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初中圆的线段最值问题的解法圆的线段最值问题也叫圆的最大最小线段问题，它是一个广为人知的数学问题，可以说是初中数学学习的重要内容。
本文将详细介绍圆的线段最值问题的历史背景、实验方法、理论解法和应用场景等内容。
1.概述圆的线段最值问题传说起源于古希腊数学家坎普勒斯（C.K.Clos），他在其著作《经营思维》中提出了这一概念，可以说是初中数学学习的重要内容之一。
圆的线段最值问题的主要内容是：在给定的圆内，求出由圆心和一点构成的线段，使得该线段的长度是最长或最短的。
这种问题还可以扩展到许多其他几何图形中，除了圆形外，还有椭圆、圆锥、圆柱等。
2.实验方法为了解决圆的线段最值问题，我们首先通过实验来探索该问题的特征，采用模拟实验法进行探究，绘制一个圆，将圆心设定在坐标原点，将圆上的点分别放置在圆上的不同点，计算出该点离圆心的最大线段的长度，以及最小线段的长度，比较不同点之间的最大线段和最小线段的长度，从而找出圆上由圆心和一点构成的线段的最大最小长度，即最大最小线段问题。
3.理论解法经过实验分析得出，圆上由圆心和一点组成的线段的最大最小长度分别为圆的直径和圆的弦的长度。
我们可以进一步用数学语言来描述这一结论，可以证明：任一圆，任一点都同圆心构成的线段的最大长度等于圆的直径，最小长度等于圆的弦的长度。
4.应用场景圆的线段最值问题的研究既有深远的数学意义，也有广泛的应用场景。
在建筑设计、地理学、机械工程、材料科学等领域，都可以利用最大最小线段的原理来解决一系列实际问题，如设备安装、物体组合、图形变换等。
总结以上就是关于圆的线段最值问题的历史背景、实验方法、理论解法和应用场景等内容的详细介绍，其中包括了古希腊数学家坎普勒斯的理论和用数学语言描述的结论，以及在建筑设计、地理学、机械工程、材料科学等领域的广泛应用。
从理论上讲，均匀圆形的最大最小线段的长度与圆的直径和弦的长度成正比，而实际应用中，圆的线段最值问题为我们提供了一系列更加精确高效的解决方案，从而改善和提高了工作效率。
有关圆的最值问题几种类型及方法圆形是初中数学中常见的图形，它有很多特殊的性质。
其中一项重要性质就是它具有最小和最大值。
在圆形的几何学中，有不同的最值问题类型，本文将介绍其中几种类型和解决方法。
问题类型1. 半周长最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一个周长为定值的最大圆。
解决方法：利用相似三角形比值和性质，通过求出最大圆的半径得出周长最大的圆。
2. 面积最大问题描述：在一个固定的圆中，找到面积最大的圆。
解决方法：通过对已知条件进行约束，运用微积分的极值问题求解最大面积圆的面积。
3. 离心率最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一点使得其到圆的距离与到圆心的距离之比最大。
解决方法：通过对于点到圆心的距离公式的推导，结合相关性质，使用数学分析方法解决问题。
4. 切线长度最短问题描述：如何从一个外圆割出一个内接圆的形状，且切线的长度最短。
解决方法：通过运用切线长度公式和勾股定理，推导出最短切线的长度公式，通过微积分求解最小值。
解决方法方法1：运用几何知识在解决这些最值问题时，通过几何知识、特殊性质、面积比和相似性质等直观的方法，可以解决一些简单的最值问题。
例如，第一类问题可以通过找到两个相似三角形的比值，解出最大圆的半径；第二类问题可以通过勾股定理求出直角三角形的面积比例。
方法2：微积分方法对于一些复杂的最值问题，采用微积分的方法计算可能更为简便。
通过设出方程，运用微积分的极值问题方法求出函数的最值点，并验证其确为最值点，就可以直接求解最大或最小值。
例如，第二类问题就是一个极大值问题，可以通过设定面积函数，求该函数的一阶和二阶导数，分析得出最大值点的位置和最大面积值。
方法3：从物理学的角度出发物理学的一些基本定理也可以用来解决圆的最值问题。
例如，第一类问题中，最大圆对应的角速度是圆心角的一半，这是由圆周运动的基本物理定律所得。
将圆周运动和相似三角形的比例性质联系起来，可以解出最大圆的半径。
圆是初中数学中比较基础的图形，但在解决圆的最值问题时，需要综合运用几何知识、微积分知识和物理学知识等多方面的知识。
几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A BPO【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA k PB+的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2.计算出这两条线段的长度比OPk OB=3.在OB上取一点C，使得OCkOP=，即构造△POM∽△BOP，则PCkPB=，PC kPB=4.则=PA k PB PA PC AC++≥，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC 于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB+的最小值为__________．EABCDPMPDC BA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12PA．问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①BPAP21+，②BPAP+2，③BPAP+31，④BPAP3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，P 为上一动点，求PC +PD 的最小值．【解答】解：如图当A 、P 、D 共线时，PC +PD 最小．理由： 连接PB 、CO ，AD 与CO 交于点M ，∵AB ＝BD ＝4，BD 是切线，∴∠ABD ＝90°，∠BAD ＝∠D ＝45°， ∵AB 是直径，∴∠APB ＝90°， ∴∠P AB ＝∠PBA ＝45°，∴P A ＝PB ，PO ⊥AB ，∵AC ＝PO ＝2，AC ∥PO ，∴四边形AOPC 是平行四边形， ∴OA ＝OP ，∠AOP ＝90°，∴四边形AOPC 是正方形， ∴PM ＝PC ，∴PC +PD ＝PM +PD ＝DM ，∵DM ⊥CO ，∴此时PC +DP 最小＝AD ﹣AM ＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD +PC 的最小值为 5 ；PD +4PC 的最小值为 10 ．【解答】解：①如图，连接PB 、在BC 上取一点E ，使得BE ＝1． ∵PB 2＝4，BE •BC ＝4，∴PB 2＝BE •BC ，∴＝，∵∠PBE ＝∠CBE ， ∴△PBE ∽△CBE ，∴＝＝，∴PD +PC ＝PD +PE ， ∵PE +PD ≤DE ，在Rt △DCE 中，DE ＝＝5， ∴PD +PC 的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ． ∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ， ∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝， ∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值152．