初中数学综合训练--圆中的最值问题(43题)

初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。

求MP+NP的最小值。

例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。

求PC+CD的最小值。

例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。

求PE+PF的最小值。

类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。

例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。

问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。

方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。

圆中动点求最值专训一．选择题（共24小题）1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2 C． D．2．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．C．D．3．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．24．如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．6．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（）A．B．C．D．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．58．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4 B．C．D．29．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1 C．D．11．如图，以G（0，1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为（）A．B．C．D．12．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π13．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C．cm D．1cm14．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A．12πB．8πC．6πD．4π15．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2D．216．如图，直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．617．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．18．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD 边于点F，则=（）A．B．C．D．19．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD ⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根，则AB的长等于（）A． B．C．8 D．520．如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①②C．①②③ D．③④21．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④D．①②④22．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（）A．6 B． C． D．23．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．24．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m﹣n的最大值是（）A．3 B．2 C．D．圆中动点求最值专训参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2 C． D．【解答】解：如图：连接OM，OB，OA，BD．则在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．∵OB=2，∴∠OBM=30°．∴∠MOB=60°．连接OA．则∠AOB=120°．∴∠C=∠AOB=60°．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠CBD=30°，∴CD=BC，∴当BC取最大值时，CD最大．如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC=4．∴CD最大=2．故选B．2．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，连接QC，如图，则有BD∥CE．∵AP∥BC，∠BDE=90°，∴四边形BCED是矩形，∴∠DBC=∠ECB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBA=∠ECA=30°，∴AD=1，AE=1，∴BD=，CE=．设AP=x，则DP=x+1，EP=．在Rt△BDP中，BP2=BD2+DP2=3+（x+1）2=x2+2x+4．在Rt△CEP中，CP2=CE2+EP2=3+（x﹣1）2=x2﹣2x+4．∵AM∥BC，∴∠APB=∠CBP．∵∠APB=∠ACQ，∴∠ACQ=∠CBP．∵∠QAC=∠CPB，∴△AQC∽△PCB，∴=，∴AQ=2×，∴AQ2=4×=4×=4×（1﹣）=4×（1﹣）=4﹣，当=0即x=2时，AQ2取到最小值为，此时AQ=．故选D．3．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【解答】解：设⊙O′的半径为r，BC=x，∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，又AB⊥CD，∴BC2=BH•BA=6（BF﹣FH）=6（BF﹣r），如图，连接O′F，OO′，∵AB为⊙O′的切线，∴△OO′F为直角三角形，∴O′O2﹣O′F2=OF2，∴（3﹣r）2﹣r2=（BF﹣3）2，∴BF2=6（BF﹣r），∴BC=BF，∴BC2=6（BC﹣r），即x2=6（x﹣r），∴r=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+，∴当x=3时，⊙O′的半径取得最大值，即BC的长为3，故选B．4．如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当⊙O与AM相切于D时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的最大，如图，作BH⊥AD于H，∵∠A=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠ADB=45°，AH=AB=，∵AD为⊙O的切线，∴AD2=AB•AC=2（2+2）=8，∴AD=2，∴DH=AH=，∴BH为△ACD的中位线，∴BH∥CD，∴CD⊥AM，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=45°，∴sin∠BDC=．故选C．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．【解答】解：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，∵O为正方形ABCD的中心，∴∠DCO=∠BCO，又∵CF与CE都为圆O的切线，∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，∴∠DCO﹣∠FCO=∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF=∠BCE，又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，∴∠OCN=15°，∵BC=AB=4，∴CO=AC=2，∵sin∠OCN=sin15°==，∴=，即ON=×2===﹣1，故选：C．6．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点D为BC的中点，DE∥AC，∴DE为△ABC的中位线，∴AE=BE，∵PE=EF=3，∴四边形PBFA是平行四边形，∴PA=BF，PB∥AF，∴∠BPF=∠AFP，∵PF∥AC，∴∠AFP=∠FAC，∴BPF=∠FAC，又∵∠FBC=∠FAC，∴∠FBC=∠BPF，∵∠DFB=∠BFP，∴△BFD∽△PFB，∴，即=∴BF=，∴PA=BF=．故选C．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【解答】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=AC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1，∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线，∵DN是⊙M的切线，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°，∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE，∵MN=BM=OM=OB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3，∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP，∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2，∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP×=1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．