12章 代数系统习题补充教程文件

第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习（二)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答、共100分,考试时间90分钟、第Ⅰ卷（选择题 共40分)一、选择题（本大题共10小题,每小题4分，共40分）1、设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ）A 、0ad bc -=B 、0ac bd -=C 、0ac bd +=D 、0ad bc +=2133i i+- ) A 、i B 、i - C 3i D 3i3、若复数z 满足方程022=+z ,则3z 的值为( ）A 、22±B 、22-C 、i 22-D 、i 22±4、对于任意的两个实数对(a ,b)和（c ，d ），规定(a ,b ）＝(c ，d ）当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗,运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕,设R q p ∈,,若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p ( )A 、)0,4(B 、)0,2(C 、)2,0(D 、)4,0(- 5、适合方程02=--i z z 的复数z 是( )A 、i 2163+ B 、i 2163- C 、i 2163-- D 、i 2163+± 6、2)1(3i -＝ （ ） A 、错误!i B 、－错误!i C 、i D 、－i7、i 是虚数单位，=+ii 1( ) A 、i 2121+ B 、i 2121+- C 、i 2121- D 、i 2121-- 8、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =( )A 、1B 、1-C 2D 、2-9、已知复数z 满足 3＋3i ）z ＝3i ,则z ＝（ ）A 、332B 、334C 、332D 、334 10、在复平面内，复数1i i+对应的点位于 ( ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、已知11m ni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则__________ 12、在复平面内,若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是。

第一章 §1 第1课时一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．函数关系是一种确定性关系 B ．相关关系是一种非确定性关系C ．回归分析是具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法D ．回归分析是具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法 [答案] C[解析] 回归分析是具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，而不是具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故选C.2．对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u 、v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 观察图像易知选项C 正确．3．下列变量之间的关系不是相关关系的是( )A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4acB ．光照时间和果树亩产量C ．降雪量和交通事故发生D ．每亩用肥料量和粮食亩产量 [答案] A4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200B ．y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200 D ．y ^＝10x －200[答案] A[解析] 本题主要考查变量的相关性．由负相关的定义排除B ，D ，由x ＝1时，y >0排除C.5．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要________h ．( )A ．6.5B ．5.5C ．3.5D ．0.5[答案] A[解析] 将x ＝600代入回归方程即得A. 6．对于相关关系r ，下列说法正确的是( ) A ．|r |越大，相关程度越小 B ．|r |越小，相关程度越大C ．|r |越大，相关程度越小，|r |越小，相关程度越大D ．|r |≤1且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小 [答案] D[解析] |r |≤1，当|r |越接近于1，误差越小，变量之间的线性相关程度越高；|r |越接近于0，误差越大，变量之间的线性相关程度越低，故选D .二、填空题7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法． [答案] 相关[解析] 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法． 8．已知x 、y 的取值如下表：若x 、y 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为________． [答案] 2.6[解析] 由已知得x －＝2，y －＝4.5，而回归方程过点(x －，y －)，则4.5＝0.95×2＋a ， ∴a ＝2.6.9．某市居民2010～2014年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：________线性相关关系．[答案] 13 正[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．，r ≈0.97，正相关．三、解答题10．(2013·沈阳联考)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． [答案] (1)散点图略 (2)y ^＝0.5x ＋0.4 (3)5.9万元 [解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝1020＝0.5，a ^＝y －－b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．一、选择题11．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．回归分析中，如果r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1) [答案] D[解析] ∵相关系数|r |≤1，∴D 错．12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元[答案] B[解析] 此题必须明确回归直线方程过定点(x ，y )．易求得x ＝3.5，y ＝42，则将(3.5,42)代入y ^＝b ^x ＋a ^中得：42＝9.4×3.5＋a ^，即a ^＝9.1，则y ＝9.4x ＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．13．(2012·湖南文，5)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题考查线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．14．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x ，y )：A ．y ＝1.218 2x ＋14.192B ．y ＝1.218 2＋14.192x C ．y ＝1.218 2－14.192x D ．y ＝1.218 2x －14.192[答案] D[解析] 由表中数据可得x ＝71，y ＝72.3，因为回归直线一定经过点(x ，y )，经验证只有D 满足条件．二、填空题15．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：那么变量y 关于x [答案] y ^＝0.575x －14.9[解析] 根据公式计算可得b ^＝0.575，a ^＝－14.9，所以回归直线方程是y ^＝0.575x －14.9. 三、解答题16．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)如果x 、y 呈线性相关关系，求y 对x 的线性回归方程． [答案] (1)散点图略 (2)y ^＝22.05＋0.625x . [解析] (1)散点图如图：(2)x ＝73.2，y＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝27 174，∑i ＝15y 2i ＝23 167，∑i ＝15x i y i ＝25 054，∴b ^＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625，a ^＝y －b ^x ＝22.05，所求回归方程为y ^,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x .17．(2012·福建文，18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[答案] (1)y ^＝－20x ＋250 (2)8.25[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．。