AB CDPM MPDCBA AB CDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE ∥OB ，∴＝，∴AN ＝（4﹣m ）， ∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，∴PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ， ∴＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． ∵OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， ∴OE ′2＝OM ′•OB ，∴＝，∵∠BOE ′＝∠M ′OE ′， ∴△M ′OE ′∽△E ′OB ， ∴＝＝，∴M ′E ′＝BE ′，∴AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22+的最小值. [答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________. [答案]：37. 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ＝，连接AF ，BD （1）求证：△BDC ≌△AFC ；（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD +AD 的值； （3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD +AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ACF ＝∠DCB ， ∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）．（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时， ∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝2， ∵CD ⊥AB ，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C．4D．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．ABC V »EF12．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT •AB ，∴＝， ∵∠P AT＝∠P AB ，∴，∴＝＝，∴PT ＝PB ，∴PB +CP＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT PB +PC ，∴PB +PC ．故答．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC −的最大值为_______．PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATABPA PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 121212ACT V 1212例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A BC D【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则1AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)2(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是»CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB 上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．（3）如图，在AB 上取一点，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB 由（1）得PB =2PQ ，∴2=2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，∵PC −PQ ≤QC ，∴当点P 交⊙A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）B．C．D．A．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=，，设•=∠=∠=︒260AC BAC ACD=，则k的最小值为___________．AD k BD1##1−在Rt ACJ V 中，260AC CAJ =∠=︒，，∴∴AB CD ∥，∵BM CD CJ AB ⊥⊥，，∴四边形BJCM4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PA PB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG +12CG 的最小值为 _____．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA PC 的最小值是___________．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，PC的最大值为_____．点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣129．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上A＋PB的最小值为________．OP＝r＝12BC＝2，OB＝∵222OPOI==，OBOP=∴22PI OIPB OP==，∴PI10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q，BC PB PBG CBP ∴V :V ，∴221PB BG ==Q，422BC PB ==，PBG CBP ∴V :V ，PG BG PC PB ∴=PD PG DG +≥Q （当且仅当G 12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，1 3AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是»CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC −的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC −的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC −的最大值．PC 的最小值PB BC2414．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()4,4A −−，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =−−，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E e 上以动点，求12AM CM +的最小值．