波函数
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量子力学中的波函数解析
量子力学中的波函数解析量子力学是一门研究微观世界行为的科学，其基础是波函数，它能够描述微观粒子的性质和运动。
波函数解析是解方程求解波函数的过程，本文将简要介绍量子力学中的波函数解析方法和其在物理学研究中的应用。
一、波函数的定义与性质在量子力学中，波函数（Ψ）是描述微观粒子状态的数学函数。
它是一个复数函数，可用于计算粒子位置、能量以及其他物理量的概率分布。
波函数的物理意义由其模的平方给出，即|Ψ|^2代表粒子在空间中的概率分布密度。
二、波函数解析的数学方法1. 独立粒子体系的波函数解析独立粒子体系是指粒子间不存在相互作用的情况，这时波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程可以用于描述单个微观粒子的行为，并由以下形式给出：ĤΨ = EΨ其中Ĥ是哈密顿算符，E是粒子的能量。
对于简单系统，如自由粒子或受限粒子，可以将波函数分解为一个平面波的线性组合，进一步简化求解过程。
2. 受限系统的波函数解析对于受限系统，波函数解析的过程相对复杂。
例如，对于一维势阱中的粒子，需要边界条件和势能函数来求解波函数。
该问题的解析解可以通过求解边界值问题和应用适当的边界条件来得到。
三、波函数解析在物理学研究中的应用波函数解析在物理学研究中具有广泛的应用，以下介绍几个重要的应用领域。
1. 量子力学中的波函数叠加原理根据波函数叠加原理，两个或多个波函数可以相互叠加形成新的波函数。
叠加后的波函数描述了多粒子系统的相互作用和态叠加的情况。
这一原理在解析解中起到了重要的作用。
2. 基态和激发态的分析波函数解析可以用于分析系统的基态和激发态。
通过求解波函数，可以得到系统能量的本征值和本征态，从而确定基态和激发态的性质。
3. 波函数在相互作用系统中的应用对于相互作用系统，波函数解析可以提供系统能量和粒子位置之间的关系，从而探索系统中粒子间的相互作用情况。
这对于研究分子物理学、凝聚态物理学以及量子场论等领域非常重要。
结语波函数解析是量子力学中的重要概念，其通过数学方法求解薛定谔方程，描述了微观粒子的行为以及物理量的概率分布。
波函数知识点
波函数知识点波函数是量子力学中至关重要的概念之一。
它描述了一个量子系统的状态，并提供了有关该系统的各种物理量的概率分布信息。
本文将介绍波函数的定义、性质和意义，以及在量子力学研究和应用中的重要性。
一、波函数的定义与表示波函数可以用数学形式表示为Ψ(x)，其中x表示量子系统的位置，Ψ表示该位置上的波函数振幅。
通常，波函数是关于位置的复数函数。
在三维空间中，波函数则可表示为Ψ(x, y, z)。
二、波函数的性质1. 归一化性：波函数必须满足归一化性条件，即在整个空间范围内积分的结果为1。
这反映了量子系统处于某一状态的概率为1。
2. 可域性：波函数在空间的各点均有定义，且连续可微，除非遇到特殊情况（如量子力学势垒）。
3. 可观测量与算符：波函数通过算符与可观测量相联系。
常见的可观测量包括位置、动量、自旋等。
波函数经由展开，可以用基态、激发态等来表示这些可观测量。
4. 波函数的变化规律：根据薛定谔方程，波函数随时间的演化受到哈密顿算符的影响。
这意味着波函数可以随时间进行量子力学演化，从而揭示出量子系统的动力学特性。
三、波函数的意义波函数描述了量子系统的状态，通过对波函数的解析可以得到很多关于系统性质的信息。
具体包括：1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方|Ψ(x)|^2表示了粒子在不同位置上出现的可能性。
这种概率分布的解析有助于对量子粒子的位置进行预测。
2. 波函数的叠加性：波函数可以通过线性组合实现叠加。
这就意味着不同状态的波函数可以相互叠加，并形成新的波函数。
这种叠加的结果反映了量子特性中的干涉和叠加效应。
3. 能量本征值与波函数：薛定谔方程的解析求解可以得到波函数的能量本征值和对应的态函数。
通过对能量本征值的研究，可以了解量子系统的能级结构以及能量转移和转换的规律。
4. 态函数和观测量：基于波函数和算符之间的关系，可以用态函数来求解观测量的期望值。
这些期望值与实验结果相比较，可以验证波函数模型的有效性。
波函数的几种不同的形式
C、若 t 一定， E k 、 E p 随 x 周期分布。
D、能量以速度 u 传播。
二、波的能流（描述波的能量传播的物理量）：
1)能流 — 单位时间内垂直通过某一截面的能量。
设波速为u ，在 时t 间内通过垂直于波速截面
E u t S
的Su能量:
S
ε为截面所在位置的能量密度。
能流为：
ut
P E u S uS 2 A2 sin2[(t x )]
cos(t
20
2
r2 )
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
y1( p, ty2 ( p, t )
A2
cos(t
20
2
r2 )
由叠加原理P 点合振动：
y y1 y2 Acos(t )
A A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20
干涉减弱
r2 r1
(2n 1)
2
n 0,1,2,3,...
