湖南省长沙市南雅中学2020-2021学年上学期高一质量检测一(月考)数学试卷(扫描版,无答案)

【详解】
由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线 ，则直线与函数的图象至多有一个交点，
根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；
对于C图，当x=0时，有两个y值对应；
对于D中图象能表示y是x的函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的概念及其构成要素，明确函数的定义是关键，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【详解】
∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；
值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
【点睛】
本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．
10．
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由 ，可得 面 ，故可得出 ，此命题正确；
对于②，由正方体 的两个底面平行， 在平面 内，故 与平面 无公共点，故有 平面 ，此命题正确；
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．

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——高斯2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 下列表示方法正确的是( )A.N∈QB.Q⊆RC.R⊆ZD.Z⊆N2. 与函数y=|x|为同一函数的是( )A.y=xB.y=√x2C.y={x，(x>0)−x，(x<0)D.y=a log a x3. 不等式x−2≥0的所有解组成的集合表示成区间是()A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, 2)D.(−∞, 2]4. 函数y=log2(2x−4)+1x−3的定义域为( )A.(2, 3)B.(2, +∞)C.(3, +∞)D.(2, 3)∪(3, +∞)5. 设a=sin4π5，b=cosπ10，c=tan5π12，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b6. 函数y=sin(x+π3)的最小正周期为( )A.πB.2πC.3πD.4π7. 已知函数f(x)={2x, x≤0，−(12)x,x>0，则f(f(2))=( )A.−4B.−12C.12D.−88. 函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(11π24)的值为( )A.−√62B.−√32C.−√22D.−1二、多选题下列命题的否定中是全称命题，并且是真命题的是()A.∃x∈R，x2−x+14<0 B.∃x∈R，x2+2x+2=0C.所有的正方形都是矩形D.至少有一个实数x使得x3+1=0若角α=3rad，则下列说法正确的是( )A.sinα>cosαB.α是第三象限角C.sinα>0D.tanα>0下列四个不等式中解集为⌀的是( )A.−x2+x+1≤0B.2x2−3x+4<0C.x2+6x+9≤0D.−x2+4x−(a+4a)>0，(a>0)已知函数f(x)=sin4x+cos2x，则下列说法正确的是( )A.最小正周期为π2B.f(x)是偶函数C.f(x)在(−π4,0)上单调递增 D.x=π8是f(x)的图像的一条对称轴三、填空题已知sinα+cosαsinα−cosα=3，则tanα的值为________.已知集合A={x∈Z|−1≤x≤1}，则集合A的真子集个数为________.已知函数y=a2x−1+1(a>0且a≠1），若无论a取何值，函数图象都恒过一点，该点的坐标为________.不等式log12x>2的解集为________.四、解答题把下列弧度转化为角度.(1)π12；(2)5π3；(3)3π10；(4)π8；(5)−5π6.已知sin A=45，求5sin A+815cos A−7的值．有关部门计划2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？已知log0.7(2m)<log0.7(m−1)，求m的取值范围.已知函数f(x)=2sin(2x−π3).(1)求f(x)的单调增区间；(2)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值．已知f(x)=3ax2−4x+3.(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)有最大值81，求实数a的值．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用常用数集以及之间的包含关系进行求解即可.【解答】解：A，N⊆Q，故该选项错误；B，Q⊆R，故该选项正确；C，Z⊆R，故该选项错误；D，N⊆Z，故该选项错误.故选B.2.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数．【解答】解：函数y=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，A，函数y=x的定义域是R，对应关系和y=|x|不同，故A不符合题意；B，y=√x2=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，对应关系也一样，故它和y=|x|为同一函数，故B符合题意；C，y={x，(x>0)−x，(x<0)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意；D，函数y=a log a x=x定义域为{x|x>0}，定义域不同，不是同一个函数，故D不符合题意.故选B.3. 【答案】B【考点】集合的含义与表示【解析】求解不等式，结果写成区间即可．【解答】解：不等式x−2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2,+∞).故选B.4.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】可看出，要使得原函数有意义，需满足{2x−4>0x−3≠0，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则{2x−4>0，x−3≠0，解得x>2且x≠3，所以原函数的定义域是(2, 3)∪(3, +∞)．故选D.5.【答案】C【考点】诱导公式正弦函数的单调性正切函数的单调性【解析】根据诱导公式知b=cosπ10=sin(π2−π10)=sin2π5，可由正弦函数单调性知a<b，由π2>5π12>π4知c=tan5π12>1，即可比较出大小．【解答】解：因为b =cos π10=sin (π2−π10)=sin 2π5，所以1>b =sin 2π5>a =sin π5.因为π2>5π12>π4，所以c =tan 5π12>1，所以c >b >a .故选C . 6. 【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】直接利用函数y =A sin (ωx +φ)的周期计算公式T =2π|ω|求解即可． 【解答】解：由题意得ω=1， 所以其最小正周期T =2πω=2π1=2π．故选B . 7.【答案】 D【考点】分段函数的应用 函数的求值【解析】本题主要是通过分段函数代入具体的函数值进行求解即可 【解答】解：∵f (2)=−(12)2=−14 ，且−14<0，∴f (−14)=2−14=−8，∴f(f (2))=−8. 故选D ． 8.【答案】D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据顶点的纵坐标求A ，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f(x)的解析式，进而求得f(11π24)的值 【解答】解：由图像可得A =√2， 2π4ω=7π12−π3，解得ω=2． 由五点法作图可得2×π3+φ=π，解得φ=π3，所以f(x)=√2sin (2x +π3)，所以f(11π24)=√2sin (2×11π24+π3)=√2sin (π+π4)=−√2sin π4=−√2×√22=−1． 故选D .二、多选题 【答案】 A,B【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由条件可知：原命题为特称量词命题， 所以排除C ；对于D 选项，当x =−1时，x 3+1=0，故原命题为真，排除D ；又因为x 2−x +14=(x −12)2≥0， x 2+2x +2=(x +1)2+1>0， 所以AB 均为假命题. 故选AB . 【答案】 A,C【考点】象限角、轴线角 【解析】由π2<3<π，得到3rad 是第二象限角，再利用第二象限内三角函数的符号求解即可.【解答】解：因为π2<3<π，所以3rad 是第二象限角，故B 错误；由正余弦函数图象可知sin α>cos α，sin α>0，tan α<0，故AC 正确，D 错误. 故选AC . 【答案】 B,D【考点】一元二次不等式的解法 【解析】分别求出选项中一元二次不等式的解集，即可得出正确的选项． 【解答】解：A ，不等式−x 2+x +1≤0可化为x 2−x −1≥0， 解集为(−∞,1−√52]∪[1+√52,+∞)，不是⌀；B ，不等式2x 2−3x +4<0中，Δ=9−32=−23<0，不等式的解集为⌀；C ，不等式x 2+6x +9≤0可化为(x +3)2≤0， 解集为{x|x =−3}，不是⌀；D ，不等式−x 2+4x −(a +4a )>0可化为x 2−4x +(a +4a )<0，Δ=16−4(a +4a )≤16−4×2√a ⋅4a =0，当且仅当a =2时取等号， 所以原不等式的解集为⌀.故选BD ． 【答案】 A,B,C【考点】余弦函数的周期性 余弦函数的奇偶性 余弦函数的单调性 余弦函数的对称性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题知f (x )=sin 4x +cos 2x =sin 4x +1−sin 2x=−sin 2x(1−sin 2x)+1 =1−sin 2x cos 2x =1−14sin 22x=1−14×1−cos 4x 2=18cos 4x +78， ∴ T =2π4=π2，∴ A 正确；∵ f (−x )=f (x )，x ∈R ，∴ f (x )是偶函数，∴ B 正确； 由余弦函数的单调性可知C 正确； 由4x =kπ，k ∈Z ，得x =kπ4，k ∈Z ，不能取到π8，∴ D 错误． 故选ABC . 三、填空题【答案】 2【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：sin α+cos αsin α−cos α=tan α+1tan α−1=3， 解得tan α=2. 故答案为：2. 【答案】 7【考点】子集与真子集子集与真子集的个数问题【解析】化简求解集合，利用真子集的定义，求出真子集个数；【解答】解：由题意得A={−1,0,1}，所以集合A中有3个元素，所以集合A的真子集个数为：23−1=7.故答案为：7.【答案】(12,2)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：令2x−1=0，解得x=12，则x=12时，函数y=a0+1=2，即函数图象恒过点(12,2).故答案为：(12,2).【答案】{x|0<x<1 4 }【考点】指、对数不等式的解法【解析】将不等式右边化为以12为底的对数，利用对数函数的单调性可得．【解答】解：∵12∈(0,1)，∴y=log12x在(0,+∞)上单调递减.∵不等式log12x>2的可化为log12x>log1214，∴0<x<14.故答案为：{x|0<x<14}．四、解答题【答案】解：(1)由π=180∘可得：π12×180∘π=15∘.(2)5π3×180∘π=300∘.(3)3π10×180∘π=54∘.(4)π8×180∘π=22.5∘.(5)−5π6×180∘π=−150∘.【考点】弧度与角度的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由π=180∘可得：π12×180∘π=15∘.(2)5π3×180∘π=300∘.(3)3π10×180∘π=54∘.(4)π8×180∘π=22.5∘.(5)−5π6×180∘π=−150∘.【答案】解：因为sin A =45，所以A 为第一或第二象限角， 所以cos A =±√1−sin 2A =±35. 当A 为第一象限角，即cos A =35时， 原式=5×45+815×35−7=122=6；当A 为第二象限角，即cos A =−35时， 原式=5×45+815×(−35)−7=12−9−7=−34．【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】由sin A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出cos A 的值，把sin A 与cos A 的值代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：因为sin A =45，所以A 为第一或第二象限角， 所以cos A =±√1−sin 2A =±35. 当A 为第一象限角，即cos A =35时，原式=5×45+815×35−7=122=6；当A 为第二象限角，即cos A =−35时， 原式=5×45+815×(−35)−7=12−9−7=−34．【答案】解：由题意知在2020年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)辆，在2021年应投入的数量为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2辆， 据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6辆， 即128×(32)6=1458（辆）．故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车． 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】根据题意一次列出各年的投入量，归纳总结即可得到结果 【解答】解：由题意知在2020年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)辆，在2021年应投入的数量为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2辆， 据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6辆， 即128×(32)6=1458（辆）．故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车． 【答案】解：设函数y =log 0.7x ，因为0<0.7<1，所以对数函数y =log 0.7x 在定义域上单调递减. 因为log 0.7(2m)<log 0.7(m −1)，所以2m >m −1且2m >0，m −1>0， 解得m >1.所以m 的取值范围为(1,+∞). 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点，求得m 的取值范围． 【解答】解：设函数y =log 0.7x ，因为0<0.7<1，所以对数函数y =log 0.7x 在定义域上单调递减. 因为log 0.7(2m)<log 0.7(m −1)， 所以2m >m −1且2m >0，m −1>0， 解得m >1.所以m 的取值范围为(1,+∞). 【答案】解：(1)令A =2x −π3， ∵x ∈R ，∴A ∈R .且函数f (x )=2sin A 的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k ∈Z ，∴−π2+2kπ≤A ≤π2+2kπ，k ∈Z ， 即−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，化简得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴原函数的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.(2)由(1)得当sin A取得最大值1时，f(x)取得最大值2×1=2，此时A=2kπ+π2，k∈Z，即2x−π3=2kπ+π2，k∈Z，化简得x=kπ+5π12，k∈Z，∴当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取得最大值2．【考点】正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)令A=2x−π3，∵x∈R，∴A∈R.