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴AE ACAC AB'='=6293=，∴EC′=23BC′，∵BC′+32FC′=32(23BC′+FC′)=32(EC′+FC′），当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+∴BC′+32FC′的最小值为32EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=22AB AC−过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACBC AB AC16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF AE，CF．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG+PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE ≌△ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ⊥CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∵∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ， 又∵BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵△ABE ≌△CBF ，∴S △ABE ＝S △CBF ，∵AD ＝AB ，AE ＝AE ，DE ＝BE ，∴△ADE ≌△ABE （SSS ）， ∴∠DAE ＝∠BAE ＝45°，∵EH ⊥AB ，∴∠EAB ＝∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。
1AB +kCD 求最值之阿氏圆问题几何中求线段之和的最值问题是我们在初中阶段十分常见的一种类型题目，常见类型包含“将军饮马问题”、“阿氏圆问题”、“胡不归问题”。
此类题目一般综合性、灵活性、应用性较强，一般学生做起来会感觉比较困难。
通过总结我们不难发现此类题目一般的解法都是通过转换或构造把线段之和问题转化为点到点的距离最小或点到线的距离最小问题。
“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,=λPA PB 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）如图：36.0=APBP 为固定值，则此时点P 的运动轨迹为ΘΟ。
证明：设B 点坐标为（0，0）；A 点坐标为（m，0）；P（x,y）.则22+=y x PB ，22+)-(=y m x PA .由λPA PB =得λym x y x =+)-(+2222整理得：0=-2-)+)(-1(222222m λx λm y x λ222222-1(=+-1-(λλm y λλm x 所以当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，圆心为)0,-1(22λλm ，半径2-1=λλm r 。
所以此时有λPAPB AO OP OP OB ===所以一定会有△OPB∽△OAP。
在初中阶段我们不要求学生能够证明，只要求学生能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题就可以了。
2例1：问题提出：如图1，在ABC Rt Δ中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，C Θ的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求BP AP 21+的最小值。
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，BP AP +31的最小值为__________；拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求PB AP +2的最小值。
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
数学组卷圆的最值问题一．选择题（共 7 小题）1．（ 2014春•兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 为第 且 AC=2，设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 C ．D ．2．（ 2013•武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1 的⊙O 与∠BAC 的两边相切，P 为⊙O 上一动点，以 P 为圆心，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、CA 两．点2．若B ⊙．O 3的 半径C ．长为 3，D O ．P 3= ，则弦BC 的最大值为（4．（ 2015•黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD 中，∠AOD=90°，OA=6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D5．（ 2010•苏州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2）， ⊙C 的圆心坐标1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点E ，则△ABE ） D ． 6．（ 2013•市中区模拟）如图，已知 A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6）， ⊙C的 圆心坐标为（0，7），半径为5．若P 是⊙C 上的一个动点，线段PB 与x 轴交于点D ，则A ．63B ．31C ．32D ．30△ABD 面积的最大值是（ ）7．（ 2013•枣庄）如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB=AB ，点P 是⊙O 上的一个动A 点．，9那0°么B ∠．OA 6P 0°的 最C ．大4值5°是 （D ． 3 0°）一象限内一点， A ．m ≥0 B ．．合弧0）＜A ，D r P ＜上Q 3⊥运 O 动B D ．时于r ，=3Q r ，的C 点值．满3I ＜为足r △＜（O 3 PQ 的 ）内 D 心．，r=过3 O ， I 和 D 三点的圆的半径为 r ． 则当点P 为（﹣1，0），半径为A 面．积2的 最B 小．值1是 （C ． 3．（ 2014•武汉模拟）如图，P 为⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，二．填空题（共12小题）8．（ 2013•武汉）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接9．（ 2015•黄陂区校级模拟）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且1A 0D ．=（22，01M 2•为宁B 波D ）的如中图点，，△在AB D C 点中运，动∠B 过A程C 中=6，0°，线∠段A C B M C=长45度°，的A 取B=值2范围，是D 是 线 段 B C 上．的 一个动点，以AD 为 1直1．