[例1]在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方
向,同频率(ν=100Hz )的谐振动,振幅均为A=0.05m,点S1 为波峰时,点S2恰为波谷,波速u = 200m / s 。
求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.
y2
Acos[2 (t
20
x)]
因干涉而静止的点的条件为:
[2 (t x 20 ) ] 2 (t x ) (2n 1)
n 0,1,2,
化简上式,得:
x n 10
2
将 u 代2入m,可得:
x n 10(m)
所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
x 1,2,3,,17,18,19m
波函数
自由粒子能量 E 和动量 p Nhomakorabea y A cos( k r t ) ~ E E0 e i ( k r t ) ,
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) 0e
i ( Et pr )
说明：用波函数描述粒子的运动状态是量子力学 的基本假设之一。
（1）概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的 概率. 2 Ψ * 正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
Ψ dV ΨΨ dV
（2）物质波又称为概率波
（3）玻恩解释是量子力学的基本原理
三、波函数的性质 1、波函数的标准化条件：单值、有限、连续 2、 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率 为
• 不确定度关系的本质就是粒子性与波动性的辩证统一。 对自然过程的理解，应是决定论与概率论的辩证统一。
一、 波函数及其物理意义
1）经典的波与波函数 机械波
电磁波
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
§2.2.1波函数及其物理意义
一、单色光子的波函数 二、自由粒子的波函数 三、波函数的物理意义 四、波函数的性质
经典理论和量子理论处理问题的观念不同。
• 经典物理学的“精确性”是建立在“决定论”的基础 之上的，一旦初始条件边界条件确定，过程的结果就 是唯一的。 • 量子力学的“精确性”是建立在“概率论”的基础之 上的这与经典物理对精确性的理解具有本质的不同。
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
经典波为实函数
y ( x, t ) Re[ Ae
x i 2 π (t )
波函数各个字母
波函数各个字母
波函数是量子力学中的一个概念，代表了一种物理系统的量子态，并用数学公式来描述这种态的性质。
其具体含义及各个字母的意义如下：
ψ（psi）代表波函数本身，是描述量子态的数学表达式。
x代表位置坐标，即波函数的自变量，用以描述量子态在不同位置上的性质。
t代表时间，即波函数随时间的变化情况，用于描述量子态随时间的演化。
h代表普朗克常数，是量子力学中最重要的物理常数之一，也被用于描述粒子的量子性质。
m代表粒子的质量，是波函数能够描述特定粒子的原因之一。
E代表粒子的总能量，包含了该粒子的动能、势能以及其他可能的内部能量。
i代表虚数单位，用于将波函数表示为复数形式。
∫代表积分符号，用于对波函数在不同位置上的取值进行求和处理。
波函数是量子力学的基本概念之一，对于理解量子力学的运作原
理非常重要。
通过对波函数的研究，我们能够深入了解量子态的性质
及其对物理系统的影响，为我们研究和设计新型量子计算机、加密技术以及精密测量技术等提供了重要的理论基础。
波函数
波函数
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 (r,t) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性， 就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）
玻恩指出：德布罗意波或
波函数 (r,t)不代表实际
物理量的波动，而是描述 粒子在空间的概率分布的 概率波。
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
决于波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
某粒子的 波函数为
归一化波函数
概率密度
令
求
得
概率密度最大的位置
得到归一化波函数：
令
求极大值的 x 坐标
积分得：
解得 另外两个解
x0
1
因概率密度
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
处
最大
处题设
概率密度
练习27 波函数、计算题2
解：
① 由波函数的归一化条件可得：
A2 x 2e 2xdx 1
0
用部分积分法，可得：
A2 x 2e 2 xdx
2
A e 2 x
A2
1
0
4 30 43所以 NhomakorabeaA
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 (r,t) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性， 就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）
玻恩指出：德布罗意波或
波函数 (r,t)不代表实际
物理量的波动，而是描述 粒子在空间的概率分布的 概率波。
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
决于波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
某粒子的 波函数为
归一化波函数
概率密度
令
求
得
概率密度最大的位置
得到归一化波函数：
令
求极大值的 x 坐标
积分得：
解得 另外两个解
x0
1
因概率密度
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
处
最大
处题设
概率密度
练习27 波函数、计算题2
解：
① 由波函数的归一化条件可得：
A2 x 2e 2xdx 1
0
用部分积分法，可得：
A2 x 2e 2 xdx