且函数f(x)=2sin A的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，∴−π2+2kπ≤A≤π2+2kπ，k∈Z，即−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，化简得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴原函数的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.(2)由(1)得当sin A取得最大值1时，f(x)取得最大值2×1=2，此时A=2kπ+π2，k∈Z，即2x−π3=2kπ+π2，k∈Z，化简得x=kπ+5π12，k∈Z，∴当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取得最大值2．【答案】解：(1)∵f(x)=3ax2−4x+3，∴当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1，∴当x=2时，f(x)取得最小值，为f(2)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13,+∞).(2)令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意；当a<0时，t=ax2−4x+3=a(x−2a)2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=3t在R上是增函数，∴当t取得最大值3−4a时，f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34，即3−4a=4，解得a=−4，∴当f(x)取得最大值81时，a的值为−4.【考点】函数的值域及其求法函数的最值及其几何意义已知函数的单调性求参数问题二次函数在闭区间上的最值【解析】∵f(x)=3ax2−4x+3，当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1.∴当x=2时f(x)取得最小值f(x)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13，+∞).令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意.当a<0时t=ax2−4x+3=a(x−2a)2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=31在R上是一个增函数，∴当t取得最大值3−4a时f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34即3−4a=4，解得a=−4.∴当f(x)取得最大值81时a的值为−4.【解答】解：(1)∵f(x)=3ax2−4x+3，∴当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1，∴当x=2时，f(x)取得最小值，为f(2)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13,+∞).(2)令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意；当a<0时，t=ax2−4x+3=a(x−2a )2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=3t在R上是增函数，∴当t取得最大值3−4a时，f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34，即3−4a=4，解得a=−4，∴当f(x)取得最大值81时，a的值为−4.。

2020-2021学年湖南省长沙市某校高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1. 已知M ={y|y =x 2−4, x ∈R}，P ={x|2≤x ≤4}，则M 与P 的关系是( ) A.M ⊇P B.M ∈P C.M ∩P =⌀ D.M =P2. 已知命题p:∀x ∈[0,2],x 2−3x +2>0，则¬p 是( ) A.∃x ∈[0,2],x 2−3x +2<0 B.∃x ∈[0,2],x 2−3x +2≤0C.∃x ∈(−∞,0)∪(2,+∞),x 2−3x +2<0D.∀x ∈[0,2],x 2−3x +2≤03. 设a =30.1，b =lg5−lg2，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D.c <a <b4. 已知 f(x)={3x +1，x >0，2x 2−1，x <0， 若f(a)+f(−1)=8，则实数a 的值为( )A.−2B.2C.±2D.±35. 已知α∈(0,π)， cos (α+π6)=35，则cos (π6−2α)=( ) A.2425B.−2425C.−725D.7256. 为了得到函数y =sin2x 的图象，可以将函数y =sin (2x +π3)的图象( )A.向左平移π6个单位 B.向右平移π6个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7. 已知p ：m −1<x <m +1，q ：(x −2)(x −6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为( ) A.3≤m ≤5 B.3<m <5C.m >5或m <3D.m >5或m ≤38. 若函数f(x)=(x −a)(x −b)(a >b)的图象如图所示，则g(x)=a −x +b 的图象可能是( )A. B.C. D.二、多选题下列式子不正确的是( )A.1.52.5>1.53.4B.1.70.3<0.92.3C.(15)23<(12)23D.0.80.5<0.90.4若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A.若ab ≠0且 a <b ，则1a >1b B.若0<a <1，则a 3<a C.若a >b >0，则b+1a+1>baD.若c <b <a 且 ac <0 ，则cb 2<ab 2给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A.函数y =(12)−x2+1的最大值为12B.已知函数y =log a (2−ax)在(0, 1)上是减函数，则a 的取值范围是(1, 2)C.已知定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞, 0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为2021D.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(x +5)是偶函数，则f(2000)+f(2010)+f(2020)=0高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的”高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.4]=2. 已知函数f (x )=e x1+e x −12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )A.g (x )是偶函数B.f (x )是奇函数C.f (x )在R 上是增函数D.g (x )的值域是{−1,0,1}三、填空题函数f(x)=2x−11−x(x ∈[−2,1))的值域为________.四、解答题 (1)(12)−3+(7√3)0−(16)34+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2.已知函数f(x)=x 2−x +m ． (1)当m =−2时，解不等式f(x)>0；(2)若m >0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b 的最小值．已知sinα=4√37，cos (α+β)=−1114，且α,β∈(0,π2).(1)求cos (2α+β)的值；(2)求β的值．已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)图象上相邻的两个最值点为(π12,2)，(7π12,−2). (1)求f (x )的解析式：(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)求函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值．小李大学毕业后选择自主创业，开发了一种新型电子产品.2020年9月1日投入市场销售，在9月份的30天内，前20天每件售价P （元）与时间x （天，x ∈N ∗）满足一次函数关系，其中第一天每件售价为63元，第10天每件售价为90元；后10天每件售价均为120元．已知日销售量Q （件）与时间x （天）之间的函数关系是Q =−x +50(x ∈N ∗)．(1)写出该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；(2)9月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额．（日销售金额=每件售价×日销售量）.已知函数f (x )=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性，并利用结论解不等式： f (x 2−2x )+f (3x −2)<0；(3)是否存在实数k ，使得函数f (x )在区间[m,n ]上的取值范围是[k 4m ,k4n ]？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市某校高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先利用二次函数y=x2−4的值域化简集合M，最后结合两个集合之间的包含关系即得M与P的关系．【解答】解：∵y=x2−4≥−4，∴M={y|y=x2−4,x∈R}={y|y≥−4}，∵P={y|2≤y≤4}，∴M⊇P．故选A.2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】根据特称命题其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，即可得答案．【解答】解：命题p：∀x∈[0,2]，x2−3x+2>0是全称命题，¬p：∃x∈[0,2]，x2−3x+2≤0.故选B.3.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数，对数的性质即可比较得解．【解答】解：由题意可得：a=30.1>30=1，b=lg5−lg2∈(0, 1)，c=log3910<0，则a>b>c．故选C.4.【答案】C【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)={3x+1,x>02x2−1,x<0,∴x=−1时，f(−1)=1.∵f(a)+f(−1)=8，∴f(a)=7，当a>0时，3a+1=7，解得a=2，符合题意；当a<0时，2a2−1=7，解得a=±2，a=2，不符合题意，舍去，故a=−2.综述，a=±2.故选C.5.【答案】A【考点】诱导公式二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】先用二倍角公式求出cos(2α+π3)，再由诱导公式可得答案.【解答】解：sin(π6−2α)=sin(π6+π2−π2−2α)=sin[(−2α−π3)+π2]=cos(−2α−π3)=cos(2α+π3)=cos2(α+π6)=cos2(α+π6)−sin2(α+π6)=2cos2(α+π6)−1=−725，所以cos(π6−2α)=2425.故选A . 6. 【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据sin2x =sin [2(x −π6)+π3],即可解决本题. 【解答】解：sin2x =sin [2(x −π6)+π3]，∴ 需将函数y =sin(2x +π3)向右平移π6个单位．故选B ． 7. 【答案】 A【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】先解(x −2)(x −6)<0得2<x <6，而根据q 是p 的必要不充分条件便得到{m −1≥2m +1≤6，解该不等式组即得m的取值范围． 【解答】解：由题易得，p ：m −1<x <m +1， q ：2<x <6，∵ q 是p 的必要不充分条件， 即由p 能得到q ，q 不能得到p ， ∴ {m −1≥2，m +1≤6，∴ 3≤m ≤5，∴ m 的取值范围是[3, 5]． 故选A . 8. 【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 指数函数的图象 【解析】根据二次函数的图象，确定a ，b 的范围，结合指数函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：由二次函数的图象知，a >1，−1<b <0， 则g(x)=a −x +b =(1a )x +b ， 则0<1a<1，则g(x)是减函数，排除A ，B ，g(0)=1+b ∈(0, 1)，排除D .故选C . 二、多选题 【答案】 A,B【考点】有理数指数幂的化简求值 指数函数单调性的应用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】利用指数函数单调性进行函数值大小比较，借助中间量，幂函数单调性的应用. 【解答】解：因为y =1.5x 是单调递增函数，又2.5<3.4，所以1.52.5<1.53.4，所以A 不正确； 因为1.70.3>1.70=1，0.92.3<0.90=1，所以1.70.3>0.92.3，所以B 不正确； 因为y =x 23在(0,+∞)上单调递增，所以(15)23<(12)23，所以C 正确； 因为0.80.5=2√55，0.90.4>0.90.5=3√1010>2√55，所以0.80.5<0.90.4，所以D 正确.故选AB . 【答案】 B,C【考点】不等式的基本性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，取a =−2,b =1，则1a >1b 不成立，故A 错误； B ，若0<a <1，则a 3−a =a(a 2−1)<0， ∴ a 3<a ，故B 正确；C ，若a >b >0，则a(b +1)−b(a +1)=a −b >0， ∴ b+1a+1>ba ，故C 正确；D ，若c <b <a 且 ac <0 ，则a >0，c <0， 而b 可能为0，∴ cb 2<ab 2不正确，故D 错误. 故选BC .【答案】C,D【考点】复合函数的单调性函数的零点函数的周期性【解析】举出反例可说明选项A错误，由函数的单调性得到关于a的不等式组可得实数a的取值范围，由奇函数的性质可得函数的零点个数，由题意首先确定函数的周期性，然后计算f(2000)+f(2010)+f(2020)的值即可．【解答】解：A，当x=1时，y=1，函数的最大值不是12，故A错误；B，由a>0可得函数y=2−ax单调递减，若要使函数y=log a(2−ax)在(0, 1)上是减函数，则{a>1,2−a≥0,解得a∈(1, 2]，故B错误；C，由奇函数的性质可得函数f(x)在(0, +∞)内有1010个零点，且f(0)=0，所以函数f(x)的零点个数为2021，故C正确；D，因为函数f(x)是奇函数，f(x+5)是偶函数，所以f(x+5)=f(−x+5)=−f(x−5)，所以f(x+20)=−f(x+10)=f(x)，所以函数f(x)的周期为20，所以f(2000)=−f(2010)即f(2000)+f(2010)=0，f(2020)=f(0+20×101)=f(0)=0，所以f(2000)+f(2010)+f(2020)=0，故D正确．故选CD.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为g(1)=[f(1)]=[e1+e −12]=0，g(−1)=[f(−1)]=[11+e−12]=−1，所以g(1)≠g(−1)，g(1)≠−g(−1)，所以函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)=e x1+e x−12=1+e x−11+e x−12=12−1e x+1，定义域R，且f(−x)=e−x1+e−x−12=11+e x−12=−f(x)，故f(x)为奇函数，故B正确；设x1<x2，f(x1)−f(x2)=e x11+e x1−e x21+e x2=e x1−e x2(1+e x1)(1+e x2)<0，所以f(x)在R上是增函数，故C正确；因为函数f(x)=ex1+e x−12=12−11+e x，由e x>0，则1+e x>1，则有−12<f(x)<12，则g(x)=[f(x)]={−1,0}，故D错误.故选BC.三、填空题【答案】[−53,+∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离常数法，将f(x)变形为f f(x)=2x−11−x=2x−2+11−x=−2−1x−1，判断其单调性后，即可得解．