习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。

(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。

（2）否。

运算不封闭（3）否。

运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。

(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。

*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。

(2)封闭。

*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。

(3)封闭。

*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。

(4)不封闭。

3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。

（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。

0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。

4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。

(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。

(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。

解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。

(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。

系统工程第四版习题解答第三章系统模型与模型化21. 给定描述系统基本结构的有向图，如图3-16a、b所示。

要求：（1）写出系统要素集合S及S上的二元关系集合R。

b（2）建立邻接矩阵A、可达矩阵M及缩减矩阵M'。

解：（2）3-16a：规范方法：①区域划分所以系统无法划分为两个或两个以上相互独立的区域，即②级位划分③提取骨架矩阵④绘制多级递阶有向图实用方法：缩减矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=='11110010000110001110111115432154321M M 3-16b ： 规范方法： ①区域划分所以系统无法划分为两个或两个以上相互独立的区域，即 ②级位划分③提取骨架矩阵 ④绘制多级递阶有向图 实用方法：缩减矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='100001001010111163216321M 绘制多级递阶有向图：22. 请依据图3－17建立可达矩阵，并用简化方法建立其递阶结构模型。

解：1P9P绘制多级递阶有向图：23. 已知下面的系统可适矩阵，分别用规范方法与实用方法建立其递阶结构模型。

（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡101000001101000010000000101001101000000010101000176543217654321 （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000000110110101111101000011010000010100000111100000010000010118765432187654321解：（1）规范方法： ①区域划分所以系统可划分为两个相互独立的区域，即}7,6,5,3,1{},4,2{,)(21==∏P P S 。

②级位划分③提取骨架矩阵④绘制多级递阶有向图（2）规范方法：①区域划分所以系统不能划分为两个或两个以上相互独立的区域，即②级位划分③提取骨架矩阵④绘制多级递阶有向图 （1）实用方法：缩减矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡='11000001000000101001010000010110001754321754321M （2）实用方法：第四Array章系统动力学9. 已知如下的部分DYNAMO方程：请画出对应的SD流（程）图。