2
A e 2 x
A2
1
0
4 30 43所以 NhomakorabeaA
波函数
波函数波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。
一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。
波函数ψ因此就称为概率幅。
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。
由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。
这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26）相应的概率分布为（1.27）波函数的数学表达[1]量子力学假设一：对于一个微观体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。
Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。
（Ψ）Ψdτ为时刻t及在体积元dτ内出现的概率。
Ψ是归一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是对坐标的全部变化区域积分。
（注：（Ψ）指Ψ的共厄复数）[2]量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性算符对应，算符按以下规律构成：（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘。
（2）与q相关联的动量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分，以后不特别说明都指偏微分)（3）对任一力学量先用经典方法写成q,p,t的函数A=A(q,p,t)则对应的算符为：=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)则：能量算符为：=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△为拉普拉斯算符)△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐标)△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐标)角动量算符：{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy){L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz){L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2[3]量子力学假设三：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数ψ后，等于一常数a乘以ψ，即ψ=aψ则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a。
薛定谔方程中的波函数
薛定谔方程中的波函数薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了量子体系的演化规律。
量子力学中最基本的物理量是波函数，它可以用来描述量子体系的各种性质和行为。
在薛定谔方程中，波函数是一个核心的概念，本文将从波函数的定义、性质、演化规律以及应用等几个方面对其进行系统的阐述和说明。
一、波函数的定义和基本性质波函数是量子力学中最基本的概念之一，它用来描述量子体系的状态随时间的演化规律。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它是一个复数函数，其物理意义是描述一个粒子在每一时刻所处状态的复振幅。
波函数在空间中的取值，可以用来预测量子体系的各种性质，如位置、动量、能量等。
波函数的基本性质包括归一化、线性叠加和幅角不变性等。
其中，归一化是指波函数必须满足面积归一化条件，即在整个空间中的概率密度值的积分等于1；线性叠加是指若存在两个波函数Ψ1和Ψ2，则它们的线性组合aΨ1+bΨ2也是一个波函数；幅角不变性是指波函数的幅角在空间变换下保持不变。
二、薛定谔方程的基本形式和演化规律薛定谔方程描述了量子体系随时间演化的规律。
它的基本形式是：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ其中，H是一个厄米算符，描述了量子体系的哈密顿量；ℏ是普朗克常量除以2π，i是虚数单位。
薛定谔方程中的Ψ是波函数，通过解该方程可以预测量子体系的演化规律和各种性质。
薛定谔方程演化规律的本质是波函数随时间的演化。
根据波函数的定义和基本性质可以证明，在薛定谔方程下，波函数是线性演化的，即任何两个波函数的线性组合仍然是一个波函数；波函数的演化是幅角不变的，即所描述的量子态的物理性质仅仅由波函数的幅值和相位角决定；波函数的演化是量子态最小扰动原理的体现，即量子系统的演化过程总是惟一的，不能出现任何“选择”。
三、波函数在实际中的应用波函数在量子力学中有广泛的应用，如描述原子、分子、固体等物质的量子特性。
其中，波函数在化学中应用最广泛，可以通过使用量子化学方法提供各种分子的基态和激发态的性质，如能量、电子结构和化学反应等。
波函数及其物理意义
12
i 1
i
P1
S
1 D 2
A B
W C 1 C 2 C1C2 ( 2 1 ) * * 相干项 W1 W2 C1C2 (1 2 21 )
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1 * 2
当双缝同时打 P2 开时，一个电 子同时处在1 C11 C2 2 态和2态。双 2 2 处于两态的几率分别为：| C11 | , | C2 2 | 缝同时诱导的 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 状态是它们的 2 线性组合态。 W | |
2 L 1 1 n 2 nx 4 ( x) dx sin dx sin L 0 L 4 2n 2
2
L 2 2 n n ( ) sin 4 L 4
n 1 其最大值对应于 sin 4
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
16
