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第四章正弦交流电路77概要

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第4章 大学电工学 正弦交流电路

第4章 大学电工学 正弦交流电路

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南通大学电气工程学院
《电工学》课程
正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦
规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦
的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算；
有利于电器设备的运行；
. . . . .
i
t
T
2. 频率 f： 每秒变化的次数
单位：赫兹，千赫兹 ... 单位：弧度/秒
3. 角频率 ω ： 每秒变化的弧度
1 f T
2π 2π f T
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南通大学电气工程学院
《电工学》课程
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
I m 为正弦电流的最大值
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指
示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准
电压220V，也是指供电电压的有效值。
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南通大学电气工程学院
《电工学》课程
热效应相当 有 效 值 概 念
有效值 电量必须大写 如：U、I
南通大学电气工程学院
《电工学》课程
由向量表示法知
y
(z)
z 2 z1 — 点z1与z 2 之间的距离
由此得 : z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 (三角不等式 )
z1
z2 x
o 4. 指数表示法
3. 三角表示法
x r cos 由 得 y r sin
南通大学电气工程学院

第4章正弦交流电路的基本概念

第4章正弦交流电路的基本概念
u du WC = ∫ pdt = ∫ Cu dt = ∫ Cudu −∞ u0 −∞ dt 1 2 1 2 = Cu − Cu 0 2 2
du p = ui = u ⋅ C dt
t
t
结论:电容为储能元件 具有存储电场能量 储能元件， 存储电场能量的作用 结论:电容为储能元件，具有存储电场能量的作用
def
α
0 u
常数C称为电容器的电容 常数C称为电容器的电容
q C = u
(Farad，法拉) (Farad，法拉)
SI单位 单位： (法 电容 C 的SI单位：F (法)
常用单位： F)， F)， 常用单位：µF（10-6F)，nF(10-9F)，pF(10-12F)
符号： 符号： + u –
i 电容对直流 电容对直流 相当于开路 相当于开路
L 10Ω 10Ω u + C –
5
i
L + 10Ω u 10Ω –
C
电容元件与电感元件的比较： 电容元件与电感元件的比较： 电容 C 变量 电压 u 电荷 q
q = Cu du dt 1 WC = Cu 2 2 i=C
电感 L 电流 i 磁链 ψ
ψ = Li
di dt 1 W L = Li 2 2 u= L
5∠47o + 10∠ − 25o = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226)
= 12.47 − j0.569 = 12.48∠ − 2.61o
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式
若
A1=|A1| ψ 1 ，A2=|A2| ψ 2
则:
A ⋅ A2 = A e jψ1 ⋅ A2 e jψ2 = A A2 e j(ψ1+ψ2 ) = A A2 ∠ψ1 +ψ2 1 1 1 1

第4章正弦交流电路

第4章正弦交流电路

L
di dt
（1）函数表示：
-
u L eL
+
设：i 2 I sin (ω t i )
U
u
u L d( 2Isin(ωt i ))
dt
2 Iω Lsin(ω t i 90)
得：① u 和 i 频率相同
②大小关系： U L I X LI
令：XL ωL 2πfL 称为感抗
90
③相位关系 ：u 超前 i 90度
.
.
.
.
U1 U2 .......... Un 0或 U 0
例2: 图示电路是三相四线制电源， 已知：三个电源的电压分别为：
uA 220 2 sin314 t V
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
试求: (1) 各电压的相量；（2）求 uAB； （3）画出相量图。
i
t
③相位关系 ：u、i 相位相同
相位差 ： u i 0
波形图
（2）相量表示：
i Imsin(ωt i ) 2Isin(ωt i )
u iR ImRsin(ωt ψi ) 2IRsin (ωt ψu ) I I ψi
U U ψu IR ψu RI ψi IR
I
相量图 U
u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
p i u 2 2 UI sinω t sin( ω t 90)
UI 2sinω t cosω t U I sin2ω t
瞬时功率波形分析：
u
i T
T 3T
4
24
o
T ωt
(2) 平均功率
P 1
T

4正弦交流电路

4正弦交流电路

−1
θ
Re 0 a
a = r cos θ b = r sin θ
r = a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） jθ A = re = r cos θ + jr sin θ
jθ
③指数形式
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
ϕu
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
两种正弦信号的关系
同 相 位
i2
ψ1 =ψ 2
ψ2 ψ1
i2
i1 i1
t
t
ϕ =ψ1 −ψ2 =0
i1
与
相 位 领 先 相 位 落 后
ϕ =ψ1 −ψ 2 > 0
i2同相位
ψ1 ψ2
i1
ψ2
ψ1
i1 领先于 i2
ϕ =ψ1 −ψ2 < 0
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120ο。
新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算