【解答】解：f(x)=2x−11−x=2x−2+11−x=−2−1x−1，所以f(x)在[−2,1)单调递增，因为f(−2)=−53，且当x→1时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为[−53,+∞).故答案为：[−53,+∞).四、解答题【答案】解：(1)原式=23+1−(24)34+(213×312)6=8+1−8+22×33=109.(2)原式=log22log214+lg42+lg58+e ln2=−12+lg(16×58)+2=52.【考点】有理数指数幂的化简求值对数及其运算 【解析】 【解答】解：(1)原式=23+1−(24)34+(213×312)6=8+1−8+22×33=109. (2)原式=log 22log 214+lg42+lg 58+e ln2=−12+lg (16×58)+2=52.【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=x 2−x −2． 令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0， 解得x >2或x <−1．∴ 不等式的解集为{x|x >2或x <−1}． (2)∵ f(x)<0的解集为(a,b)，∴ a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根， ∴ a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数， ∴ 1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+ba+4a b≥5+2√4=9，当且仅当b a=4a b，即b =2a 时，等号成立，故1a +4b 的最小值为9．【考点】一元二次不等式的解法基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0，解之即可；（2）由题知，a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根，由韦达定理得，a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数，再利用“乘1法”即可求得1a+4b 的最小值．【解答】解：(1)当m =−2时，f(x)=x 2−x −2． 令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0， 解得x >2或x <−1．∴ 不等式的解集为{x|x >2或x <−1}． (2)∵ f(x)<0的解集为(a,b)，∴ a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根， ∴ a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数， ∴ 1a +4b =(a +b)(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当b a=4a b，即b =2a 时，等号成立，故1a+4b的最小值为9．【答案】解：(1)∵ α,β∈(0,π2)，sinα=4√37，∴ cosα=√1−sin 2α=17，∵ α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， ∴ cos(2α+β)=cosαcos(α+β)−sinαsin(α+β)=−7198. (2)sinβ=sin (α+β−α)=sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα=√32. 又∵ β∈(0,π2)，∴ β=π3. 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 两角和与差的正弦公式 【解析】 【解答】解：(1)∵ α,β∈(0,π2)，sinα=4√37，∴ cosα=√1−sin 2α=17，∵ α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， ∴ cos(2α+β)=cosαcos(α+β)−sinαsin(α+β)=−7198. (2)sinβ=sin (α+β−α)=sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα=√32. 又∵ β∈(0,π2)，∴ β=π3.【答案】解：(1)由题知，A=2，12T=7π12−π12=π2，所以T=π=2πω，ω=2. 所以f(x)=2sin(2x+φ),代入点(π12,2)，有2sin(2×π12+φ)=2,π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).(3)令t=2x+π3，则y=2sint，因为x∈[0,π2]，所以t∈[π3,4π3]，当t∈[π3,4π3]时，sint∈[−√32,1]，所以当t=π2即x=π12时，f(x)有最大值2；当t=4π3即x=π2时，f(x)有最小值−√3.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：(1)由题知，A=2，12T=7π12−π12=π2，所以T=π=2πω，ω=2. 所以f(x)=2sin(2x+φ), 代入点(π12,2)，有2sin(2×π12+φ)=2,π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).(3)令t=2x+π3，则y=2sint，因为x∈[0,π2]，所以t∈[π3,4π3]，当t∈[π3,4π3]时，sint∈[−√32,1]，所以当t=π2即x=π12时，f(x)有最大值2；当t=4π3即x=π2时，f(x)有最小值−√3.【答案】解：(1)设P=kx+b，由题意{k+b=63,10k+b=90,解得k=3，b=60．故该电子产品9月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式为P={3x+60,1≤x≤20,x∈N∗,120,21≤x≤30,x∈N∗.(2)设9月份的日销售金额为y元，则y={(3x+60)(−x+50),1≤x≤20,x∈N∗,120(−x+50),21≤x≤30,x∈N∗,当1≤x≤20时，y=(3x+60)(−x+50)=−3x2+90x+3000=−3(x−15)2+3675，则当x=15时，y取得最大值为3675元；当21≤x≤30时，y=120(−x+50)为减函数，当x=21时，y取最大值为3480元．综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元．【考点】根据实际问题选择函数类型分段函数的应用【解析】(1)设P =kx +b ，由题意列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，再由分段函数可得9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；(2)分段利用配方法及函数的单调性求最值，则答案可求． 【解答】解：(1)设P =kx +b ， 由题意{k +b =63,10k +b =90,解得k =3，b =60．故该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为 P ={3x +60,1≤x ≤20,x ∈N ∗,120,21≤x ≤30,x ∈N ∗.(2)设9月份的日销售金额为y 元，则y ={(3x +60)(−x +50),1≤x ≤20,x ∈N ∗,120(−x +50),21≤x ≤30,x ∈N ∗,当1≤x ≤20时，y =(3x +60)(−x +50)=−3x 2+90x +3000=−3(x −15)2+3675， 则当x =15时，y 取得最大值为3675元；当21≤x ≤30时，y =120(−x +50)为减函数， 当x =21时，y 取最大值为3480元．综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元． 【答案】 解：(1)∵ f (x )=a⋅4x −14x +1是定义域在R 上的奇函数，∴ f (0)=0， 即a =1.(2)f (x )是在R 上的增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=24x 2+1−24x 1+1=2(4x 1−4x 2)(4x 2+1)(4x 1+1). ∵ x 1<x 2，∴ 4x 1<4x 2，4x 1+1>0，4x 2+1>0， ∴ f (x 1)<f (x 2)，∴ f (x )在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵ f (x 2−2x )+f (3x −2)<0且f (x )是奇函数， ∴ f (x 2−2x )<f (2−3x )， ∴ x 2−2x <2−3x ， ∴ −2<x <1.(3)假设存在实数k ，使之满足题意， 由(2)可得函数f (x )在[m,n]上单调递增，∴ {f (m )=k 4m ，f(n)=k4n ，∴ {4m −14m +1=k4m ，4n −14n +1=k4n，∴ m ，n 为方程4x −14x +1=k4x 的两个根，即方程4x −14x +1=k4x 有两个不等的实根. 令4x =t >0，即方程t 2−(1+k)t −k =0有两个不等的正根， ∴ {1+k2>0，Δ>0，−k >0， ∴ −3+2√2<k <0，∴ 存在实数k ，使得函数f (x )在[m,n ]上的取值范围是[k4m ,k4n ]， 并且实数k 的取值范围是(−3+2√2,0)． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质 奇偶性与单调性的综合 一元二次不等式的解法 函数恒成立问题 函数的值域及其求法 【解析】左侧图片未给出解析 【解答】 解：(1)∵ f (x )=a⋅4x −14x +1是定义域在R 上的奇函数，∴ f (0)=0， 即a =1.(2)f (x )是在R 上的增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=24x 2+1−24x 1+1=2(4x 1−4x 2)(4x 2+1)(4x 1+1).∵x1<x2，∴4x1<4x2，4x1+1>0，4x2+1>0，∴ f(x1)<f(x2)，∴ f(x)在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵ f(x2−2x)+f(3x−2)<0且f(x)是奇函数，∴ f(x2−2x)<f(2−3x)，∴x2−2x<2−3x，∴−2<x<1.(3)假设存在实数k，使之满足题意，由(2)可得函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴{f(m)=k4m，f(n)=k4n，∴{4m−14m+1=k4m，4n−14n+1=k4n，∴ m，n为方程4x−14x+1=k4x的两个根，即方程4x−14x+1=k4x有两个不等的实根.令4x=t>0，即方程t2−(1+k)t−k=0有两个不等的正根，∴{1+k2>0，Δ>0，−k>0，∴−3+2√2<k<0，∴ 存在实数k，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n]，并且实数k的取值范围是(−3+2√2,0)．。

长沙市南雅中学高一年级质量检测一物理试题总分:100分时量:60分钟一、选择题:本大题共10道小题，每小题4分，共40分。

其中1~8题为单选，9~10题为多选。

1.下列说法不正确的是（）A.建立质点概念的物理方法是理想模型法B.“坐地日行八万里”的地球可以视作质点C．古代“刻舟求剑”故事中，刻舟求剑者的错误在于错选了参考系D:第4s末和第5s初指同一时刻，在时间轴上二者对应同一点2.下列各组物理量中，全部是矢量的是A.平均速度、位移、速率B.路程、时间、质曼C.位移、加速度、瞬时速度D.位移、速度的变化量、平均速率3.关于加速度表达式a=ΔvΔt的下列说法，正确的是（）A.加速度a与Δv,成正比，与Δt成反比B.Δv表示在Δt时间内物体速度的变化量，它的方向不一定与加速度a的方向相同C.ΔvΔt表示速度的变化率，是标量D.利用a=ΔvΔt求得的加速度是Δt时间内的平均加速度4.下列所说的速度指平均速度的是（）A.“亚洲飞人”苏炳添在100m比赛中冲过终点线的速度是11m/sB.小球从高空落下，以50m/s的速度撞击地面C.张艺兴开着“宝马”轿车通过湘江一桥的速度是40km/hD.小军以7m/s的速度从小红身边跑过5.一辆小汽车启动阶段，在5s内速度从10m/s增加到20m/s，通过的位移是70m,小汽车在5s内的平均速度是（）A.13m/sB.14m/sC.15m/sD.16m/s6.某汽车做初速度为0的匀变速直线运动，在第5s末的速度为3m/s,则（）A.汽车在前5s内通过的位移是15mB.汽车在前5s内通过的位移是7.2mC.汽车在第5s内通过的位移是3.2mD.汽车在第5s内通过的位移是2.7m7.质点沿x轴做直线运动的位置坐标x与时间t的关系为x=2+4t-t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点（）A.第ls内的位移大小是5mB.前2s内的平均速度是3m/sC.2s末质点速度减为0D.4s末质点位于坐标原点处8.如图甲所示是一种速度传感器的工作原理图，在这个系统中B为一个能发射超声波的固定小盒子，工作时小盒子B向被测物体发出短暂的超声波脉冲，脉冲波遇到运动的物体反射后又被B盒接收，从B 盒发射超声波开始计时，经时间Δt0再次发射超声波脉冲，图乙是连续两次发射的超声波的位移-时间图象，则下列说法正确的是（）A.超声波的速度大于v声=2x1t1B.超声波的速度为v声=2x2t2C.物体的平均速度为—v=2(x2-x1)t2-t1+Δt0D.物体的平均速度为—v=2(x2-x1)t2-t1+2Δt09.(多选)下列给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是（）A. B.C. D.10.(多选)一质点由静止开始做匀加速直线运动，经过时间t，通过与出发点相距x1的P点，再经过时间t,到达与出发点相距x的Q点，则质点通过P点的瞬时速度为()A.2x1t B.x22tC.x2-x1tD.x2-2x1t二、实验题：每空3分，共18分11.在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点周期为T=0.02s的计时器记录小车做匀变速直线运动的纸带如图所示，在纸带上选择0、1、2、3、4、5共6个计数点，相邻两计数点之间还有四个点未画出，纸带旁并排放着带有最小分度为毫米的刻度尺，零刻度线跟“0”计数点对齐.由图可以读出三个计数点1、3、5跟0点的距离d1、d2、d3.(1)读出距离:d1=1.20cm,d2=cm,d3=cm;(2)计算小车通过计数点“2"的瞬时速度表达式为v2=(用题中字母表示)，算出结果为v2=m/s；(结果保留两位有效数字)(3)小车的加速度大小为m/s；(结果保留两位有效数字)(4)如果在测定加速度时，实验者如不知道工作电源的频率变为大于50Hz,这样计算出的加速度值与真实值相比是。