故选C．8．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4 B．C．D．2【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=．故选：B．9．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B==5，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5﹣3﹣1=5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选A．10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1 C．D．【解答】解：设⊙O的半径为1，则BD=2．连结PD，则∠BPD=90°．在Rt△BPD中，PB=BD•cosθ=2cosθ．在Rt△BON中，BN==，在Rt△BMN中，MN=BN•tanθ=，在Rt△PMN中，∵∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，∴PN=MN=．∵BN+PN=PB，∴+=2cosθ，∴1+tanθ=2cos2θ，∴2cos2θ﹣tanθ=1．故选B．11．如图，以G（0，1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，∵G（0，1），即OG=1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO==，∴AB=2AO=2，又∵CO=CG+GO=2+1=3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∴度数为60°，∵直径AC=2，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．故选B．12．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π【解答】解：如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC=OA，OC′=OA′，∴CC′=OC′﹣OC=（OA′﹣OA）=AA′=6，∴点C随点A运动所形成的圆的面积为π×（3）2=27π，故选B．13．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C．cm D．1cm【解答】解：如图，取AB、CD中点K、G，连接KG、BD交于点O．由题意可知点Q运动的路线就是线段OG，∵DO=OB，DG=GC，∴OG=BC=×4=2．∴点Q移动路线长度的最大值是2．故选B．14．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A．12πB．8πC．6πD．4π【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动轨迹是，当AD⊥BD时，∵AB=2AD，∴∠ABD=30°，∵∠ABC=45°，∴∠OBP=15°，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=15°∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°，当AE′⊥CE′时，同理可得∠BOP′=30°，∴∠POP′=120°，∵AC=AB=6，∠BAC=90°，∴BC=AB=12，∴OP=6，∴==4π，故选D．15．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2D．2【解答】解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•1=π．故选B．16．如图，直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：∵直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，∴y=2（x﹣3）=2x﹣6，∵与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，∴AD=2BE，∴假设B点的横坐标为3+x，∴B点的纵坐标为：y=2（x+3）﹣6=2x，∴BE=2x，AD=4x，∵y=2x，∴OD=AD=2x，∴A点的纵坐标为：4x，根据A，B都在反比例函数图象上得出：∴2x×4x=（3+x）×2x，x=1，∴k的值为：2×1×4×1=8，故选：C．17．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：作OF⊥CD，垂足为F，∵两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，∴AE=BE=4，AE×BE=CE×DE，假设CE=4x，DE=9x，∴4×4=4x•9x，解得：x=，∴CE=4×=，DE=9×=6；∵OF⊥CD，∴DF=CF=，⊙O的半径为5，∴OF==．故选A．18．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD 边于点F，则=（）A．B．C．D．【解答】解：连接OE、OF、OC．∵AD、CF、CB都与⊙O相切，∴CE=CB；OE⊥CF；OF平分∠AFC，OC平分∠BCF．∵AF∥BC，∴∠AFC+∠BCF=180°，∴∠OFC+∠OCF=90°，∴∠COF=90°．∴△EOF∽△EOC，得OE2=EF•EC．设正方形边长为a，则OE=a，CE=a．∴EF=a．∴=．故选C．19．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD ⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根，则AB的长等于（）A． B．C．8 D．5【解答】解：∵3x2﹣10x+3=0，∴x=3（不合题意，舍去）或x=．∴cosD=AD：BD=1：3，设AD=x，则BD=3x．∴AB==2x，BC=2x﹣4．∴（2x）2=（2x﹣4）•x．∴x=0（舍去），或x=2．∴AB=2×2=8．故选C．20．如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①②C．①②③ D．③④【解答】解：∵I为△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；∵O在BC上，∴∠BAC=90°，∵I是△ABC的内心，∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，∴四边形QIHA是正方形，∴IQ=AQ=AI=IH，∴AC﹣IH+AB﹣IH=BC，∴IH=（AC+AB﹣BC），由勾股定理得：AI=IH，∴②正确；AD=AI+ID=（AC+AB﹣BC）+BC，=AC+AB，（IM+BC）=[（AC+AB﹣BC）+BC]=AC+AB，∴③正确；∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，∴△EFI∽△CBI，∴=，∵BC一定，∴④错误；故选C．21．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④D．①②④【解答】解：①∵直角三角形内切圆半径=，∴IF=，∴AB+AC=BC+2IF，正确；②∵I为△ABC的内心，∴∠BIA=90+∠C，∴4∠BIA=360°+2∠C，∵∠BOA=2∠C，∴4∠AIB﹣∠BOA=360°，正确；③∵点I是△ABC的内心，∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠EBC=∠BAD，∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD∴∠EIB=∠EBI，∴EB=EI．③正确；④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，∴∠EAN=45°，∴EN=AN，∴四边形ENAM是正方形，∴（AM+AN）=AE，EN=EM，∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，∴∠CEN=∠BEM，∴△CEN≌△BEM，∴CN=BM，∴（AB+AC）=AE，由（1）得AB+AC=BC+2IF，∴AB+AC=2R+2IF，IF+R=，∴=，∴④正确．故选C．22．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（）A．6 B． C． D．【解答】解：∵EP∥OA，∴∠DEP=∠AOB=60°，∵PD⊥OB，∴PD=PE=×6=3，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD=3，∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠POC=×60°=30°，∴OP=2PC=6，∵点F是OP的中点，∴CF=OP=×6=3．故选D．23．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．【解答】解：连接BG，如图．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，∴AD=BD=AB=3．又∵CD=4，∴BC=5．∵E是高线CD的中点，∴CE=CD=2，∴CG=CE=2．根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．∵P是AG中点，D是AB的中点，∴PD=BG，∴DP最大值为．故选A．24．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m﹣n的最大值是（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴=，∵PA=m，PB=n，半径为3，∴=，∴n=m2，∴m﹣n=m﹣m2=﹣m2+m=﹣（m﹣3）2，∴m﹣n的最大值是．故选C．。