i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
Байду номын сангаас
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的， 决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现 的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现 在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
i 1
i
P1
S
1 D 2
A B
W C 1 C 2 C1C2 ( 2 1 ) * * 相干项 W1 W2 C1C2 (1 2 21 )
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1 * 2
当双缝同时打 P2 开时，一个电 子同时处在1 C11 C2 2 态和2态。双 2 2 处于两态的几率分别为：| C11 | , | C2 2 | 缝同时诱导的 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 状态是它们的 2 线性组合态。 W | |
2 L 1 1 n 2 nx 4 ( x) dx sin dx sin L 0 L 4 2n 2
2
L 2 2 n n ( ) sin 4 L 4
n 1 其最大值对应于 sin 4
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
16
i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
Байду номын сангаас
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的， 决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现 的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现 在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
第一讲 波函数及其统计诠释
E h
h
p
自由粒子平面波函数
Ψ
(
x,t )
i
0e
2π h
(
Et
px )
3、波函数的统计意义 在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的
概率正比于该时刻、该地点波函数模的平方。
——玻恩的统计解释
(1954年玻恩获诺贝尔物理学奖)
在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征)
出现粒子的概率为： 2 dV dV
解:（1）由归一化条件得:
a A2 sin2 ( x a)dx 1 0
A 2 a
（2）粒子的概率密度为:
2 2 sin2 x
aa
在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：
a 2 2 dx 2 a 2 sin2 xdx 1
0
a0
a2
（3）概率最大的位置应满足
d (x)2 dx 0
第三章
主要内容：
量子物理基础
§3-1 波函数及其统计诠释 §3-2 薛定谔方程 ＊§3-3 氢原子量子理论简介 ＊§3-4 电子的自旋和原子的壳层结构
§3.1 波函数及其统计诠释
一、波函数及其统计解释
1、波函数 由于微观粒子具有波粒二象性，其位置与动
量不能同时确定。 所以已无法用经典物理方法去 描述其运动状态。用波函数来描述微观粒子的运 动。
2 x k， k 0，1， 2， 3，
a
因0<x<a, 故得
x a 粒子出现的概率最大。 2
微观粒子的运动状态称为量子态，用波函数
(r ,
t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动
性，就是德布罗意波。
(1) 经典的波与波函数
波函数的几种不同的形式
波函数的几种不同的形式
左右
正弦波函数最常见的表达形式有三种，分别为“三角波”、“方形波”和“锯齿波”。
1.三角波：三角波是一种常见的正弦波函数，它的表达式如下：y=A·sin（ω·t），其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间。
一个完整的三角波变换分为正半正弦波和
负半正弦波两部分，它沿着一条正弦线移动，类似一块“三角板”；两个半正弦周期相互
折叠，形成一个完整的波形周期。
三角波的周期很长，它的形状也是不太稳定的，所以不
常用它作为算法的参考波形。
正弦波函数是一种经典的函数形式，它可以用来描述一切非瞬态信号，但有时很复杂，无法用一个单一的函数表达，在这种情况下，通常会用拟合波来描述信号，也就是说用一
组多项式和正弦波函数的组合函数来模拟信号，这组多项式和正弦波函数叫作“复合正弦波”，它也是用来模拟非瞬态信号的常用方法。
波函数及其统计解释
上述的解释是对处于同一状态的大量电子而言。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
波函数
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px
)
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
Ex
E
x
]t
px *( x) px ( x)dx
i [ px2 px2 ]t
e 2 2
px * ( x) px ( x)dx
px * ( x) px ( x)dx
e dx i (
p
x
px
)
x
II 平面波 归一化
p(r , t)
i [ p•r Et ]
Ae
p(r )e
i
Et
t=0 时的平面波
写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。
S1
电子源
S2
Ψ1 Ψ2
P
Ψ
感 光 屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
电子穿过狭缝
电子穿过狭缝 相干项
１出现=在|CＰ1 点Ψ1|2+ |C2Ψ２2|2出+现[C在1*CＰ2Ψ点1*Ψ2 +正C是1C由2*Ψ于1Ψ相2干*] 项的
波函数
2
Ψ = EΨ
(2) )
