处理微观粒子问题的方法。1926年，奥地利的物 理学家薛定谔在德布罗意波假说的基础上建立了微观粒 子的基本运动方程。
薛定谔方程既不能由经典的理论导出，也不能用 严格的逻辑推理来证明，它是薛定谔在旧的波动方程 的基础上改造而来，它的正确与否只能用实验来验证。
22
22m
Ψ 22Ψ xx22
E (x,
E
P
P
(
t)Ψ x)Ψ
ii ΨtΨt
Φ (t)[
2 2m
2 (x)
x2
E (x) (x)] P
(x)i
dΦ (t) dt
1 (x)
[
2 2m
2 (x)
x2
E (x) P
(x)]
1 Φ (t )
i
dΦ (t) dt
薛定谔方程
三、一维定态薛定谔方程
1 (x)
( E EP ) (x) 0
(x) 称为定态波函数
指数应是无量纲的数， 的单位是“焦尔秒”，
故 E 的单位只能是能量，实际上是粒子总能量 E
薛定谔方程
三、一维定态薛定谔方程
若势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数 iE t
分离变量: Ψ ( x , t ) ( x )Φ (t) ( x )e
p 2
2m x2 2m Ψ
(5)
p2
自由粒子非相对论条件下的能量： E Ek 2 m
（4）、（5）式比较：
2 2Ψ i Ψ
2m x2
t
一维自由粒子的含时薛定谔方程
12.5 薛定谔方程和能量本征方程

12.5 薛定谔方程和能量本征方程

nΒιβλιοθήκη n可以证明，展开系数

Cn

* n
(
x)
(
x,0)dx

综上所述，量子力学用哈密顿量来表达粒子 的能量，求解能量本征方程可以得到一系列能 量本征值和本征波函数。
在属于某一能量本征值的本征波函数所描述 的状态上测量粒子的能量，所得结果一定是该 能量本征值。
再给定粒子的初始波函数，就可以得到薛定 谔方程的解按定态解展开的形式。
t 这表明，哈密顿量Hˆ 决定了波函数 (x,t) 随时间 的演化。而在经典力学中，改变宏观粒子运动 状态的原因是作用在粒子上的力。
对于三维运动粒子
Hˆ


2 2m

2 x 2

2 y 2

2 z 2
U (x,
y, z,t)
i (x, y, z,t) Hˆ (x, y, z,t)
因此，在势能函数不显含时间的情况下，薛 定谔方程的求解问题可以通过求解能量本征方 程来解决。
(x,t) (x)T (t)
i
dT (t) (x)
dt


2 2m
d2 dx 2

U
(
x)

(
x)T

(t)
i T (t)
dT (t) dt


1 (x)

2 2m
d2 dx 2
U (x) (x)