径（画20⊙15O •峨分眉别山交市AB 一，模A ）C 如于图E ，已F ，知连直接线ElF 与，⊙则O 线相段离E ，FO 长A 度⊥的l 于最点小值A ，为O A =1 0， O A 与．⊙ O 相交于点 P ，AB 与13．（ 2013•陕西）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的 1中4．点（，20直1线3•咸EF 宁与）⊙如O 图交，于在GR 、t △HA 两OB 点中．，若O ⊙AO=O 的B 半=3径为，7⊙，O 则的G 半E+径FH 为的1，最点大值P 是为 AB 边 上 的 动 点．， 过点 P 作⊙O15． 角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A （13，0），直线 y=kx ﹣3k+4 与⊙O 交于16．（ 2011•苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2 为半径 画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作⊙O 切线与x 轴相交于点A ，与y 轴1相7．交（于20点15B 秋．•则江线阴段市A 校B 级的期最中小）值如是图 ，⊙ O 与 正 方．形 ABCD 的两边 AB 、AD 相切，且DE．若正方形ABCD 的周长为28，且DE=4，则sin ∠ODE=值范BE 交 AG 于点H ．若正方形的边长为 2，则线段DH 长度的最小值是18．（2014 春•兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y= 图象上的两点，动点P （x，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 三的．中解点答，题过点（共C作5小C题P⊥）A B于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是20．（2013•武汉模拟）如图，在边长为1 的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O 为圆心OA 长为半径作圆O，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O （于2点）E求，aB+Cb=的a，最A大C值=b；．（3）若m 是关于x 的方程：x2+ ax=b2+ ab 的一个根，求m 的取值范围．21．（2014春•泰兴市校级期中）如图，E、F 是正方形ABCD 的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：与A，B 重合），CP 交AB 于点 D ，过点 C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q．1）求∠P 的正切值；32））当当点CPP⊥运A动B到时什，么求位CD置和时，CQCQ的取长到；最大值？求此时CQ的长．19．（2015•泰兴市二模）12））求求证线：段BDEH⊥的A长G；度的最小值．22．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，23．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l 的对称点 B ′，连接AB′与直线l 交于点C，则点 C 即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则（2B）P+知A识P 拓的展最：小值为．的如动图点（c，），求在BE R+t E △F A的BC最中小，值A，B并=1写0，出∠解BA答C过=4程5°．，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上24．（2012•苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接（1）当x= 时，求弦PA、PB的长度；PA、PB，设PC 的长为x（2<x<4）．（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？25、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是 AB的中点，点 E 在AB 边上运动（点 E不与点A 重合），过 A 、D 、 E 三点作⊙ O ，⊙O 交 AC 于另一点 F ，在此运动变化的过程中，线段 EF 长度的最小值为．26、如图，线段 AB=4，C为线段 AB上的一个动点，以 AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O 半径的最小值为（).A.4B.23C.32D. 227、如图，已知直角△AOB中，直角顶点O在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长 AO，BO 分别与圆交于 C，D．试求四边形 ABCD面积的最小值．2015 年 12 月 18 日王军的初中数学组卷圆的最值问题参考答案与试题解析一．选择题（共7 小题）1．（ 2014春•兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 为第 且 AC=2，设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 C ．D ． 考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．分析】C 在以A 为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，根据勾 股定理求出此时的OC ，求出∠BOC=∠CAO ，根据解直角三角形求出此时的值，根据 tan ∠BOC 的增减性，即可求 只有当 OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC ，tan ∠BOC=tan ∠OAC= = ， 随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到 x 轴点， 即∠BOC <90°， ∴tan ∠BOC ≥ ，故选 B ．点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC 的变化范围是解此题的 关 键，题型比较好，但是有一定的难度．2．（ 2013•武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1 的⊙O 与∠BAC 的两边相切，P 为⊙O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的⊙P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接 DE ，则线段 DE 长度的最大值为（ ）一象限内一点， A ．m ≥0 B ．A．3 B．6 C．D．【考点】切线的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切于点M，连接OM，PD，由对称性得到AF为角平分线，得到∠FAD为30度，根据切线的性质得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP 求出AP的长，即为圆P 的半径，由三角形AED 为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于【解答】半解求：出连接PFA的O长并，延再长利，用与勾E股D定交理于求F出点，FD与的圆长O，交由于DPE=点2F，D此求时出线D段E E的D长最，大即，为DE的最大值．