2019-2020学年高中数学课时分层作业3单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义单位圆与周期性

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➢任意角的正弦函数与余弦函数 如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα 、余弦
u=cosα分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵 坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值 域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中 引入的函数概念一致了.
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
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➢锐角的正弦函数与余弦函数 如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交
于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的， v也是由锐角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP 中，OP=1，OM=u，MP=v，有
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➢锐角的正弦函数与余弦函数 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵
方法总结 (1)在一般的直角三角形中,锐角α的正弦值为该角的对边与三角 形的斜边之比,余弦值为该角的邻边与三角形的斜边之比; (2)在单位圆中,根据角的终边与单位圆交点的坐标可直接写出 锐角的正弦值和余弦值.
探究点二 任意角的正弦函数和余弦函数 知识点2:任意角的正弦函数和余弦函数 (1)单位圆中正弦函数、余弦函数的定义 在平面直角坐标系中,把任意角α的顶点放在坐 标原点、始边放在x轴的正半轴上,角α的终边 与单位圆交于点P(u,v),则把点P的纵坐标v定义 为角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u定 义为角α的余弦值,记作u=cos α(如图).
单位圆与任意角的正弦 函数、余弦函数定义
温故知新
弧度制
弧度概念 弧度与角度的换算
学习目标
1. 能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合单位圆说出它们的 基本性质. （重点） 2. 能利用正、余弦函数的基本性质解决相关问题.（难点）

故选：A
4．已知角 的终边经过点(2,3) ，则sin （ ）
A．
3 13 13
B． 2 13 13
C．2
D． 3
【详解】因为角的终边经过点 (2, 3) ，
所以 ， . r 22 (3)2 13
sin 3 3 13 13 13
故选：A
5．已知角
的终边在单位圆上的横坐标为
2 2
，
则 cos ______．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－ －35aa＝35， ∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
3. 已知角α的终边在直线y＝ x上，求3sin α，cos α的值.
解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上， 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点， 则 r＝ a2＋ 3a2＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以 sin α＝ 23aa＝ 23，cos α＝2aa＝12. 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
. P(yu,v) P'(x, y)
O M M' x
说明：①三角函数的值与点在终边上的位置无关， 仅与角的大小有关
②上式为计算正、余弦函数值的第二种方式
例1 已知角α终边上除原点外的一点Q(x,y),求角α的正 弦函数值、余弦函数值。
例3 求 5 的正弦、余弦
3
解：在直角坐标系中，作 AOB 5 ，易知 AOB
A．
(
3 5
,
4) 5
C．
(

课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．对余弦函数y ＝cos x 的图像，有如下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．] 2．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A ．2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．πD ．2πC [∵函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致， 由函数y ＝|cos x |的图像知其最小正周期为π， ∴y ＝|cos x |－1的最小正周期也是π，故选C.] 3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C [函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减少的．]4．从函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值B [由于函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝12有且只有两个交点，所以选B.]5．函数y ＝x 2cos x 的部分图像是( )A B C D A [设f (x )＝x 2cos x ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]二、填空题6．设P ，Q 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________.－103[∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.]7．比较大小：cos 15π8________sin π18.> [∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，sin π18＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π18＝cos 4π9.而0<π8<4π9<π2，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>sin π18.]8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (cos x )的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [∵f (x )的定义域为[0,1]，∴0≤cos x ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .]三、解答题9．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． [解] 按五个关键点列表如下，(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，所以当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．10．求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝1－2cos x ； (2)y ＝lg(2cos x －3)．[解] (1)由题意，得1－2cos x ≥0，所以cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )．所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z . 因为－1≤cos x ≤1，所以－2≤－2cos x ≤2， 所以－1≤1－2cos x ≤3，又y ＝1－2cos x ≥0， 所以原函数的值域为[0，3]．(2)由题意，得2cos x －3＞0，所以cos x ＞32，结合y ＝cos x 的图像(如图)可得：－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π(k ∈Z )．所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π，k ∈Z. 因为－1≤cos x ≤1，所以－2－3≤2cos x －3≤2－ 3. 因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数．所以y ＝lg(2cos x －3)的值域为(－∞，lg(2－3))．[等级过关练]1．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )A B C DD [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选D.]2．已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A.π4B.π3C.0D.π2D [当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－sin(－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．]3．若cos x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 由2m ＋3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.]4．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ≤π，解得φ＝π6.]5．已知函数y ＝12cos x －12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性； (3)求出该函数的单调递减区间． [解] (1)y ＝12cos x －12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z ).函数图像如图所示：(2)由图像可知，函数图像关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 函数图像每隔2k π(k ∈Z )重新出现，故为周期函数． (3)该函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )．。

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课时分层作业(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式(建议用时:60分钟)［合格基础练]一、选择题1．cos 660°的值为( )A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!B[cos 660°＝cos（360°＋300°)＝cos 300°＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos（180°－60°）＝cos 60°＝错误!。

］2．若sin(θ＋π）<0，cos（θ－π)〉0，则θ在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B［∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ〉0.∵cos（θ－π)＝cos(π－θ）＝－cos θ>0，∴cos θ〈0，∴θ为第二象限角．]3．已知sin错误!＝错误!，则sin错误!的值为( )A.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!D[sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝－错误!.]4．若cos(2π－α）＝错误!，则sin错误!等于( ）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．±错误!A[∵cos(2π－α)＝cos（－α）＝cos α＝错误!，∴sin错误!＝－cos α＝－错误!.]5．下列三角函数中（n∈Z),与sin错误!数值相同的是（）①sin错误!；②cos错误!；③sin错误!;④cos错误!；⑤sin错误!.A．①② B．①②③C．②③⑤D．①③⑤C[①中n为偶数时，sin错误!＝－sin错误!；②中cos错误!＝cos错误!＝sin错误!；③中sin错误!＝sin错误!；④中cos错误!＝－cos错误!＝－sin π3;⑤中sin错误!＝sin错误!＝sin π3。