高中数学必修二 4.2导学案-向量的加法-湘教版

(1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 解 (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
点评 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示 两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量 的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．
4.2 向量的加法(二)
1．理解零向量的意义． 2．理解相反向量的意义，掌握向量减法运算及其几何意义． 3．能熟练地进行向量减法运算．
自学导引
1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作_0 或→0 .零向量 没有确定的方向．
2．相反向量 与a_长__度__相__等__，__方__向__相__反__的向量，叫做a的相反向量，记 作－__a_． (1)规定：零向量的相反向量仍是_零__向__量__； (2)－(－a)＝_a_； (3)a＋(－a)＝_(－__a_)_＋__a_＝_0_； (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝_－__a，a＋b＝_0_.
向量减法的几何作法：在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a
的终点的向量，这是向量减法的几何意义． 3．对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－
b|≤|a|＋|b|.
典例剖析
题型一 向量的加减运算 【例1】 化简下列式子：
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a－b＝a
＋(－b)．其中正确等式的个数为
( )．
A．1个
B．2个
C．3个

最新湘教版必修第二册教学设计及导学案1.2向量的加法（一）第一部分教学设计一、课程标准1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算法则，并理解向量加法的几何意义.2.能运用向量加法的三角形法则，平行四边形法则及其几何意义进行向量的加法运算.二、教学目标1.理解向量加法的含义，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并利用这两个法则作出两个向量的和，能用代数符号表示两个向量的和向量.2.掌握向量的加法的法则，并能利用法则进行向量运算.能利用向量的加法解决物理中的力和速度的合成问题；3.经历向量加法的概念和两个法则的构建过程，体会从特殊到一般的数学思想方法，获得数学活动经验.三、学情与内容分析学生在物理中学习过力、速度等矢量的分解，学生对向量的加法具有一定的基础.同时，刚刚学习了向量的概念，已经明确了向量的研究方法，基本能够用抽象概括、逻辑推理来思考和解决问题.从高一数学开始学生接触到抽象的符号语言、图象语言，涉及符号语言、图象语言与文字语言间的转化，学生会感到吃力，例如学生在直观上能体会向量的加法与数量的加法之间有明显的不同，能分辨出二者具有很大差异性.同时，学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，严谨性、逻辑性还有待提高.四、教学重点利用三角形法则和平行四边形法则求向量的和.五、教学难点向量的加法的意义．六、教学过程（一）情景引入2022年有人从台湾到上海春节探亲，乘飞机准备先从台北到香港，再从香港到上海，试问这两次位移的结果是什么？讨论结果：这两次位移的结果与飞机从台北直接飞往上海的位移是相同的.应用物理物理背景得出结论：物理中，我们就把后面这样一次位移叫做前面两次位移的合位移. （二）新知探究结合上述例子，思考什么叫两个向量的和向量？如何求和向量？ 1．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：2．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和： 3．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和： 结论：位移就是一个向量（自由向量），两个位移求和位移实际上就是两个向量求和向量。

的外心，故选 B.
答案 B 纠错心得 内心是三角形的三条角平分线的交点，内心到 三角形各边的距离相等；外心是三角形三条边的垂直平分 线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；垂心是三角 形的三条高的交点；重心是三角形的三条中线的交点，重 心到对边中点的距离是到对应顶点的距离的一半．记住四 心的定义及性质是解答此题的关键．解答向量问题有很多 地方要用到初中所学的平面几何知识，要注意及时复习．
点评 (1)要注意法则的应用； (2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在 直线平行或重合且长度相等．
2．如图，在△ABC中，D、E、F
分别是BC、AC、AB的中点，
化简下列各式： (1)A→D＋B→D＋E→A； (2)A→B＋D→C＋F→E. 解 (1)∵B→D＝D→C，E→A＝C→E，
则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示：A→C＝A→B＋A→D(平行四边形法 则)，又∵B→C＝A→D，∴A→C＝A→B＋B→C(三 角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平 行四边形法则时应注意和向量与两向量起点相同． 2．向量加法的多边形法则 有时，我们会遇到多段向量的合成， 如果每次都采取平行四边形法则或三 角形法则显得较为麻烦，那么是否可 以将其加以简化呢？答案是肯定的， 实际上，在三角形法则中，一个重要 的原则是“首尾相接”，而向量的加法 运算律使得多个向量的和的运算更为简便，在实际操作中 A只→2A需3＋重A复→3A使4＋用…三＋角A形n－法1A则n＝，A便→0A可n，其以几得何到意：A义＋→0A如1＋图A所→1A示2 ．
＝|O→C|，则点 O 是三角形△ABC 的
( )．
A．内心B．外心C．垂心D．重心