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案姓名1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，D．则线段DE长度的最大值为( ). A．3 B．6 C．24.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ．（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．（4）在点P的运动过程中，线段CQ长度的取值范围为。

7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是．9．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD的值最大，且最大值是为 .10．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为( ).D. 2211．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P 在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是 .13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 .14．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B． C．3 D．215.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．16.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)17418．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ).A ．194 B ．245 C ．5 D ．19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．20．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为( ). A. B.C. 321．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则PA 2+PB 2最大值是 .参考答案引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=P A．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：【2012年武汉市中考】在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：【2013年武汉市元月调考试题】如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b的最大值.引例3：【2013年武汉市四月调考试题】如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O 上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.【2013年武汉市中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是CA【2014年武汉市四月调考试题】如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点．若⊙O 的半径长为3，OP ＝ 3 ，则弦BC 的最大值为 A ．2 3 ． B ．3． C ． 6 ． D ．3 2 ． 【2014年武汉市元月调考试题】．如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（ ）A ．30<<rB ．3=rC ．233<<rD ．23=r三、中考展望与题型训练方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD交PB 的延长线于D 点．在点P 的运动过程中，线段CD方法二、正弦定理如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．方法三、柯西不等式在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 . 方法四、利用函数求最值如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .方法五、借助对称求最值如图，已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，求BP+AP 的最小值【题型训练】1．如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为 .2．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为( ).4334（1题） （2题） 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．194B ．245C ．5D ．4．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．（3题） （4题） （5题） 5．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O半径的最小值为( ).D. 26．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C.2- D.2-（6题）（7题）（8题）7．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．48．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .9、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，求∠OAP的最大值。