连接OM，PD，可得F 为ED的中点，∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED 为等边三角形，∴AF为角平分线，即∠FAD=30°，在Rt△AOM 中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt△PDF 中，∠ FDP=30°，PD=3，∴PF= ，根据勾股定理得：FD=则DE=2FD=3 ．故选D【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30 度直角三角形的性质，熟练掌握切 线的性质是解本题的关键．【分析】当OP ⊥AB 时，弦BC 最长，根据三角形相似可以确定答案．【解答】解：当OP ⊥AC 时，弦BC 最长，又∵AC 是直径，∴∠CBA=90°，所以△APO ∽△ABC ，∴，【点评】本题考查了直径所对的圆周角是 900这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似 是解答本题的关键．4．（ 2015•黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD 中，∠AOD=90°，OA=6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和DA ．0<r <3B ．r=3C ．3<r <3D ．r=3【考点】三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有则当点P考点】垂径定理；三角形中位线定理．射线 AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C又∵OP= ，I 和 D 三点的圆的半径为r ．分析】连 OI ，PI ，DI ，由△OPH 的内心为 I ，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO ﹣∠IOP=180°﹣ （∠HOP+∠OPH ）=135°， 并且易证△OPI ≌△ODI ，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧O ′O ，在优弧 AO 取点 P ′，连 P ′D ，P ′O ，可得∠DP ′O=180°﹣135°=45°，∵得△∠ODPOH ′O 的=内90心°，为O ′IO ，= 3 ．∴∠IOP=∠IOD ，∠IPO=∠IPH ，∴∠PIO=180°﹣∠IPO ﹣∠IOP=180°﹣ (∠HOP+∠OPH )，∴∠PIO=180°﹣ (∠HOP+∠OPH )=180°﹣ (180°﹣90°)=135°， 在△OPI 和△ODI 中，，∴△OPI ≌△ODI （SAS ），∴所∠以D 点IO=I ∠在P 以IO=O 1D 35为°，弦 ，并且所对的圆周角为 135°的一段劣弧上；∵∠DIO=135°， ∴∠DP ′O=180°﹣135°=45°， ∴∠DO ′O=90°，而 OD=6，∴OO ′=DO ′=3 ，∴故r 选的：值D 为．3 ．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．5．（ 2010•苏州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2）， ⊙C 的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D 是⊙ C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点E 第，8则页△（A 共B 2E 9页面）积 的最小值是（ ）而 PH ⊥OD ，即∠PHO=90°，A ．2B ．1C ．D ．【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】压轴题；动点型．【分析】由于OA 的长为定值，若△ABE 的面积最小，则BE 的长最短，此时AD 与⊙O 相切；可连接CD ，在Rt △ADC 中，由勾股定理求得 AD 的长，即可得到△ADC 的面积；易证得△AEO ∽△ACD ，根据相似三角形的面积比等于 R 相t △似A 比CD 解平中：方，若，CD △可=A 1求B ，出E A 的△CA=面O 积CE+最的O 小面A=，积3；则， 进AD 而与可⊙得C 出相△A 切O ，B 连和接△A C O D E ，的则面C 积D ⊥差A ，D 由；此 得解．由勾股定理，得：AD=2 ；∴S △ACD = AD •CD= ； 易证得△AOE ∽△ADC ，=（ ）2=（ ）2= ，即 S △AOE = S △ADC = ；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！ 故选：C ．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE 面 积最小时AD 与⊙C 的位置关系是解答此题的关键．6．（ 2013•市中区模拟）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6）， ⊙C 的圆心坐标为（0，7），半径为 5 ．若 P 是 ⊙C 上的一个动点，线段 PB 与 x 轴交于点 D ，则 △ABD 面积的最大值是（）∴S △ABE =S △AOBA．63 B．31 C．32 D．30【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有分析】当直线BP与圆相切时，△ABD 的面积最大，易证△OBD∽△PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即【解答】D解的：长当，直则线ABPD与的圆长相度切可时以，求△得A，BD最的后面利积用最三大角．形的面积公式即可求解．连接PC，则∠CPB=90°，在直角△BCP 中，BP= = =12．∵∠CPB=90°．∴∠DOB=∠CPB=90°又∵∠DBP=∠CBP，∴△OBD∽△PBC，∴ = = = ，∴OD= PC= ．∴AD=OD+OA= +8= ，∴S△ABD= AD•OB= × ×6=31 ．点评】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△ADB的面积最大的条件是关键．7．（ 2013•枣庄）如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB=AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值考点】切线的性质；含30 度角的直角三角形．分析】当 AP 与⊙O 相切时，∠OAP 有最大值，连结OP ，根据切线的性质得 OP ⊥AP ，由OB=AB 得 OA=2OP ，【解答】含解：30当度A 的P 直与角⊙三O 角相形切三时边，的∠O 关A 系P 即有可最得大到值此，时连∠结OAO P ，的如度图数，． 则 OP ⊥ AP ，∵OB=AB ，∴OA=2OP ，【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了含 30度的直角三角形三边的关系． 二．