第4章 正弦交流电路

第4章 正弦交流电路

i
t
i sin 1000 t 30
重点 必须 小写

瞬时值表达式

相量
前两种不便于运算，所以引入相量表示法。
江苏大学电工电子教研室 江苏大学电工电子
第4章 正弦交流电路
一、复数
复数表示形式（4种） 设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb
令一直角坐标系的横轴 表示复数的实部，称为实轴， 以+1为单位；纵轴表示虚部， 称为虚轴，以+j为单位。 +j
U 2
U
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。

2
1
U 1
U U U 1 2
江苏大学电工电子教研室 江苏大学电工电子
第4章 正弦交流电路
符号说明
瞬时值 --- 小写 u、i
有效值 --- 大写
U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
+ ―.‖
复数、相量 --- 大写
(2) 极坐标式
Ar ψ
(3) 三角式 A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ ) jψ 由欧拉公式得: e cos ψ j sin ψ (4) 指数式
jψ
b
0
A
Are jψ A a jb r cos j r sin re r ψ
电工技术（电工学 电工技术（电工学I I） ）
第4章
第二章 电路的分析方法 the method of analyzing circuit
正弦交流电路
江苏大学 江苏大学 电气信息工程学院 电气信息工程学院
School ofof electric and information ，UJS School electric and information ，UJS

正弦交流电路

正弦交流电路

电感电路复数形式的欧姆定律
U 超前 I90
U
I
相量图
2019年9月15日星期日
广东海洋大学
电工技术
第 4章
2. 功率关系
i 2I sinω t u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
(1) 瞬时功率
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
有效值: U I ω L
或 I U
L
定义： XL L 2 f L 感抗(Ω )
则: U I X L
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通阻交的作用
2019年9月15日星期日
广东海洋大学
电工技术
第 4章
XL ω L2 π f L
相量表示:
U Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角 电压的有效值相量
或：
Um Umejψ Um ψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的最大值相量
2019年9月15日星期日
广东海洋大学
电工技术
第 4章
说明：
1、相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
Um
Im
sinω
t
cos
ω
t

Um Im 2
sin2ω t
UI sin2 ωt
感抗XL是频率的函数
根据： i 2I sinω t
I , XL
I U
2fL X L
O
f
u 2I ω Lsin ( ωt 90 )

第四章正弦交流电路的基本概念

第四章正弦交流电路的基本概念
电压超前电流
u i
u i
O

ωt
ψ1 ψ2 0 电流超前电压 u i u i
O
ωt
ψ 1 ψ 2 90 电流超前电压90 u i u i
O 90°

ωt
ψ1 ψ2 0 电压与电流同相 u i u
i O ωt
ψ 1 ψ 2 180 电压与电流反相 u i u i
e
j90
j 90
cos 90 j sin 90 j
B
+j
设相量 A re jψ

相量 A乘以 e -j90 ， ，得到C A将顺时针旋转 90°
o
ψ
+1
C
相量 A 乘以 e j 90 ， ，得到 B A 将逆时针旋转 90°
A
正误判断
1.已知： u 220 sin ( ω t 45 )V
• U 220
3.已知： 4 e j30 A 复数 I
4 2 sin ( ω t 30 )A ？
瞬时值
45 V
？
j45
有效值
45 U m 220 e V
？
4.已知：
U 100 15 V
⑤相量的书写方式 I 模用最大值表示 ，则用符号： U m 、 m
I 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、
如：已知 u 220 sin ( ω t 45 )V
220 j45 j45 U m 220 e V或 U e V 则 2
⑥“j”的数学意义和物理意义 旋转 90° 因子： e