湖南省雅礼中学2020年下学期高一第一次月考试卷数 学（时间：120分钟分值：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是(D )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2、集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝(D )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}3、设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式中错误的是(B )A ．(∁U A )∪B ＝U B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩(∁U B )＝∅D ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U B4、“b a ,为正数”是“ab b a 2>+”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知命题p ：01x ∃＞，2010x -＞，那么p ⌝是（C ）A ．2110x x ∀-，＞＞B ．200110x x ∃-，≤＞C ．2110x x ∀-，≤＞D ．200110x x ∃-≤，≤6、已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．3C ．4D ．57、已知命题“∃x ∈R ,使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是(D)A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．a >948、已知2>x ，则函数421)(-+=x x x f 的最小值为（A ）A.22+ B.222+ C.2D.22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9、使ab >0成立的充分不必要条件可以是(ACD )A ．a >0，b >0B ．a ＋b >0C ．a <0，b <0D ．a >1，b >110、下列说法中，正确的是（BC ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0>ab 11、已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（CD ）.A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.12、下列说法正确的是（BCD ）A.若R x ∈，则21≥+xx B.若51≤<≤-y x ，则06<-≤-y x C.“1>x 或2>y ”是“3>+y x ”的必要不充分条件D.若||||b b a a >，则ba >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_a ≤－1_______．14、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,10,10,0)(x x x x x f ，则)))1(((-f f f 的值是_____2_____．15、若}31|{≤≤∈∃x x x ，使得不等式022≥++a x x 成立，则实数a 的取值范围为15-≥a .16、已知1,=+∈+b a R b a ，,则：（1）2121+++b a 的最小值是__54_________;（2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是2+.【解析】（1）由于1,=+∈+b a R b a ，，则5)2()2(=+++b a 所以54)222121512121≥++++++=+++b a b a b a （，当且仅当21==b a 时等号成立；（2）22222111()22(2b b a b b a ab b a b abab ab ++++++===当且仅当a =即2a =，1b =-时等号成立.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.【解析】（1） 集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤，则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2) 集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，则MA ⊆622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-，故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<-18、设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有⎩⎨⎧≤--≥--1131a a ，解得02a ≤≤.19、已知函数x x x f 2622)(-+-=.（1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的值域.【解析】（1）由⎩⎨⎧≥-≥-026022x x 得)(x f 的定义域为]3,1[；（2）易知0)(≥x f .又121642426)26)(22(222)(22-+-+=-+--+-=x x x x x x x f =1)2(442+--+x .由于)(x f 的定义域为]3,1[，易得]8,4[)(2∈x f ，故求)(x f 的值域为]22,2[.20、已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，得实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-.由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又p、q⌝均为真命题，所以实数m需满足12mm<-⎧⎨<-⎩，解得2m<-，所以实数m的取值范围为2m<-.21、某单位决定投资3200旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元；两侧墙砌砖，每1m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每21m造价20元，则当仓库占地面积S取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为()0x x>米，一侧砖墙长为()0y y>米，则仓库占地面积S（1）402453200x y+⨯=，6400493209S xyx y+==≥≤当且仅当9160,40==yx时取等号.故该仓库占地面积S的最大值为96400.（2）依题设，得40245203200x y xy+⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S≥+=+=，则1600S+-≤，即)10160+≤，故10≤S，从而100≤S，当且仅当4090x y=且100xy=即15x=时取等号，所以S的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米.22、（1）已知a，b，c均为正数,求证:aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba；（2）已知正数x，y满足2x y+=，若2122+++<yyxxa恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明∵a，b，c均为正数,∴ab2+ba2≥2ac3+ca3≥2bc23+cb32≥2以上三式相加,得ab2+ba2+ac3+ca3+bc23+cb32≥6∴（ab2+ba2-1）+（ac3+ca3-1）+（bc23+cb32-1）≥3即aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).（2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以(1)(2)5x y +++=，所以：12155x y +++=则2222(11)(22)1212x y x y x y x y +-+-+=+++++，22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++，14122412x y x y =+-+++-+++，14112x y =+-++，1214()()15512x y x y ++=++-++14(1)24155(2)5(1)5x y y x ++=+++-++≥4115-+，当且仅当34,32==y x 等号成立要使2122+++<y y x x a 恒成立，只需满足min21）（+++<y x a 即可，故54<a ．。

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——高斯2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）11月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合Q中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边，则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2. 设a=3x2−x+1，b=2x2+x，x∈R，则( )A.a>bB.a<bC.a≥bD.a≤b3. 设函数f(x)=3x2−1，则f(a)−f(−a)的值是()A.0B.3a2−1C.6a2−2D.6a24. 函数f(x)=√x+1的值域为()A.[−1,+∞)B.[0,+∞)C.(−∞,0]D.(−∞,−1]5. 设a>0，将2√a⋅√a2表示成分数指数幂，其结果是（）A.a 12 B.a56 C.a76 D.a326. 若指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(3,8)，则f(−1)的值为( ）A.1B.12C.0D.−17. ln1+log(√2−1)(√2−1)=()A.1B.0C.−1D.12二、多选题下列条件可使ba+ab≥2成立的是( )A.ab≥0B.ab<0C.a>0，b>0D.a<0，b<0函数y=x a既是奇函数又是增函数，则a的值可以为( )A.−1B.1C.3D.12给出下面四个推断，其中正确的为( )A.若a, b∈(0,+∞)，则ba+ab≥2B.若x,y∈(0,+∞)，则lg x+lg y≥2√lg x⋅lg yC.若a∈R，a≠0，则4a+a≥4D.若x,y∈R，xy<0，则xy+yx≤−2下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )A.f(x)=x与g(x)=√x33 B.f(x)=x+1与g(x)=x2−1x−1C.f(x)=x|x|与g(x)={1,x>0,−1,x<0. D.f(x)=√x2−1与g(x)=√x+1⋅√x−1若函数y=a x+b−1(a>0且a≠1)的图象不经过第二象限，则需同时满足()A.a>1B.0<a<1C.b>0D.b≤0三、填空题集合M满足{a,b,c}⊆M⊆{a,b,c,d,e}，则这样的集合M有________个．若幂函数y=f(x)的图象经过点(9, 13)，则f(25)=________．计算：lg 52+2lg 2−(12)−1+20=________．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， f (x )=x −x 2，则函数f (x )的解析式为________. 四、解答题 计算 (1)2723−(13)−2−(125)−13+π0；(2)log 39+log 0.2514+2log 5√5−log √31.已知全集为R ，集合A ={x|x 2−9≤0}，B ={x|−x 2+3x +4>0}. 求： (1)A ∪B ；(2)A ∩B ；(3)∁R (A ∩B).某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时奖金y 为1万元，销售额x 达到64万元时，奖金y 为4万元，若公司拟定的奖励模型为y =a log 4x +b ，某员工想要得到8万元的奖金，则他的销售额应为多少．已知函数f (x )=x +1x ，x ∈(1,+∞)，函数g (x )=x 4x 2+1，试判断f (x )的单调性与g (x )的奇偶性．已知函数f (x )=√log 2(3x −1)−2.(1)求函数f (x )的定义域；(2)当x ∈[1,3]时，求f (x )的值域.已知定义在R 上的奇函数f(x)的图象经过点(2, 2)，当且仅当x ∈(0, +∞)时，f(x)=log a (x +2)． (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的解析式．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）11月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性【解析】由集合中元素的互异性可知：l，m，n互不相等，l，m，n构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不为等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性可知：l，m，n三个元素互不相等，若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形．故选D．2.【答案】C【考点】不等式比较两数大小【解析】利用作差法进行比较即可求解.【解答】解：∵a−b=3x2−x+1−(2x2+x)=x2−2x+1=(x−1)2≥0，∴a≥b.故选C.3.【答案】A【考点】函数的求值【解析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f(x)=3x2−1，则f(a)−f(−a)=3a2−1−[3(−a)2−1]=0．故选A.4.【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由函数y=f(x)=√x+1可知，√x+1≥0，即y≥0，所以函数的值域为：[0, +∞)．故选B．5.【答案】C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．【解答】解：由题意2√a⋅√a2=2√a⋅a23=a2a56=a76.故选C．6.【答案】B【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】直接求出指数函数解析式，代入求值即可.【解答】解：由题意得：a3=8，解得a=2，∴f(x)=2x，∴f(−1)=2−1=12.故选B.7.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】由题意，ln1+log(√2−1)(√2−1)=0+1=1.故选A. 【解答】解：由题意，ln1+log(√2−1)(√2−1)=0+1=1. 故选A.二、多选题【答案】C,D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式可得不等式ba +ab≥2成立条件为ab>0，据此求解即可.【解答】解：当ba >0且ab>0时，即ab>0时，不等式ba +ab≥2成立.结合选项只有CD满足条件.故选CD.【答案】B,C【考点】幂函数的性质函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】根据冥函数的图像和性质判断α可能的值即可. 【解答】解：由题意知，y=x a是幂函数，要使函数为奇函数，则a=12不符合题意，故D选项排除；而由幂函数性质可知a=−1不符合题意，故A选项排除；当a=1时，y=x，符合题意，当a=3时，y=x3符合题意，所以正确的选项为BC.故选BC.【答案】A,D【考点】基本不等式【解析】根据基本不等式适用于两个正数的算术平均数不小于其几何平均数，结合实数及对数的运算性质，分别判断四个结论式子中的两个数是否均为正数，可得答案。

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确； 当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确； 当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()A B =R（ ）A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤【答案】D【解析】根据{}1B x x =<，利用补集的定义求得RB ，然后再利用交集运算求解.【详解】因为{}1B x x =<， 所以{}R1B x x =≥.又{}12A x x =-≤≤，(){}R 12A B x x ∴⋂=≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.3．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U =B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U =【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 4．“a ，b 为正数”是“2a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过举反例可得答案. 【详解】当0a b =>时，2a b ab +=，故“a ，b 为正数”是“2a b ab +>的不充分条件当1,0a b ==时，满足a b +>a ，b 为正数，故“a ，b 为正数”是“a b +>的不必要条件综上：“a ，b 为正数”是“a b +>的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.5．已知命题p ：01x ∃>，2010x ->，那么p ⌝是（ ）A ．01x ∀>，210x ->B ．01x ∃>，2010x -≤ C ．01x ∀>，2010x -≤D ．01x ∃≤，2010x -≤【答案】C【解析】直接利用特称量词的否定得到答案. 【详解】解：命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝：01x ∀>，2010x -≤.故选：C. 【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.6．已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令21x a -=，则12a x +=，再由1()43152+=⨯+=a f a 求解. 【详解】令21x a -=，则12a x +=， 所以1()43252a f a a +=⨯+=+， 由2515a +=， 解得5a =. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题.7．已知命题“x ∃∈R ，使()214204x x a ++-≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．04a ≤≤ C ．4a ≥ D ．94a >【答案】D【解析】根据特称命题的真假关系即可得到结论． 【详解】 解：命题“x R ∃∈，使()214204x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使()214204x x a ++->”是真命题， 即判别式()21144204a ∆=-⨯⨯-<，所以94a >， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，基础题．8．已知2x >，则函数()124f x x x =+-的最小值为（ ）A ．2+B ．2+C ．2D ．【答案】A【解析】对()11222242f x x x x x =+=-++--进行变形，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 当2x >时，()1122222242f x x x x x =+=-++≥=--当且仅当1222x x -=-，即22x =+取等号，所以()f x 的最小值为2 故选： A.本题考查了利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.二、多选题9．使0ab >成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．0a >，0b > B ．0a b +>C ．0a <，0b <D ．1a >，1b >【答案】ACD【解析】根据题意逐一判断即可. 【详解】由0a >，0b >可以推出0ab >，反之不成立，故A 满足题意 当5,4a b ==-时满足0a b +>，但不满足0ab >，故B 不满足题意 由0a <，0b <可以推出0ab >，反之不成立，故C 满足题意 由1a >，1b >可以推出0ab >，反之不成立，故D 满足题意 故选：ACD 【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单. 10．（多选题）下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则22c ca b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 【答案】BCD 【解析】当0c 时，可判断选项A 不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确． 【详解】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B : 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C : 22222211000,0c ca b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D :111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题； 故选:BCD ．本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】设2()6f x x x a=-+，其图象是开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式260x x a-+的解集中有且仅有3个整数，则(2)0{(1)0ff>，从而解出所有符合条件的a的值．【详解】设()26f x x x a=-+，其图像为开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x=，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩aa解得58a<≤，又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选：CD【点睛】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．下列说法正确的是（）A ．若x ∈R ，则12x x+≥ B ．若15x y -≤<≤，则60x y -≤-<C ．“1x >或2y >”是“3x y +>”的必要不充分条件D ．若a ab b ，则a b >【答案】BCD【解析】A. 由0x <判断； B.根据15x y -≤<≤，由不等式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，利用函数的单调性判断；如图所示：【详解】A. 当0x <时，12x x+≥不成立，故错误； B.因为15x y -≤<≤，所以51y -≤-≤，由不等式的基本性质，则60x y -≤-<，故正确；C. “1x >或2y >”，则“3x y +>”的逆否命题是“3x y +≤”，则“1x ≤且2y ≤”是假命题，故不充分，“1x >或2y >”，则“3x y +>”的否命题是“1x ≤且2y ≤” ，则“3x y +≤”是真命题，故必要，故正确；D.当()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图所示：()f x 在R 上递增，由()()f a f b >则a b >，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．设{}|13A x x=-<≤，{}|=>B x x a，若A B⊆，则a的取值范围是______.【答案】1a≤-【解析】依据题中条件:“A B⊆”结合数轴求解即可，本题即要考虑a对应的点与区间[]1,3-的端点的关系即得.【详解】根据题意画出数轴，如图所示，结合数轴:A B⊆,a∴对应的点必须在区间[]1,3-的左端点1-的左侧，1a∴≤-.故答案为：1a≤-.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.14．已知()0,01,01,0xf x xx x<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则()()()1f f f-=______．【答案】2【解析】先求出()1f-，进而可求出()()1f f-，最后即可求出()()()1f f f-【详解】解：因为10-<，所以()10f-=，则()()()101f f f-==，因为10>，所以()()()()112f f f f-==，故答案为:2.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，属于基础题.15．若{}13x x x∃∈≤≤，使得不等式220x x a++≥成立，则实数a的取值范围为______．【答案】15a ≥-【解析】令()22f x x x =--，求出()f x 的最小值即可.【详解】解：即{}13x x x ∃∈≤≤，使22a x x ≥--成立， 令()()22211f x x x x =--=-++，{}13x x x ∈≤≤时，()()22211f x x x x =--=-++单调递减，()()()31513f f x f =-≤≤=-，则实数a 的取值范围为15a ≥-.故答案为：15a ≥-. 【点睛】考查不等式能成立求参数的取值范围，基础题.四、双空题16．已知a ，b R +∈，1a b +=，则： （1）1122a b +++的最小值是______． （2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是______．【答案】452+ 【解析】(1)将1a b +=配凑为()()225a b +++=，然后利用常数代换后，再利用基本不等式，即可求出1122a b +++最小值； (2)将11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通分后可得21b ab+，然后将分母中的利用1的代换可得2222b a ab ab ++，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】(1)由于a ，b R +∈，1a b +=，则()()225a b +++=所以11111[(2)(2)]22522a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 12211522b a a b ++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭1222522b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立； (2)()2222211122b a b b b a ab b a b ab ab ab+++++⎛⎫+===⎪⎝⎭2)2ab ab=≥，当且仅当a =，即2a =，1b =时等号成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式，主要思路为：(1)对所求目标函数的不等式求解，常用方法为：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法；(2)根据条件变形，常用“1”的代换求目标函数的最值.五、解答题17．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可 （2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可 【详解】 （1）集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤集合{}|22A x x =-≤≤， 则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤ (2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解． 18．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-， 因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.19．已知函数()f x = （1）求()f x 的定义域； （2）求()f x 的值域．【答案】（1）[]1,3；（2）2,⎡⎣.【解析】（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数()y f x =的定义域；（2）把()f x =()24f x =+，再求241612x x -+-的值域即可，然后逆推回去即可求解函数()y f x =的值域.【详解】 解：（1）由220620x x -≥⎧⎨-≥⎩，得()f x 的定义域为[]1,3；（2）易知()0f x ≥．又()222624f x x x =-+-=+4=+2x =时，()221x --+有最大值1，1x =或3x =时，()221x --+有最小值0，所以[]1,3x ∈时，易得()[]24,8f x ∈，故求()f x 的值域为2,⎡⎣．【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知p ：x R ∀∈，()221x m x >+，q ：0x R ∃∈，200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）条件可转化为方程2210x x m +--=有实根，然后可求出答案； （2）先求出p 为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）因为q ：0R x ∃∈，200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥， 得实数m 的取值范围为2m ≥-．（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若p ：R x ∀∈，()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立； 当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，∴1m <-．由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-． 【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元；两侧墙砌砖，每1m 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S 的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每21m 造价20元，则当仓库占地面积S 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？ 【答案】（1）64009；（2）15米． 【解析】（1）设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积S xy =，由条件可得402453200x y +⨯=，然后利用基本不等式求出xy 的最大值即可；（2）根据题意可得40245203200x y xy +⨯+=，然后利用基本不等式可求出答案. 【详解】设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积Sxy =．（1）402453200x y +⨯=，49320x y +=≥=64009S xy =≤ 当且仅当40x =，1609y =时取等号，故该仓库占地面积S 的最大值为64009． （2）依题设，得40245203200x y xy +⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S ≥==，则1600S +≤，即)10160≤10≤，从而100S ≤，当且仅当4090x y =且100xy =即15x =时取等号，所以S 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米． 【点睛】本题考查的是基本不等式的实际应用，考查了学生的阅读理解能力，属于基础题. 22．（1）已知a ，b ，c 均为正数，求证：233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥； （2）已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x y a x y <+++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）45a <. 【解析】（1）利用综合法结合基本不等式证明不等式；（2）先求出12155x y +++=，再结合基本不等式求出2212x y x y +++的最小值，即得解. 【详解】（1）证明∵a ，b ，c 均为正数，∴222b a a b +≥ 323c a a c +≥ 32223c bb c+≥ 以上三式相加，得233262323b a c a c b a b a c b c+++++≥ ∴233211132323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥．（当且仅当23a b c ==时等号成立）． （2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以()()125x y +++=，所以：12155x y +++= 则()()222211221212x y x y x y x y +-+-+=+++++，()()()()221211242412x x y y x y +-+++-++=+++， 14122412x y x y =+-+++-+++14112x y =+-++，121415512x y x y ⎛⎫++⎛⎫=++-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()4112441115525155x y y x ++=+++-≥-+=++， (当且仅当23x =，43y =等号成立) 要使2212x y a x y <+++恒成立，只需满足22min12x y a x y ⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭即可，故45a <． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