圆中的最值问题【考题展示】题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作+⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b 的最大值.（有修改）题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P 为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题 4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为A∠=︒，6_________．（有修改）题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________．题1图题2 图题3 图题4图题5图【典题讲练】类型1（相关题：题5）1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O 的距离的最大值是_________．1.2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y 轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．1.4边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为_________．1.5 如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为_________；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为_________．D O P CB A1.6 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是_________．1.7 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是_________．B AC MD类型2（相关题：题4）2.1如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC 面积的最大值是_________．2.2如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．2.3如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_________．2.4已知Rt△ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_________．2.5如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．2.6如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是_________．2.7如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．2.8 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．类型3（相关题：题3）3.1如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值．3.2如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．类型4（相关题: 题2）4.1如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．(参考2.4、2.5）4.2如图，半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2+CD2=_________．4.3 如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为_________．4.4如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS取值范围．4.5如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 .O DC EA B4.6 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .类型5（相关题：题1）5.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上O A B C O A B xy P 的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是_________．5.2 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .5.3 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .5.4 在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 是y 轴右侧一点，且AB=2，点C 上直线y=x+1上一动点，且CB ⊥AB 于点B ，则tan ACB m ∠=，则m 的取值范围是 .5.5 如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最大值；E BO D【拓展延伸】：①2b a +的范围；②2b a -的范围；类型66.1 如图，CD 是⊙O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当CD=4时，求：（1）AP+BP 的最小值．（2）AP ﹣BP 的最大值．6.2 如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为直径，弧AC 的度数为80°，弧BD 的度数为20°，点P 为直径AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为_________．6.3 如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为_________．6.4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B 方向运动，设运动时间为t （s ），连接EF 、CE ，当t 为_________秒时，CE+EF 最小，其最小值是_________．A B CF E C B A OGD6.5 四边形ABCD 内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC ．设O 是AC 的中点．（1）设P 是AB 上的动点，求OP+PC 的最小值；（2）设Q ，R 分别是AB ，AD 上的动点，求△CQR 的周长的最小值．补充练习（与例题类型不完全对应）1. 如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为_________．2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 3的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.（1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是_________．（2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是_________．3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为_________．第 11 页 共 12 页 A Q P O AD B CE F C AD B Q P O A B D C P4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为_________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是_________．6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为_________．7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是_________．8．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为_________．第 12 页 共 12 页 O A x y P9．在直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P （m n ，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n -的范围为_________．10．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则PA 2+PB 2最大值是_________．11. 如图所示，AC ⊥AB ，AB=6，AC=4，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE ⊥CD 交直线AB 于点E ，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°）．若要使点E 在线段OA 上（包括O 、A 两点），则tan α的取值范围为_________．。

专题圆中最值问题一、知识点1.两点之间，线段最短。

（两个定点间距离问题）2.垂线段最短（一定点一动点，动点运动轨迹为直线）3.利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值4.过圆内点弦最值问题：利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值5.利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值二、典例分析例1 ．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB 上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.练习：如图，圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.例2 如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。

圆中的最值问题题型一：利用圆周角、圆心角的转化1、如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）题型二、化曲为直典型应用1、如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）题型三、点与圆上的点的最值问题1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）2、如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）3、．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．题型三、圆上动点到定弦的最值问题3、如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．四边形APBC的最大面积为．题型四、圆内弦的最值问题1、如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，BP最大值为．题型五、利用三角形三边关系、结合中点辅助线求最值1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．2、.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_____________.题型六、折叠产生圆的问题1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．A'N M A B CD2、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．AB C E FP对应作业1、等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为 ．2、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为 ．3、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为 ．。