填空题（共12小题）8．（ 2013•武汉）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接 BE 交 AG 于点H ．若正方形的边长为 2，则线段DH 长度的最小值是 ﹣1 ．【分析】根据正方形的性质可得 AB=AD=CD ，∠BAD=∠CDA ，∠ADG=∠CDG ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS ”证明△ADG 和△CDG 全等，根据全等三角形 对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB 的中点 O ，连接 OH 、OD ，根据直角三当 O 、 D 、 H 三点共线时， DH的长度最小．在△形A 斜BE 和解上△：的D ，B=∠1B ，A 利D 用=∠勾C 股DA 定，理∠列AD 式G 求=∠出CODDG ，然 后根据三角形的三边关系可知D ．30°∴故∠选PA DO ．=3 0°． 【考点】正方形的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴在∠△1A=D∠2G，和△CDG 中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴取∠AABHB的=中18点0°﹣O，90连°=9接0°O，H 、OD，则OH=AO= AB=1 ，在Rt△AOD 中，OD= = = ，根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，∴最当小O值、=O D D、﹣H O三H点=共线﹣时1．解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H 的位置是解题关键，也是本题的难点．9．（2015•黄陂区校级模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是<CM< ．DH的长度最小，故答案为：﹣1．【考点】轨迹．菁优网版权所有【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM 中根据三边关系即可求解．【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC 中，AB= = =5，∵E是直角△ABC 斜边AB上的中点，∴CE= AB= ．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME= AD=1．∴在△CEM 中，﹣1<CM< +1，即 <CM< ．故答案是： <CM ．【点评】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．10．（2012•宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．专题】压轴题．【分析】由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，因此当半径OE 最短时，EF 最短，连接OE，OF，过O 点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB 中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH= ∠ EOF= ∠BAC=60°，在Rt△EOH 【解答】解角三：角由垂形求线段EH的，性由质垂可径知定，理当可A知D E为F△=2AEBHC．的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O 点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=2 ，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=∴在Rt△EOH 中，EH=OE•sin∠EOH=1× = ，由垂径定理可知EF=2EH= ．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．11．（2015•峨眉山市一模）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O相交于点P，AB与【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【分析首先证明AB=AC，再根据已知得出Q 在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，【解答】＜解r，：求连出接rO范B．围如即图可．1，∵AB 切⊙O 于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2，∴OE= AC= AB= ，又∵圆O与直线MN有交点，∴OE= ≤r，∴≤ 2r ，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2 ．∵OA=10，直线l 与⊙O 相离，∴r<10，∴2 ≤r<10．故答案为：2 ≤r<10．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．12．（2013•长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最小值为．分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，在△ABC 中，由勾股定理求出AB=13，由三角形面积公式求出CD= ，当CD 为 过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是 ，求出 PQ 为圆的直径即可． 【解答】解：过 C 作CD ⊥AB 于 D ，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：AB=13， 由三角形面积公式得：S= AC ×BC= AB ×CD ， CD= ，当 CD 为过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是 ，∵∠BCA=90°，∴PQ 为圆的直径， 即此时PQ 的长是 ，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出圆的直径．13．（ 2013•陕西）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的分析】由点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，根据三角形中位线定理得出EF= AB=3.5为定值，则GE+FH=GH ﹣EF=GH ﹣3.5，所以当 GH 取最大值时，GE+FH 有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当 GH 为⊙O 的直径时，GE+FH有最大值 14﹣3.5=10.5．当GH 为直解径：时当，GEH 点为与⊙OO 的点直重径合时，， GE+FH 有最大值．∴AC 也是直径，AC=14．∵∠ABC 是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴AB= AC=7．∵点 E 、F 分别为 AC 、BC 的中点，若⊙O 的半径为 7，则GE+FH 的最大值为 10.5 ．