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——高斯2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 若α=−1，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 已知a =tan π5，b =tan2π7，c =sin π5，则有( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a3. 已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a +b >c +d ”是“a >c 且b >d ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(<m>2+1)（元）决定，其中m >0，<m >是不小于m 的最小整数（如：<3>=3，<3.8>=4，<5.1>=6），则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为( ) A.4.24元 B.4.77元 C.5.30元 D.4.93元5. 已知a =(54)−2，b =(45)13，c =log 452，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.b <a <cD.a <b <c6. 已知函数f(x)＝{(3a −2)x +a ，x <1，1+log (4−3a)x ，x ≥1，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.(23,1)B.[34,1)C.(23,34]D.(1,43)7. 已知f (x )为奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f (2)=0，则不等式x ⋅f (1−x )<0的解集是( ) A.(−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞) B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−1,0)∪(1,3)D.(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)8. 在同一直角坐标系中，函数f(x)=2−ax ，g(x)=log a (x +2)(a >0且a ≠1)的图象大致为( )A. B.C. D.二、多选题已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x −x 2，则下列说法正确的有( ) A.f(−1)=0B.f(x)在(−1, 0)上是增函数C.f(x)>0的解集为(0, 1)D.f(x)的最大值为14若直线y =m(m 为常数)与函数f (x )=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支相交于A ，B两点，且|AB|=π4，则( )A.函数f(x)的最小正周期为π2B.ω=4C.函数f(x)图象的对称中心的坐标为(kπ8,0)(k∈Z)D.函数|f(x)|图象的对称轴方程均可表示为x=kπ2(k∈Z)已知函数f(x)=2x+log2x，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y=f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是()A.x0<aB.x0>aC.x0<bD.x0<c一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[ka,kb]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”下列结论正确的是( )A.若[1,b]为f(x)=x2−2x+2的跟随区间，则b=2B.函数f(x)=1+1x不存在跟随区间C.若函数f(x)=m−√x+1存在跟随区间，则m∈(−14,0]D.二次函数f(x)=−12x2+x存在“3倍跟随区间”三、填空题已知函数y=a x−2+1(a>0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________.若sinθ−cosθ=√2，则tanθ+1tanθ=________.若一次函数f(x)满足f[f(x)]=x+1，则g(x)=f2(x)x (x>0)的值域为________．已知函数f(x)={3|x|−1，−2≤x≤1，−32x2+6x−4，x>1，实数a，b，c，d∈[−2,+∞)且a<b<c<d，满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则lg(−a)−lg b+4c+25−d的取值范围是________.四、解答题计算下列各式的值：(1)(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2；(2)log13√274+lg25+lg4+7−log714．已知函数y=a−b cos x的最大值是32最小值是12，求函数y=−4b sin ax的最大值、最小值及周期.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=−x2+4x.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若函数y=f(x)在区间(t,t+1)上是单调函数，求t的取值范围．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？(1)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−13,12)，求−cx2+2x−a>0的解集；(2)已知a∈R，解关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax.设函数f(x)=a2x−(t−1)a x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求t的值；(2)若f(1)>0，求使不等式f(kx−x2)+f(x−1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；(3)若函数f(x)的图象过点(1, 32)，是否存在正数m(m≠1)，使函数g(x)=log m[a2x+a−2x−mf(x)]在[1, log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】象限角、轴线角【解析】与−π2，0比较大小可得出α象限【解答】解：由题意得α=−1，∴−π2<α<0，∴角α的终边在第四象限．故选D．2.【答案】C【考点】正切函数的单调性【解析】根据正切函数单调性可得a<b；利用作差法可得a>c，从而可得三者的大小关系．【解答】解：∵y=tan x在(0,π2)上单调递增且0<π5<2π7<π2，∴tanπ5<tan2π7，即a<b.∵tanπ5−sinπ5=sinπ5cosπ5−sinπ5=sinπ5⋅1−cosπ5cosπ5.又∵0<cosπ5<1，sinπ5>0，∴tanπ5−sinπ5>0，即a>c，∴c<a<b.故选C．3.【答案】B【考点】不等式性质的应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．【解答】解：令a=4，b=1，c=2，d=2，满足a+b>c+d，但a>c且b<d，故“a+b>c+d”不是“a>c且b>d”的充分条件.由a>c且b>d，根据不等式的基本性质得：a+b>c+d，故“a+b>c+d”是“a>c且b>d”的必要条件.故选B.4.【答案】C【考点】函数的求值根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，将m代入函数的解析式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f(m)＝1.06(<m>2+1)，当m=7.3时，<m>=8，此时f(m)=1.06(4+1)=5.30.故选C.5.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】可得出a ＝(45)2，然后根据指数函数的值域，指数函数和对数函数的单调性即可得出0<(45)2<(45)13，log 452<0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵ 0<(54)−2=(45)2<(45)13，log 452<log 451=0，∴ c <a <b ． 故选A . 6. 【答案】 C【考点】分段函数的应用 【解析】利用分段函数的单调性的判断方法建立不等式即可求解． 【解答】解：由已知可得，函数是R 上的单调递增函数， 则只需满足：{3a −2>0，4−3a >1，3a −2+a ≤1+log (4−3a)1， 解得23<a ≤34，所以实数a 的取值范围为：(23, 34].故选C . 7.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据奇函数的性质可得函数f (x )在(−∞,0)上也单增,且f (−2)=0,则可得f (x )>0及f (x )<0的解集,即可得f (1−x )>0及f (1−x )<0的解集,若xf (1−x )<0,则{x <0f (1−x )>0或{x >0f (1−x )<0,求解即可. 【解答】解：因为函数f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增， 所以函数f (x )在(−∞,0)上也单调递增. 由f (2)=0，得f (−2)=0，所以f (x )>0的解集为(−2,0)∪(2,+∞)， f (x )<0的解集为(−∞,−2)∪(0,2)，则f (1−x )>0的解集为(−∞,−1)∪(1,3)， f (1−x )<0的解集为(−1,1)∪(3,+∞). 若x ⋅f (1−x )<0，则{x <0，f (1−x )>0或{x >0，f (1−x )<0，解得x <−1或0<x <1或x >3，故不等式x ⋅f (1−x )<0的解集是(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞). 故选D . 8. 【答案】 A【考点】一次函数的性质与图象 对数函数的图象与性质【解析】根据a 的范围讨论两函数的单调性和f(x)的斜率的范围，从而得出选项． 【解答】解：∵ a >0且a ≠1， ∴ f(x)为减函数，排除C ；若a >1，则g(x)在(−2, +∞)上单调递增， 此时f(x)的斜率为−a <−1，排除B ，A 满足； 若0<a <1，则g(x)在(−2, +∞)上单调递减， 此时f(x)的斜率为−1<−a <0，排除D . 故选A .二、多选题【答案】 A,D【考点】奇偶性与单调性的综合二次函数在闭区间上的最值【解析】根据题意，结合函数的奇偶性依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：由题意知，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x −x 2. A ，f(−1)=f(1)=1−12=0，故A 正确； B ，当x ≥0时，f(x)=x −x 2=−(x −12)2+14， 即函数f(x)在区间(0, 12)上为增函数， 则f(x)在区间(−12, 0)上为减函数，故B 错误；C ，当x ≥0时，令f(x)=x −x 2>0， 解得0<x <1， 则当x <0时，若f(x)>0，则−1<x <0，所以f(x)>0的解集为(−1, 0)∪(0, 1)，故C 错误； D ，当x ≥0时，f(x)=x −x 2=−(x −12)2+14，即函数f(x)在区间[0,+∞)上的最大值为14， 所以f (x )在(−∞,0)的最大值为14， 综合可得：f(x)的最大值为14，故D 正确.故选AD ． 【答案】 B,C【考点】正切函数的周期性正切函数的奇偶性与对称性 【解析】根据正切函数的图像与性质分析. 【解答】解：由正切函数图象可知：|AB|=T =π4，故A 错误； ∵πω=π4，∴ω=4，故B 正确； ∴f (x )=tan 4x .令4x =kπ2， k ∈Z ，解得，x =kπ8，k ∈Z ，∴ 函数f(x)图象的对称中心的坐标为(kπ8,0)，k ∈Z ，故C 正确； ∵|f (x )|=|tan 4x|，∴函数|f(x)|图象的对称轴方程为x =kπ8，k ∈Z ，故D 错误．故选BC ． 【答案】 A,B,C 【考点】 函数的零点函数单调性的性质【解析】确定函数为增函数，进而可得f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案 【解答】解：∵ f(x)=2x +log 2x 在(0, +∞)上是增函数，且a >b >c >0， ∴ f(c)<f(b)<f(a). ∵ f(a)f(b)f(c)<0，∴ f(a)，f(b)，f(c)中一项为负的、两项为正的，或者三项都是负的， 即f(c)<0，0<f(b)<f(a)或f(c)<f(b)<f(a)<0． 由于实数x 0是函数y =f(x)的一个零点，当f(c)<0，0<f(b)<f(a)时，c <x 0<b <a ，此时A ，C 成立； 当f(c)<f(b)<f(a)<0时，x 0>a ，此时B 成立． 综上可得，D 不可能成立. 故选ABC ． 【答案】 A,C,D 【考点】函数的值域及其求法 函数新定义问题【解析】（1）易由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值，（2）假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，若有解则存在，反之不存在，（3）先设跟随区间为[a,b ]，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围， （4）若存在3倍跟随区间，则设定义域为[a,b]，值域为[3a,3b ]，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解． 【解答】解：A ，函数f (x )在区间[1,b ]上单调递增， f(b)=b 2−2b +2=b ， 解得b =2或1(舍)， 所以b =2，故A 正确；B ，因为函数在每分支上分别单调递减，若存在跟随区间[a,b ](a <b )，则有{f (a )=b ，f (b )=a ，解得{a =1−√52，b =1+√52，故B 错误； C ，由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[a,b ](−1≤a <b )， 则有{f (a )=b ，f (b )=a ，即{b =m −√a +1，a =m −√b +1，两式做差得：a −b =√a +1−√b +1， 即(a −b)(√a +1+√b +1)=(√a +1−√b +1)(√a +1+√b +1) =a +1−(b +1)=a −b . 所以√a +1+√b +1=1. 又−1≤a <b ，易得0≤√a +1<√b +1≤1，所以m =a +√b +1=a +1−√a +1， 设√a +1=t ∈[0,1]，则m =t 2−t ，即t 2−t −m =0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根， 只需{Δ=1+4m >0，−m ≥0，解得−14<m ≤0，故C 正确；D ，若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[a,b ]，值域为[3a,3b ]， 当a <b ≤1时，易得函数在定义域上单调递增， 则a ，b 是方程−12x 2+x =3x 的两个不相等的实数根， 解得x =0或−4，故存在定义域为[−4,0]使得值域为[−12,0]，故D 正确.故选ACD ． 三、填空题【答案】 (2,2) 【考点】指数函数的单调性与特殊点 【解析】令x −2=0，可得x =2，则y =a 2−2+1=2，即可求出定点坐标. 【解答】解：函数y =a x−2+1(a >0且a ≠1)，令x −2=0，可得x =2，∴ y =a 2−2+1=2，∴ 函数y =a x−2+1(a >0且a ≠1)图象过定点A(2,2). 故答案为：(2,2).【答案】 −2【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】 由已知可得(sin θ−cos θ)2=2，sin θcos θ=−12，将所求式子变形代入即可得到答案.【解答】解：由已知可得(sin θ−cos θ)2=2， ∴ 1−2sin θcos θ=2， ∴ sin θcos θ=−12，∴ tan θ+1tan θ =sin θcos θ+cos θsin θ=1sin θcos θ=−2.故答案为：−2. 【答案】 [2, +∞) 【考点】函数的值域及其求法基本不等式在最值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】函数f(x)的形式是一次函数，利用待定系数先设出f(x)，代入等式f[f(x)]=x +1，解方程求出f(x)得到g(x)的解析式，然后利用基本不等式可求出函数g(x)的值域． 【解答】解：设f(x)=kx +b(k ≠0)， ∴ f[f(x)]=k(kx +b)+b =k 2x +kb +b=k 2x +(k +1)b .①依题意：f[f(x)]=1+x ，② ∴ k 2=1，③ (k +1)b =1，④由③④得：k =1，b =12，∴ f(x)=x +12，则g(x)=(x+12)2x=x +14x +1≥2√x ⋅14x +1=2， 当且仅当x =14x，即x =12时，等号成立，∴ g(x)=f 2(x)x(x >0)的值域为[2, +∞).