20年苏教版初中数学《圆有关的最值问题》专题

与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题可以包括多个方面，例如圆的周长、面积、弧长等。

以下是一些常见的与圆相关的最值问题及其解决方法：
1. 圆的周长最值问题：
* 设圆的半径为r，则周长C=2πr。

当r取最小值时，C取最小值。

* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。

2. 圆的面积最值问题：
* 设圆的半径为r，则面积A=πr^2。

当r取最小值时，A取最小值。

* 解决方法：与周长最值问题类似，当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。

3. 圆的弧长最值问题：
* 设圆的半径为r，圆心角为θ，则弧长L=rθ。

当θ取最大值时，L取最大值。

* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时θ取最大值。

4. 圆内接四边形面积最值问题：
* 设圆内接四边形的边长分别为a, b, c, d，则面积S=(a×b+c ×d)/2。

当a=b=c=d时，S取最大值。

* 解决方法：当四边形为正方形时，S取最大值。

5. 圆内接三角形面积最值问题：
* 设圆内接三角形的边长分别为a, b, c，则面积S=(a×b+b×c+c×a)/4。

当a=b=c时，S取最大值。

* 解决方法：当三角形为等边三角形时，S取最大值。

以上是与圆相关的常见最值问题及其解决方法，希望对您有所帮助。

初中数学圆中最值定值问题专题（推荐）圆中最值域定值问题研究类型一、例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P 为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P 是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____类型三、随动位似隐圆例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________[分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=12AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。

初三数学“与圆相关的最值问题”题型精练一．选择题（共14小题）1．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P 是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．72．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4B．C．D．23．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为（）A．+1B．+1C．D．+15．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①＝；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①②D．③④6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O 上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（）A．B．C．2D．7．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）A．10+1B．10C．10.5D．11.58．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）A．﹣1B．2C．2D．39．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（）A．2+B．3+C．3+D．4+10．如图，是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是上的一动点，则四边形AODC 的面积s的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，且与y轴交于点B，过点B作直线BC 平行于x轴，点M（a，1）在直线BC上，若在⊙O上存在点N，使得∠OMN＝45°，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤1B．﹣C．D．12．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为4B．随点C的运动而变化，最大值为4C．随点C的运动而变化，最小值为2D．随点C的运动而变化，但无最值13．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2C．D．14．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于E 点，连接CE，P是CE上任意一点，PM⊥BC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，则PM+PN 的值为（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm二．填空题（共11小题）15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是．16．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，过点P 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为．17．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx+3与轴、轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是．18．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．19．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是．21．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为cm．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．24．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为．25．如图，正方形ABCD，以B为圆心，BC长为半径画弧，点E在圆弧上，EH⊥BC于点H，P是△EHB的内心，AB＝2，则AP的最小值为．三．解答题（共1小题）26．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．参考答案一、选择1-5. BBBBC 6-10 BCCAB 11-14 ABBA二、填空15.﹣1 16.2 17.4 18.219. （3﹣1）20. 4．21.22.23.2﹣2 24.4．25.﹣．三、解答题解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．。

微专题：与圆有关的最值问题1.如图，在平面直接坐标系中，A（4，0）、B（0，-3），以点B 为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C 为AP 的中点，连接OC，则OC 的最小值为.2.如图，在平面直接坐标系中，M（6,8），P 是以M 为圆心，2 为半径的⊙M 上一动点，A（-2,0）、B（2,0），连接PA、PB，则PA2 PB2 的最大值是.3.如图，AB、CD 是半径为5 的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN 于点F，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为.4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点 C 为圆心，6 为半径AD＋BD 的最小值是．的圆上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则235.如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心 A 的坐标为（-1，0），半径为 1，点 P 为直线 y 334y x =-+上的动点，过点 P 作⊙A 的切线，切点为 Q ，则切线长 PQ的最小值是 .6.如图，已知直线334y x =-与 x 轴、 y 轴分别交于 A ， B 两点， P 是以 C (0,1) 为圆心，为半径的圆上一动点，连接 PA ， PB ，则PAB 面积的最大值是.7.如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ，BC 3 ，以点 A 为圆心，1 为半径画圆，E 是⊙ A 上 一动点， P 是 BC 上一动点，则 PEPD 的最小值是.8.如图，在平面直角坐标系中，点 P 是以C(为圆心，1 为半径的⊙C 上的一个动点，已知 A(-1, 0), B(1, 0) ，连接 PA, PB ，则 PA 2 +PB 2 的最小值是 .9.如图，AC＝1，∠BAC＝60°，弧 BC所对的圆心角为 60°，且 AC⊥弦 BC．若点 P 上，点 E、F 分别在 AB、AC 上．则 PE＋EF＋FP 的最小值为.10.如图，在正方形 ABCD中，动点 E，F分别从 D，C两点同时出发，以相同的速度在边 DC，CB上移动，连接 AE和 DF交于点 P，由于点 E，F的移动，使得点 P 也随之运动，若 AD=2，线段 CP的最小值是.。

IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。

在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。

以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。

然后，利用几何性质和定理来分析问题。

对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。

通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。

2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。

首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。

然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。

最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。

3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。

首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。

然后，将几何关系转化为代数方程或函数。

接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。

最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。

例题1.（2020北京，5题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【分析】本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题． 结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可． 思维升华如何解决这类问题，关键能把几何知识转化为代数式，达到几何代数的“和谐统一”。

用“数形结合”思想来研究该类问题。

基本知识已知点坐标为),(),(2211y x B y x A 、，直线：0=++C By Ax 两点间距离公式：()()212212y y x x d -+-=点到直线距离公式：2211BA C By Ax d +++=【答案】A 【解析】 【解答】 解：如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为以(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离最小时，连结OB，A在OB上且AB=1，此时距离最小，由OB=5，得OA=4，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选：A．，向量b⃗ 满足例2.（2018浙江，9题）已知a⃗，b⃗ ，e⃗是平面向量，e⃗是单位向量．若非零向量a⃗与e⃗的夹角为π3b⃗ 2−4e⃗⋅b⃗ +3=0，则|a⃗−b⃗ |的最小值是()A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√3【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．把等式b⃗ 2−4e⃗⋅b⃗ +3=0变形，可得得(b⃗ −e⃗ )⋅(b⃗ −3e⃗ )=0，即(b⃗ −e⃗ )⊥(b⃗ −3e⃗ )，设e⃗=(1,0)，则b⃗ 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到a⃗的终点在不含端点O的两条射线y=±√3x(x>0)上，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由b⃗ 2−4e⃗⋅b⃗ +3=0，得(b⃗ −e⃗ )⋅(b⃗ −3e⃗ )=0，∴(b⃗ −e⃗ )⊥(b⃗ −3e⃗ )，如图，不妨设e⃗=(1,0)，则b⃗ 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a⃗与e⃗的夹角为π3，则a⃗的终点在不含端点O的两条射线y=±√3x(x>0)上．不妨以y=√3x为例，则|a⃗−b⃗ |的最小值是(2,0)到直线√3x−y=0的距离减1．即√3|√3+11=√3−1．故选：A．例3（2020河南，11题）已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=0【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得S四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2√|PM|2−4，说明要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．【解答】解：化圆M为(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2．∵S四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S△PAM=|PA|⋅|AM|=2|PA|=2√|PM|2−4．∴要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y−1=12(x−1)，即y=12x+12，联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P(−1,0)． 则以PM为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，可得直线AB的方程为2x +y +1=0．故选：D ．变式1.点A ，B 分别为圆M ：x 2+(y −3)2=1与圆N ：(x −3)2+(y −8)2=4上的动点，点C 在直线x +y =0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】本题考查圆有关的最值问题，以及关于直线对称的圆的方程，属于中档题． 根据题意，算出圆M 关于直线l 对称的圆M′方程为(x +3)2+y 2=1，当点C 位于线段上时，图象中线段A′B 的长就是|AC|+|BC|的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出|AC|+|BC|的最小值． 【解答】解：设圆M′是圆M ：x 2+(y −3)2=1关于直线x +y =0对称的圆，2.变式训练可得，圆M′方程为(x+3)2+y2=1，由于圆M′上的点与圆N上的点连线必与直线x+y=0相交，所以问题转化为圆M′上的点A′与圆N上的点B连线长的最小值问题，可得当C为线段与直线x+y=0交点、A′为线段与圆M′交点、B线段与圆N交点时，如图，线段A′B的长是圆N与圆M′上两个动点之间的距离最小值，圆N：(x−3)2+(y−8)2=4，圆心N(3,8)，半径R=2，10，，因此|AC|+|BC|的最小值为7，故选A．的取值范围是()变式2.若实数x，y满足x2+y2=3，则yx−2A. (−√3,√3)B. (−∞,−√3)⋃(√3,+∞)C. [−√3,√3]D. (−∞,−√3]⋃[√3,+∞)【答案】C【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，点到直线的距离公式，属于一般题．根据直线与圆相切或相交求出斜率的取值范围．【解答】看作经过圆x2+y2=3上的点和点(2,0)的直线斜率，易知斜率存在，解：根据题意，可将yx−2=k，可设yx−2则可化为直线方程：y=k(x−2)，即kx−y−2k=0．由坐标原点(0,0)到直线kx−y−2k=0的距离等于√3，=√3，得√k2+1解得k=±√3．的取值范围是[−√3,√3]．所以yx−2故选：C．变式3.已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P使得∠APB=90∘，则m的最大值为________．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查圆有关的最值问题，属于基础题．根据两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，再找出圆上的点到原点的距离的最大值，根据圆中直角所对的弦是直径得出△ABP的外接圆半径是m，即PO=m，从而得出m的最大值．【解答】解：由题意画出图像如下：线段AB长为2m，圆C:(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径r=1，因为圆心C(3,4)到原点O(0,0)的距离是：d=√(3−0)2+(4−0)2=5，所以圆上的点到O的距离的最大值是：d+r=6，再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，AB=m，故有m≤6．可得PO=12故答案为6．3.活学活用串讲1.已知圆M：x2+y2−2x−2y−2=0,直线l:2x+y+2=0,P是l上的动点。

圆中最值域定值问题研究类型一、例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B （0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____类型三、随动位似隐圆例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________[分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=12AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。