近世代数题解第一章基本概念§1. 11.4.5.近世代数题解§1. 2 2.3.近世代数题解§1. 31. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n．3. 解例如A B＝E与A B＝AB—A—B．4.5.近世代数题解§1. 41.2.3.解 1）略 2）例如规定4．5．略近世代数题解§1. 51. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．2.略3.4.5.§1. 61.2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系．3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.6.证 1）略2）7.8.9.10.11.12.第二章群§2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质1)群中左单位元也是右单位元且惟一；2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：3)半群G是群⇔方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．4)有限半群作成群⇔两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性．以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算．于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群的另一定义．定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a，在G中都存在元素1-a，对G中任意元素b都有1-a(ab)=(ba)1-a=b．这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．2．在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．4．关于结合律若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．5．关于消去律．根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可．6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．7．群与对称的关系．1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性．而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的．由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性．2)几何对称．设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群．这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的．凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换．显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．三、习题2．1解答1.略2.3.4.5.6.§2. 2 群中元素的阶一、主要内容1．群中元素的阶的定义及例子．周期群、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不成立．2．在群中若a＝n，则4．若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子．二、释疑解难在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab，这就是教材中朗定理4：4．一个群中是否有最大阶元有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子．5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与混合群．而在周期群中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积，从而也可见研究p—群的重要意义．三、习题2．2解答1.2.3.4.5.推回去即得．6.§2. 3 子群一、主要内容1．子群的定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群．4．群的中心元和中心的定义．二、释疑解难１．关于真子群的定义．教材把非平凡的子群叫做真子群．也有的书把非G的于群叫做群G的真子群．不同的定义在讨论子群时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．2．如果H与G是两个群，且H⊆G，那么能不能说H就是G的子群答：不能．因为子群必须是对原群的代数运算作成的群．例如，设G是有理数加群，而H 是正有理数乘群，二者都是群，且H⊆G但是不能说H是G的子群．答：不能这样认为．举例如下．例2设G是四元数群．则显然是G的两个子群且易知反之亦然．三、习题2．3解答1．证赂．2．证必要性显然，下证充分性．设子集H对群G的乘法封闭，则对H中任意元素a和任意正整数m都有a m∈H．由于H中每个元素的阶都有限，设a＝n，则3．对非交换群一放不成立．例如，有理数域Q 上全体2阶可逆方阵作成的乘群中，易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021a ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1031b的阶有限，都是2，但易知其乘积⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011ab的阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群．4．证 由高等代数知，与所有n 阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证． 5．证 因为(m ，n )＝1，故存在整数s ，t 使 ms 十n t ＝1． 由此可得6．7．§2. 4 循 环 群一、主要内容1．生成系和循环群的定义．2．循环群中元素的表示方法和生成元的状况．3．循环群在同构意义下只有两类：整数加群和n 次单位根乘群，其中n ＝1，2，3，…． 4．循环群的子群的状况．无限循环群有无限多个子群．n 阶循环群a 有T (n )(n 的正出数个数)个子群，且对n 的每个正因数k ，a 有且仅有一个k 阶子群kna．二、释疑解难1．我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面：1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定．其生成元的状况也完全清楚(无限循环群有两个生成元，n 阶循环群a 有)(n ϕ个生成元而且a k 是生成元⇔(k n )＝1)； 2)循环群的子群的状况完全清楚；3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数加群同构；另一类是n (n ＝1，2，…)阶循环群，都与n 次单位根乘群同构．2．循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类．它在各种应用中有着非常重要的作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具．三、习题§2. 4解答1.2.3.4.5.6.7.§2. 5 变换群一、主要内容1．变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子．2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系．1)集合M上的变换群G是双射变换群 G含有M的单或满)射变换；2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．3．有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)．二、释疑解难1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)．在学习本书时应留意这种差异．2．本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求G包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论，一种很特殊的情况．两相比较，差异较大．这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且连M的任何单射或满射变换也不能包含．另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．3．集合M上的全体变换作成的集合T(M)，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在半群的讨论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当M＞1时T(M)只能作成半群，而不能作成群．三、习题§2. 5解答1. 解作成有单位元半群，τ是单位元．但不作成群，因为σ无逆元．2.3. 解G作成群：因为易知4.5.§2. 6 置 换 群一、主要内容1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴偶性不变．从而有奇、偶置换的概念，且全体n 次置换中奇、偶置换个数相等，各为2!n 个(n ＞1)．2．k —循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法．1)k —循环与A 有相反奇偶性．2)k —循环的阶为k ．又(i 1，i 2…i k )－1＝(i k ，…，i 2，i 1 )．3)若σ分解为不相连循环之积．则其分解中奇循环个数为奇时σ为奇置换，否则σ为偶置换．σ的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由k —循环的逆元来确定． 3．由置换σ，τ求置换στσ－１的方法．n 次对称群s n 的中心．4．传递群的定义、例子和简单性质．二、释疑解难1．研究置换群的重要意义和作用．除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：1) 置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数的一种非交换群．在群的讨论中举例时也经常用到这种群．2) 在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的．如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等．3) 置换群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所没有的．例如，交代群、传递群、稳定子群和本原群等等．就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要．2．用循环与对换之积来表出置换的优越性．首先，书写大为简化，便于运算。