故答案为：[2, +∞). 【答案】 (8,24) 【考点】分段函数的应用 【解析】画出函数f (x )的大致图像，根据对称性，得到a =−b ， c +d =4，将所求式子化为4c +2c+1，令t =2c ，根据二次函数的性质，即可得出结果． 【解答】解：函数f (x )={3|x|−1，−2≤x ≤1，−32x 2+6x −4，x >1，的图象如图所示，令f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=k ， 则y =f (x )与y =k 有四个不同的交点，只需12<k <2，即可满足y =f (x )与y =k 有四个不同的交点，即y =k 与f (x )=3|x|−1，−2≤x ≤1和f (x )=−32x 2+6x −4，x >1分别有两个交点.又实数a ，b ，c ，d ∈[−2,+∞)且a <b <c <d ， 所以−2<a <0<b <1<c <2<d . 由f (a )=f (b )得3|a|=3|b|，则−a =b .又函数f (x )=−32x 2+6x −4关于直线x =2对称， 所以c+d 2=2，即d =4−c ，所以lg (−a )−lg b +4c +25−d =4c +2c+1=(2c )2+2⋅2c ，令t =2c ，y =t 2+2t ， 因为1<c <2， 所以t =2c ∈(2,4).又函数y =t 2+2t 是开口向上，对称轴为直线t =−1的二次函数， 所以y =t 2+2t 在t ∈(2,4)上单调递增，因此22+4<t 2+2t <42+8 ，即8<t 2+2t <24， 即lg (−a )−lg b +4c +25−d 的取值范围是(8,24)． 故答案为：(8,24)． 四、解答题 【答案】解：(1)原式=(94)12−1−[(23)3]23+(23)2=[(32)2]12−1−(23)2+(23)2=32−1 =12.(2)原式=−34+2(lg 5+lg 2)+4=−34+2+4=214． 【考点】有理数指数幂的化简求值 分数指数幂 对数的运算性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)原式=(94)12−1−[(23)3]23+(23)2=[(32)2]12−1−(23)2+(23)2=32−1 =12.(2)原式=−34+2(lg 5+lg 2)+4=−34+2+4=214．【答案】解：由题意知b ≠0． 当b >0时，∵ −1≤cos x ≤1， ∴ −b ≤−b cos x ≤b ，∴ a −b ≤a −b cos x ≤a +b ． ∴ {a +b =32,a −b =−12,解得{a =12,b =1．∴ y =−4b sin ax =−4sin 12x ，则最大值为4，最小值为−4，最小正周期为4π. 当b <0时，∵ −1≤cos x ≤1， ∴ b ≤−b cos x ≤−b ，∴ a +b ≤a −b cos x ≤a −b ， ∴ {a −b =32,a +b =−12,解得{a =12,b =−1，∴ y =−4b sin ax =4sin 12x ，则最大值为4，最小值为−4，最小正周期为4π，综上，函数y =−4b sin ax 的最大值为4，最小值为−4，最小正周期为4π. 【考点】正弦函数的周期性 三角函数的最值【解析】【解答】解：由题意知b ≠0． 当b >0时，∵ −1≤cos x ≤1， ∴ −b ≤−b cos x ≤b ，∴ a −b ≤a −b cos x ≤a +b ．∴ {a +b =32,a −b =−12,解得{a =12,b =1．∴ y =−4b sin ax =−4sin 12x ，则最大值为4，最小值为−4，最小正周期为4π. 当b <0时，∵ −1≤cos x ≤1， ∴ b ≤−b cos x ≤−b ，∴ a +b ≤a −b cos x ≤a −b ， ∴ {a −b =32,a +b =−12,解得{a =12,b =−1，∴ y =−4b sin ax =4sin 12x ，则最大值为4，最小值为−4，最小正周期为4π，综上，函数y =−4b sin ax 的最大值为4，最小值为−4，最小正周期为4π. 【答案】解：(1)当x ∈[0,+∞]时，f(x)=−x 2+4x ， 又因为y =f(x)为奇函数，则任取x ∈(−∞,0)时，则−x ∈(0,+∞)， 则f(x)=−f(−x)=x 2+4x ， 所以f(x)={−x 2+4x ，x ≥0，x 2+4x ，x ＜0.(2)由(1)知：f(x)={−x 2+4x ，x ≥0，x 2+4x ，x ＜0.作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知：y =f(x)在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递减，在(−2,2)上单调递增， 当t +1<−2，即t <−3时，函数y =f(x)在区间[t,t +1]上单调递减；当−2<t 且t +1<2，即−2<t <1时，函数y =f(x)在区间[t,t +1]上单调递增； 当t >2时，函数y =f(x)在区间[t,t +1]上单调递减.综上，t <−3或t >2时，函数y =f(x)在区间[t,t +1]上单调递减， 当−2<t <1时，函数y =f(x)在区间[t,t +1]上单调递增， 即t 的取值范围是：t <−3或t >2或−2<t <1. 【考点】函数解析式的求解及常用方法 分段函数的应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ∈[0,+∞]时，f(x)=−x 2+4x ， 又因为y =f(x)为奇函数，则任取x ∈(−∞,0)时，则−x ∈(0,+∞)， 则f(x)=−f(−x)=x 2+4x ， 所以f(x)={−x 2+4x ，x ≥0，x 2+4x ，x ＜0.(2)由(1)知：f(x)={−x 2+4x ，x ≥0，x 2+4x ，x ＜0.作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知：y=f(x)在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递减，在(−2,2)上单调递增，当t+1<−2，即t<−3时，函数y=f(x)在区间[t,t+1]上单调递减；当−2<t且t+1<2，即−2<t<1时，函数y=f(x)在区间[t,t+1]上单调递增；当t>2时，函数y=f(x)在区间[t,t+1]上单调递减.综上，t<−3或t>2时，函数y=f(x)在区间[t,t+1]上单调递减，当−2<t<1时，函数y=f(x)在区间[t,t+1]上单调递增，即t的取值范围是：t<−3或t>2或−2<t<1.【答案】解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x =12x+80000x−200≥2√12x⋅80000x−200=200，当且仅当12x=80000x，即x=400时，该单位每月处理量为400吨，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S，则S=100x−y=100x−(12x2−200x+80000)=−12x2+300x−80000=−12(x−300)2−35000，因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值−40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．【考点】基本不等式在最值问题中的应用二次函数的性质根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=100x−y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．【解答】解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：yx=12x+80000x−200≥2√12x⋅80000x−200=200，当且仅当12x=80000x，即x=400时，该单位每月处理量为400吨，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S，则S=100x−y=100x−(12x2−200x+80000)=−12x2+300x−80000=−12(x−300)2−35000，因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值−40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．【答案】解：(1)由题意，−13，12是方程ax2+2x+c=0的两个根，所以{19a−23+c=0，14a+1+c=0，解得{a=−12，c=2，所以不等式−cx2+2x−a>0即为−2x2＋2x+12>0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为{x|−2<x<3}.(2)原不等式等价于ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，若a >0，解集为{x|x <−1或x >3a} ；若a =0，解集为{x|x <−1} ；若−3<a <0，解集为{x|3a <x <−1}；若a =−3，解集为⌀；若a <−3，解集为{x|−1<x <3a }. 【考点】一元二次不等式的解法 一元二次不等式的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意，−13，12是方程ax 2+2x +c =0的两个根，所以{19a −23+c =0，14a +1+c =0，解得{a =−12，c =2，所以不等式−cx 2+2x −a >0即为−2x 2＋2x +12>0， 解得−2<x <3，所以不等式的解集为{x|−2<x <3}.(2)原不等式等价于ax 2+(a −3)x −3>0，即(ax −3)(x +1)>0， 若a >0，解集为{x|x <−1或x >3a } ；若a =0，解集为{x|x <−1} ；若−3<a <0，解集为{x|3a <x <−1}；若a =−3，解集为⌀；若a <−3，解集为{x|−1<x <3a }.【答案】解：(1)f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f(0)=2−t =0， 解得：t =2.(2)由(1)得f(x)=a x −a −x ， ∵ f(1)>0得a −1a >0，又a >0， ∴ a >1，由f(kx −x 2)+f(x −1)<0， 得：f(kx −x 2)<−f(x −1)， ∵ f(x)为奇函数，∴ f(kx −x 2)<f(1−x)， ∵ a >1，∴ f(x)=a x −a −x 为R 上的增函数， ∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立， 即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立， 故Δ=(k +1)2−4<0 解得−3<k <1.(3)函数f(x)的图象过点(1, 32)，∴ a =2，假设存在正数m ，且m ≠1符合题意， 由a =2得g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)] =log m [22x +2−2x −m(2x −2−x )]=log m [(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2]设t =2x −2−x 则(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2=t 2−mt +2， ∵ x ∈[1, log 23]， ∴ t ∈[32，83]，记ℎ(t)=t 2−mt +2，∵ 函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1, log 23]上的最大值为0， ∴ ①若0<m <1时，则函数ℎ(t)=t 2−mt +2在[32，83]有最小值为1，由于对称轴t =m 2<12，∴ ℎmin (t)=ℎ(32)=174−32m =1⇒m =136，不合题意；②若m >1时，则函数ℎ(t)=t 2−mt +2>0在[32，83]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，{12<m 2≤2512ℎ(t)max=ℎ(83)=1⇒{1<m ≤256m =7324⇒m =7324，又此时m 2=7348∈[32,83]，又ℎ(t)min =ℎ(7348)<0，故g(x)在[1, log 23]无意义， 所以m =7324应舍去；{m 2>2512ℎ(t)max =ℎ(32)=1⇒{m >256m =136⇒m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1, log 23]上的最大值为0． 【考点】 奇函数函数恒成立问题【解析】（1）由奇函数的性质可知f(0)=0，得出t =2；（2）由f(1)>0得a −1a >0又a >0，求出a >1，判断函数的单调性f(x)=a x −a −x为R 上的增函数，不等式整理为x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，利用判别式法求解即可；（3）把点代入求出a =2，假设存在正数m ，构造函数设t =2x −2−x 则(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2=t 2−mt +2，对底数m 进行分类讨论，判断m 的值． 【解答】解：(1)f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f(0)=2−t =0， 解得：t =2.(2)由(1)得f(x)=a x −a −x ， ∵ f(1)>0得a −1a >0，又a >0， ∴ a >1，由f(kx −x 2)+f(x −1)<0， 得：f(kx −x 2)<−f(x −1)， ∵ f(x)为奇函数，∴ f(kx −x 2)<f(1−x)， ∵ a >1，∴ f(x)=a x −a −x 为R 上的增函数， ∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立， 即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0 解得−3<k <1.(3)函数f(x)的图象过点(1, 32)，∴ a =2，假设存在正数m ，且m ≠1符合题意， 由a =2得g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)] =log m [22x +2−2x −m(2x −2−x )]=log m [(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2]设t =2x −2−x 则(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2=t 2−mt +2， ∵ x ∈[1, log 23]， ∴ t ∈[32，83]，记ℎ(t)=t 2−mt +2，∵ 函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1, log 23]上的最大值为0， ∴ ①若0<m <1时，则函数ℎ(t)=t 2−mt +2在[32，83]有最小值为1，由于对称轴t =m 2<12，∴ ℎmin (t)=ℎ(32)=174−32m =1⇒m =136，不合题意；②若m >1时，则函数ℎ(t)=t 2−mt +2>0在[32，83]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，{12<m2≤2512ℎ(t)max=ℎ(83)=1⇒{1<m ≤256m =7324⇒m =7324，又此时m2=7348∈[32,83]，又ℎ(t)min =ℎ(7348)<0，故g(x)在[1, log 23]无意义， 所以m =7324应舍去；{m 2>2512ℎ(t)max =ℎ(32)=1⇒{m >256m =136⇒m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1, log 23]上的最大值为0．。

（2）依题设，得 ，
由基本不等式得 ，
则 ，即 ，故 ，从而 ，
当且仅当 且 即 时取等号，所以 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米．
22、【解析】（1）证明∵ ， ， 均为正数，
∴
以上三式相加，得
∴
即 ．（当且仅当 时等号成立）．
（2）解：由于正数 ， 满足 ，所以 ，所以：
则 ， ，
， ， ，
，
当且仅当 ， 等号成立
要使 恒成立，只需满足 即可，故 ．
三、填空题
13、 14、2
15、
16、（1） （2）
【解析】（1）由于 ， ， ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）
当且仅当 即 ， 时等号成立.