1．2向量的加法第一课时向量的加法新课程标准解读核心素养1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义数学抽象2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能利用两个法则进行向量的加法运算直观想象教学设计一、目标展示二、情境导入如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅舅家(点C)．[问题](1)分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；(2)这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？三、合作探究知识点一向量加法的定义及其运算法则1．定义：求向量和的运算，称为向量的加法．2．运算法则三角形法则已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点O，分别作OA―→＝a，AB―→＝b，则定义从O到B的向量OB―→为a，b的和，记作a＋b，即a＋b＝OA―→＋AB―→＝OB―→，像这样将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则教学札记平行四边形法则从同一点O 出发作有向线段OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则对角线OC ―→就是a 与b 的和，即OC ―→＝a ＋b任意两个向量求和都能用平行四边形法则吗？ 知识点二 加法运算律及零向量的加法性质1．向量加法的运算律 (1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)． 2．零向量的加法性质任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a ＋0＝0＋a ＝a ．(a ＋b)＋(c ＋d)＝(a ＋d)＋(b ＋c)成立吗？四、精讲点拨[例1] (1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图①，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b.[例2] 化简：(1)(AB ―→＋DB ―→)＋(CD ―→＋BC ―→)； (2)AB ―→＋DF ―→＋CD ―→＋BC ―→＋FA ―→.[例3] 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．[母题探究]1．(变条件)本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角)．教学札记2．(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km? 五、达标检测1．正方形ABCD 的边长为1，则|AB ―→＋AD ―→|为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．222．化简AE ―→＋EB ―→＋BC ―→等于( ) A.AB ―→ B.BA ―→ C.0D.AC ―→3．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，求： (1)|a ＋b|；(2)指出向量a ＋b 的方向．六、课堂小结1.求作向量的和;2.向量的加法及运算律;3.向量加法的实际应用.课后作业教后反思第二课时 向量的减法运算新课程标准解读核心素养 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义数学抽象、直观想象教学设计 一、目标展示 二、情境导入如图，向量AD ―→是向量AB ―→与向量x 的和．[问题] 你能作出向量x 吗？ 三、合作探究知识点 向量的减法1．定义：已知两个向量a ，b ，求x 满足a ＋x ＝b ，这样的运算叫作向量的减法．2.物理意义：AB ―→＝OB ―→－OA ―→的物理意义是向量AB ―→等于终点向量OB ―→减起点向量OA ―→.1．两个向量差的起点是怎样的？差向量的方向如何？2．在向量减法的定义中，如果从a 的终点指向b 的终点作向量，所得向量是什么？ 四、精讲点拨[例1] 化简：(1)AB ―→－AD ―→－DC ―→； (2)(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)．[例2] (链接教科书第11页例7)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c.[例3] (链接教科书第11页例6)如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形内一点，且AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AE ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD ―→，BC ―→，BD ―→.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，试用向量a ，b ，c 表示BE ―→与CE ―→.2．(变条件)本例中的条件“点B 是该平行四边形ACDE 内一点”若换成“点B 是该平行四边形ACDE 外一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？五、达标检测1．下列等式：①0－a ＝－a ；①－(－a)＝a ；①a ＋(－a)＝0； ④a －0＝a ；①a －b ＝a ＋(－b)；①a ＋(－a)＝0. 正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．化简PM ―→－PN ―→＋MN ―→所得的结果是( ) A.MP ―→ B.NP ―→ C ．0D.MN ―→3．在平行四边形ABCD 中，BC ―→－CD ―→＋BA ―→＝( ) A.BC ―→ B.AD ―→ C.AB ―→D.AC ―→4．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB ―→－CB ―→＋CD ―→的模． 六、课堂小结1.向量的减法运算;2.向量减法及其几何意义;3.向量减法法则的应用.课后作业教后反思。