第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。

( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。

( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。

( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。

( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。

( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。

( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。

( )8.循环群一定是阿贝尔群。

( )9.每一个链都是分配格。

( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。

代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。

（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。

（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。

（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。

（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。

（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。

（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。

（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。

（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。

第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。

.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。

.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。

(1) 给出运算的运算表。

(2) 验证<F,>是一个群。

.设G为群,且存在a∈G,使得G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。

.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。

.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。

.证明4阶群必含2阶元。

设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。

.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。

(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。

. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。

(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。

(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。

(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。

(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。

.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。

.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。

离散数学习题解代数系统习题四 第四章代数系统1．设I 为整数集合。

判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算a ）+=｛（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}b ）－={（（x ，y ），z ）｜x,y ，zI 且z=x －y}c ）×={（（x,y)，z ）｜x ，y ，zI 且z=x ×y}d ）/={(（x ，y)，z)|x ，y ，zI 且z=x/y ｝e ）R={（（x,y ），z)｜x,y,zI 且z=x y｝f ）=｛（（x ，y),z ）｜x ，y ，zI 且z=yx }g)min = ｛(（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y)} h ）min = {（（x,y ），z)|x,y,zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（(x ，y ），z ）｜x ，y ，zI 且z= GCD(x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ）,z ）｜x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）｝[解］ a ）是。

由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一,故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算. b ）是。

由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一,故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

c ）是.由于两个整数这积仍为整数,且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

d ）不是:例如若x=5，y=6,则z=x/y=5/6∉I;当y=0时z=x|y=x/0无定义. e ）不是。

例如若x=2,y= —2，则z=x y=2–2=221=I 41∉；若x=y=0，则z=x y=0,则z=I 2x ∉=χ; g ）是。

由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。

故知max ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

h ）是。

由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。

故知min ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

代数系统第三篇代数系统（参考答案）第6章习题解答6.1 略6.2 通过运算表判别⼆元运算性质及求特导元素的⽅法：(1)交换律. 若运算表中元素关于主对⾓线成对称分布,则运算满⾜交换律.(2)⼳元.e 设运算表表头元素的排列顺序为,,,21n x x x 如果元素i x 所在的⾏和列的元素排列顺序也是,,,21n x x x 则i x 为⼳元.(3)可逆元素及其逆元.设i x 为任意元素,如果i x 所在的⾏和列都有⼳元,并且这两个⼳元关于主对⾓线成对称分布,⽐如说第i ⾏第j 列和第j ⾏第i 列的两个位置,那么j x 与i x 互为逆元.如果i x 所在的⾏和列具有共同的⼳元,则⼳元⼀定在主对⾓线上,那么i x 的逆元就是i x ⾃⼰.如果i x 所在的和地或者所在的列没有⼳元,那么i x 不是可逆元素.不难看出⼳元e ⼀定是可逆元素,且e e =-1;⽽零元θ不是可逆元素.(4)零元.θ如果元素i x 所在的⾏和列的元素都是i x ,则i x 是零元.(5)幂等元. 设运算表表头元素的排列顺序为,,,21n x x x 如果主对⾓线上第i 个元素恰为},,2,1{n i x i ∈那么i x 是幂等元.易见⼳元和零元都是幂等元.(6)幂等律.设运算表表头元素的排列顺序为,,,21n x x x 如果主对⾓线元素的排列也为 ,,,21n x x x 则该运算满⾜幂等律.其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素z y x ,,等来验证相关的算律是否成⽴.6.3 略6.4 解结果如表6-1所⽰.表6-16.5 解 (1) <6, 13>.(2) 不可交换，可结合.①任取Q Q y x b a ?>∈<><,,,,由>+>=<<*><b ay="" ax="" y="" x="" b="" a="" ,,,<="" p="" bdsfid="82">。

1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。

⑴A=⎨1,2⎬。

⑵B=⎨b|b是素数⎬。

⑶C=⎨c|c是偶数⎬。

⑷D=⎨2n| n∈N⎬。

解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。

⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。

⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。

(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。

2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和ο是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算ο定义为aοb=max(a, b)，试写出*和ο的运算表。

解：*和ο的运算表如表6.12和表6.13所示。

表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。

试写出＋7和×7的运算表。

解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。

表6.14----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------表6.154.设代数系统<A ,∗>，其中A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，分别由下列表给出。