方程( ) h 代入 方程(2)得:
8
2m 令 ω = 2mE
解为: 解为:
ψ
dψ + 2 = ωψ 0 2 dx (x) = A cos ( ωx + )
由边值条件: 由边值条件: ψ (0) =ψ (a) = 0
= ±π cos =0,
波函数为: 波函数为: 2
ψ (x) = A sin ωx
Ψ
2
dV = Ψ (x,y,z,t) dz dy dz
2
Ψ (x,y,z,t) . Ψ *(x,y,z,t) dzdydz =
粒子在 t 时刻,在 时刻, (x,y,z) 处单位体积出现 的几率, 几率密度为 的几率,即几率密度为:
Ψ
2
Ψ .Ψ * =
这就是玻恩对波函数的统计解释 . 这就是玻恩对波函数的统计解释
Ψ ( x ,t ) = o e Ψ
h ( Et
i
px )
其中波函数模的平方为: 其中波函数模的平方为: 2 .Ψ * Ψ =Ψ = Ψo e
i (Et-px) h
. Ψo e
+ i (Et-px)
h
Ψ o2 =
统计解释:电子的衍射实验为例 统计解释:电子的衍射实验为例:
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验: 一个一个电子依次入射双缝的衍射实验:
h Ψ = i Ψ h 2 2m
2 2
2. 粒子是在有势力场中 在有势力场中粒子的总能量为: 在有势力场中粒子的总能量为: p2 E = 2m + U (x,t ) 2 p2 Ψ Ψ = i EΨ = h 2Ψ x 2 h t 2 2 h Ψ +U(x,t ) = i h Ψ ∴ Ψ 2 2m x t 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 三维运动粒子的薛定谔方程: 三维运动粒子的薛定谔方程: 2 2 2 2 h Ψ Ψ Ψ U Ψ + + Ψ =i h t + 2 2 2 2m x y z
波函数几种不同形式
2、产生干涉的条件：
两波源具有相同的频率。
两波源具有恒定的相位差。 满足上述条件的称为相干波。 两波源的振动方向相同
两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。
3、干涉加强、减弱条件：
s1
r1
p
设有两个频率相同的波源 S1S2 的振动表达式为：
y10 (s1 , t ) A10 cos(t 10 )
的变化和动能的变化“步调一致”。
3)总机械能:
E
Ek
E p
VA2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
4)能量密度:( 单位体积中的能量 )
E
V
A2
2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
5)平均能量密度( 在一个周期内的能量密度的平均值)
1
T
T
dt
0
1 T
T 0
A2
2
s in2 [ ( t
2 y t 2
即y1、y2 分别是它的解，则它们的任一线性组合y=C1 y1+C2 y2
也是方程的解,即上述波动方程遵从叠加原理。
实际表现：
❖ 无论是否相遇, 各列波将保持原有的特性( 频率, 波长和
振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有
遇到其他的波一样。
❖ 在其相遇区域内, 任一点处质点的的振动为各个波单独 存在时所引起的振动的矢量和。
波函数的几种不同的形式：
y( x, t )
A cos[ (t
x u
)
0
]
1 , 2
T
u
T
y( x, t )
Acos[2 ( t
两波源具有相同的频率。
两波源具有恒定的相位差。 满足上述条件的称为相干波。 两波源的振动方向相同
两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。
3、干涉加强、减弱条件：
s1
r1
p
设有两个频率相同的波源 S1S2 的振动表达式为：
y10 (s1 , t ) A10 cos(t 10 )
的变化和动能的变化“步调一致”。
3)总机械能:
E
Ek
E p
VA2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
4)能量密度:( 单位体积中的能量 )
E
V
A2
2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
5)平均能量密度( 在一个周期内的能量密度的平均值)
1
T
T
dt
0
1 T
T 0
A2
2
s in2 [ ( t
2 y t 2
即y1、y2 分别是它的解，则它们的任一线性组合y=C1 y1+C2 y2
也是方程的解,即上述波动方程遵从叠加原理。
实际表现：
❖ 无论是否相遇, 各列波将保持原有的特性( 频率, 波长和
振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有
遇到其他的波一样。
❖ 在其相遇区域内, 任一点处质点的的振动为各个波单独 存在时所引起的振动的矢量和。
波函数的几种不同的形式：
y( x, t )
A cos[ (t
x u
)
0
]
1 , 2
T
u
T
y( x, t )
Acos[2 ( t
波函数的几种不同的形式
1 2
u 2 A12 S1T
1 2
u 2 A22 S2T
S1 4r12 ; S2 4r22
r2
r1
A1r1 A2r2
所以球面波的振幅与离波源的距离成反比。
如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 A r
由于振动的相位沿波速方向随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
x) u
0
]d t
1 A22
2
A2,2
特点:
A2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
x, t
A、Ek Ep 相位,大小均相同；机械能不守恒。
( 注意与振动能量相区别 )
y
•c
y
•c
O
•B
x
• A 波形图
O•
•B
t
• A 振动图形
平衡位置（y = 0） E k 、 E p 最大。 振幅处（y = A） E k 、 E p 为 0。 B、若x 一定, E k 、 E p、E 均随 t 周期性变化。
t
u
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值。
2)平均能流:在一个周期内能流的平均值称为平均能流。