电工基础_第4章正弦交流电路.ppt

电工基础_第4章正弦交流电路.ppt

4．2．1复数 ． ． 复数
A = re jϕ 复数的极坐标形式 ： A = r∠ϕ
复数的指数形式 ： 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。用A*表示A的共 共轭复数 轭复数，则有 A=a+jb A*=a-jb 例4.5 写出下列复数的直角坐标形式。
（1）5∠48°
1 （2） ∠90°
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除 ．
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
如： A1=a1+jb1= r1∠ϕ1 A2=a2+jb2 =r2 ∠ϕ 2
A1 r1∠ϕ1 r1 = = ∠(ϕ1 − ϕ 2 ) A2 r2 ∠ϕ 2 r2
如将复数 A1 = re jϕ 乘以另一个复数 e jα ，则得
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素 ． ． 正弦交流电的基本特征和三要素
例4.4 已知某正弦电压在 t = 0时 为110 2 V，初相角为 30°，求其 有效值。 解：此正弦电压表达式为
u = U m sin(ωt + 30°)
则
u (0) = U m sin 30°
图4.4 正弦量的同相与反相 u ( 0) 110 2 Um = = V = 220 2V sin 30° 0.5
图4.12 交流异步电动机的等效电路模型
4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.3 在照明电路中使用的白 案例 炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于 感性负载，家用风扇为单相交流电 动机，它的等效电路如图4.13所示。 图中U1、U2为工作绕组，V1、V2 为起动绕组，它们实际上是纯电阻 与纯电感相串联。由图中可知，风 扇是一种电阻、电感和电容混联的 负载。

第四章： 正弦交流电路

第四章： 正弦交流电路

= 2U sin (t+90)
i
【小结】电感两端电压和电流关系：
O
ωt
① 两者频率相同；
90
② 电压超前电流90，即相位差为：
= u i 90
③ 大小关系：U=I·L=I· XL ； XL为感抗；
20
i(t)= 2I sin t
u(t)= 2IL sin (t+90)
2. 感抗：Ω
∵ 有效值：U =I L
u
i
o
ωt
i
i
i
i
+
--
+
u uuu
-
++-
p(t)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
∵ 储存能量和释放能量交替
进行 ∴ 电感L是储能元件。
【结论】纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换（能量 的吞吐)。
ωt
储能 释能 储能 释能
24
(3)无功功率Q：
用以衡量电感电路中与电源交换能量的瞬时最大值即振幅 称作~。即：
正确写出幅、角的值。如：
+j
B 4
A
A 3 j4
第一象限
4 A 5 arctan
3
-3 0 C -4
B 3 j4
第二象限
4 B 5(180 arctan )
+1
3
3
C 3 j4
第三象限
4 C 5(arctan 180)
3
D
D 3 j4
第四象限
4 D 5( arctan )
3
式中的j 称为旋转因子，复数乘以j相当于在复平面上逆

《第4章正弦交流电路资料》

《第4章正弦交流电路资料》

第四章正弦交流电路一、填空题：1. 已知两个正弦电流i1和i2,它们的相量为lI1=10N60°A, ll2 =10Y—60°A,则i =i1 _i2 = 3 =314rad/s)。

2. 已知复阻抗Z =(5-j5 g，则该元件呈容性，阻抗角~45003. 将正弦交流电压u =200sin(100t+30')V加在电感L=50mT勺线圈两端(线圈电阻忽略不计)，在电压、电流的参考方向为关联参考方向下，流经电感的电流瞬时表达式为4°河10妇1200治。

4. 有一正弦交流电压，已知其周期为10澎S,若该电压的有效值相量为u' = (80+j60)V,则该电压的瞬时表达式为100/2河628。

+370治。

5. 将正弦交流电压u =200sin(100t+30”)V加在电容C=500uF的电容器两端(电容器视为理想)，在电压、电流的参考方向为一致时，流经电容的电流瞬时表达式为10sin(100t-600)V 。

6. 已知i =10cos(100t -30)A , u =5sin(100t —60°)V，则i、u 的相位差为300且i 超前u。

(填超前或滞后)7. 电流的瞬时表达式为i =10&sin(100t-260「)A，则其频率f = 5°Hz ,有效值I = 10 A，初丰目位4 — I00o_1_8. RLC申联电路的谐振条件是X L=X c ，其谐振频率f°为2兀MC ,申联谐振时电流达到最大(最大，最小)。

若L=10mH C=1uF则电路的谐振频率为1592 Hz 。

9. 某正弦交流电的角频率为628弧度/秒，有效值为220伏，则电压最大值为220龙伏，如果初相位为兀/3,则电压的瞬时表达式为 _10 写出U=(40-j30)V , f =50Hz的正弦量表达式u= 50而$讷(3忡-37 )V .220T2sin(628t+60普V。