点圆关系问题三、利用坐标特性进行转换【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，1)、B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则 t 的最大值是 .【解析】如图，连接AP ，∵点A(0，1)、点B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，∴AB=(1+t)−1=t ，AC=1−(1−t)=t ，∴AB=AC ，∵∠BPC=90∘，∴AP=21BC=AB=t ， 要t 最大，就是点A 到⊙D 上的一点的距离最大，∴点P 在AD 延长线上，∵A(0，1)，D(4，4)，∴AD=()51-4162=+， ∴t 的最大值是AP=AD−PD=5+1=6，最小值为4.故答案为：6，练习5-1如图，已知直线y=43x −3与x 轴、y 轴分别交于A. B 两点，P 是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB.则△PAB 面积的最大值是( ) A. 8 B. 12 C. 221 D. 217【解析】∵直线y=43x −3与x 轴、y 轴分别交于A. B 两点， ∴A 点的坐标为(4，0)，B 点的坐标为(0，−3)，3x −4y−12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则由三角形面积公式得：21×AB×CM=21×OA×OC+21×OA×OB ， ∴5×CM=4×1+3×4，∴CM=516， ∴圆C 上点到直线y=43x−3的最大距离是1+516=521， ∴△PAB 面积的最大值是21×5×516=221， 故选：C.练习5-2如图，直线y=43x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C(1，0)为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA ，PB ，则△PAB 面积的最小值是( )A. 5B. 10C. 15D. 20【解答】作CH ⊥AB 于H 交⊙O 于E. F.∵C(1，0)，直线AB 的解析式为y=43x +3， ∴直线CH 的解析式为y=34-x +34， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=3433434x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=51254y x ，∴H(−54，512)， ∴CH=22)512()541(++=3， ∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，AB=5，∴EH=3−1=2，当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，最小值=21×5×2=5，练习5-3如图，已知直线y=343-x 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB ，当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为________．【解析】过C 作CM ⊥AB 于M ，交x 轴于E ，连接AC ，MC 的延长线交⊙C 于D ，作DN ⊥x 轴于N ，∵直线y=343 x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点， 令x=0，得y=-3，令y=9，得x=4 ∴A(4，0)，B(0，−3)，∴OA=4，OB=3，∴AB=则由三角形面积公式得，21×AB×CM=21×OA×BC ， ∴ 21×5×CM=21×4×(1+3)， ∴CM=516∴BM=∴圆C 上点到直线y=343 x 的最大距离是DM=1+ 516 = 521 当P 点在D 这个位置时，△PAB 的面积最大， ∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB ，∴△COE ∽△CMB ，∴∴∴OE=43，CE=45， ∴ED=1+45=49∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥OC ，∴△COE ∽△DNE ，∴ ，即∴DN=59，NE=2027∴ON=NE−OE=2027−43=53∴D(−53，59)∴当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为(−53，59)故答案为：(−53，59)练习5-4在平面直角坐标系xOy 中，A(-m,0) ，B(m,0) （其中m>0 ），点P 在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足∠APB=90°，（1）线段OP 的长等于________（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为________．【解析】（1）∵OA=OB=m ，∴OP=21AB=m ； （2）连结OC 交⊙C 于D ，则OD 最短，∵OC==5，∴OD=OC －r=5－2=3．∴m 的最小值为3．故答案为（1）m ；（2）3．练习5-5如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C(-72，)为圆心，1为半径的⊙O 上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是 .【解析】P （x,y ），根据两点间距离公式PA 2=（x+1）2+y 2PB 2=（x-1）2+y 2OP 2=x 2+y 2当点P 处于OC 与圆的交点上是，OP 取得最值所以OP 最小值为CO-CP=15【经典例题6】如图，抛物线y=41x 2-4与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ 。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题小专题（六） 圆中常见的最值问题类型1 利用对称求最值1．如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，则AP ＋BP 的最小值类型2 利用垂线段最短求最值2．如图，已知一次函数y ＝－x ＋22的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM提示：当OP⊥AB 时，PM 取得最小值．类型3 利用两点之间线段最短求最值3．如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为（3，4），点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A ，B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为6．提示：连接PO ，由题意可知PO ＝12AB ，所以AB 最小转化为PO 最小，点O ，P ，M 三点共线时PO 取得最小值．类型4 利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，已知⊙O 的半径为4，劣弧AB ︵的度数为120°，Q是⊙O 上一动点，则PQ 长的最大值是（B ）A ．12 3B ．12C ．8 3D ．4 3第4题图 第5题图5．（2018·安徽四模）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为6，则GE ＋FH 的最大值为（B ）A ．6B ．9C ．10D ．12提示：EF 为△ABC 的中位线，所以EF ＝12AB ，所以当GH 最大时，GH －EF 最大，即GE ＋FH 取得最大值．6．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是第6题图 第7题图7．（2018·内江）如图，以AB 为直径的⊙O 的圆心O 到直线l 的距离OE ＝3，⊙O 的半径r ＝2，直线AB 不垂直于直线l ，过点A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，C ，则四边形ABCD 的面积的最大值为12．拓展类型 隐圆问题8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为（B ）A.3 2B．210－2C．213－2D．4提示：点E在以Rt△ABE斜边为直径的圆上．。

圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。