P u S
3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为能流密度或波的强度。
I P u 1 A2 2u
S
2
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的
平均能量。
I
1
A2 2u
1、平面波 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在传播方向上振幅不变。
证明：因为
在一个周期
T内通过
S1和
波函数
练习： 3.在何处找到粒子的概率最大？
解： 1. 由归一化条件
A
1 ix
2
dx
A2 1 x2
dx
A2arctgx
A2
1
得： A 1
x
1
1 ix
2. 概率密度为：
p x2
dx
2
1
1 ix
1
1
x2
3. 令： 得：
d x2 0
dx
x0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
求解问题的步骤：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
设粒子在一维无限深势阱运动
U
势函数
0 (0 < x < a)
U(x) =
x 0, x a
o
ax
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
d2
d x2
2m 2
(
E
U )
0
得本问题中的薛定谔方程: 0<x<a
用 |Ψ |2 对屏上电子数分布 作概率性描述
一般：t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数
dN N |Ψ |2 dV
|Ψ (x, y, z,t) |2 Ψ Ψ* dN N dV
|Ψ ( x, y, z, t) |2 的物理意义：
➢ t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t
)
0e
i(
Et
px
x)
（取实部）
推广 ：三维自由粒子波函数
(r,
t)
0e
i (Et
第二章 波函数
自由粒子的能量
E p 2 / 2m
2 2 i t 2m
i E t
自由粒子波函数所满足的微分方程
自由粒子的薛定谔方程
若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况 下，粒子的能量是 p2
E 2m U (r )
类比自由粒子的情况，得到波函数 所满足的微分方程
2 1 2 1 2 px A exp[ i(p r Et ) / ] 2 px 2 x
即
2 2 p x x 2
2
同理
2 2 2 2 p y y
2 2 2 p z2 z
可得
2 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( p x p z2 p z2 ) x y z
k 2
A cos(k r t )
t )]
2
2 德布罗意自由粒子的平面波
利用de Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由 粒子平面波的表达式
2i ( x, t ) A exp[ ( p x x Et )] h
2p x k h 2
A 薛定谔方程适用条件
• 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动 速度(υ＜＜c)
• 要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保 持不变，--粒子数守恒
B.波动方程的建立
自由粒子的波函数
i A exp[ (p r Et )]
i i 将上式对t 求微商 EA exp[ i(p r Et ) / ] E t 即 i E t i i p x A exp[ i(p r Et ) / ] p x 对x求微商 x
波函数的几种不同的形式
其他相对论性波函数
其他粒子波函数
除了电子，其他粒子如质子、中子等也有其相对论性波函数。这些波函数考虑了相应粒子的质量和自 旋等特性。
扩展到其他场论
相对论性波函数的概念不仅限于粒子物理，还可以扩展到其他场论，如电磁场、引力场等。在这些领 域中，波函数的概念也有重要的应用。
05
散射态波函数
散射态的基本概念
未来研究方向
随着量子计算技术的发展，波函数的应用将更加广泛和深入。未来，我们需要进一步研究如何利用波函数更好地描述和预测 物质的性质和行为，以及如何将波函数应用于更广泛的领域中。
同时，我们也需要研究如何更好地理解和利用量子力学中的其他概念，如量子纠缠和量子相干性等，这些概念在量子计算和 量子通信等领域中有重要的应用。
三维势阱
三维势阱波函数
在三维空间中，粒子可能 受到不同形式的势阱作用， 如球形势阱、盒式势阱等。
球形势阱波函数
在球形势阱中，粒子只能 在球内运动，其波函数形 式为球谐函数。
盒式势阱波函数
在盒式势阱中，粒子只能 在一定区域内运动，其波 函数形式为箱函型波函数。
其他束缚态波函数
其他束缚态波函数
除了上述的一维势阱和三维势阱 外，还有各种其他形式的束缚态 波函数，如谐振子势、分子振动
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球面波
描述粒子在有限空间区域内传播的情况，其波函数形式为 4πr/λ * J(πr/λ) * e^(iπr/λ)。其中，r是球面波的半径，λ是 波长。
球面波的能量和动量分布呈球形，且随着传播距离的增加 而扩散。
柱面波
描述粒子在柱状空间区域内传播的情 况，其波函数形式为e^(i(kx+ky)) * f(z)。其中，k是波数，x和y是柱面波 在平面内的坐标，z是柱状空间的高度。
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
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写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px
( x) py ( y) pz
(z)
A e A e A e i [
px
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
(ax) 1 ( x)
作代换：px x，px x0，则
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
II 平面波 归一化