正弦 交流电路

正弦 交流电路
变化了2 弧度，也就是说该交流电的角频率 =2 弧度/秒。
若交流电1s内变化了f，则可得角频率与频率的关系式为度次
2f 2 /T
(4-7)
式之(一4.，7)表则示其T余、均f、可求这出3。个物理量之间的关系，只要知道其中
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4.1交流电路中的基本物理量
3.初相
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4.1交流电路中的基本物理量
4.1.1交流电路概述
在生产和生活中使用的电能，几乎都是交流电能，即使是 电解、电镀、电信等行业需要直流供电，大多数也是将交流 电能通过整流装置变成直流电能。在日常生产和生活中所用 的交流电，一般都是指正弦交流电。因为交流电能够方便地 用变压器改变电压，用高压输电，可将电能输送很远，而且 损耗小;交流电机比直流电机构造简单，造价便宜，运行可靠。 所以，现在发电厂所发的都是交流电，工、农业生产和日常 生活中广泛应用的也是交流电。
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4.1交流电路中的基本物理量
交流电与直流电的区别在于:直流电的方向、大小不随时间 变化;而交流电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并目 在一周期内的平均值为零。图4.1所示为直流电和交流电的电 波波形。
正弦电压和电流等物理量，常统称为正弦量。正弦量的特 征表现在变化的快慢、大小及初始值3个方面，而它们分别由 频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。所以频率、 幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。
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4.1交流电路中的基本物理量
初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正 弦量叫做同相。同相的两个正弦量同时到达零值，同时到达 最大值，步调一致，如图4.4中的i1和i2所示。
u Um sin(t u ) i Im sin(t i )

第4章正弦交流电路分析ppt

第4章正弦交流电路分析ppt

1. 最大值（振幅）
◆ 定义:正弦电量瞬时值中的最大数值称为正 弦量的最大值(幅值)。
◆ 表示:正弦电量的振幅用带有下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em。
2. 角频率(ω)、周期（T）、频率（f)
(1)、角频率(ω)
◆ 定义:单位时间正弦电量变化的弧度数， 又叫电角速度。 ◆ 物理意义：反映正弦电量变化快慢的物理量。 ◆ 单位：弧度/秒（rad/s）。
i
i
Im
A O
i
(a)
t
T (b)
图4-1-2
4.1.2
1、定义：两个同频率的正弦量的相位之差。（用字母φ 表示）
例：正弦电压u=Umsin(ω t +ψ u) ，正弦电流i=Im sin (ω t +
ψ i)
φ =（ω t+ψ u）-(ω t+ψ i)= ψ u-ψ i （4-1-5）
由此得： 两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相差。
引入有效值后，
u Um sin(t u ) 2U sin(t u ) i Im sin(t i ) 2I sin(t i )
小结
1．随时间按正弦规律变化的电量（电压、电流、电动势）通 称为正弦电量，或称为正弦交流电，又简称为交流电。
2．正弦电量的三要素是最大值（或有效值）、频率（或角频 率或周期）和初相位，它们可以完整地描述一个正弦电量的 变化情况。若已知正弦电量的三要素，就可以写出它的瞬时 值表达式并画出它的波形图。
u, i
u i
O
t
u
i
(c)
图 4-1-3
◆ φ =ψ u-ψ i <0，表明ψ u < ψ i ， 则称电流i超 前电压u，或称电压u滞后电流i。如图4-1-3（c）。

电路与信号基础 第04章 正弦稳态交流电路的基本概念

电路与信号基础 第04章 正弦稳态交流电路的基本概念
第 4 章正弦稳态交流电路的基本概念
4.1 正弦交流信号 4.2 相量法 4.3 基本元件的伏安关系
4.1 正弦交流信号
4.1.1正弦交流电流的瞬时值表达式
根据以上分析，不难看出，如果已知一 个正弦交流电流的最大值（或振幅）、频率 （或角频率或周期）和初相角，就能完全确 定一个正弦交流电流的波形或瞬时值表达式。 这3个参数反映了一个正弦交流电的特征， 因此，我们把它们称为正弦交流电的三要素。
4.3
基本元件的伏安关系
4.3.1电阻元件的伏安关系
电阻上电压与电流是同频率的正弦量， 且其大小上成正比，相位上同相，或者说 是它们的相位差等于零。
4.3.2电感元件的伏安关系
电感元件的电压与电流是同频率的正 弦量。ULm是电感上电压的最大值，它与 电流最大值的比值是一个频率的函数，用 XL表示，称为电感元件的感抗。
4.1.3正弦交流电流的有效值
有效值等于瞬时值的平方在一个周期 内积分的平均值再取平方根。 正弦交流电的最大值和有效值之间存 在着一个 2 的固定关系，可以用正弦量的 有效值乘以 2 代替最大值作为正弦量的一 个要素，那么正弦交流电流的瞬时值表达 式也可以写为 i(t)= 2 Isin(ωt+ψ)
电感元件的电流电压是一种正交关系， 因此，在分析和计算时，既要考虑它们的 数值关系也要考虑相量关系，通常总是用 相量式进行。
4.3.3电容元件的伏安关系
表示电容元件的电压与电流有效 值或最大值的比值，它是信号频率的反比 函数，称为电容元件的容抗 。
C
1
4.2
相量Leabharlann .法Im是表示取复指数函数虚部 I m是一个与时 间无关的复常数，它的模值等于正弦电流 的最大值，它的幅角等于正弦电流的初相 角，在一定的频率下，这样一个能代表正 弦交流电流的最大值和初相角的复常数称 为正弦量的相量 。