E
常量 E 与 t 和 x 均无关。
t
在原子、分子和凝聚态物质中粒子的运动速
度远小于光速，相对论效应可以忽略，因此用 薛定谔方程可以很好地描述这些系统。
1932年诺贝 尔物理学奖
一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例（一）一维运动自由粒子的薛定谔方程波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程．将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：ψ-=∂ψ∂)/iE (t 即ψ=∂ψ∂E t i （16.3.1）ψ=∂ψ∂22)/ip (x 2ψ=ψ∂-2222p⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程．请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式❶．这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明．（二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程❶❷❷❷上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4）将此式代入（16.3.3）式得：222dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -=两边除以ψ=uf 得：222dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -=此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即❶ 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版.❶ 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版.❷ 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.（16.3.8） （16.3.9） E dt df f 1i = E dx u d u 1)m 2/(222=- （16.3.5）因此，一个偏微分方程（16.3.3）可分解成两个常微分方程（16.3.5）以求解．如〔附录16C 〕所示，（16.3.5）式的E 就是粒子的能量E ．上述两个常微分方程的解分别为：〔时间波函数f （t ）〕 /iEt Ce )t (f -= （16.3.6）〔空间波函数u （x ）〕 （16.3.7）将上式的待定常量C 合并到A 和B 中，便可得到下式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<函数和几率密度的定态波子一维运动自由粒)c (v从此式可知，特解ψ=uf 使得几率密度|ψ|2与时间t 无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态．ψ=uf 称为定态波函数，其中空间部分u （x ）可称空间波函数，时间部分f （t ）可称时间波函数．如（16.3.9）式所示，定态的几率密度|ψ|2决定于空间波函数u ，与时间波函数f 无关．（16.3.5）式中空间波函数u 满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<的定态薛定谔方程一维运动自由粒子)c (v （16.3.10） （16.3.7）式表明，空间波函数u （x ）的表式中有三个待定常量A 、B 、α，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定．下面就要介绍确定常量A 、B 、α的一个实际例子．（三）一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谔方程定态解（1）金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动．在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变．这就是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子．上述（16.3.3）至（16.3.10）诸式均可应用于此例子．上述待定常量A 、B 、α，可按此例的边界条件和归一化条件确定之．（2）边界条件确定常量B 与α上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0＜x ＜b ．在此范围内，设它的势能为零，即E p =0，E=E k ．在此范围外，它的势能必须达到无限大，即E p →∞，E →∞．所谓E p →∞，就是用势能条件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被限制在矩形无限深势阱中运动，如（图16.3a ）所示．按几率来说，在金属表面以外没有自由电子，就是说，在x≤0和x ≥b 的范围中，这些电子的几率密度|ψ|2=0．因此，在此范围中，波函数ψ=0，u=0．这就是边界条件，或称边值条件．/mE 2x cos B x sin A )x (u =+=ααα222/iEt |u |x cos B x sin A e )x cos B x sin A ()t (f )x (u )t ,x (=+=ψ+===ψ-αααα ()0Eu /m 2dx u d 222=+（16.3.16） （16.3.17） 将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B 与α的数值，计算如下：在x=0处：u （0）=Asin0°+Bcos0°=B=0 （16.3.11）∴u （x ）=Asin αx （16.3.12）在x=b 处：u （b ）=Asin αb=0，αb=n π即α=n π/b ， n=1,2,3,…… （16.3.13）∴ψ（x,t ）=Asin （n πx/b ） /iEt e - （16.3.14）在（16.3.13）式中，u （b ）=0不选用A=0的答案．