p(r , t)
i [ p•r Et ]
Ae
p
(r)e
i Et
t=0 时的平面波
返回
（一）波函数
A
exp
i
(
p•r
Et )
描写自由粒子的 平面波
称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r, t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒
子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，
但是我们
也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统
一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
p*
(r)
p
(r)d
( px px ) ( py py ) ( pz pz )
(
p
p)
p* (r, t )p(r, t )d
i [ E E ]t
e
* p
(r)
p
(r)d
1
A A1 A2 A3 [2]3/ 2
i [ E E ]t
e
(
p
p)
(
p
p)
p(r , t )
1
2 ei2x/,
3 ei3x/,
4 ei2x/,
5 3e i (2 x) / ,
6 (4 2i)ei2 x /.
(2) 已 知 下 列 两 个 波 函 数 ：
1( x)
A
sin
n
2a
(x
a)
0
| x | a | x | a
n 1,2,3,
2(x)
A
sin
n
2a
(x
a)
| x | a
n 1,2,3,
0
| x | a
请 问 ：I、 波 函 数1( x)和 2 ( x)是 否 等 价 ？
返回
II 、 对1( x)取n 2两 种 情 况 ， 得 到 的 两 个
波函数是否等价？
§2 态叠加原理
返回
（一） （二）
态叠加原理 动量空间（表象）的波函数
（一） 态叠加原理
正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;
波意味着
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
（2）Born 波函数的统计解释 几率波
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
P
电子源
O
感
Q光
Q
屏
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或
者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度
Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应 的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无 归一化问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t ) 没有归一化， t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有
第二章 波函数
返回
和 Schrodinger 方程
§1 波函数的统计解释
§1
§2 态叠加原理
§2
§3 力学量的平均值和算符的引进
§3
§4 Schrodinger 方程
§4
§5 粒子流密度和粒子数守恒定律
§5
§6 定态Schrodinger方程
§6
§1 波函数的统计解释
（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质
∫∞ |Ψ (r ,
∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，
与Ψ (r , t )
描写同一几率波，
(A)-1/2 称为归一化因子。
注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。
若Ψ
(r , t )是归一化波函数，那末，
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。
因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学 中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波， 即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波 函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加 原理。
考虑电子双缝衍射
若
∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
∞,
则 C 0,
这是没有意义的。
注意：自由粒子波函数
(r, t)
A
exp
i
(
p
•
r
Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。
[2]3/ 2
i [ p•r Et ]
e
p
(r )e
i Et
其中
p(r )
1
[2]3/ 2
i [ p•r]
e
注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度， 依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率 相同。
作 业 补充题
(1)
请
问
下
列
波
函
数
中
，
哪些
与
描
1
写
同
一
状
态
？
1 ei2x/,
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
( x x0 )
f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 )
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/ , dk= dpx/ , 则
性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
eik( x x0 )
(x
x0 )
1
2
i
e dp px ( x x0 ) x
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。