电工学(第四章 正弦交流电)

I
相量图
I
UL

相量形式：
+
jwLI jX I U L L
jw L
-
XL=w L，称为感抗，单位为 (欧姆)
相量模型 感抗的物理意义：
U wL (2) 频率和感抗成正比, w 0 直流（XL=0) , w开路； XL
(1) 表示限制电流的能力； I
w
1 1 L I UL j U L jBLU jwL wL
pR
波形图 uR i
pR 0
O
wt
R吸收功率
1 T 1 T 有功功率(平均功率)： P T 0 pdt T 0 uidt 1 T 2 U I I R P U R I [ 1 cos 2( wt y i )] dt R T 0
单位：W(瓦特)
二 . 电感
i(t ) + uL(t) -
R
则
uR ( t ) Ri( t ) 2RI sin(wt Ψi )
(2)相位关系：u, i 同相 (3)有效值关系：UR=RI
特点：(1)u， i 同频
+
UR

R
相量模型
相量表示： U R RI U R I 相量图：
u=i
pR u R i 2功率： U Rm I m sin( ω t Ψ i ) sin( ω t Ψ i ) U R I [ 1 cos 2( ω t Ψ i )]
def
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
1 T 2 2 I I cos ( wt Ψ )dt m T 0


T
0
cos ( wt Ψ )dt
2
T
0
1 cos 2(wt Ψ ) 1 dt T 2 2
Im 1 2 T I Im 0.707I m T 2 2 I m 2I
除法：模相除，角相减。
(3) 旋转因子： 复数 ejq =1∠q
A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。
j
jA j 2 Ae


2
欧拉公式
Im
e
q
-A O
A• ejq A
e
j
cos j sin j 2 2
2


cos j sin j 2 2


Re
e j cos j sin 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
e jwt 模为1幅角为wt ,旋转向量
二. 用复数来表示正弦量-相量(Phasor) 复函数A(t)
A(t ) 2 Ie j(wt ) 2 Icos(wt ) j 2 Isin( wt Ψ )

BL=-1/w L ， 感纳，单位为 S (同电导) 2.功率：
i(t)
+ uL(t) L
pL u Li 2U L sin( wt U L I sin 2wt

2
) 2 I sin wt
波形图： 储 O
p吸 UI sin 2wt
uL 储 放 放 pL i 特点： (1)p有正有负
1. 复数A表示形式： 直角坐标形式(代数式)： A=a+jb
极坐标形式( 指数式)：
(j 1 为虚数单位 )
A=|A|ejq =|A| q
A=a+jb Im b O
A a+jb表示为原点到A的向量 其摸为|A|，幅角为q
q
a
Re
两种表示法的关系：
| A | a 2 b 2 b θ arctag a
O 0
wt
y

2
则 i I m sin( wt

2
)
y =0 y =/2
一般规定：| | 。
y 0 的正弦量为参考正弦量
二. 相位差 ：两个同频率正弦量相位角之差。 设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i) 则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 初相位之差 j >0， u 领先i j 角，或i 落后 u j 角(u 比 i 先到达最大值)； u, i u i j <0， i 领先 uj 角， u, i i wt u


jwt
) Im ( 2 U 2 e jwt )


jwt
2U 2 e

jwt
) Im ( 2 ( U 1 U 2 )e jwt )
e jwt Im 2U
U U1 U 2

故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
i1 i2 = i 3
I1 I2 I3
音频 20-20000Hz 高频电路
二. 正弦交流电
大小方向随时间按正弦规律变化
i(t)=Imsin(w t+y) i T O t
Im,w,y 为正弦量的三要素
Im： 振幅、 最大值 w(角频率)：反映正弦量变化快慢
d (wt y ) w dt
y/w
Hale Waihona Puke 单位时间内变化的角度2 w T
单位： rad•s-1 ，弧度•秒-1

2sin( 314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
U

I i( t ) 2Isin( ω t ) I
I

q

Uθ u( t ) 2Usin(wt θ ) U
不同频率的相量不能画在一张相量图上。
三. 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减
加减法可用图解法。 Im A2 A1 O
Re
乘法：模相乘，角相加；
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1θ 2 ) | A1 | e θ 1 θ 2 jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A2 |
Im[A(t)] 2 Isin(ωt Ψ )i(t)
i(t) 2Isin(ωt Ψ ) A(t) 2Ie
j ( wt y )
A(t) 2 Ie
2Ie

一一对应的映射关系 j ( wt y )
jw t

2 Ie e
I I y
jy
jwt
相量
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复函数：
jy I Ie Iy
相量

i 2 Isin( wt y ) Im ( 2 I e jwt )

称 I IΨ 为正弦量 i(t) 对应的相量。 相量包含了正弦量的二个要素 I ,
同样可以建立余弦电压与相量的对应关系：
u (t ) 2U sin(wt θ ) U Uθ
w 2f
i(t)=Imsin(w t+y)
(w t+y ) ：相位(相位角)
(3) 初相位y ：正弦量在 t0时的相位角。(反映正弦量的初始值。)
当t 0时 i ( t ) I m sin y 初相位y 和计时起点有关，计时起点不同初相位不同。
i
计时起点：计算时间的参考点
y 0 则 i I m sin wt
例． + u -
+
+ u2 -
u1
u1( t ) 3 2 sin314t V
o
u2 ( t ) 4 2 sin( 314t 90 ) V
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 490 V o U 2 U1 30 V
求u
U U ?V U 1 2
wt
(2)p一周期内正负
面积相等
有功功率：
1 T 1 T P 0 pdt 0 UI sin 2wtdt 0 T T
无功功率Q：等于交换能量的最大值
2 U Q UI I 2 X L XL
(1) u, i 关系
设 i( t ) 2I sin wt
则
L
di( t ) uL ( t ) L 2wLI sin( wt ) dt 2 U
2U sin( wt

特点：(1) u, i同频
U L
2
)
(2)相位关系：u=i +90° (u 超前 i 90°) (3)有效值关系： U=w LI U 或 I wL
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) A1=|A1| q 1 ，若A2=|A2| q 2 A1 A2 =| A1 | | A2| q 1q 2 (2) 乘除运算——极坐标 若 则
1. 有效值(effective value)定义 I
R W直 =I 2RT i(t)
T i 2 ( t ) Rd t W R 交 0
若W直=W交 ，则 I为周期电流有效值
I RT i ( t ) Rdt
2 2 0
T
1 I T

T
0
i 2 ( t )dt
同样，可定义电压有效值：
1 T 2 U u ( t )dt 0 T 有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。)