这因为A=0，则u （x ）=0，|ψ|2=0．这是x 等于任何数值，都使|ψ|2=0的不合理答案．在（16.3.13）式，不选用n=0的答案．因为n=0则α=0、u （x ）=0、|ψ|2=0，这也是处处都没有电子的不合理答案．在（16.3.13）式，如果选用n=－1,－2,－3，……所得ψ值，与选用n=1,2,3,……求得的ψ值，绝对值相等、正负号相反．因此，在计算|ψ|2时，不必要保留n 的负值．（3）归一化条件确定常量A将波函数表式（16.3.14）代入归一化条件式（16.2.11），按上述一维情况进行积分，并考虑到自由电子只在0＜x ＜b 范围内运动，可得结论如下：1dx x sin A dx dx 2b 0 2b 0 2 ==ψ=ψ⎰⎰⎰∞∞-α即()()[]=-=-=⎰b 022b0 2x 2sin )4A (2b A dx x 2cos 12A 1ααα()[]2b A )b x n 2sin(n 4b A 2b A 2b 0 22=ππ-=． b /2A 2=∴， b /2A = （16.3.15）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<ψ的定态波函数自由粒子中一维无限深矩形势阱)c (v ,（四）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的几率分布从（16.3.17）式可得上述自由粒子的几率密度|ψ|2的表式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的几率密度自由粒子中一维矩形深势阱)c (v , （16.3.18）上述空间波函数u 和几率密度|ψ|2的图线，如（图16.3b ）所示．自由粒子的运动范围限制在0＜x ＜b ，因此（16.3.18）式的角度αx=n πx/b 的变化范围为0＜αx ＜n π．当量子数n=1时，u 1（x ）=)b /x sin(b /2π；,3,2,1n ,b x 0),b /x n sin(b /2)x (u ,e )b /x n sin(b /2)t ,x (/iEt =<<π=π=ψ- b x 0 ,,3,2,1n )b /x n sin()b /2(u 222<<=π==ψ21ψ=(2/b)sin 2(πx/b)．如（图16.3b ）所示，曲线u 1和21ψ的最高点都在πx/b=π/2，即x=b/2处．这就是说，当n=1时，在势阱中x=b/2处，粒子的几率密度最大．这与经典理论所说自由粒子应是均匀分布的结论不同．经典理论不能说明微观粒子的情况．当n=2时， )b /x 2(sin )b /2(),b /x 2sin(b /2)x (u 2222π=ψπ=．角度的变化范围是0＜αx ＜2π．曲线u 2的最高点在2πx/b=π/2，即x=b/4处．曲线u 2的最低点在2πx/b=3π/2，即x=3b/4处．曲线u 2还有一个零点在2πx/b=π，即x=b/2处，如图所示．当n=2时，几率密度22ψ的曲线应有两个最高点，在x=b/4和x=3b/4处，有一个零点在x=b/2处．当n=3和n=4时的曲线图，由同学们在习题中计算分析．（图16.3b ）所示曲线形状，与两端固定的弦线中，形成驻波的形状相似．虽然粒子的物质波与弦线中机械波的驻波，在本质上是不同的现象．但是人们仍然喜欢引用驻波中的熟悉名词描写微观粒子的几率分布，把2ψ=0的位置叫做波节或节点，把|ψ|2的最大位置叫做波腹或腹点．（五）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的能级从（16.3.7）与（16.3.13）式可得到能量E 的表式： ⎢⎢⎢⎣⎡<<n E )c (的能级自由粒子中一维矩形深势阱v ,E n 是能量E 的本征值．粒子的能量E 只能具有这一系列分立的数值E n ，也就是说，能量E 是量子化的．上述的n 值相当于玻尔理论中的量子数．虽然能级E n 和量子数n 都是玻尔先提出的，但他只作为一种假设提出．而在量子力学中，从薛定谔方程解出波函数ψ的过程，很自然地得出E n 和n ，不必求助于人为的假设．最低的能级E 1是为基态能级，相当于n=1的E 1值．其他各级能量E n =n 2E 1，如（图16.3b ）所示．粒子的能量不能小于E 1．但经典理论原以为，粒子的最小能量为零，所以最小能量E 1也被称为零点能．〔例题16.3A 〕已知原子核的线度为b=10－14米的数量级，质子的静质量为m=1.67×10－27千克．假设质子在原子核内作线性自由运动．求：（1）此质子的能量E 和速率v ．（2）它的动量p 和物质波波长λ．（3）它的总能ε和频率ν．（4）它的空间波函数u(x)和几率密度|ψ|2．〔解〕（1）把此质子看做是在线度为b 的无限深矩形势阱中，作线性自由运动．应用（16.3.20）式可求得它的能量E （即动能E k ）：E=n 2（h 2/8mb 2）=n 2×6.632×10－68/8×1.67×10－27×10－28= =n 2×3.29×10－13焦． E=E k =m v 2/2， v 2=2E/m=2n 2×3.29×10－13/1.67×10－27=n 2×3.94×1014，v =n ×1.98×107米/秒．当v <<c 时，可应用上述计算和下面的计算．（2）p=m v =1.67×10－27×n ×1.98×107=n ×3.31×10－20千克·米/秒．λ=h/p=6.63×10－34/n ×3.31×10－20=(1/n)×2.00×10－14米．（3）ε=E k +mc 2=n 2×3.29×10－13+1.67×10－27×9×1016= =n 2×3.29×10－13＋1.50×10－10=1.50×10－10焦．ν=ε/h=1.50×10－10/6.63×10－34=2.26×1023赫，或ν=c 2/v λ=9×1016/n ×1.98×107×(1/n)×2×10－14=2.27×1023赫． （4）按（16.3.17）式可求得此质子的空间波函数u(x)和几率密度|ψ|2的表式，其图解如（图16.3b ）所示． u(x)=)b /x n sin(b /2π=1.41×107sin （n πx ×1014）米－1/2.|ψ|2=|u|2=2×1014sin 2（n πx ×1014）米－1．〔说明〕请注意德布罗意波长λ=(1/n)×2b ，即势阱宽度b=n （λ/2）．还请注意，本题讨论自由粒子的一维运动，它的|ψ|2与|u|2的单位决定于b 的单位．。