勾股定理．故答案为：点评】本题考查了勾股定理，三角形面积， 考点】圆周角定理；三角形中位线定理．专题】压轴题．∴EF= AB=3.5，GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．14．（2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（点Q 为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．【考点】切线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB 时，即线段PQ最短，然后由勾股【解答】解求：得答连案接．OP 、OQ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴根O据Q勾⊥股PQ定；理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB 中，OA=OB=3 ，∴AB= OA=6，∴OP= =3，∴PQ==2 ．故答案为：2 ．点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法， 注意得到当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．15．（ 2013•内江）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据直线y=kx ﹣3k+4 必过点 D （3，4），求出最短的弦CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A （13，0），求出 OB 的长，再利用勾股定理求出BD ，即可得出答案． 解答】解：∵直线 y=kx ﹣3k+4=k （x ﹣3）+4， k （x ﹣3）=y ﹣4， k 有无数个值，x ﹣3=0，y ﹣4=0，解得 x=3，y=4， 直线必过点 D （3，4），最短的弦 CB 是过点D 且与该圆直径垂直的弦， 点 D 的坐标是（ 3 ， 4 ），OD=5，以原点O 为圆心的圆过点 A （13，0）， 圆的半径为 13，OB=13，∴BD=12，∴故B 答C 案的为长：的2最4．小 值为24；最小值为 24 ．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．【分析】如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP<OC，所以当OC与OP重合时，OC最短；【解答】解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB 切⊙O 于P，∴取OAPB⊥的AB中，点C，∴当AOBC=2=OOCP；时，OC 最短，即AB 最短，此时AB=4．点评】本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目．2 为半径画⊙O ，P 是⊙ O 是一动则线段AB的最小值是4．17．（ 2015秋•江阴市校级期中）如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与⊙O 相切于E 点．若 正方形 ABCD 的周长为 28，且 DE=4，则 sin ∠ODE=考点】切线的性质；正方形的性质．分析】先证得四边形ANOM 是正方形，求出AM 长，根据勾股定理求得OD 的长，根据解直角三角形求出即可． 解答】解：设切线 AD 的切点为 M ，切线AB 的切点为 N ，连接 OM 、ON 、OE ，∵四边形ABCD 是正方形，正方形 ABCD 的周长为28， ∴AD=AB=7，∠A=90°， ∵圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切， ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A ，∵OM=ON ， ∴四边形ANOM 是正方形， ∵AD 和 DE 与圆 O 相切， ∴OE ⊥DE ，DM=DE=4， ∴AM=7﹣4=3， ∴OM=ON=OE=3， 在 RT △ODM 中，OD==5，∵OE=OM=5， ∴sin ∠ODE= = ． 【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM 长和得出 DE=DM ．x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 （3，0）．18．（ 2014 春•兴化市校级月考）如图所示，已知 A （1，y 1）， B （2，y 2）为反比例函数 y =图 图象上的两点，动点 P考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系． 专题】计算题． 分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A 点坐标为（1，1）， B 点坐标为（2， ），再利用待定系数 法确定直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+ ，然后根据三角形三边的关系得到|PA ﹣PB|≤AB ，当点 P 为直线 AB 与 x 轴 的交点时，取等号，则线段AP 与线段BP 之差达到最大，然后确定直线y=﹣解答】解：把 A （1，y 1）， B （2，y 2）代入 y= 得 y 1=1，y 2= ，则 A 点坐标为（1，1）， B 点坐标为（2， ），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ，所以直线AB 的解析式为 y=﹣ x+ ， 因为|PA ﹣PB|≤AB ，所以当点P 为直线AB 与x 轴的交点时，线段AP 与线段BP 之差达到最大，把 y=0 代入 y=﹣ x ﹣ x+ =0，解得 x=3，所以P 点坐标为（3，0）．故答案为（3，0）．点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上 的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值 k ，即 xy=k ．19．（ 2015•泰兴市二模）如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD考点】垂径定理；三角形中位线定理．分析】当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，得出矩形CPOM ，推出PM=OC ，求出OC 长即可．解答】解：法①：如图：当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接 OM ，OC ，把 A （ 1，1）， B （2， ）代入得，解得P ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，PM=l ，则l 的最大值是 4 ．x 轴的交点坐标即可．∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M 为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM 是矩形，∴PM=OC，∵⊙O 直径AB=8，OC=4，故答案为：4．