正弦交流电路第4章

正弦交流电路第4章
故解析式为
u 3s 1i3 1 nt1 (6 4 )0 V 或
u3s 1i3 1 nt1 (1 4 2 )V0
2020/3/10
例 3-2 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
最大值与有效值关系
2020/3/10
3-2 正弦量的相量表示法
▪ 解析式 iIm sin ti
i
▪ 波形图
t
▪ 相量
重点
因前两种不便于运算，所以引出相量表示法。
2020/3/10
一、复数及其运算
1.复数的四种表示形式 实部 虚部
▪ 代数形式 Aajb
▪ 三角形式Arco sjrsin
R
2020/3/10
例3-7 一个标称值为“220V,75W”的电烙铁， 它的电压为 ，试求它的电流和功率，并计算它 使用20小时所耗电能的度数。 解: 电流的有效值为
I P 750.34A U 220
因所加电压即为额定电压，功率为75W， 所以 20小时所耗电能为
W=75×20=1500W=1.5KWh=1.5 度
A 1 A 2 r 1 r 2 12
A1 A2
r1 r2
1 2
二、相量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在
纵轴上的投影值来表示。
j
B
ω
0
ωt1

A
I m
+1
i Im
iImsin t(i)
b a
0
ωt1
ωt
矢量长度 = I m 矢量与横轴夹角 = 初相位

第四章正弦交流电路的基本概念

第四章正弦交流电路的基本概念
造一个复函数 A(t) 2Ie j(wt) 没有物理意义
若对A(t)取虚部：
2Icos(wt ) j 2Isin(wt )
Im[A(t)] 2sin(wt ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
j(wt )
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t ) u1(t ) u2 (t ) 9.64 2sin(314t 41.9o ) V
2019/9/18
Slide 29

u(t) 2U sin(wt θ) U Uθ

i(t) 2I sin(wt ) I I
2019/9/18
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例1. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示i, u .


I
u(t ) 2Usin(ωt θ ) U Uθ

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2. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 sin(wt 1) Im(
2