薛定谔方程


i En t
0 xa
n 1,2,3
三. 结果讨论 1. 能量量子化(习题22-3. 22-4)
n 1,2,3
边界条件 d 2 x 2m n 2 E x 0 A sin ka 0 k n 2 a dx
2 2 n 2mE 2 kn 2 2 a
A 0
0 0 B 0
n x A sin k n x A sin x a
V
n 1,2,3
2
(4) 规一化条件定A
x
d 1
x
a 0
2
dx 1
2

a
0
n A sin xdx 1 a
2
a 2 A 1 A 2 a
三. 定态基本特征 1.稳定态
(1)势场(能)不随时间变化 V V x
(2)概率不随时间变化
r , t r e
2 2 i Et
r e
i Et

*
i Et 2 r e r
2 2 kn En 2m 2ma 2
2mE k 2 n 2 2 2
2
当 n 取不同值时， En E1 ,4E1 ,9E1 ,16E1 一维无限深势阱中，粒子的能量是量子化的
(1) 基态与激发态 (2) 能级间隔
9
E1 0
E E n 1 E n
第二十二章
薛定谔方程
第一节
一.方程形式 1. 波函数
自由粒子的薛定谔方程
x, t 0 e
2
i Et px
方程
2. 证明

16-2 薛定谔方程


将其对空间任意一个体积V积分， 将其对空间任意一个体积 积分，得 积分 ∂ρ ∫∫∫ ∂t dV + ∫∫∫ (∇ ⋅ j )dV = 0 V V ∂ ∫∫∫ ρdV + ∫∫ j ⋅ dS = 0 ∂t V S
∂ ∫∫∫ ρdV = − ∫∫ j ⋅ dS ∂t V S 概率流密度r →∝ 时来自∫∫ j ⋅ dS = 0
力 学 量 算 符 统称 位矢算符 动量算符 动能算符 哈密顿算符
含动、势能
称为 的 本征值 称为 的 本征函数 所描述的状态称为 本征态 力学量的可能值是它的本征值 力学量的平均值 平均值由下述积分求出 平均值
五、概率守恒和概率流密度矢量
定域是指粒子出现在一定的空间区域。 定域是指粒子出现在一定的空间区域。 那么在定域内粒子出现的概率将如何随时间变化呢？ 那么在定域内粒子出现的概率将如何随时间变化呢？ 时刻、 设粒子的波函数为 ψ ( r , t )，则在t 时刻、 r 附 近的单位体积内，粒子出现的概率为： 近的单位体积内，粒子出现的概率为：
一般的薛定谔方程
ℏ ∂Ψ 2 − ∇ Ψ + U ( x , y , z , t )ψ = i ℏ 2m ∂t
2
或称含时薛定谔方程 或称含时薛定谔方程
二、定态薛定谔方程
当势能U不显含时间而只是坐标的函数时，而与时间无关， 于是可以把波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )ϕ ( t ) = ψ 0e
如果粒子在三维空间中运动，则上式推广为
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂Ψ ℏ 2 ∂ 2Ψ − + + + U ( x , y , z , t )ψ = i ℏ 2 2 2 2m ∂x ∂y ∂z ∂t

张丹海《简明大学物理》11-7 薛定谔方程


得
f (t ) 2 i (r ) f (t )( V ) (r ) t 2m
2
两边同除以 Ψ ( r , t ) Ψ ( r ) f ( t ) 得
i f (t ) f (t ) t 1 2 (r ) V ( r ) 2m
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11-7 薛定谔方程
第十一章 量子物理基础
扫描遂穿显微镜 ( STM )原理图
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11-7 薛定谔方程
第十一章 量子物理基础
扫描隧道显微镜中的原子形象
量子围栏照片
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0 xa
2
d (x) dx
2m E
2
E ( x )
2m
令 k
d
2
dx
2
k 0
2
上式的通解为
( x ) A sin kx B cos kx
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11-7 薛定谔方程
第十一章 量子物理基础
( x ) A sin kx B cos kx
粒子的能量虽不足以超越 势垒 , 但在势垒中似乎有一个 隧道, 入 能使少量粒子穿过而进 的区域 , 所以人
(x)

1

2

3
x a
o
a
x
们形象地称之为隧道效应。
隧道效应的本质：来源于微观粒子的波粒二相。
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11-7 薛定谔方程
应用
第十一章 量子物理基础
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面原子排列的状况。1986年 宾尼希又研制了原子力显微镜。

原子物理学——薛定谔方程

§3.4 薛定谔方程一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程 自由粒子的波函数:)(0)(0Et zp yp xp iEt p r i z y x ee-++-⋅==ψψψ (1)对x 、y 、z 分别求二次偏导：ψψx p ix =∂∂ ψψψ2222 x xp x p i x -=∂∂=∂∂ ψψy p iy=∂∂ ψψψ2222 y yp y p i y -=∂∂=∂∂ ψψz p iz =∂∂ ψψψ2222z zp x p i z -=∂∂=∂∂ 三者相加：ψψψψψ222222222222)(1p p p p z y x z y x -=++-=∂∂+∂∂+∂∂ 拉普拉斯算符：2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇ψψ222p -=∇ (2)对t 求一次偏导：ψψE i t -=∂∂ ψψE ti =∂∂ (3)自由粒子，m p m E 22122==υ ψψm p E 22=(4) 由(3)(4)式: ψψmp t i 22=∂∂ (5) (2)式代入(5)得:ψψ222∇-=∂∂mt i ――自由粒子的薛定谔方程。