法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PMPM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PM max=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．三．解答题（共5 小题）20．（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【分析（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又3）若m 是关于x 的方程：x2+ ax=b2+ ab 的一个根，求m 的取值范围．（由2A）B首为先⊙过D点的C直作径，CH可⊥求A得B 于CEH的，长在，R继t△而AB求C得中A，EB=bC+=a，aA；C =b，AB=1，可得（a+b）2（=a32）+b由2+x22a+b=1+a2xa=bb=21++2CaHb•，A可B=得1+（2Cx﹣H≤b1）+（2Ax+Db=+1+AaB）=2=，0，即则可可求求得得答x案的；值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB 为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE= a，∵AC=b，∴AE=b+ a；（2）过点C 作CH⊥AB于H，在Rt△ABC 中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC= AC•BC= AB•CH，△ABC∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴故a+a b+≤b 的最，大值为，（3）∵x2+ ax=b2+ ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+ a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+ a）=0，当m=﹣（b+ a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB<AE≤2AO=2，∴1<﹣m≤2，∴﹣2≤m<﹣1，﹣2≤m<﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．21．（2014春•泰兴市校级期中）如图，E、F 是正方形ABCD 的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：1 2））求求证线：段BDEH⊥的A长G；度的最小值．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析（1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“边角边”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH= AB=1，利用角勾形对股应定角理列相式等求可出得∠O2D=，∠3然，后从根而据得三到角∠1形=的∠3三，边然关后系求可出知∠A当H O B、=9D0°、，H再三根点据共垂线直时的，定D义H证的明长即度可最；小．【解答（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴在∠△1A=D∠2G，和△CDG 中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AG；（2）解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO= AB=2，在Rt△AOD 中，OD= = =2 ，根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，∴D当H的O、最D小、值H=O三D点﹣共O线H=时2，D﹣H2的．长度最小，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 三角形的三边关系，确定出 DH 最小时点 H 的位置是解题关键，也是本题的难点．22．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，在AB 的两侧有定点C 和动点P ，AB=5，AC=3．点P 在 上运动（点P 不 与 A ，B 重合），CP 交 AB 于点 D ，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q ．【分析 （1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC 的长，再根据圆周角定理得出∠A=∠P ，由 （锐2角）三三角角函形数的的面定积义公即式可求得出出∠结A 论的；正 切值，故可得出CD 的长，再由垂径定理求出PC 的长，由（1）中∠P 的正 （切3值）即由可相得似出三C 角Q 形的的长性；质 可得出△ABC ∽△PQC ，故可得出 = ，故可得出CQ= = PC ，故当PC 是⊙O 的直径时CQ 取得最大值，再把 AB 的长代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵AB=5，AC=3，∴BC== =4，∴tan ∠A= = ，∵∠A 与∠P 是同弧所对的圆周角， ∴tan ∠P=tan ∠A= ； 2)∵Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，CD ⊥AB ，CD= = = ，∵AB ⊥CD ，1）求∠P 的正切值；∴PC=2CD=2× =∴CQ=PC •tan ∠P= × =3)∵PC ⊥CQ ，∠PCQ=90°， AB 是⊙O 的直径， ∠ACB=90°， ∠PCQ=∠ACB=90°， ∠A=∠P ，△ABC ∽△PQC ，∴当 PC 是⊙O 的直径时CQ 最长， ∴CQ 最长= ×5= ．最长【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及圆周角定理等知识， 难度适中．23．（ 2013•日照）问题背景： 如图（a ），点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关 于 l 的对称点 B ′，连接 AB ′与直线 l 交于点 C ，则点 C 即为所求．如图（b ），已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点， （则2B ）P+知A 识P 拓的展最：小 值为 2 ．如图（c ），在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和 AB 上 【考点】求轴对BE 称+-E 最F 短的路最线小问值题，．菁优网版权所有 出解答过程．【分析 （1）找点A 或点B 关于CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和CD 的交点P 就是所求作的 位置．根据题意先求出∠C ′AE ，再根据勾股定理求出AE ，即可得出 PA+PB 的最小值；（2）首先在斜边AC 上截取AB ′=AB ，连结BB ′，再过点B ′作B ′F ⊥AB ，垂足为F ，交AD 于E ，连结BE ，则线 【解答】长解即：（为1所）求作．点 B 关于CD 的对称点 E ，连接 AE 交 CD 于点P ，此时 PA+PB 最小，且等于 AE ．∴CQ== PC1）实践运用：。