U
1
e
jwt
)
u2 (t)
2 U2 sin(wt 2 ) Im(
2

U
2
e
i 波形：
T
/w O
t
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：s，秒 f =1/T
频率f ：每秒重复变化的次数。单位：Hz，赫(兹)
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(2)相量图: --把相量表示在复平面的图形(可省略坐标轴)。
有效值 U
U
初相位
在画相量图时，为了方便，常选择一个相量作为参考相 量，将其初相位定为0 。
例1. 试写出表示 uA=220 2 sin314 t V ,
uB 220 2sin(314t-1200) V ,
uC 220 2sin(314t 1200) V
设正弦交流电流： i =Imsint
热效应相当
有效值(均方根值)
与交流热效应相等 的直流定义为交流电的
T i
2R
dt
I 2RT
0
有效值。
交流
直流
则有 I
有效值 必须大写
1 T i2dt
T0
1 T
T 0
Im2 sin2 ω t dt
Im 2
同理： U Um 2
E Em 2
注意： ➢交流电压、电流表测量数据为有效值； ➢交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。
④极坐标式 A r
A a jb rcos jrsin re jψ rψ
(2)复数的运算 ①加减运算 --用代数式简单
A=a1+jb1 B=a2+jb2
A+B =(a1+a2)+j(b1 +b2) A-B =(a1-a2)+j(b1 -b2)
②乘除运算 --用指数式、极坐标式简单
A r11B r22
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 单一参数的交流电路 4.4 RLC串联的交流电路 4.5 阻抗的串联和并联 4.7 交流电路的频率特性 4.8 功率因数的提高
4.1 正弦电压与电流
前面第1、第2章分析的是直流电路，其中的电压和电 流的大小和方向是不随时间变化的。
小 常 识
➢高频炉频率：200 ~ 300 kHz ➢中频炉频率：500 ~ 8000 Hz
➢无线通信频率： 30 kHz ~ 3×104 MHz
4.1.2 幅值与有效值 i
Im
t
0
瞬时值： 正弦量在任一瞬间的值 用小写字母表示 如e、i、u等
幅值(最大值)： 瞬时值中最大的值 用带下标m的大写字母表示 如Em、Im、Um等
I, U
0
t
直流电压和电流
正弦量： 按照正弦规律周期性变化的量。 注意：用余弦表示的也称正弦量。 参考方向： 正半周时的方向
ui
+
实际方向和参考方向一致
i
+
_
t
_ _u
R
正半周
实际方向和参考方向相反
_
i
+
_u
R
负半周
设正弦交流电流：
i
Im
O
2
t
T
i Im sin t
初相位：决定正弦量起始位置
AB r1r2(1 2 )
A B
r1 r2
(1
2 )
模相乘除 辐角相加减
2.相量的两种表示形式
相量: 表示正弦量的复数称相量
设正弦量: u Umsin( ωt ψ)
(1)相量式:
①有效值相量
•
U U (cos j sin ) Ue j
U
②幅值相量
•
U m Um (cos j sin ) Ume j Um
相位差： 两同频率的正弦量之间的相位之差。
设： u Umsin(ωt ψ1 )
i Imsin(ωt ψ2 )
ui u i
( t 1 ) ( t 2 )
O
ωt
ψ1 ψ2
若 =(1 – 2) > 0 电压超前电流
ψ1 ψ2 0
电流超前电压| |
ui i
u
ψ1 ψ2 90
③相量的书写方式：用大写字母表示，并在字母上打“.”。
幅值相量：U m 、I m 、Em
有效值相量：U 、I 、E
④只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
角频率：决定正弦量变化快慢
幅值：决定正弦量的大小
正弦量的三要素：幅值、角频率、初相位。
4.1.1 频率与周期
i
O
T
t
周期T: 正弦量变化一次所需要的时间(s)
频率f： 每秒变化的次数(Hz) f 1 T
角频率： 每秒变化的弧度(rad/s)
2 2 f
T
➢电网频率：中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
电器 最高耐压300V
电源电压
有效值 U = 220V 最大值 Um =311V
不能！
4.1.3 初相位 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位：t =0时的相位，也称初相角。
i Im sin t
相位：t
初相位：
i
ψ
t
通常用小于180O 角度表示
说 明 初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
二、正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量
1.复数有关内容复习 (1)复数表示形式
+j
b
A
r
①代数式 A = a + jb
0 a +1
②三角式 A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
其中： r a2 b2
③指数式 A rejψ
ψ arctan b a
因正弦量经过加、减运算后角频率()不变，所以， 以后讨论同频率正弦量时，可不考虑，主要研究幅度与
初相位的变化。
返回
4.2 正弦量的相量表示法
一、正弦量的表示方法
①三角函数式： u Um sin(t )
u
②正弦波形图: ③相量法：
+
0
_
t
当参与运算的正弦量为同频率正弦量时，用相量表 示和计算可以使正弦电路的计算简化。
的相量，并画出相量图。
UC
•
解： U A 22000 220 V
120
UA
•
U
B
220 1200
220(
1
j
3) V
22
•
UC
2201200
220( 1
j
3) V
22
120
UB
相量图
注意: ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量；
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Imψ
②只有正弦周期量才能用相量表示；
电流超前电压90o
ui u i
0
ωt
O
ωt
ψ1 ψ2 0
电压与电流同相 ui u
i
0
ωt
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 ui u
i
0
ωt
注意:
①不同频率的正弦量比较无意义；
②两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选
择起点无关。
i i1
i2
O
t
③的取值范围||≤
正弦量的基本性质 1.同频率正弦量的和或差仍为同频率的正弦量； 2.正弦量的微分或积分仍为同频率的正弦量。
例4.1.2已知 u= Umsint , Um =310V, f =50Hz，试求有效值
U 和 t =0.1s 时的瞬时值。
解： U U m 310 220V 22
u
Um
sin 2
ft
310sin 100
10
0
？若购得一台耐压为 300V的电器，能否接在220V 的交流电上?
~ 220V