(6) 2．一般粒子的薛定谔方程一般粒子常受到力场的约束，用),(t r V表示力场，则粒子在力场中受到的力为：),(t r V F -∇=，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为),t r（ψ，假设),t r（ψ仍满足方程：ψψE t i =∂∂ ψψ222p -=∇ 但此时 V mp E +=22 (7)即一个质量为m 动量为p ,在势场V 中运动的非相对论粒子的能量:动能(mp 22)+势能(V ). 则有：ψψψV mt i +∇-=∂∂222 (8)――处在以势能V 表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。

如果已知V 和微观粒子的初始条件0ψ，原则上，可以求出粒子在任何时刻t 的状态ψ。

可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。

薛定谔方程

第二章dinger oSchr 方程 §2.1dinger oSchr 方程dinger oSchr 方程是非相对论量子力学的基本方程、是公设，正确性只能由它导出结论和实验是否符合来检验。

下面只是去理解它。

已知无外场自由粒子波函数为()(),i p r Et r t Ceψ⋅-=由于22p E m=，这个(),r t ψ 表达式显然满足下面形式的波动方程()()2ˆ,,2r t p i r t t m ψψ∂=∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr 方程。

用一种简明的公设性程式——“一次量子化”方法直接“得到”这个方程：将非相对论经典物理学关于自由粒子能量等式22p E m=，按以下对应关系替换为量子算符（2.1a ） 将得到的算符方程作用到系统状态波函数(),r t ψ上即可。

若有外场()V r ，系统总能量为()22p E V r m=+。

采用“一次量子化”程式：（2.1b ） 将所得算符方程作用到波函数(),r t ψ上，就得到对应的量子系统的非相对论动力学方程━dinger oSchr 方程：(2.2)这里()()()()ˆˆ,,V r r t V r r t ψψ= ，通常记()()22ˆ22p V r V r H m m+=-∆+= ，称为此量子系统的哈密顿量算符。

这里指出四点：第一，全面写开，非相对论性量子系统的dinger oSchr 方程为(2.3) 其中()(),0r f r ψ=为给定的初始条件，根据需要再配以适当边界条件，组成一个完整的非相对论量子力学问题。

第二，“一次量子化”程式只是一种理解，不能当作严肃的逻辑论证。

虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是个独立的公设1，共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。

第三，对复杂经典系统，比如势V 中还含有动量p的情况，一次量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达式。

它们之间差别仅在于其中ˆr和ˆp 的排列顺序不同。

自由粒子的薛定谔方程

自由粒子的薛定谔方程
自由粒子是指一个在不受力的作用下自由运动的粒子，其运动规
律由量子力学中的薛定谔方程描述。

在经典物理学中，自由粒子的运动是由牛顿第二定律 F=ma 描述的，其中 F 表示粒子受到的力，m 表示粒子的质量，a 表示粒子的加速度。

在量子力学中，自由粒子的运动是由薛定谔方程描述的，其与
经典物理学的区别在于，它将粒子的波动性考虑进去，并且给出了波
函数描述粒子运动的方式。

薛定谔方程可以写成如下的形式：
iℏ∂ψ/∂t = Hψ
其中，i 是虚数单位，ℏ是普朗克常数除以2π，ψ 是波函数，H 是系统的哈密顿算符。

对于自由粒子，哈密顿算符可以写成：
H = p²/2m
其中，p 表示粒子的动量， m 表示粒子的质量。

将 H 带入薛定
谔方程中，我们可以得到：
iℏ∂ψ/∂t = (p²/2m)ψ
将波函数假设为平面波的形式：
ψ = Aexp(ipx/ℏ - iEt/ℏ)
其中，A 是归一化系数，p 表示动量， E 表示能量，x 表示位置。