四、解答题
17、【解析】（1）∵集合 ．则
∵集合 ，则
（2）∵集合 ，且 ，则
∴ ，解得 ，故实数 的取值范围为
18、【解析】（1） ．
因为 ，所以 ，因此 ；
（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积 的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每 造价20元，则当仓库占地面积 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？
22．（1）已知 ， ， 均为正数，求证： ；
（2）已知正数 ， 满足 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
湖南省长沙雅礼中学2020-2021学年上学期高一
19．已知函数 ．
（1）求 的定义域；
（2）求 的值域．
20．已知 ： ， ， ： ， ，
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 、 均为真命题，求实数 的取值范围．
21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 长造价40元；两侧墙砌砖，每 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．

5．A
【解析】
【分析】
容易得出 ，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.
【详解】
解： ， ， ，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：函数 可看成由 和 合而成，那么由 （ ）得 ，所以函数 在 （ ）上单调递增，当 时， ，此时 ；故选C．
22．已知定义在 上的奇函数 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若存在 ，使不等式 有解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数 满足 ，且规定 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据题意先求出集合N，然后根据交集的定义求解即可.
【详解】
解： ，又 ，所以 .
故选：C.
考点：对数的计算
15．②③
【解析】
【分析】
利用正弦函数f（x）＝3sin（2x ）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．
【详解】
∵f（x）＝3sin（2x ），
①：由2x kπ （k∈Z）得：x （k∈Z），
∴f（x）＝3sin（2x ）的对称轴方程为：x （k∈Z），
当k＝0时，x ，k＝﹣1时，x ，
④：将y＝3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到y＝3sin2（x ）＝3sin（2x ）≠3sin（2x ）＝f（x），故④错误．
综上所述，②③正确．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．

【解析】根据分断函数的解析式先求 ，再求 即可得答案.
【详解】
解：根据题意得： ， ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能的取值组成的集合为________.
【答案】
【解析】确定集合 中的元素，由 得 ，由子集的定义求解．
A． ，
B． ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为 或
【答案】BCD
【解析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式 的解后可得不等式 的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A， ，则 ，故 ，故A不成立.
对于B， ，则 ，
故 ，所以 ，故B成立.
对于C，设 ，其中 ，
对D：令 ，定义域为
所以函数为偶函数且在 单调递增，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.
4．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由命题的否定的定义判断．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
则 ， ，
若 ，则 ， ，故 ；
若 ，则 ， ，故 ，故C成立.
对于D，由不等式 可得 或 ，
故 或 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题
13．已知函数 ，则 ________.
【答案】8

参考答案1．D 【分析】令集合A 中的元素24a a +与2a -分别为-3，求得a 的值，再利用集合的互异性，进行取舍. 【详解】因为3A -∈，故： 令243a a +=-， 解得1a =-或3a=-；当1a =-时，2423a a a +=-=-不满足集合的互异性，故舍去； 当3a=-时，集合{}12,3,5A =--，满足集合互异性，故3a =-；令23a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去； 综上所述：3a =-，故选：D. 【点睛】易错点睛：注意集合中元素的互异性，可以对参数的值进行取舍. 2．C 【分析】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,由此求得正确结论. 【详解】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,{}1,2,3,4,5,6AB =,故(){}7,8U C A B ⋃=，故选C.【点睛】本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题. 3．D 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 4．B 【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 5．B 【分析】由已知得命题p 是假命题，则将问题转化为命题“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数a 的取值范围. 【详解】若命题p 是假命题，,则“不存在0x R ∈，使得20220x ax a +++≤”成立, 即“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<，解得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围是()1,2-， 故选B . 【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.6．A 【分析】把给出的已知条件244c b a a -=-+，右侧配方后可得c b ≥，再把给出的两个等式联立消去c 后，得到21b a =+，利用基本不等式可得b a >，从而得到结果. 【详解】因为2244(2)0c b a a a -=-+=-≥所以c b ≥，2()22b c c b a +--=+，即2222b a =+，所以21b a =+，∴213024b a a ⎛⎫-=-+> ⎪⎝⎭，∴b a >即c b a ≥>， 故答案选A ． 【点睛】该题考查的是有关比较大小的问题，涉及到的知识点有利用作差比较法确定式子的大小的问题，属于简单题目. 7．A 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和D E 的长度，利用CD >D E 即可得到答案. 【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a b OD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD =在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE >2aba b≥+， 故选A .【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题. 8．C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像 9．B 【分析】画出两个函数的图象，解得交点坐标，根据图象分析函数()f x 的取值并判断结果. 【详解】如图，作出函数22y x =-和函数y x =的图象，联立22y xy x⎧=-⎨=⎩易得()1,1A ，()2,2B --， 根据图象易知()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，所以函数()f x 在1x =处取得最大值1.故选：B .【点睛】本题考查函数图象的的运用，难度一般，这类问题的解答方法如下： （1）分别画出各个函数的图象； （2）联立，解出交点的坐标；（3）观察每一段上各函数图象的变化，根据题目意思确定出结果. 10．BC 【分析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解. 【详解】解：{}2111x x x <⇔-<<，因为{}11xx -<<∣ {}1x x <∣， ()()2011,00,1x <<⇔-，()()1,00,1- {}11xx -<<∣， {}11xx -<<∣ {}10x x -<<∣， 所以21x <的一个充分不必要条件有：201x <<或10x -<<. 故选：BC. 11．AC 【分析】根据集合相等的定义，分别对选项进行判断． 【详解】选项A 中集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，所以P Q =；选项B 中P 是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1Q ∉，所以P Q ≠；选项C 中{}0,1P =，当n 为奇数时()1102n x +-==，当n 为偶数时，()1112nx +-==，所以{}0,1Q =，P Q =；选项D 中集合P 表示直线1y x =+上点的横坐标构成的集合，而集合Q 表示直线1y x =+上点的坐标构成的集合，所以P Q ≠. 故选AC. 【点睛】本题考查了集合的相等问题，牢记定义是解题的关键，本题是一道基础题． 12．BCD 【分析】利用基本不等式或构造函数()1+f x x x=，逐个进行验证，即可得到结论． 【详解】解：,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 错误； 由选项A ，有104ab <≤， 设()1+f x x x =，设121,0,4x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且12x x <，()()()121212*********+0x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=--=-> ⎪⎝⎭，则()1+f x x x =在104⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，()11744f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确； 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)， 2b ．所以选项C 正确.113332222222a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=+>222a b =时等号成立），所以选项D 正确． 故BCD 正确 故选：BCD. 13．{}1,0,1- 【分析】分类讨论：当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，分别讨论B 中元素为1和-1两种情况依次求解. 【详解】 由题：B A ⊆当0a =时，B =∅符合题意； 当0a ≠时，1B A a ⎧⎫=-⊆⎨⎬⎩⎭，11a -=或11a-=- 所以，1a =-或1，所以实数a 所有取值的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1- 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，依次分类讨论即可避免此类问题. 14．2 【分析】先根据函数()g x 的图象可判断出()2g 的值，再根据表格中函数()f x 的取值得出()()2f g .【详解】由函数()g x 的图象可知()21g =，所以()()()212f g f ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题. 15．(2,3) 【分析】由题意知12-，13-是方程210ax bx --=的两根，求出65a b =-⎧⎨=⎩，再解不等式得解.【详解】 解：由题意知12-，13-是方程210ax bx --=的两根，所以由根与系数的关系得112311123baa ⎧--=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得65a b =-⎧⎨=⎩. 不等式20x bx a --<，即为2560x x -+<， 所以(2)(3)0x x --<，所以解集为(2,3)． 故答案为：(2,3) 16．30 【分析】 由题意可得()()()113f x f f x +==、()()22=f x f x ，代入化简即可得解.【详解】由()()()f p q f p f q +=⋅，()13f =，令p x =，1q =，可得()()()11f x f x f +=， 所以()()()113f x f f x +==，令==p q x 可得()()22=f x f x ， 所以()()()()()()()()()2221224510139f f f f f f f f f +++++⋅⋅⋅+()()()()()()()()()()2224262821013579f f f f f f f f f f =++++()23333330=++++=.故答案为：30. 【点睛】思路点睛：利用函数递推关系式求值问题.用赋值法得到()()13f x f x +=，()()22=f x f x ，代入求值即可.17．（1）{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）(],3-∞. 【分析】（1）将4m =代入集合B ，利用并集的定义可求出集合A B ；（2）由BA B =得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出有关m 的不等式组解出即可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意：集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-. 当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-≤≤； （2）B A B =，B A ∴⊆.当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得：2m <； 当B ≠∅时，21215m m -≤+≤-≤，解得：23m ≤≤； 综上所得：当B A ⊆时，实数m 的取值范围为(],3-∞． 【点睛】本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题. 18．证明见解析. 【分析】（1）由0,0a b >>且1a b +=，122a b +=，再把1a b +=两边平方整理即可证明； （2）由11111112224a b a b a b b a a b ab a b ab a b a b a b +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭再结合基本不等式，即可证明. 【详解】证明：（1）因为0,0a b >>且1a b +=122a b +=（当且仅当12a b ==时取等号），即11,242ab ab ≤-≥-，所以1122ab -≥， 又()22221a b a ab b +=++=， 所以221122a b ab +=-≥； （2）因为1,0,0a b a b +=>>，所以11111112224a b a b a b b a a b ab a b ab a b a b a b +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭48≥=， 当且仅当12a b ==时，等号成立， 所以1118a b ab++≥. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．（1）2；（2）证明见解析；（3）4039. 【分析】（1）根据函数解析式，直接计算，即可得出结果； （2）根据函数解析式，计算1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可； （3）根据（2）的结论，可直接得出结果. 【详解】（1）∵()2221x f x x +＝，∴()222222211221222222121212112f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2222211331332223131313113f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）证明：∵()2221x f x x +＝，∴2221211121x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， （3）由（2）知()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()()121,2,3,4,,2020f i f i i ⎛⎫+==⋯ ⎪⎝⎭∴()()()()11112320204039232020f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋯++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查根据解析式求函数值，属于常考题型.20．（1）当汽车的平均速度80v =时车流量y 达到最大值。