将平面波的形式带入薛定谔方程，我们可以得到：
E = p²/2m
这是自由粒子的能量-动量关系。

从中可以看出，自由粒子的能量
与动量成正比，并且动量越大，能量也越大。

薛定谔方程为我们揭示了自由粒子的波动性，而波函数则是描述
自由粒子运动规律的重要工具。

学习和理解薛定谔方程对于理解量子
力学和解决实际问题非常重要。

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第二章 波函数和薛定谔方 程
§2.1
波函数的统计解释
由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种 统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子 波）用一个物理量（Ψ）来描述，称为波函数。
1.波函数
用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一 个函数，它是位置 ( x, y, z) 和时间（t）的复值函 数（复数）表示为 (r , t ) 或 ( x, y, z, t ) 。
状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归 一化的波函数,（ c ，C为常数）通常需 要把波函数归一化（利用波函数的归一化条 件）。

| c |
2
d 1 | c |
2
1

| |
2
d
量子力学基本假设告诉我们
归一化常数C的解不确定，可以是正负实数， 也可是复数 | ei |2 ei ei 1 | c |2 | cei |2 δ为常数，可取任意常实数值
求：①在球壳（r , r dr ）中找到粒子的几率 ②在（ , )方向的立体角dΩ 中找到粒子的几率 解：
d r dr sin d d
2
[
2
0 0



| (r , , ) |2 sin d d ]r 2 dr
[ | (r , , ) |2 r 2 dr ]d
引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一
2.量子力学基本假设
↓ 波函数假设：
微观体系的状态总可以用一个波函数 (r , t )
来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有 性质，且 ( r ) 与 c (r ) 描写同一量子状态。

3.波函数的性质和特点
微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。 电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现 屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密） →电子投射的数目多→电子投射几率大 取的面积大→里的电子数目多→几率大
▲为什么用 | |2描述波函数而不用 ？
因为Ψ 是复数，有物理意义的是
| | 2 ，而不是Ψ 。
经典物理： 一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅 仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。 量子力学： 2 所以在量子力学中，用 | | 来描述波函数的物理意义。 量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即 不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值 的平方 | |2 ，所以Ψ 也叫几率振幅，或几率幅。
a

)
1 2
1 i 2 x 2 t a 1 ( x, t ) ( ) 2 e 2 2
即归一化的波函数为
②
a a2 x2 ( x, t ) | ( x, t ) | e
波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物 理量。
波恩是著名的理论物理学家， 量子力学的奠基人之一。 从1923年开始，他致力于发展量子 理论，年轻的海森伯当时是他的助 教和合作者，1925年海森伯天才 地提出其“关于运动学和力学关系 的量子理论”，波恩当即看到海森 伯理论的表达形式与矩阵代数相一 致，随后他和海森伯、约旦合作发 表了长篇论文，以严整的数学形式 全面系统的阐明了海森伯的理论。
0
d sin d d
⑵波函数的归一化
2 2 | c | 量子力学第一基本假设告诉我们， 与 | | 描写 同一微观状态
说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布 如空间R与R点的相对概率：
2 2 | c (r1 ) | | (r1 ) | 2 2 | c (r2 ) | | (r2 ) |
为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。
不讨论相因子（δ=0），即归一化的波函数 不会有相因子的不确定性。
例一
为已知常数，A为任意常数。
求：①归一化的波函数
已知一维粒子波函数为 ( x, t ) Ae
1 i 2 x2 t 2 2
α （正数），
②粒子坐标的几率密度分布
③粒子在何处出现的几率最大？
解： ①
*
, 1
2

d | A |

e
1 i 2 x2 t 2 2
e
1 i 2 x2 t 2 2
dx 1
a2 x2
2

a x
2 2
| A |
| A |
2

e

dx | A | 2 e
2 0

dx
a
1
A(
因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点
德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即： 波函数的一个重要性质。
⑴玻恩-波函数的几率波解释： 空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的 2 小体积元d dxdydz 即 | (r ) | d 表示在 r 点 附近 d小体积元内找到粒子的几率。
* d 1

满足上式的波函数 （r , t )
为方便引入符号
→ 归一化的波函数
, *d

* 归一化条件： d 1
, 1或 | 1
量子力学基本假设告诉我们
与 c 描写同一量子状态，即描写同一量子
x A cபைடு நூலகம்s t 与 x' 2 A cos t 不同态
这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍
则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。
实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现， 在整个空间出现的几率为1 数学上表示为：
2 （r , t ) | d 1 波函数的归一化条件 |
练习1:
设粒子波函数为，求在范围内发现粒 子的几率？
解： | |2 d x x dx, y y dy, z z dz 范围内的几率 2 则 ( dydz | | ) dx y, z 可为任意范围， →为
x ~ x dx
内的几率
练习2:
设在球坐标中，粒子波函数为 (r , , )